專題03有理數(shù)章末重難點(diǎn)題型（16個(gè)題型）

W專堂導(dǎo)航

一、經(jīng)典基礎(chǔ)題

題型1正負(fù)數(shù)意義及應(yīng)用

題型2有理數(shù)的相關(guān)概念

題型3數(shù)集問題

題型4利用數(shù)軸求兩點(diǎn)間距離

題型5有理數(shù)的大小比較

題型6相反數(shù)的性質(zhì)與求法

題型7由絕對(duì)值求數(shù)

題型8絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用

題型9有理數(shù)加減法乘除再認(rèn)識(shí)

題型10有理數(shù)加、減法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

題型U有理數(shù)的乘除法在實(shí)際問題中的應(yīng)用

題型12新定義運(yùn)算

題型13有理數(shù)的簡算

題型14乘方的應(yīng)用

題型15新定義運(yùn)算（乘方）

題型16科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)

二、優(yōu)選提升題

題型1正負(fù)數(shù)意義及應(yīng)用

【解題技巧】解決此類問題關(guān)鍵是明確正負(fù)數(shù)在題目中的實(shí)際意義從而進(jìn)一步求解.

例1.（2022?灤州市期末）如圖所示的是某用戶微信支付情況，-IOo表示的意思是（）

零錢明細(xì)

微信紅包-100.00

2月1日14:39余額669.27

微信轉(zhuǎn)賬+100.00

2月1日14:34余額769.27

微信紅包+0.58

1月31日11:19余額669.27

A.發(fā)出IOO元紅包B.收入100元

C.余額100元D.搶到100元紅包

【分析】根據(jù)相反意義的量可以用正負(fù)數(shù)來表示，正數(shù)表示收到，則負(fù)數(shù)表示發(fā)出，據(jù)此解

答即可.

【解答】解：由題意可知，-I(X)表示的意思是發(fā)出100元紅包.故選：Λ.

【點(diǎn)評(píng)】考查用負(fù)數(shù)表示相反意義的量，理解正負(fù)數(shù)的意義是解決問題的前提.

變式L(2022?禁江區(qū)期末)秦江區(qū)永輝超市出售的三種品牌大米袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為

(10+0.2)kg,(10±0.3)kg,(10±0.25)總的字樣，從超市中任意拿出兩袋大米,它們的質(zhì)

量最多相差()

A.0.4&gB.0.5依C.0.55kgD.0.6kg

【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，分別求出每種品牌的大米袋質(zhì)量最多相差多少，再比較即可.

【解答】解：根據(jù)題意可得：它們的質(zhì)量相差最多的是標(biāo)有(10±0?3)依的；

其質(zhì)量最多相差(10+0.3)-(10-0.3)=0.6(kg).故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】利用正負(fù)數(shù)的意義，判別(I0±0.2)kg,(10±0.3)kg,(10±0.25)總的意義是關(guān)鍵.

變式2.(2022?福建三明市?七年級(jí)期末)小明練習(xí)跳繩，以1分鐘跳165個(gè)為目標(biāo)，并把5

次1分鐘跳繩的數(shù)量記錄如下(超過165個(gè)的部分記為“+”，少于165個(gè)的部分記為“一”)：

—11,-6,一2,+4,+10

(1)小明在這5次跳繩練習(xí)中，1分鐘最多跳多少個(gè)？

(2)小明在這5次跳繩練習(xí)中，1分鐘跳繩個(gè)數(shù)最多的一次比最少的一次多幾個(gè)？

(3)小明在這5次跳繩練習(xí)中，累計(jì)跳繩多少個(gè)？

【答案】(1)175個(gè)；(2)21個(gè)；(3)820個(gè).

【分析】(I)用165加上超過的最大的數(shù)字+10,即可解題；

(2)用超過的最大數(shù)字+10,減去少于-165最多的數(shù)字-11即可；

(3)先用165x5,再將超過和不足165的所有數(shù)字相加計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)165+10=175(個(gè))

答：1分鐘最多跳175個(gè).

(2)10-(-11)=21(個(gè))

答：1分鐘跳繩個(gè)數(shù)最多的一次比最少的一次多21個(gè).

（3）165×5-ll-6-2+4+10=825-5=820（個(gè)）

答：累計(jì)跳繩820個(gè).

【點(diǎn)睛】本題考查正、負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及有理數(shù)的加減法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較

易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

題型2有理數(shù)的相關(guān)概念

【解題技巧】解決此類問題需理解并熟記有理數(shù)相關(guān)概念，如①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù);

②正有理數(shù)、。和負(fù)有理數(shù)亦可稱為有理數(shù)；③只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)；④

在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，離開原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)；⑤數(shù)軸上

表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值；⑥一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的

絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

例1.（2022?東至縣期末）下列說法中：

①。是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱

為有理數(shù)；

23

④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；⑤-今不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；⑥y是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不是

有理數(shù)；

⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù).

其中錯(cuò)誤的說法的個(gè)數(shù)為（）

A.7個(gè)B.6個(gè)C.5個(gè)D.4個(gè)

（（正整數(shù)

整叫O

【分析】有理數(shù)的分類：有理數(shù)J1負(fù)整數(shù),依此即可作出判斷.

