PAGE1一元二次方程知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)知識(shí)點(diǎn)歸類考點(diǎn)一一元二次方程的定義如果一個(gè)方程通過(guò)移項(xiàng)可以使右邊為0，而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)：①方程是整式方程。②它只含有一個(gè)未知數(shù)。③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例下列關(guān)于的方程，哪些是一元二次方程？⑴；⑵；（3）；（4）；（5）考點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為（a，b，c是已知數(shù)，）。其中a，b，c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。注意：（1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。（2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)是一元二次方程。例1將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（1）；（2）；（3）例2已知關(guān)于的方程是一元二次方程時(shí)，則考點(diǎn)三解一元二次方程的方法使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)時(shí)，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。法一直接開平方法解一元二次方程若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。例用直接開平方法解下列一元二次方程（1）；（2）；（3）法二配方法解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，當(dāng)對(duì)方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。例用配方法解下列方程：（1）；（2）法三因式分解法如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0，即若pq=0時(shí)，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為0，得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）。法四公式法一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號(hào)）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。例用公式法解下列方程（1）；（2）；（3）技巧選擇適合的方法解一元二次方程直接開平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知數(shù)的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；公式法是由配方法推導(dǎo)而來(lái)的，要比配方法簡(jiǎn)單。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法，因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。例用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）；（2）；（3）考點(diǎn)四一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式△=運(yùn)用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：△=﹥0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△==0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△=﹤0方程沒有實(shí)數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把所有一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計(jì)算的值；④根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況。例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：（1）；（2）；（3）考點(diǎn)五根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0 （3）方程沒有實(shí)數(shù)根﹤0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件。例為何值時(shí)，方程的根滿足下列情況：（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒有實(shí)數(shù)根；考點(diǎn)六一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若是一元二次方程的兩個(gè)根，則有，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：（1）（2）（3）；（4）││==例已知方程的兩根為，不解方程，求下列各式的值。（1）；（2）?？键c(diǎn)七根據(jù)代數(shù)式的關(guān)系列一元二次方程利用一元二次方程解決有關(guān)代數(shù)式的問(wèn)題時(shí)，要善于用一元二次方程表示題中的數(shù)量關(guān)系（即列出方程），然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。例當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式與代數(shù)式的值相等？相關(guān)練習(xí)一元二次方程的概念1．一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)：（1）（2）（3）（4）（5）2．應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值(1)為何值時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程。（2）若分式，則3．由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，則(2)已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為1，一個(gè)根為，則，（3）已知c為實(shí)數(shù)，并且關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根的相反數(shù)是方程的一個(gè)根，求方程的根及c的值。（二）一元二次方程的解法1．開平方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）2．配方法解方程：（1）（）（2）（）（3）（）3．公式法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）4．因式分解法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）5．解法的靈活運(yùn)用（用適當(dāng)方法解下列方程）：（1）（2）（3）（4）（5）6．解含有字母系數(shù)的方程（解關(guān)于x的方程）：（1）（2）（3）（）（4）（三）一元二次方程的根的判別式1．不解方程判別方程根的情況：（1）4（2）(3)為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程（1）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（3）無(wú)實(shí)數(shù)根