11.4電學(xué)中的動(dòng)量和能量問(wèn)題

必備知識(shí)清單

1.應(yīng)用動(dòng)量定理可以由動(dòng)量變化來(lái)求解變力的沖量.如在導(dǎo)體棒做非勻變速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題

中，應(yīng)用動(dòng)量定理可以解決牛頓運(yùn)動(dòng)定律不易解答的問(wèn)題.

2.在相互平行的水平軌道間的雙導(dǎo)體棒做切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于這兩根導(dǎo)體棒所受的安

培力等大反向，若不受其他外力，兩導(dǎo)體棒的總動(dòng)量守恒，解決此類問(wèn)題往往要應(yīng)用動(dòng)量

守恒定律.

命題點(diǎn)精析(一)動(dòng)量定理和功能關(guān)系的應(yīng)用

典型例題

【例1】如圖為電磁驅(qū)動(dòng)與阻尼模型，在水平面上有兩根足夠長(zhǎng)的平行軌道P0和"M左端

接有阻值為R的定值電阻，其間有垂直軌道平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩軌道間

距及磁場(chǎng)寬度均為，質(zhì)量為m的金屬棒ab靜置于導(dǎo)軌上，當(dāng)磁場(chǎng)沿軌道向右運(yùn)動(dòng)的速度

為。時(shí)，棒成恰好滑動(dòng).棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程始終在磁場(chǎng)范圍內(nèi)，并與軌道垂直且接觸良好，軌道

和棒電阻均不計(jì)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.

(1)判斷棒ah剛要滑動(dòng)時(shí)棒中的感應(yīng)電流方向，并求此時(shí)棒所受的摩擦力居大??；

mR

(2)若磁場(chǎng)不動(dòng)，使棒“6以水平初速度2。開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間停止運(yùn)動(dòng)，棒始終

處在磁場(chǎng)內(nèi)，求棒M運(yùn)動(dòng)的位移大小X及回路中產(chǎn)生的焦耳熱0

【練1】如圖所示，兩光滑平行金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)左端連有阻值為R

的電阻，一金屬桿置于導(dǎo)軌上，金屬桿右側(cè)存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8、方向豎直向下的

有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。已知金屬桿質(zhì)量為，〃，電阻也為R,以速度為向右進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，做

減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域右邊界時(shí)速度恰好為零。金屬桿與導(dǎo)軌始終保持垂直且接觸良

好，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)。求：

(1)金屬桿運(yùn)動(dòng)全過(guò)程中，在電阻R上產(chǎn)生的熱量

(2)金屬桿運(yùn)動(dòng)全過(guò)程中，通過(guò)電阻7?的電荷量體

(3)磁場(chǎng)左右邊界間的距離小

【練2】如圖，水平面內(nèi)固定有兩根平行的光滑長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為3電阻不計(jì)。整

個(gè)裝置處于兩個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為8、方向相反的豎直勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，虛線為兩磁場(chǎng)的分

界線。質(zhì)量均為"?的兩根相同導(dǎo)體棒MN、PQ靜置于圖示的導(dǎo)軌上(兩棒始終與導(dǎo)軌垂直

且接觸良好)?，F(xiàn)使棒獲得一個(gè)大小為內(nèi)、方向水平向左的初速度，則在此后的整個(gè)運(yùn)

動(dòng)過(guò)程中()

o4Z7，/

MP

A.兩棒受到的安培力沖量大小相等，方向相反

vO

B.兩棒最終的速度大小均為了，方向相同

tnv

C.MN棒產(chǎn)生的焦耳熱為下

4

mvO

D.通過(guò)尸。棒某一橫截面的電荷量為初

命題點(diǎn)精析(二)動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系的應(yīng)用

1.問(wèn)題特點(diǎn)

對(duì)于雙導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，通常是兩棒與導(dǎo)軌構(gòu)成一個(gè)閉合回路，當(dāng)其中一棒在外力作用

下獲得一定速度時(shí)必然在磁場(chǎng)中切割磁感線，在該閉合回路中形成一定的感應(yīng)電流：另一

根導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中因受安培力的作用開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，一旦運(yùn)動(dòng)起來(lái)也將切割磁感線產(chǎn)生一定的

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，對(duì)原來(lái)電流的變化起阻礙作用.