分?jǐn)?shù)〈正分""數(shù)

I\負(fù)分?jǐn)?shù)

【解答】解：①?zèng)]有最小的整數(shù)，故錯(cuò)誤；②有理數(shù)包括正數(shù)、0和負(fù)數(shù)，故錯(cuò)誤；

③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、0、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故錯(cuò)誤；④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0,

故錯(cuò)誤；

⑤-5是無理數(shù)，故錯(cuò)誤；⑥y是無限循環(huán)小數(shù)，所以是有理數(shù)，故錯(cuò)誤；

⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)是正確的;⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)是正確的.

故其中錯(cuò)誤的說法的個(gè)數(shù)為6個(gè).故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的分類，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理

數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意。是整數(shù)，但不是正

數(shù).

變式L（2022?日照七年級(jí)期末）下列說法正確的是（）

①任何一個(gè)有理數(shù)的平方都是正數(shù)②任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)

③如果一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是1

④如果一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0.

A.①④B.②③C.③④D.②④

【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義和特點(diǎn)，絕對(duì)值、相反數(shù)的定義及性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行--分析,

排除錯(cuò)誤答案.

【答案】解：①任何一個(gè)有理數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤；

②任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，正確：

③如果一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是I或-1,錯(cuò)誤

④如果一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0,正確；故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)問題，牢固掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、自然數(shù)、整數(shù)、倒數(shù)、正有理數(shù)、負(fù)

有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn).注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù).

題型3數(shù)集問題

性質(zhì)：有理數(shù)的分類。注：數(shù)集關(guān)系中有包含關(guān)系時(shí)，數(shù)的分類不可重復(fù)

解題技巧：此類題型是有理數(shù)分類題型的拓展，一般用框圖表示數(shù)據(jù)分類的集合關(guān)系，多會(huì)

出現(xiàn)有重合甚至包含邏輯的框圖。此時(shí)，先填寫有重合和被包含部分的框圖，再填寫單一框

圖部分的數(shù)據(jù)。

例1.（2022.廣西南寧市.七年級(jí)期中）將下列各數(shù)填入適當(dāng)?shù)睦ㄌ?hào)內(nèi)：

223

—9,-----,—0.314,2020>0>—3—,一TC,66.

78

（1）整數(shù)集合｛...｝；（2）負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛...｝；（3）非負(fù)整數(shù)集合｛

3

【答案】（1）-9.2020,0,66；（2）-0.314,-3-：（3）2020,0,66.

8

【分析】根據(jù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、非負(fù)整數(shù)的意義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：（1）整數(shù)有：-9，2020,0,66,故答案為：-9,2020,0,66；

.33

（2）負(fù)分?jǐn)?shù)有：-0.314,-3∣,故答案為：—0.314,-3/

OO

（3）非負(fù)整數(shù)有：2020,0,66,故答案為：2020,0,66.

【點(diǎn)睛】本題考查整數(shù)集合，負(fù)分?jǐn)?shù)集合，非負(fù)整數(shù)集合，掌握有理數(shù)的分類是解題關(guān)鍵.

兀

變式1.（2021?江蘇鎮(zhèn)江市?七年級(jí)期末）下列各數(shù)：-1,一,1.01001...（每兩個(gè)1之間依

2

22

次多一個(gè)0）,0,—,3.14,其中有理數(shù)有個(gè).

【答案】4.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義逐一判斷即可.

22

【詳解】解：在所列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)有-1、0、一、3.14,故答案為：4.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)，掌握有理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?江陰市七年級(jí)期中）把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)圍起來，中間用逗號(hào)斷開，如：｛1,

2,-3）,我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素.如果一個(gè)集合滿足：當(dāng)有理數(shù)“

是集合的元素時(shí)，有理數(shù)-a+10也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們稱為和諧的集

合.例如集合｛10,0｝就是一個(gè)和諧集合.

（1）請(qǐng)你判斷集合｛1,2｝,｛-2,1,5,9,12｝是不是和諧集合？

（2）請(qǐng)你再寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）.

（3）寫出所有和諧的集合中，元素個(gè)數(shù)最少的集合.

【分析】（1）根據(jù)和諧集合的定義，只要判斷兩數(shù)相加是否等于10即可.

（2）根據(jù)和諧集合的定義，即可寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）.

（3）根據(jù)和諧集合的定義，確定元素個(gè)數(shù)最少的集合.

【解答】解：（1）若α=l,則-“+10=9不在集合｛1,2｝內(nèi)，.?.｛1,2｝不是和諧集合.

V-2+12=10,1+9=10,5+5=10,：.[-2,1,5,9,12｝是和諧集合.

（2）根據(jù)和諧集合的定義可知。+10-4=10,只要集合中兩個(gè)數(shù)之和為10即可，?.?l+9=

2+8=3+7=4+6,

Λ｛2,5,8｝和｛1,9,2,8,3,7｝是和諧集合.

（3）V5+5=10,

要使素個(gè)數(shù)最少，則集合｛5｝,滿足條件.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義，利用和諧集合的定義，只要確定集合元素之和等于10即可.

