選修4—2矩陣與變換A

選修4-2

矩陣與變換

［最新考綱］

1.了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系.

2.了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概

念與矩陣表示.

3.理解變換的復(fù)合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡單性質(zhì).

4.理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣.

5.理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.

知識梳理

1.矩陣的乘法規(guī)則

~bn

⑴行矩陣［a”4/與列矩陣的乘法規(guī)則：

也1-

bn

=1+〃!2又

?%」

allai2X0

⑵二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則:

%2」Lo-

~a21

“11a12X041*%+%2*丁0

<21a22--^0--a21^xo~^ai2^y

設(shè)A是一個二階矩陣，a、。是平面上的任意兩個向量，入乙、%是任意三個實

數(shù)，則

@A(Aa)=/L4a；②A(a+jff)=4z+“；

③人口產(chǎn)+2/尸2/^十兒期.

(3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下：

“11。12Ai兀

~a2I^22-

^11X^11+012+久2

-a21*4]+%2*%]a21Xb12+a22Xb22-

性質(zhì)：①一般情況下，ABWflA,即矩陣的乘法不滿足交換律；②矩陣的乘法滿

足結(jié)合律，即(A5)C=A(BC)；③矩陣的乘法不滿足消去律.

2.矩陣的逆矩陣

(1)逆矩陣的有關(guān)概念：對于二階矩陣A,B,若有AB=5A=E,則稱A是可逆

的，5稱為A的逆矩陣.若二階矩陣A存在逆矩陣5,則逆矩陣是唯一的，通

常記A的逆矩陣為A-1,A-1=5.

ab

⑵逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣A=』(detA=ad—AW0),它

_cd_

的逆矩陣為

d-b

ad-bead-be

A-i=

-ca

ad-bead-be」

⑶逆矩陣與二元一次方程組：如果關(guān)于變量x,y的二元一次方程組

ax-\-by=m,abxab

.,的系數(shù)矩陣4=可逆，那么該方程組有唯一解

cx-\-ay=nd_U」d_

m

n

d~b

ad~bead~be

其中A-i—

a

Lad-bead—be」

3.二階矩陣的特征值和特征向量

⑴特征值與特征向量的概念

設(shè)4是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)"存在一個非零向量a,使得

那么丸稱為4的一個特征值，而a稱為A的一個屬于特征值丸的一個特征向量.

(2)特征多項式與特征方程

abxx

設(shè)％是二階矩陣A=的一個特征值,它的一個特征向量為e=則A

d_yy

4；

ax-\-by=Ax

即滿足二元一次方程組＜9

cx-\-dy=^y,

(X—d)x—by=Q2—a—bx

故,(*)

,一cx+(2-J)y=0~c2-d[y_0.

則(*)式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式

2—a2—a—bab

=。記財=為矩陣A=的特征多項式；方程

A~dd.

X-aab

=0,即大力=0稱為矩陣4=的特征方程.

2—dd_

⑶特征值與特征向量的計算

A—a—b

如果2是二階矩陣A的特征值，則2是特征方程用尸=22-3+4)2

-\~ad—bc=Q的一個根.

解這個關(guān)于2的二元一次方程，得見=4、4,將丸=4、4分別代入方程組(*),

分別求出它們的一個非零解

X——Xy9x=xo,X%

1尸;，記廣42=

)=匕，%

abx

則ZL因此、丸是矩陣4=的特征值，＜=

42=3,42d_

4

為矩陣A的分別屬于特征值乙、4的一個特征向量?

->2-

診斷自測

105-

1.

0-1.7.

105-1X5+0X751

解析

0-1.7.0X5+(-1)X7-7

答案

2.若4=,B=,則AB=.

111

-

一

-一

222

111

--

2-2-

一2

1111n11

X+X+X

一

一

-一---

222222

2J

I111r1n11

X+-X

----一--

-2222222

2J

-ro川

LO

答案ro01

LO01

—100—1

3.設(shè)4=0],B=]0,則AB的逆矩陣為

-1o0r

解析..a-1=-,B-i=

1-1o

0口-10-or

--(AB)-1=5-1A-i

-1001.io.

01

答案

10

1o,

1

-

4.函數(shù)y=x2在矩陣M=o4變換作用下的結(jié)果為

-

--

X-

一］-一

01X

---=

解析°一

41-二-

--

I1

=F即-

代入V=X22.

4X

答案y=%

一15一

5.若4=4,則A的特征值為________.

_02_

A~1-5

解析A的特征多項式人力=

-6A-2

=(A-1)(2-2)-30=A2-3A-28=(A-7)(2+4),

-A的特征值為6=7,4=-4.

答案7和一4

考點一矩陣與變換

【例1】(2014.蘇州市自主學(xué)習(xí)調(diào)查)已知/是實數(shù)，如果矩陣M丸一2a。]所

對應(yīng)的變換將直線x—y=l變換成x+2y=l,求a,5的值.