2.方法技巧

解決此類問(wèn)題時(shí)通常將兩棒視為一個(gè)整體，于是相互作用的安培力是系統(tǒng)的內(nèi)力，這個(gè)變

力將不影響整體的動(dòng)量守恒.因此解題的突破口是巧妙選擇系統(tǒng)，運(yùn)用動(dòng)量守恒（動(dòng)量定

理）和功能關(guān)系求解.

【例2】如圖所示，MN、PQ兩平行光滑水平導(dǎo)軌分別與半徑r=0.5m的相同豎直半圓導(dǎo)軌在

N、。端平滑連接，M、尸端連接定值電阻質(zhì)量"=2kg的cd絕緣桿垂直靜止在水平導(dǎo)

軌上，在其右側(cè)至N、。端的區(qū)域內(nèi)充滿豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng).現(xiàn)有質(zhì)量〃?=1kg的油金

屬桿以初速度。o=12m/s水平向右與cd絕緣桿發(fā)生正碰后，進(jìn)入磁場(chǎng)并最終未滑出，cd

絕緣桿則恰好能通過(guò)半圓導(dǎo)軌最高點(diǎn)，不計(jì)其他電阻和摩擦，/金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且

接觸良好，取g=10m/s2,求：

（l）cd絕緣桿通過(guò)半圓導(dǎo)軌最高點(diǎn)時(shí)的速度大小

（2）電阻R產(chǎn)生的焦耳熱0.

【練3】（多選）如圖，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有兩根位于同一水平面內(nèi)的足夠長(zhǎng)的平行金

屬導(dǎo)軌，兩相同的光滑導(dǎo)體棒ab、cd靜止在導(dǎo)軌上。f=0時(shí)，棒以初速度引向右滑

動(dòng)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，cd始終與導(dǎo)軌垂直并接觸良好，兩者速度分別用。|、牝表示，回路

中的電流用/表示。下列圖像中可能正確的是（）

1

【練4】（多選）如圖所示，有相距Z■的光滑金屬導(dǎo)軌，其半徑為R的“圓弧部分豎直放置，平

直部分固定于水平地面上，MN0尸范圍內(nèi)有方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。

金屬棒而和cd垂直于導(dǎo)軌且接觸良好，/靜止在磁場(chǎng)中；成從圓弧導(dǎo)軌的頂端由靜止釋

放，進(jìn)入磁場(chǎng)后與cd沒(méi)有接觸，〃離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度是此刻油速度的一半，已知外的

質(zhì)量為加、電阻為r,〃的質(zhì)量為2"?、電阻為2八金屬導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g。

下列說(shuō)法正確的有（）

A.〃在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)電流的方向?yàn)閏-d

B.〃在磁場(chǎng)中做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)

m42gR

C.cd在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中流過(guò)的電荷量為

_5

D.從ab由靜止釋放至cd剛離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，cd上產(chǎn)生的焦耳熱為正加gR

命題點(diǎn)精析（三）電場(chǎng)或磁場(chǎng)中動(dòng)量和能量問(wèn)題

【例3】如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，I、II象限（含x、y軸）有磁感應(yīng)強(qiáng)度為叢=1T、

方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度為￡=10N/C、方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)：

HI、IV象限（不含x軸）有磁感應(yīng)強(qiáng)度為為=2T、方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，光滑;圓

弧軌道圓心為O,半徑為&=2m,圓弧底端位于坐標(biāo)軸原點(diǎn)O。質(zhì)量為皿=1kg、所帶

電荷量為%=+1C的小球/從。處水平向右飛出，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，正好運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)。