題型4利用數(shù)軸求兩點(diǎn)間距離

注：距離沒有方向性，所以到某點(diǎn)的距離為。的點(diǎn)一般有兩個(gè)

解題技巧：根據(jù)題干要求，先找出參考點(diǎn)位置；某點(diǎn)到參考點(diǎn)的距離為意味著這個(gè)點(diǎn)可

以在參考點(diǎn)左邊距離為α的位置，也可在參考點(diǎn)右邊距離為。的位置。因此，此類題型一般

有多解情況，請(qǐng)注意。最后根據(jù)畫出的數(shù)軸，讀出兩點(diǎn)之間的距離。

例1.（2022?河南?七年級(jí)期末）如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是Icm）,

刻度尺上表示“0cm”、“8c*”的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的-2和X,那么X的值為.

-2

∣lHiiIVII

012345678

【答案】6

【分析】根據(jù)直尺的長度知X為-2右邊8個(gè)單位的點(diǎn)所表示的數(shù)，據(jù)此可得.

【詳解】解：由題意知，X的值為-2+（8-0）=6,故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是確定X與表示-2的點(diǎn)之間的距離.

變式1.（2021.綿陽市七年級(jí)期中）己知點(diǎn)。，A,B,C,￡＞在數(shù)軸上的位置如圖所示，。

為原點(diǎn)，OA=OC,AB=CD=2,點(diǎn)8所對(duì)應(yīng)的數(shù)為加，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

ABOCD

-------------??---------------------------------*

m----------0

A.點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為加-2B.點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為2-加

C.點(diǎn)。所對(duì)應(yīng)的數(shù)為4一機(jī)D.點(diǎn)A與點(diǎn)。間的距離為6+2加

【答案】D

【分析】根據(jù)AB=CD=2,點(diǎn)8所對(duì)應(yīng)的數(shù)為m先得到點(diǎn)A所表示的數(shù)，進(jìn)而求出B,

C,D表示的數(shù)，進(jìn)而即可判斷.

【詳解】：AB=CD=2，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為"?，二點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為加一2,

A=OC,???點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為2-機(jī)，

，點(diǎn)。所對(duì)應(yīng)的數(shù)為4一加，點(diǎn)A與點(diǎn)。間的距離為6-2加，.??D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公

式，是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?廣東廣州市?七年級(jí)期末）如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為-2

和6

（1）求線段AB的長；（2）己知點(diǎn)P為數(shù)軸上點(diǎn)A左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M為PA的中點(diǎn)，

N為PB的中點(diǎn).請(qǐng)你畫出圖形，并探究MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出線段MN

的長；若改變，請(qǐng)說明理由.

---------------------1-------------------1----------------------------------------------------------1-------

AOBX

【答案】（1）8；（2）見解析：MN的長度不會(huì)發(fā)生改變，線段MN=4.

【分析】（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于較大數(shù)與較小數(shù)的差；

（2）根據(jù)中點(diǎn)的意義，利用線段的和差可得出答案.

【詳解】解：（I）AB=I-2-6∣=8,答：AB的長為8；

（2）MN的長度不會(huì)發(fā)生改變，線段MN=4,理由如下：

PMΛ0iX

如圖，因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，

…11

所以MA=MP=—PA,NP=NB=-PB,

22

所以MN=NP-MP=LPB--P?=—（PB-PA）=?AB=?×8=4.

22222

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上線段中點(diǎn)的意義，熟練掌握兩點(diǎn)間距離

計(jì)算方法，靈活運(yùn)用中點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵.

題型5有理數(shù)的大小比較

解題技巧：(1)正數(shù)與正數(shù)比較，易于比較；(2)正數(shù)與負(fù)數(shù)比較，正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；(3)

負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而??；(4)如果要比較的數(shù)比較多，建議在數(shù)軸上將每個(gè)數(shù)

表示出來，在數(shù)軸上，從左至右，數(shù)值一次增大。當(dāng)有字母時(shí)，且暫時(shí)無法理清大小關(guān)系，

可以用特值法進(jìn)行比較。

例1.(2022?湖南益陽.七年級(jí)期末)比較下列各數(shù)的大小，并用“<”號(hào)連接起來：

-2.5,?,31-∣-3∣>-(-2),0.

【答案】-3<-2,5<0<∣<-(-2)<3

【分析】先把每個(gè)數(shù)進(jìn)行化簡，再根據(jù)有理數(shù)的大小排列起來即可.

【詳解】解：-∣-3∣=-3,-(-2)=2,

V-3<-2,5<0<^<2<3,

.?.-∣-3∣<-2.5<0<∣<-(-2)<3.

【點(diǎn)睛】本題考查比較數(shù)的大小，準(zhǔn)確的把每個(gè)數(shù)進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?云南昆明?七年級(jí)期末)按要求解答

(1)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：

221

—,0,一，-0.101001000100001(每兩個(gè)1之間逐次增加1個(gè)0),",-1.26,-(+5),

74

+∣-2∣,0.18

正有理數(shù)集合：｛_________________________________

負(fù)數(shù)集合：｛...｝；

整數(shù)集合：｛...｝.

(2)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示下面5個(gè)原數(shù)，然后比較這5個(gè)原數(shù)的大小，用“<”號(hào)連接.

-(-2),|-3|,0>—4

29I

【答案】⑴萬，+|-2|,0.81-0.101001000100001?，-1,26,-(+5).：0,-(+5),

÷H∣...

