第七章一階電路本章主要內容：1、RC、RL電路的零輸入響應；2、RC、RL電路的零狀態(tài)響應；3、一階電路的全響應；暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)；4、一階電路的三要素法；5、階躍函數(shù)和階躍響應；子區(qū)間分析法。引言：1.什么叫一階電路？1）用一階微分方程描述其變量的電路。2）只含一個動態(tài)元件(C、L)的電路。如：NC1C2NL1L2引例：求圖示電路的一階微分方程。這是常系數(shù)非齊次一階微分方程。代入:解：可以寫出以下方程2.一階微分方程的求解：1）齊次方程通解：2）非齊次方程特解：

W=Q

常數(shù)3）K確定：常系數(shù)非齊次一階微分方程由初始條件解出K通解答為：7

1一階電路的零輸入響應一、RC電路的零輸入響應

電路在沒有外界輸入的情況下，只由電路中動態(tài)元件初始儲能作用而產生的響應為零輸入響應。（輸入為零）圖(a)所示電路，開關原來在1端，電容電壓已經達到U0，在t=0時開關由1端轉換到2端，如圖(b)求：uC(t)；iC(t),t

0①t＜0—充電②t=0—換路③t≥0—放電1.定性分析建立圖(b)電路的一階微分方程其解為：根據(jù)初始條件齊次方程通解：

2.

定量分析最后得到電路的零輸入響應為uC

(0+)0

234uC(t)t(s)t(s)O

234iC(t)電流可以躍變U00

234uC(t)t(s)t0

2

3

4

5

uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00以為例，說明電壓的變化與時間常數(shù)的關系。當t=0時，uC(0)=U0，當t=

時，uC(

)=0.368U0由于波形衰減很快，實際上只要經過4～5

的時間就可以認為放電過程基本結束。0.368U0換路：電路由電源接入或斷開，元件參數(shù)或電路結構突然改變。過渡過程：電路由一種穩(wěn)定狀態(tài)向另一種穩(wěn)定狀態(tài)過渡的過程。

時間常數(shù)：

=

RC

它決定了uC

衰減的快慢

RC大，表示衰減的慢;RC小，表示衰減的快。

電阻在電容放電過程中消耗的全部能量為：換路定律：二、RL電路的零輸入響應已知

iL(0)=I0 ，求

iL(t),uL(t),t≥0解：1.定性分析①t＜0——儲磁場能②t=0——換路③t≥0——衰減到零列出KCL方程，得到微分方程通解為代入初始條件iL(0+)=I0求得最后得到三、結論：RC電路（或RL電路）電壓與電流的零輸入響應都是從它的初始值按指數(shù)規(guī)律衰減到零。2表達式：X(0+)——初始值τ——時間常數(shù)二者零輸入響應、時間常數(shù)具有對偶性。

=

RC

=

GL=L/R例1：電路如圖(a)所示，已知電容電壓uC(0-)=6V。

t=0閉合開關，求t>0時uC(t)、iC(t)、iR(t)。解：在開關閉合瞬間，電容電壓不能躍變，得到將連接電容兩端的單口網(wǎng)絡等效于一個電阻，為電阻中的電流iR(t)可以用與iC(t)同樣數(shù)值的電流源代替電容，用電阻并聯(lián)的分流公式求得iR(t)例2：3

6

2

i1uC+_100F已知uC

(0+)=18V求：uC

(t),i1(t),t≥0例3：

3

1

iu+_4H0.5u已知i(0+)=2A求：i(t),u(t),t≥07

2一階電路的零狀態(tài)響應一、RC電路的零狀態(tài)響應CRt=0+_uC(t)+_USi(t)已知：uC

(0

)=0，求uC(t),i(t),t

0零狀態(tài)響應:電路中動態(tài)元件的初始狀態(tài)為零，電路只在外加激勵作用下產生的響應。1）uC(t)

的零狀態(tài)響應是從零按指數(shù)規(guī)律上升到它的穩(wěn)態(tài)值uC();tuC()uC(t)O2）當t>4,

uC()=Us是電容C開路時uC

的值。表示為iC

=0，解：1.定性分析：uC

(0

)=0Us4

2.定量分析++__USuC(t)RiC(t)解一：解二：tOiC＝RC二、RL電路的零狀態(tài)響應解：１.定性分析ISt=0L+_uLRiRiL已知：iL(0_)=0，求iL(t),

uL(t),t

01）iL

的零狀態(tài)響應是從零按指數(shù)規(guī)律上升到它的穩(wěn)態(tài)值iL()。當t>4

，iL()=IS,是電感短路時的值。t[iL()]iLIS2）iL

零狀態(tài)響應的快慢，取決于電路的時間常數(shù)（

=L/R）。越小，上升越快。２.定量分析RL+_uLiLiRIS解一：解二：tOuLRIS三、結論：uC(t)和iL(t)