質(zhì)量為，"2=2kg、所帶電荷量?jī)H=+1.8C的小球N穿在光滑圓弧軌道上，從與圓心等高

處由靜止釋放，與M同時(shí)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)并發(fā)生完全非彈性碰撞，碰后生成小球尸(碰撞過(guò)程

無(wú)電荷損失)。小球A/、N、尸均可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)小球間的庫(kù)侖力，g取10m/s2,求：

(1)小球M在O,處的初速度；

(2)碰撞完成后瞬間，小球P的速度；

(3)分析P球在后續(xù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，第一次回到夕軸時(shí)的坐標(biāo)。

【練5】如圖1所示，兩平行長(zhǎng)直光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，間距

為L(zhǎng),左端連接一個(gè)電容為C的電容器，導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8、方向垂直導(dǎo)軌平面

向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。質(zhì)量為m的金屬棒垂直導(dǎo)軌放置，某時(shí)刻金屬棒獲得一個(gè)水平向右的

初速度vo,之后金屬棒運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖2所示。不考慮導(dǎo)軌的電阻。

⑴求金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度i/i：

(2)求金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)電容器的電荷量q；

⑶己知金屬棒從開(kāi)始到勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，產(chǎn)生的焦耳熱為Q,求電容器充電穩(wěn)定后儲(chǔ)存

的電能E。

【練6】如圖所示，質(zhì)量A/=3.0kg的小車(chē)靜止在光滑的水平地面上，部分是表面粗糙的

1

水平導(dǎo)軌，。。部分是光滑的：圓弧導(dǎo)軌，和。C部分平滑相連，整個(gè)導(dǎo)軌都是由絕緣

4

材料制成的，小車(chē)所在空間內(nèi)有豎直向上E=40N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于紙面水平向里B

=2.0T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。今有一質(zhì)量為加=1.0kg帶負(fù)電的滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))以為=8m/s的水

平速度向右沖上小車(chē)，當(dāng)它過(guò)。點(diǎn)時(shí)對(duì)地速度為歷=5m/s,對(duì)水平導(dǎo)軌的壓力為10.5N,

g取10m/s2<>求：

⑴滑塊的電荷量大小;

(2)滑塊從4到。過(guò)程中，小車(chē)、滑塊系統(tǒng)損失的機(jī)械能；

(3)若滑塊通過(guò)D時(shí)立即撤去磁場(chǎng)，求此后小車(chē)所能獲得的最大速度。

【例4】半徑為心的圓形邊界內(nèi)分布有垂直圓所在平面的磁場(chǎng)，垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度大

小為28,垂直紙面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,如圖3所示.為八分之一圓導(dǎo)線框，

其總電阻為R,以角速度。繞O軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從圖中所示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，用i表示

導(dǎo)線框中的感應(yīng)電流(順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，線框中感應(yīng)電流/隨時(shí)間/變化圖象可能是()

【練7】(多選)如圖甲所示，半徑為1m的帶缺口剛性金屬圓環(huán)導(dǎo)軌固定在水平面內(nèi)，在導(dǎo)軌

上垂直放置一質(zhì)量為0.1kg、電阻為1C的直導(dǎo)體棒，其長(zhǎng)度恰好等于金屬圓環(huán)的直徑，

導(dǎo)體棒初始位置與圓環(huán)直徑重合，且與導(dǎo)軌接觸良好.已知導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)

為0.3,不計(jì)金屬圓環(huán)的電阻，導(dǎo)體棒受到的最大靜摩擦力等于其滑動(dòng)摩擦力，取重力加速

度g=10m/s2.現(xiàn)若在圓環(huán)內(nèi)加一垂直于紙面向里的變化磁場(chǎng)，變化規(guī)律如圖乙所示，則

()