(2)-4<-∣<0<-(-2)<∣-3∣

【分析】(I)根據(jù)正有理數(shù)，負(fù)數(shù)，整數(shù)的定義即可判斷：

(2)先準(zhǔn)確畫出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上找到各數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即可.

（I）正有理數(shù)集合：｛7，+∣-2∣,0.81｝

負(fù)數(shù)集合：｛」，-0.101001000100001,-1.26,-（+?））

4

整數(shù)集合：｛0,—（+5）,+∣-2∣...｝

（2）在數(shù)軸上表示如圖所示：

5

-4-20（-2）∣-3∣

?-3?々-彳8彳夕廣

:Y<一?∣<0<-（-2）<∣-3∣

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，相反數(shù)，絕對(duì)值，數(shù)軸，準(zhǔn)確地在數(shù)軸上找到各數(shù)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型6相反數(shù)的性質(zhì)與求法

性質(zhì)：”.除0外，一組相反數(shù)一定是一正一負(fù)。

尻一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面加一個(gè)負(fù)號(hào)（負(fù)號(hào)的意義就是表示相反量）。

c.一組相反數(shù)的和為0。

解題技巧：（1）此類題型多為利用相反數(shù)的性質(zhì)求解含字母數(shù)的相反數(shù)。利用性質(zhì)b,直接

在這個(gè)數(shù)前面添加號(hào)，在利用多重符號(hào)化簡的方法化簡即可。（2）已知兩個(gè)含有字母的

數(shù)為相反數(shù)，利用性質(zhì)c,將兩個(gè)數(shù)相加和為0,表示成方程的形式，直接解方程即可。

例1.（2022?江蘇鹽城?七年級(jí)期末）2022的相反數(shù)是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

【詳解】解：2022的相反數(shù)是-2022.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?廣東湛江?七年級(jí)期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

431I

A.-和一B.-和-0.333C.α和-αD.-和4

3434

【答案】C

【分析】根據(jù)相反數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)）的定義求解即可.

【詳解】解：根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得：

只有選項(xiàng)C的兩個(gè)數(shù)符合題意，故選：C.

【點(diǎn)睛】題目主?？疾橄喾磾?shù)的定義，深刻理解相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

變式2.（2022廣東惠州市七年級(jí)月考）若。與方互為相反數(shù)，則。+力+2019=

【答案】2019

【分析】。與b互為相反數(shù)，則相加為0,代入代數(shù)式計(jì)算.

【詳解】與｝互為相反數(shù)，??.α+b=0,.??t∕+?+2019=2019.

【點(diǎn)睛】相反數(shù)的性質(zhì)是本題的突破口，牢記互為相反數(shù)和為0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多重負(fù)號(hào)的化簡，靈活運(yùn)用相反數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵.

題型7由絕對(duì)值求數(shù)

a,a>0

1）由數(shù)求絕對(duì)值：時(shí)一定為非負(fù)數(shù)，即∣4=?0,a=0

-a,a<0

2）由絕對(duì)值求數(shù)

α絕對(duì)值為0的數(shù)僅有1個(gè)，即0;絕對(duì)值為正數(shù)的數(shù)有2個(gè)，其互為相反數(shù)；絕對(duì)值為負(fù)

的數(shù)不存在。

/7.絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)，可能相等，也可能互為相反數(shù)。（建議用數(shù)軸區(qū)分，可能會(huì)有多解）

例1.（2022.遼寧朝陽?七年級(jí)期末）如果|x-1|=2,那么X的值是

【答案】3或—1##-1或3

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義求解即可.

【詳解】解：?.?∣x-l∣=2,.?.X-I=i2,

.?.x=2+l=3或x=-2+l=T.故答案為：3或-1.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的意義，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

變式2.（2022?廣東潮州?七年級(jí)期末）如果∣χ-2I=1,那么X=

【答案】I或3##3或I

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，即可求解.

【詳解】解：?.?IX—2I=1,.?.χ-2=±l,.?.x=l或3,故答案是：1或3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值方程，掌握絕對(duì)值的意義，是解題的關(guān)鍵.

題型8絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用

性質(zhì)：H>0,即非負(fù)性，注：。為任意實(shí)數(shù)

解題技巧：根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，

即若Ial+?b?=0,則IaI=O且Ibl=0.

例L（2022?河北唐山?七年級(jí)期末）已知∣α+3∣+9一2）2=0,則（〃+3戶9的值為（）

A.2019B.-2019C.D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于α,b的方程，然后求出“,人的值，最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算

即可.

【詳解】解：?.1α+3∣+e-2)2=0

.*.6Z+3=O,0-2=0,，=-3,h=2,

，(4+6)9=(-3+2嚴(yán)9=T.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.正確掌握

非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?北京房山?七年級(jí)期中)若(α+l)2+∣0-b+4∣=0,則“="=

【答案】->3

【分析】根據(jù)偶次方和絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可.

【詳解】解：*.*(?+1)2+∣a-?+4∣=0,.*.0+1=0,a-?+4=0,

解得a=-l,b=3,故答案為：-1,3.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，①非負(fù)數(shù)有最小值是零；②有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍然是非

負(fù)數(shù)；③有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零.