解設(shè)點(x,y)是直線x—y=l上任意一點，在矩陣M的作用下變成點(/,y'),

2a~xx'

則[b』LJj二

X=2x+ay，

所以,

=bx+y.

因為點(x'，＜),在直線x+2y=l上，所以

2+2Z?=l,

(2+2b)x+(a+2)y=l,即J)

a+2=~l,

a——3,

所以彳1

[b=-2-

規(guī)律方法理解變換的意義，掌握矩陣的乘法運算法則是求解的關(guān)鍵，利用待定

系數(shù)法，構(gòu)建方程是解決此類題的關(guān)鍵.

【訓(xùn)練1】已知變換S把平面上的點43,0),3(2,1)分別變換為點A'(0,3),B(1,

-1),試求變換S對應(yīng)的矩陣T

ac3xa3-3a(z=0,

解設(shè)7=則T.解得，

bdi_0_bd\L0J3b.b=l；

xacl「212a-\~c1

T：

.Lb12b+d-1

c=l,01

解得.綜上可知r=

d=-3,1-3

考點二二階逆矩陣與二元一次方程組

2—3

【例2】已知矩陣加=所對應(yīng)的線性變換把點A(x,y)變成點A'(13,5),

1一1

試求M的逆矩陣及點A的坐標(biāo).

2—3

解依題意得由M=,,,得M=l,

1一1

-13

故M-i=

-12

2x13x-1313-1X13+3X52

從而由得,故

1-iJLy5Ly」-125-1X13+2X5-3

x=2,

：一為所求.

—3.A(2,3)

規(guī)律方法求逆矩陣時，可用定義法解方程處理，也可以用公式法直接代入求

解.在求逆矩陣時要重視(43)-1=5一3-1性質(zhì)的應(yīng)用.

23

【訓(xùn)練2】已知矩陣4=

12.

⑴求矩陣A的逆矩陣;

2x+3y—1=0,

⑵利用逆矩陣知識解方程組

、x+2y—3=0.

a=2,

<b=~3,2

解得A-1

C=-1,-12

d=2,

ab23

法二由公式知若A=

d\12.

'2x+3y—1=0,

⑵已知方程組＜

、x+2y—3=0,

2x+3y=l,

可轉(zhuǎn)化為"

x+2y=3,

2

即AX=3,其中A=

_1

2-3

得4-1=

-12

因此，由AX=5,同時左乘A-i,有

2

AAX=AB=

-1

x=-7,

即原方程組的解為u

Ly=5.

考點三求矩陣的特征值與特征向量

一12

【例3】已知a?R,矩陣4=對應(yīng)的線性變換把點尸(1,1)變成點P(3,3),

_a1.

求矩陣A的特征值以及每個特征值的一個特征向量.

12[11]r3]p

解由題意

_a1JLljL+1JL3.

得。+1=3,即。=2,矩陣A的特征多項式為

A-l-2

fW==(A-l)2-4=(A+l)(A-3),

-2A—1

令人㈤=0,所以矩陣A的特征值為4=—1,A2=3.

①對于特征值々=—1,

x+y=0,|x=l,

解相應(yīng)的線性方程組cc得一個非零解,

〔2x+2y=0[y=-l

一1一

因此，a=是矩陣A的屬于特征值為=—1的一個特征向量；

_-lJ

2x—2y=0,

②對于特征值4=3,解相應(yīng)的線性方程組.r八

2〔一2x+2y=0

x=l,

得一個非零解，

Ly=i.

因止匕尸=；：是矩陣A的屬于特征值4=3的一個特征向量.

ab

規(guī)律方法已知A=,求特征值和特征向量，其步驟為：

_cd_

(2-a)-b

⑴令4■)==(2-a)Q-或-bc=O,求出特征值7；

-c(2-d)

(2-a)x-by=0,

(2)列方程組

-ex+(2-d)y=0

⑶賦值法求特征向量，一般取X=1或者y=1,寫出相應(yīng)的向量.

3—1

【訓(xùn)練3】(2014.揚州質(zhì)檢)已知矩陣知=,求M的特征值及屬于各

_-13_

特征值的一個特征向量.

丸一31

解由矩陣M的特征多項式=

1A-3

(7—3)2—1=0,解得乙=2,%=4，即為矩陣M的特征值.

設(shè)矩陣M的特征向量為

[x]「x]

當(dāng)4=2時，由M=2,

1LyJLy」

一1+丁=0,

可得＜

x-y=0.

可令x=l,得y=l.

...%=［；］是M的屬于々=2的特征向量.

當(dāng)乙=4時，由

x+y=O,

可得＜

、x+y=O,

取x=l,得,=-1,

-1

???電=—1是M的屬于4=4的特征向量.