的零狀態(tài)響應是從零按指數(shù)規(guī)律上升到它的穩(wěn)態(tài)iL()；iC(t)和uL(t)

是按指數(shù)規(guī)律衰減到零。2.狀態(tài)量：（初始狀態(tài)為零對應的變量）X(∞)——穩(wěn)態(tài)值;τ——時間常數(shù)3.非狀態(tài)量：iC(t)和uL(t)。求解方法：先求狀態(tài)量，再求非狀態(tài)量。例1電路如圖(a)，已知uC(0-)=0。t=0打開開關，求：t

0的uC(t)，iC(t)及電阻電流i1(t)。解：在開關打開瞬間，電容電壓不能躍變，得到將連接電容兩端的單口網(wǎng)絡等效為戴維南電路圖(b)電路的時間常數(shù)為當電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)時，電容相當開路得根據(jù)圖（a）所示電路，用KCL方程得到t(s)iC(A)τ2τ3τ4τO0.4t(s)uC(V)120τ2τ3τ4τO例2電路如圖(a)所示，已知電感電流iL(0-)=0。

t=0閉合開關，求：t

0的iL(t)，uL(t)，i(t)。解：電感電流不能躍變，即將連接電感的單口網(wǎng)絡用諾頓等效電路代替，得圖(c)7

3一階電路的全響應一、全響應：

由動態(tài)元件的初始儲能和外施激勵共同引起的響應，稱為全響應。例：已知電路如圖(a)所示，uC(0-)=U0，t=0

時開關倒向2端。求：uC(t),t0。以電容電壓uC(t)為變量，列出圖(b)電路微分方程其解為代入初始條件求得于是得到電容電壓表達式：第一項是對應微分方程的通解uCh(t)，稱為電路的固有響應或自由響應。將隨時間增長而按指數(shù)規(guī)律衰減到零，也稱為暫態(tài)響應。

第二項是微分方程的特解uCp(t)，其變化規(guī)律與輸入相同，稱為強制響應。當t

時uC(t)=uCp(t)也稱為穩(wěn)態(tài)響應。①固有響應：與輸入無關，由電路本身決定。

暫態(tài)響應：在過渡過程(0-4)的響應。②強制響應：與外加激勵有關。穩(wěn)態(tài)響應：在過渡過程完成以后的響應。tuC(0+)

US①US②uC(0+)全響應注意

線性動態(tài)電路中任一支路電壓或電流的全響應等于零輸入響應與零狀態(tài)響應之和。

①零輸入響應+②零狀態(tài)響應③全響應=二、線性動態(tài)電路的疊加定理：uC(0+)t

234OuCUS①②③三、全響應的三種分解方式：1.全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應

※線性動態(tài)電路的疊加定理說明：

2.全響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應3.全響應（全解）=通解+特解1）適用于任意線性動態(tài)電路2）電路中儲能元件的等效疊加7

4三要素法一、一階電路電壓或電流的全響應(1)當x(0+)>x(),

則其波形為由其初始值按指數(shù)規(guī)律下降到其穩(wěn)態(tài)值，即全響應t

234Ox(t)x(0+)x()穩(wěn)態(tài)值下降高度下降規(guī)律一般式(2)當x(0+)<x()時，則其波形為由其初始值按指數(shù)規(guī)律上升到其穩(wěn)態(tài)值，即t

234Ox(t)x(0+)x()全響應初始值上升高度上升規(guī)律二、三要素法：對于漸近穩(wěn)定的一階電路，各支路的電壓或電流的全響應都是從其初始值按指數(shù)規(guī)律變化到（上升或下降到）其穩(wěn)態(tài)值。初始值——三個要素：穩(wěn)態(tài)值——時間常數(shù)——三、三個要素的求法1.初始值x(0+)10V+_uCt=0i2i120

30

0.1F例：已知t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，求uC(0+),i1(0+),i2(0+)。

換路定律：uC(0+)=uC(0

)電容電壓連續(xù)

iL(0+)=iL(0

)

電感電流連續(xù)2.再求i1(0+),i2(0+)：10V20

30

i1(0+)i2(0+)+_uC(0+)=6Vt=0+畫t=0+等效電路解：1.先求uC(0

)：畫t=0

等效電路10V20

30

+_uC(0

)t=0-例2已知t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，求i1(0+),iL(0+),uL(0+)。1

4

t=0iL+_uLi1+_10V0.1H解：1.先求iL(0

)：推知iL(0+)=iL(0

)=2A2.再求i1(0+),uL(0+)10V1

4

iL(0+)=2A+_i1(0+)uL(0+)+_t=0+1

4

iL(0

)10V+_t=0

2.求穩(wěn)態(tài)值x()畫t=∞時的等效電路：將t>0時電路的電容開路，或電感短路，作直流分析，求出x()。3.求時間常數(shù)先求輸出電阻R0，