變式2.(2022?陜西寶雞七年級(jí)期末)已知∣α-3∣與(HI):互為相反數(shù)，貝IJ-2α+∕√g的值為

【答案】-5

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于“，〃的方程，然后求出〃的值，最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算

即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得"3=0，b+l=0,.?.a=3,b=T,

.?.-2〃+〃儂=-2χ3+(-l)2022=_5.故答案為：-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0?正確掌握

非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型9有理數(shù)加減法乘除再認(rèn)識(shí)

解題技巧：該類題型的實(shí)質(zhì)是有理數(shù)加減乘除法的計(jì)算，通過理解題干條件，利用有理數(shù)加

減乘除法運(yùn)算規(guī)律逐一判別即可。

例1.(2022?吉林白城市?七年級(jí)期末)已知數(shù)力在數(shù)軸上表示的點(diǎn)的位置如圖所示，則下

列結(jié)論正確的是()

-2Q-b

A.a+b>OB.a-b>QC.?+l<0D.a?b<O

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)軸得出“<0<6,∣α∣>∣?∣,再根據(jù)有理數(shù)的加法、減法、乘法法則進(jìn)行判斷

即可.

【詳解】解：從數(shù)軸可知：a<O<b,∣w∣>∣?∣,A、a+b<O,故此選項(xiàng)不符合；

B、a-b<O,故此選項(xiàng)不符合；C、不能確定6+1與O的大小關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合；

D、ab<O>故此選項(xiàng)符合；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加法、減法、乘法法則的應(yīng)用，主

要考查學(xué)生對(duì)法則的理解能力，難度不是很大.

變式I.（2022?廣東省初一月考）如果小匕是有理數(shù)，則下列各式子成立的是（）

A.如果a<0、b<0,那么a+/?>0B.如果a<0、b>0,那么a+b>O

C.若a>0、b<0,則a+8<0D.若a<0、b>0,且同>網(wǎng)，則a+匕<0

【答案】D

【分析】利用有理數(shù)的加法法則判斷即可得到結(jié)果.

【解析】A、如果。<0、。<0,那么。+匕<0,故A錯(cuò)誤；

B、如果a<0/>（）,那么不能判斷級(jí)+/>的符號(hào)，故B錯(cuò)誤；

C、若。>0、〃<0,不能判斷a+b的符號(hào)，故C錯(cuò)誤；

D、若aV0,b>0,且∣a∣>∣b∣,那么a+b<O,正確；故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?浙江杭州市?七年級(jí)期末）在數(shù)軸上，四個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,力分別表示有

理數(shù)4,b,c,d,且α+b=c+d,則這四個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的大致位置表示不正確的是（）

―?■?.??

A.ACDBB.CABD

■???.▲—4

C."

BDACD.DBAC

【答案】C

【分析】從選項(xiàng)數(shù)軸上找出〃、b、c、d的關(guān)系，再根據(jù)“+b=c+d,逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：；數(shù)軸上4、B、C、。四點(diǎn)所代表的數(shù)分別是。、b、c、d,且α+）=c+d,

A、a<c<d<b,可以滿足“+方=c+d,故不符合；B、c<a<h<d,可以滿足α+h=c+d,故不

符合；

C>b<d<a<c,滿足α+b<c+d,故符合；。、d<b<a<c,可以滿足“+6=c+d,故不符合；

故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸，有理數(shù)的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上的位置得到。、

b、c、d的關(guān)系.

題型10有理數(shù)加、減法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

解題技巧：與利用正負(fù)數(shù)求平均數(shù)方法類似。（1）選擇合適的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，超過標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的記為正

數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)；（2）對(duì)處理后的正負(fù)數(shù)進(jìn)行加法運(yùn)算；（3）最后還需要將處理后的正

負(fù)數(shù)還原為實(shí)際數(shù)。

（4）根據(jù)題意列出算式；（5）進(jìn)行有理數(shù)加減法運(yùn)算，可利用運(yùn)算律進(jìn)行簡算；（6）比較

結(jié)果，得出結(jié)論。

例1.（2021.浙江杭州市.七年級(jí)期末）如圖是一個(gè)二階幻圓模型，現(xiàn)將-1,2,-3,4,-5,6,

-7,8分別填入圓圈內(nèi)，使橫、縱向以及內(nèi)外圓圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，則G+6的值是

【答案】7或-6

【分析】由八個(gè)數(shù)的和為4及橫、縱向以及內(nèi)外圓圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等可得，兩個(gè)圈

的和為2,橫、豎的和也是2,從而可設(shè)出兩空白圈的數(shù)，列等式求解即可

【詳解】解：設(shè)小圈上的數(shù)為c,大圈上的數(shù)為d

-I+2-3+4-5+6-7+8=4且橫、縱向以及內(nèi)外圓圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等

兩個(gè)圈的和為2；橫、豎的和也為2.?.-7+4+b+6=2,2+4+c+b=2,a+c+2+d=2

b=-1，c=-3,a+d=3

當(dāng)a=8時(shí)，d=-5,則α+b=8-1=7

當(dāng)a=-5時(shí)，d=8,則α+A=-5—1=-6故答案為：7或-6

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法，解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)八個(gè)數(shù)的和與橫、縱向以及內(nèi)外

圓圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等得到：兩個(gè)圈的和為2；橫、豎的和也為2

變式1.（2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?七年級(jí)期末）10袋小麥稱重后記錄如圖所示（單位：千

克）.10袋小麥一共多少千克？如果每袋小麥以90千克為標(biāo)準(zhǔn)，10袋小麥總計(jì)超過多少千

克或不足多少千克？

91M9191.5H8991.2

HHi

91.38S.7S8.891.891.1

【答案】10袋小麥一共905.4千克；10袋小麥總計(jì)超過5.4千克.