用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的思想求曲線在變換作用下的新方程

【典例】二階矩陣M對應(yīng)的變換T將點(1,—1)與(一2,1)分別變換成點(一1,

—1)與(0,-2).

⑴求矩陣M；

⑵設(shè)直線/在變換T作用下得到了直線機：x-y=4,求/的方程.

［審題視點］(1)變換前后的坐標(biāo)均已知，因此可以設(shè)出矩陣，用待定系數(shù)法求解.

(2)知道直線/在變換T作用下的直線機,求原直線，可用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法.

ab]-1

解⑴設(shè)吊式/叱

J-!-1

aZ?-2o-

_cd\1-2

a=1,

a-b=-1,-2a+b=0,<b=2,

所以<且解得

c-d=-1,-2c+d=-2,c=3,

6?=4,

12

所以M=

_34J

(2)因為

L341yJ[3x+4y_

所以(x+2y)-(3x+4y)=4,

即x+y+2=0,，直線l的方程是x+y+2=Q.

[反思感悟](1)本題考查了求變換矩陣和在變換矩陣作用下的曲線方程問題，題

目難度屬中檔題.

(2)本題突出體現(xiàn)了待定系數(shù)法的思想方法和坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的思想方法.

(3)本題的易錯點是計算錯誤和第⑵問中坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的方向錯誤.

【自主體驗】

(2014.南京金陵中學(xué)月考)求曲線2x2—2肛+1=0在矩陣MN對應(yīng)的變換作

-10-10

用下得到的曲線方程，其中,N=

.02.-11

'iOTionri0一

解MN==

_021-11JL-22

設(shè)尸(x’，)是曲線2x2—2孫+1=0上任意一點，點尸在矩陣跖V對應(yīng)的變換

下變?yōu)辄cP(x,y),

x]「10Tx/-Irj1

于是—Xiy'=x+],

代入2x'2—2x'y'+1=0,得孫=1.

所以曲線2x2—2孫+1=0在MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程為xy=l.

一、填空題

3x+4y

1.已知變換T：,則該變換矩陣為

5x+6y_

X=3x+4y,

解析

=5x+6y,

一34

答案

-56_

「37T2-

2.計算＜0等于______

_doj|_-1_

7123X2-7-1

解析

8J-15X2-82

答案12

「501

3.矩陣10［的逆矩陣為.

解析P°1=5,.{5的逆矩陣為

L01JL01J

1

-O

答案5

O1

「3a~\

4.若矩陣A=,1°把直線/：2x+y—7=0變換成另一直線/'：9x+y-91=

_b13__'

0,則a=,b=.

解析取I上兩點(0,7)和(3.5,0),

.r3aTO-]「7a]「3a丁35105

則ni=，

b13__7__91b1310..3.5b：

由已知(7a,91),(10.5,3.5b)在/上，代入得。=0,b=-1.

答案0—1

6—3

5.矩陣的特征值為

6—3

A-63

解析/)==(A-6)(2+3)+18=0.

-6A+3

.1.A=0或7=3.

答案0或3

120~

6.已知矩陣aP=,則M(2a+40=

34_-3

2121

on121-14

解析2a+/=+,M(2a+4fi)=

4.-12-834__8-26

-14

答案

—26

12

曲線g：在矩陣

7.m+2*=1M=的作用下變換為曲線C2，則。2的方

.01

程為

解析設(shè)P(x,y)為曲線C2上任意一點，尸'⑴")為曲線m+2竺=1上與尸

對應(yīng)的點,

12xxx=x'+2y',x'=x-2y,

則,即

0UyLy」

因為P'是曲線q上的點,

所以02的方程為(X-2y)2+=1.

答案（X—2y）2+y2=l

2—14—1

8.已知矩陣A=,°3=°,則滿足AX=B的二階矩陣X為

—31

[3,￡'

-------------------,T~2.

21

解析由題意，得A7=AX=B,

|]U-：]=[!：：/

保-i1

答案2

.5-1,

9.已知矩陣4將點(1,0)變換為(2,3),且屬于特征值3的一個特征向量是1]則

矩陣A為

ab][aZ?T12a-2

解析設(shè)4=,由，得

_cd]\_cd」|_0_3.c=3.

3a+b-3b-\

，得,所以

3.c+d=3.d=0.

21

答案

.30.

二、解答題

10.(2012.江蘇卷)已知矩陣A的逆矩陣A-1=錯誤!，求矩陣A的特征值.

解因為血l-i=E,所以A=(A-i)-i.

因為4-1=錯誤!，所以A=(A-1)-1=錯誤!,

于是矩陣A的特征多項式為

A-2-3

八2)==Q—37—4.

-22—1

令人2)=0,解得A的特征值4=—1,%=4.

-1a\「2]

11.已知矩陣A=7,4的一個特征值7=2,其對應(yīng)的特征向量是%=|1

1