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1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；2.會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理

完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N＝_________________種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理

完成一件事情需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N＝__________________種不同的方法．知識梳理m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．1．判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”)

精彩PPT展示 (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． () (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事． () (3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有各個步驟都完成后，這件事情才算完成． () (4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1，2，3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法． ()診斷自測×√√√2．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為(

) A．3 B．4 C．6 D．8

解析以1為首項的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；

以2為首項的等比數(shù)列為2，4，8；

以4為首項的等比數(shù)列為4，6，9；

把這四個數(shù)列順序顛倒，又得到4個數(shù)列，

∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8(個)．

答案

D3．所有兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)共有(

) A．45個

B．36個 C．30個

D．50個

答案

B4．現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部

分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不

能用同一種顏色，則不同的著色方法共

有 (

) A．24種

B．30種 C．36種

D．48種

解析按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(種)．

答案

D5．(人教A選修2－3P13B2改編)5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有________種．

解析每位同學都有2種報名方法，因此，可分五步安排5名同學報名，由分步乘法原理，總的報名方法共2×2×2×2×2＝32(種)．

答案

32考點一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】(1)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有 (

) A．4種

B．10種

C．18種

D．20種 (2)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為 (

) A．14 B．13 C．12 D．9②當a≠0時，則方程有實根，∴Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.(*)(ⅰ)當a＝－1時，滿足(*)式的b＝－1，0，1，2有4種．(ⅱ)當a＝1時，b＝－1，0，1，有3種可能．(ⅲ)當a＝2時，b＝－1，0，有2種可能．∴由分類加法計數(shù)原理，有序數(shù)對(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(個)．答案

(1)B

(2)B

規(guī)律方法分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，重點在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．首先根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準；其次分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，且只能屬于某一類(即標準明確，不重不漏)．【訓(xùn)練1】在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為 (

) A．10 B．11 C．12 D．15答案

B考點二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【例2】有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定六名同學都能參加) (1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限； (2)每項限報一人，且每人至多參加一項； (3)每項限報一人，但每人參加的項目不限．

解

(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同選法，由分步乘法計數(shù)原理，

知共有選法36＝729(種)． (2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理，得共有報名方法6×5×4＝120(種)． (3)由于每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計數(shù)原理，得共有不同的報名方法63＝216(種)．

規(guī)律方法利用分步乘法計數(shù)原理解決問題：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．【訓(xùn)練2】(1)(2014·商洛一模)某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元．某人想從01至10中選3個連續(xù)的號，從11至20中選2個連續(xù)的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，則這人把這種特殊要求的號買全，至少要花 (

) A．3360元

B．6720元 C．4320元

D．8640元 (2)用0，1，2，3，4，5可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________個．

解析

(1)從01至10中選3個連續(xù)的號共有8種選法；從11至20中選2個連續(xù)的號共有9種選法；從21至30中選1個號有10種選法；從31至36中選一個號有6種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有8×9×10×6＝4320(種)選法，至少需花4320×2＝8640(元)． (2)可分三步給百、十、個位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字共5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個位數(shù)字有4種放法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，三位數(shù)個數(shù)為5×5×4＝100(個)．

答案

(1)D

(2)100考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】將一個四棱錐S－ABCD的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？

解法一設(shè)想染色按S－A－B－C－D的順序進行，對S，A，B染色，有5×4×3＝60(種)染色方法．

由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：C與A同色時(此時C對顏色的選取方法唯一)，D應(yīng)與A(C)，S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種可選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇．從而對C、D染色有1×3＋2×2＝7(種)染色方法．由乘法原理，總的染色方法有60×7＝420(種)．

規(guī)律方法

(1)注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步．在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理．(2)注意對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化．【訓(xùn)練3】如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為 (

) A．240B．204C．729D．920

解析若a2＝2，則“凸數(shù)”為120與121，共1×2＝2個．若a2＝3，則“凸數(shù)”有2×3＝6個．若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12個，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72個．∴所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．

答案

A[思想方法]1．應(yīng)用分類加法計數(shù)原理要注意以下三點： (1)明確題目中所指的“完成一件事”指的是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事．

(2)完成這件事的n類辦法是相互獨立的，無論哪種辦法都可以單獨完成這件事，而不需要再用到其他辦法． (3)確立恰當?shù)姆诸悩藴?，準確地對“這件事”進行分類，要求每一種方法必屬于某一類辦法，不同類的任意兩種方法是不同的方法，這是分類問題中所要求的“不重復(fù)”、“不遺漏”．2．使用分步乘法計數(shù)原理的關(guān)注點 (1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的． (2)將完成這件事劃分成幾個