【分析】先求出10袋小麥90千克的增減量，然后相加即可得解.

【詳解】解：91+91+91.5+89+91.5+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4(千克)

以90千克為標(biāo)準(zhǔn)，10袋小麥的記錄如下：

+1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1.3、-1.3、-1.2、+1.8、+1.1,

(+1)÷(÷1)+(÷1.5)+(-1)÷(+1.2)+(+1.3)+(-1.3)+(-1.2)+(+1.8)+(÷1.1)

=(+1)+(-1)+(+1.2)+(-1.2)+(+1.3)+(-1.3)+(+1)+(+1.5)+(+1.8)+(+1.1)

=5.4千克.

答：10袋小麥一共905.4千克；10袋小麥總計(jì)超過5.4千克.

【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，讀懂題目信息，寫出90千克的增減量是解題的關(guān)鍵.

題型11.有理數(shù)的乘除法在實(shí)際問題中的應(yīng)用

解題技巧：(1)根據(jù)題意列出算式；(2)進(jìn)行有理數(shù)乘除法運(yùn)算，可利用運(yùn)算律進(jìn)行簡算:

(3)比較結(jié)果，得出結(jié)論。對(duì)原本無數(shù)量關(guān)系的問題巧妙的賦某些特定值，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)

量問題，然后通過對(duì)整數(shù)的正負(fù)號(hào)進(jìn)行討論，使問題得到解決。用賦值法解決此類問題時(shí)，

關(guān)鍵是對(duì)操作過程中的某一個(gè)量進(jìn)行賦值(通常為±1),通過對(duì)操作過程的量化，討論理數(shù)

正負(fù)號(hào)變化規(guī)律，最終求解出具體問題。

例1.(2022?四川成都?七年級(jí)期末)元旦節(jié)期間，某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行這樣的優(yōu)惠政策：若一

次購物不超過200元，則不予折扣；若一次購物超過200元不超過500元，則按標(biāo)價(jià)給予八

折優(yōu)惠：若一次購物超過500元，其中500元按上述八折優(yōu)惠外，超過500元的部分給予七

折優(yōu)惠.小明的媽媽兩次購物分別付款192元和384元，如果她合起來一次性購買同樣多的

商品，那么她可以節(jié)約元.

【答案】55.6或22##22或55.6

【分析】根據(jù)題意分類討論，分別求得兩次購物標(biāo)價(jià)，進(jìn)而根據(jù)優(yōu)惠方案求解即可.

【詳解】解：付款192的商品如果按規(guī)定：每一次購物不超過200元，則不予折扣付款，則

商品的標(biāo)價(jià)為192元；付款192的商品如果按規(guī)定：若一次購物超過200元，不超過500

元，按標(biāo)價(jià)給予八折優(yōu)惠付款，則標(biāo)價(jià)為192÷0.8=240元；

由500x0.8=400,所以付款384的商品沒有超過500元，則按規(guī)定：若一次購物超過200元，

不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予八折優(yōu)惠付款，則商品的標(biāo)價(jià)為384÷0.8=480元，

所以某人兩次購物分別付款192元和384元的商品的總標(biāo)價(jià)為192+480=672(元)或

240+480=720(元)，

當(dāng)他合起來一次購買同樣的商品時(shí)，可按規(guī)定：若?次購物超過500元，其中500元按上述

八折優(yōu)惠之外，超過500元部分給予七折優(yōu)惠進(jìn)行付款.

總標(biāo)價(jià)為672元應(yīng)實(shí)際付款數(shù)=500x0.8+(672-500)×0.7=520.4(元)，

則他可節(jié)約(192+384)-520.4=55.6(元)；

總標(biāo)價(jià)為720元應(yīng)實(shí)際付款數(shù)=500x0.8+(720-500)×0.7=554(元)，

則他可節(jié)約（192+384）-554=22（元）.

故答案為：55.6或22.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，分別求得兩次購物標(biāo)價(jià)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?浙江臺(tái)州市?中考真題）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋

上標(biāo)有“15滴/毫升”.輸液開始時(shí)，藥液流速為75滴/分鐘.小華感覺身體不適，輸液10分

鐘時(shí)調(diào)整了藥液流速，輸液20分鐘時(shí)，瓶中的藥液余量為160毫升.

（1）求輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量；（2）求小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間.

【答案】（1）輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量為200毫升；（2）小華從輸液開始到結(jié)束所需

的時(shí)間為60分鐘.

【分析】（1）先求出每分鐘輸液多少毫升，進(jìn)而即可求解；

（2）先求出輸液10分鐘時(shí)調(diào)整后的藥液流速，進(jìn)而即可求解.

【詳解】ɑ）解：75÷I5=5（毫升/分鐘），

250-5×10=200（毫升），

答：輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量為200毫升；

（2）（200-160）÷10=4（毫升/分鐘），

160÷4+20=60（分鐘），

答：小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間為60分鐘.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，明確時(shí)間，流速，輸液量三者之間的數(shù)量關(guān)

系，是解題的關(guān)鍵.