=R0C先求R0,1)若為含電容電路，則為

R0N0C2)若為含電感電路，則為

R0N0L四、三要素求解步驟1.畫t=0-時的等效電路，求X(0-);3.畫t=∞時的等效電路，求X(∞);4.畫t＞0時No網(wǎng)絡，求Ro，計算τ；5.代入三要素公式。2.畫t=0+時的等效電路，求X(0+);

換路定律：uC(0+)=uC(0

)；iL(0+)=iL(0

)

先求R0,=R0C，

五、元件L、C的等效電路：元件t=0+t=0-，∞CLIoIo+-UoUo+-t=0-條件零初始非零初始直流穩(wěn)態(tài)例1圖(a)所示電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時開關閉合，

求：t

0的電容電壓uC(t)和電流i(t)，并畫波形圖。解：1.求uC(0+)

2.求uC(

)，電容開路，運用疊加定理求得

3.求

：計算與電容相連接的電阻單口網(wǎng)絡ab

的輸出電阻，它是三個電阻的并聯(lián)ab

4.代入三要素一般表達式求得電容電壓后，電阻電流i(t)可以利用歐姆定律求得也可以用疊加定理分別計算2A電流源，10V電壓源和電容電壓uC(t)單獨作用引起響應之和由于電路中每個響應具有相同的時間常數(shù)，不必重新計算，用三要素公式得到值得注意的是該電阻電流在開關轉換時發(fā)生了躍變，i(0+)=1A

i(0-)=1.667A，因而在電流表達式中，標明的時間范圍是t>0，而不是t

0。電阻電流i(t)還可以利用三要素法直接求得例2：圖示電路中，開關轉換前電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0

時開關S由1端接至2端，求：t>0時的電感電流

iL(t)，電阻電流i2(t)，i3(t)和電感電壓uL(t)。解：1.求iL(0+)：開關轉換前，電感相當于短路

2.求iL(

)：3.求：

4.計算iL(t)，

uL(t)，

i2(t)和i3(t)。例3：

圖(a)所示電路，在t=0時閉合開關，求：電容電壓uC(t)和電流i2(t)的零狀態(tài)響應。解：開關閉合后，與電容連接的單口網(wǎng)絡用圖(c)

所示的戴維南等效電路代替，其中用外施電源法求圖(b)

單口網(wǎng)絡的輸出電阻Ro

時間常數(shù)為代入三要素公式得到從圖(a)電路中開關閉合后的電路求得電流i2(t)1

1

1

+_+_2V2i10.8Fi1t=0例4已知t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài),求i1(t),t0i1(A)O12345t(s)7

5階躍函數(shù)和階躍響應一、階躍函數(shù)1.階躍函數(shù)1(t)toAA(t)to(t)=1t>00t<0A(t)=At>00t<02.延時階躍函數(shù)t(tt0)t0o1tA(tt0)t0oA(t)=1t>t00t<t0A(tt0)=At>t00t<t0二、階躍函數(shù)的作用：1)代替開關N+_USt=0NUS(t)+_N+_USt=t0NUS(tt0)+_2)分段常量信號可表示為一系列階躍信號之和分段常量信號：一些階梯形狀波形和矩形脈沖波形tuC(t)oUStuC(t)o1三、階躍響應定義：電路在階躍信號作用下的零狀態(tài)響應。例如(t)+_R+_CuCUS(t)+_R+_CuC

=RCUS(t)tUSot(t)1oR+_US(tt0)CuC+_USUS(tt0)tt0ouC(t)tUSt0o非時變性的表現(xiàn)

四、非恒定電壓、電流作用下一階電路的響應例1：已知p(t)波形，求uCRC+_uC+_p(t)V解一：uC(0)=00-t0——充電

t＞t0——放電p(t)ot0tUSouCUStt0解二：tp(t)t0otp'(t)t0otp''(t)t0oUSUS

US對p'(t)：對p''(t)：2

+_

uS(t)1FuC+_i例2已知：uS(t)=5(t2)V，uC(t)=10V,t053.68求：uC(t),i(t),t02468uC(V)t(s)o10uC'uC''uCRuRC+_uC(t)NR+_V，t0結果：V,t0例3已知NR是只含電阻的電路，并知uC的單位階躍響應為：V求：在同樣的激勵情況下，若uC(0

)=2V時的

uC(t)和uR(t)。V,例4圖示RC分壓器電路模型，試求輸出電壓

uC2(t)的階躍響應。解：由于將圖(a)電路中的電壓源用短路代替后，電容C1

和C2并聯(lián)等效于一個電容現(xiàn)在計算初始