A.導(dǎo)體棒中的電流是從6到a

B.通過(guò)導(dǎo)體棒的電流大小為0.5A

C.0?2s內(nèi)，導(dǎo)體棒產(chǎn)生的熱量為0.125J

D.f=7TS時(shí)，導(dǎo)體棒受到的摩擦力大小為0.3N

【練8】如圖甲所示，間距為乙=0.5m的兩條平行金屬導(dǎo)軌，水平放置在豎直向下的勻強(qiáng)磁

場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度8=0.2T,軌道左側(cè)連接一定值電阻夫=1Q垂直導(dǎo)軌的導(dǎo)體棒

他在水平外力尸作用下沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，并始終與導(dǎo)軌接觸良好.f=0時(shí)刻，導(dǎo)體棒從靜止開(kāi)

始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，力F隨時(shí)間/變化的規(guī)律如圖乙所示.已知導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩

擦因數(shù)為〃=0.5,導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻均不計(jì).取g=10m/s2,求：

(1)導(dǎo)體棒的加速度大小;

(2)導(dǎo)體棒的質(zhì)量.

核心素養(yǎng)大提升

【例5】如圖所示，長(zhǎng)為小質(zhì)量為機(jī)的細(xì)金屬桿融，用長(zhǎng)為工的細(xì)線懸掛后，恰好與水平

光滑的平行金屬導(dǎo)軌接觸，平行金屬導(dǎo)軌間距也為d,導(dǎo)軌平面處于豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)

度為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。閉合開(kāi)關(guān)KB，細(xì)金屬桿岫向右擺起，懸線的最大偏角為重

力加速度為g,則閉合開(kāi)關(guān)的短時(shí)間內(nèi)通過(guò)細(xì)金屬桿刃的電荷量為()

m-----；-----------

A.一?(2gL(1—cos0)

BL

m_____________mi—

C.-J2gz(Leos6)D.—J2gLsin0

Bd、B<T

【練9】在真空中同時(shí)存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知電場(chǎng)強(qiáng)度為

E,豎直向下；磁感應(yīng)強(qiáng)度為5,垂直于紙面向里。如圖所示，一帶電液滴在垂直于磁場(chǎng)的

豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為/?,若液滴運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)4時(shí)分裂成兩個(gè)液滴1

和2,假設(shè)液滴電荷量和質(zhì)量都恰好均分，液滴1在原運(yùn)行方向上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑

變?yōu)?火，圓周最低點(diǎn)也是4則下列說(shuō)法正確的是（）

A.液滴一定是帶正電荷

BRg

B.液滴分裂前運(yùn)動(dòng)速率為—

E

C.液滴2也做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)

D.液滴2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也為3R

【練10】如圖所示，間距為￡=2m的兩平行光滑金屬導(dǎo)軌由傾斜部分和水平部分平滑連接而

成，水平導(dǎo)軌處于8=0.5T、方向垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，以磁場(chǎng)左邊界為坐標(biāo)原

點(diǎn)，磁場(chǎng)右邊界坐標(biāo)為片（數(shù)值未標(biāo)出），在坐標(biāo)x°=1.2m處垂直于水平導(dǎo)軌放置有一質(zhì)量

m=\kg,電阻為R=0.1C的導(dǎo)體棒燦?，F(xiàn)把質(zhì)量為M=2kg、電阻也為R=0.1C的導(dǎo)體

棒〃，垂直于導(dǎo)軌放置在傾斜軌道上，并讓其從高為〃=1.8m處由靜止釋放。若兩導(dǎo)體棒

在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)相碰，油棒出磁場(chǎng)右邊界前已達(dá)到穩(wěn)定速度，且兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中始終垂直于導(dǎo)軌并接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，忽略磁場(chǎng)的邊界效應(yīng)，g取10

m/s2?求:

(l)cd棒恰好進(jìn)入磁場(chǎng)左邊界時(shí)的速度大?。?/p>

(2)M棒離開(kāi)磁場(chǎng)右邊界前的穩(wěn)定速度的大??；

(3)cd棒從進(jìn)入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中，安培力對(duì)系統(tǒng)做的總功。

專不

屬定