題型12新定義運(yùn)算

解題技巧：該類題型會(huì)定義一種我們未學(xué)習(xí)過的運(yùn)算規(guī)則，我們只需要照定義的運(yùn)算規(guī)則,

將題干寫成有理數(shù)之間的運(yùn)算即可。然后在直接按照有理數(shù)的運(yùn)算法則求解最終答案。

例1.（2021.湖南永州市.七年級(jí)期末）若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào),并且1!=1,2!=2x1,

3!=3×2×1,4!=4×3×2×1....則士22021的'值等于（）

2020!

A.2021B.2020C.2021!D.2020!

【答案】A

【分析】根據(jù)題意列出有理數(shù)混合運(yùn)算的式子，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解：.?1!=1,2!=2×1,3!=3×2×1,4!=4×3×2×1,

2021!2021×2020×2019×...×l……，

----------=-------------------------------=2021故選A.

2020!2020×2019×...×l

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2021?湖南張家界市?七年級(jí)期末)規(guī)定一種新運(yùn)算“※”，兩數(shù)”,b通過“※”運(yùn)算得

伍-2)x2+。即“※b=("-2)x2+b,例如：3X5=(3-2)x2+5=2+5=7.

根據(jù)上面規(guī)定解答下題：(1)求6※(-4)的值；(2)6※(一4)與(一4你6的值相等嗎？請(qǐng)說

明理由.

【答案】(1)4；(2)不相等，理由見解析

【分析】(1)原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；(2)分別求出各自的值，比較即可.

【詳解】解:(1)6※(-4)=(6—2)x2+(-4)=8—4=4.

(2)不相等.

理由：Y6※(-4)=4,

(-4)X6=(-4-2)x2+6=-6,

.?.6※(一4)與(一4)X6的值不相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是理解所給運(yùn)算的意義,注意運(yùn)算順序.

題型13有理數(shù)的簡算

解題技巧：(1)有理數(shù)的簡便運(yùn)算一般運(yùn)用加法(乘法)的運(yùn)算律或減法(除法)的性質(zhì)，

達(dá)到簡便運(yùn)算的目的。(2)利用乘方的運(yùn)算性質(zhì)Mb，：=(ab)",將可以湊整的部分先放

在一起簡化運(yùn)算，再求湊整后部分的乘方運(yùn)算。

例1.(2022?廣東中山市?七年級(jí)期中)運(yùn)用簡便方法計(jì)算。

435124

(1)0.7×l-+2-×(-15)+0.7×-+-×(-15)(2)-19—×(-5)

4

【答案】(1)-43.6：(2)99-.

【分析】(1)先利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律，再利用有理數(shù)乘法的分配律，然后計(jì)算

24

有理數(shù)的乘法與減法即可得；(2)先利用有理數(shù)乘法法則去掉負(fù)號(hào)，再將19石改寫成

20--L,然后利用有理數(shù)乘法的分配律進(jìn)行計(jì)算即可得.

25

【詳解】(1)原式=[o.7xl§+O.7Xg卜卜15)+1X(—15),

(31、

+2上+,×(-15),

44jv7

=0.7×2+3×(-15),

=1.4—45，

=-43.6；

24

(2)原式=19—χ5,

=20×5---×5，

25

=100」，

5

4

=99-.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律、有理數(shù)乘法的分配律等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌

握各運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.

變式1.(2022?大慶市初一開學(xué)考試)計(jì)算(橙)2022χ0.62022的結(jié)果是()

【答案】C

55353

【解析】(一)2022χ0.62O22=(N)2O22χ(-)2O22=(±.×_)2022=]故選：C

33535

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是有理數(shù)的乘方，逆用積的乘方法則是解題的關(guān)鍵.

變式2.(2022.鄭州市中原區(qū)第一中學(xué)七年級(jí)月考)閱讀下面文字：

5231

MT(-5-)+(-9-)+17-+(-3—)

6342

可以如下計(jì)算：

5231

原式=K-5)+(--)]+[(-9)+(--)]+(17+-)+[(-3)+(--)]

6342

5231

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(--)+(--)+-+(--)]

6342

1

=0+(-1-)

4

1

=-1-

4

上面這種方法叫拆項(xiàng)法，你看懂了嗎？

仿照上面的方法，計(jì)算：(-2020：)+2019：+12018|)+2017；

【答案】-21

【分析】先仿照題目給出的方法把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則和加法運(yùn)算律

解答即可.

【詳解】解：1-2020：1+20吟+卜20吟)+20嗎

{(—2020)+(q]+(2019+撲(-2018)+^-1]+(2017+g

?[(-2020)+2019+(-2018)+2017]+f-∣j+∣+f-∣j+∣

=(-2)+

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法，正確理解題意、熟練掌握加法法則和加法運(yùn)算律是解題

的關(guān)鍵.

變式3.(2022?四川內(nèi)江七年級(jí)期中)觀察下面算式的演算過程：

2

1+二心」=二112×4+l93

1×31×31×31×32×42×42×42x4

2

?,T___1_=_4_×_6__+_l___2_5____5__

3×53×53×53×54×64×64×64×6

(1)根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果:

1+

1+1?

5^7

("為正整數(shù))

2〃X(2〃+2)

(2)根據(jù)規(guī)律計(jì)算:

α+?×0+11—1—)x(1+―?-).

)×d+)×d+-----)×???×(1+

2743^54x698×10099×101

6272(2〃+I)?200

【答案】（I）----,;(2)-----

5^76×82〃X(2N+2)--------101

【分析】（1）根據(jù)已知算式的演算過程即可得；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，先將各括號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再計(jì)算有理數(shù)的乘法即可得.

5x7+136_62

【詳解】（1）1+二一

5x75x7577^5^7

2

?1T___1_=_6_x_8__+_1=__4_9_=__7__

6×86×86×86×8

1+_______1______=_2__∕?__X_(_2_/_7_+__2__)_+__1=____(2__〃__+__1_)2___

2〃X(2〃+2)2〃X(2〃+2)2n×(2n+2)

?272(2〃+Ip

故答案為：_2_

5x76×82n×(2n+2)

22324252992IOO2

(2)原式=---×-----X-----------X-----------XX------------------X------------------

1x32x43x54x698×10099x101

22χ32χ42χ52χx992χlθ()2

(1×2×3×4××98X99)×(3×4×5×6××IOOx101)

22χ32χ42χ52χχ992χlθ（）222XlOO2_200

-1×2X100×101×32×42×.?×982X992^l×2×100×101?θ?,

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方、乘法、加法的規(guī)律型問題，根據(jù)演算過程，正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律

是解題關(guān)鍵.

題型14乘方的應(yīng)用

解題技巧：（1）末尾數(shù)字問題：此類題型通常乘方運(yùn)算種的基比較大，且無簡單計(jì)算方法,

直接計(jì)算幾乎無法進(jìn)行。但此類題型也并非需要求解出最終的結(jié)果，往往只需要求解這組數(shù)

的末尾數(shù)字。因此，在解這類時(shí)，我們只需要關(guān)注末位數(shù)字，通過多計(jì)算幾組末尾數(shù)字，找

出末尾數(shù)字的變化規(guī)律。最后依舊變化規(guī)律，分析出最終結(jié)果。

（2）此類題型的難點(diǎn)在于分析問題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型。基本步驟為：首先從特殊情形

入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要

求計(jì)算結(jié)果。

例1.（2022?貴州）觀察下列算式：

3∣=332=933=2734=8135=24336=7293?=2187用你所發(fā)現(xiàn)規(guī)律寫

出32°"的末位數(shù)字是（）

A.3B.9C.7D.1

【答案】C

【分析】先由已知算式可發(fā)現(xiàn)，每四個(gè)式子為一個(gè)循環(huán)，再計(jì)算2019÷4的余數(shù)即可得出

答案.

【解析】由己知算式可知，每四個(gè)式子為一個(gè)循環(huán)，末位數(shù)字依次為3,9,7,1

2019+4=5043則3?(M9與每四個(gè)式子中的第三個(gè)式子的末位數(shù)字相同，即末位數(shù)字為

7故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的規(guī)律題，依據(jù)已知算式，正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

變式1.(2022?浙江杭州市?七年級(jí)期末)我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)程序使用的是二

進(jìn)制數(shù)(只有數(shù)碼O和1),它們兩者之間可以互相換算，例如將(101)2,(IOll)2換算成十

進(jìn)制數(shù)應(yīng)為：

20

(IOl)2=1×2+Ox2'+l×2=4+0+1=5；

320

(1011)2=l×2+0×2+1×2'+l×2=8+0+2+1=11.

按此方式，將二進(jìn)制(IOOl)2換算成十進(jìn)制數(shù)和將十進(jìn)制數(shù)13轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的結(jié)果分別為

()

A.17,(IlOl)2B,9,(HlO)2C.9,(IlOl)2D.17,(HlO)2

【答案】C

【分析】首先理解十進(jìn)制的含義，然后結(jié)合有理數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果，然后根據(jù)題意把

13化成按2的整數(shù)次暴降基排列，即可求得二進(jìn)制數(shù).

【詳解】解：(IOOl)2=1×23+0×22+0×21+l×20=9.13=8+4+1=1×23+l×22+0×21+l×20=(HOl)

2故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解十進(jìn)制的含義，培養(yǎng)學(xué)生的理解能力.

題型15新定義運(yùn)算(乘方)

【解題技巧】正確地理解新定義的算式含義,然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序,將數(shù)值代入，

轉(zhuǎn)化為常規(guī)

的有理數(shù)混合運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算.

例1.(2022?江蘇初一期中)已知m>2,n>2,且m,n均為正整數(shù)，如果將m"進(jìn)行如

圖所示的“分解”，那么下列四個(gè)敘述中正確的有()

1

3

<1

35

7□

V39□

5u4i□

72□

<5

9

2297

①在25的“分解”結(jié)果是15和17兩個(gè)數(shù).②在42的“分解”結(jié)果中最大的數(shù)是9.

③若加的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是23,則機(jī)=5.④若3"的"分解”結(jié)果中最小的數(shù)是79,

則n—5.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)所給的例子的分解方法中找出加'分解的規(guī)律,其中最小的數(shù)是

zπ"=〃z"T一〃7+1,從而可判斷出②④正確.

【解析】①在25的“分解”中最大的數(shù)是2$T+1=17,