絕密★啟用前2024屆高三1月大聯(lián)考考后強(qiáng)化卷（新課標(biāo)II卷）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：292293192193A．B．C．D．1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。7，Bb,eb)C:yexCllC．1b2D．2b3A．1b0B．0b18．湖南第二屆旅游發(fā)展大會(huì)于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“”王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)、雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。P(B|)學(xué)校選擇萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地”，事件B為“甲和乙選擇的研學(xué)線路不同”，則1．已知集合A{x|x22xB{xN|x，則AB15453414A．B．C．D．A．B．C．(D．D．42．已知復(fù)數(shù)z滿足(43i)zi，則的虛部為z二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。444C．iiA．B．253，π2525π9．已知函數(shù)f(x)sin2xcos(2x)，則b，(2，|ab1a，則與的夾角等于63．已知平面向量a,b滿足a2bf(x)ππ2π5πA．的最小正周期為A．B．C．D．6336πB．f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱4．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時(shí)洛默爾市的地標(biāo)性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體呈圓錐形，它利6ππC．f(x)的零點(diǎn)是{x|x(kZ26現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為8m，側(cè)面積為8π229m，則該建筑的高為25ππD．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[π,π](kZ)661051名同學(xué)，某次地理測(cè)試班級(jí)最高分為15050ybxy為原始成績(jī)，試的原始成績(jī)經(jīng)過(guò)公式150分，最低分為80分，則下列說(shuō)法正確的是A．若某同學(xué)本次測(cè)試的原始成績(jī)?yōu)?00分，則其折算成績(jī)?yōu)?15分B．將原始成績(jī)和折算成績(jī)分別從小到大依次排序后，它們的中位數(shù)的序號(hào)相同C．班級(jí)折算成績(jī)的方差可能等于原始成績(jī)的方差D．班級(jí)折算成績(jī)的平均值高于原始成績(jī)的平均值A(chǔ)．26mB．28mC．30mD．36mππ22a0與圓C:(x4)2r(r0)總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N,O為坐標(biāo)原11．已知直線l:axy2(y2)，且)2cos2，則sin5．已知24點(diǎn)，則3414143A．B．C．D．A．直線l過(guò)定點(diǎn)(2,4B．r(2,)x2y26．如圖，已知F，F(xiàn)分別是雙曲線C：1的左、右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足12a2b2|MN[4,6]C．當(dāng)r3時(shí)，F(xiàn)∥FQ，且|FQ2|FP5|FP|，則雙曲線C的離心率為D．當(dāng)r=5時(shí)，CMCN的最小值為2512221數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共4頁(yè)）數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共4頁(yè)）n(adbc)2121的正方體ABCD中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，11M,N分別為線附：2nabcd，其中.1111(ab)(cd)(acbd)段AC與線段BC上一點(diǎn)，則0.10.050.0100.0050.00111352.7063.8416.6357.87910.828A．直線1F與直線所成角的余弦值為1812分）254SB．點(diǎn)D到直線1F的距離為△△2aBabA.在中，角,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,的面積為S，已知5B（1）求角B；△1C．當(dāng),BNBC,∥平面ABCD時(shí)，111S（2）若b的周長(zhǎng)為l，求的最大值.l6D．線段長(zhǎng)度的最小值為1912分）6如圖，在直三棱柱ABCABC中，3，⊥AC，D為AC的中點(diǎn)．11三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。的展開式中x13．x2y)y的系數(shù)為14．已知函數(shù)f(x)在定義域(上滿足0111154f(x)f(x)(fa)f(4a)上單調(diào)遞減，若，且在a，則的取值范圍是．15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家沈括、楊輝、朱世杰等研究過(guò)二階等差數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題．如果n1ab(nN*)，且nn（1）求證：ABBD；數(shù)列b}為等差數(shù)列，那么數(shù)列a}4項(xiàng)依次為13610，1nn（2）若點(diǎn)C到平面的距離為3，求平面與平面的夾角的正弦值．2012分）則該數(shù)列的第10項(xiàng)為．x2y216．已知橢圓E：ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓E的上頂點(diǎn)，a為奇數(shù)2b212an已知數(shù)列n}中，2212，且n2．4，為偶數(shù)過(guò)點(diǎn)F作平行于AF的直線l與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，M為弦BC的中點(diǎn)且直線l的斜率與OM的斜12（1）求數(shù)列n}的通項(xiàng)公式；34率乘積為，則橢圓E的離心率為；若|OM|319，則直線l的方程為第（2）求數(shù)列a}的前項(xiàng)和nS．nn2112分）已知拋物線一空2分，第二空3分）C:y2px(p0)過(guò)點(diǎn)p)，直線l與該拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂2四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。yx線，與直線（1）求拋物線C的方程；Q(2,0)QHl交于點(diǎn)G，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且O，N，P三點(diǎn)共線．1710分）某學(xué)?，F(xiàn)有1000（2作HQT|HT|，垂足為（不與點(diǎn)，使得為定值？若存n收集了名學(xué)生某周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：時(shí)）.將數(shù)[0,2](2,(4,6](6,8](8,10]，并整理得據(jù)分為6組：，，，，，在，求出該定點(diǎn)和該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．.2212分）（1）估計(jì)該校學(xué)生一周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用f(x)xax2已知函數(shù).（1）當(dāng)a1時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）將一周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間在內(nèi)的定義為“長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)上f(x)aea)xx2x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2）若不等式網(wǎng)”；一周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間在內(nèi)的定義為“不長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)上網(wǎng)”.在樣本數(shù)據(jù)中，有0.25n名學(xué)生不近視，請(qǐng)補(bǔ)充完整該周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間與近視程度的列聯(lián)表.若為100，試根據(jù)小概率值0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生一周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間與近視程度有關(guān)聯(lián)？n近視不近視合計(jì)長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)不長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)合計(jì)0.15n0.25n數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)（共4頁(yè)）數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)（共4頁(yè)）2024屆高三1月大聯(lián)考考后強(qiáng)化卷（新課標(biāo)II卷）數(shù)學(xué)·全解全析123456789101112BADCDBCBACABDACDACD8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。x，zBiAB.故選B.1．B【解析】由題意，知A{x|0，所以i(4344i，所以iz，所以的虛部為2．A【解析】因?yàn)?43i)z選A..故4(43i)(4252525b，(2，所以|a3|b2，3．D【解析】因?yàn)閍23，，a設(shè)與的夾角為bπ]，因?yàn)閨ab|(ab)2a22abb232|a||b|cos4，，35π所以3232cos41，解得cos，所以，故選D.2612xhπ8x8π2294．C【解析】設(shè)該建筑的母線長(zhǎng)為，高為，則由其側(cè)面積為8π229m2，可得，解得x2229m，所以h24230m．故選C．xπ225．D【解析】因?yàn)閏os()2cos2，所以sin2(cos2sin2)，4221所以sin)sinsin)，2π)，所以cos0,sin0sin又，所以0，2113所以cos故選D.sin，兩邊同時(shí)平方，得1sinsin，所以.2446．B【解析】設(shè)雙曲線C的半焦距為，如圖，延長(zhǎng)cQFCF∥FP與雙曲線交于點(diǎn)P，因?yàn)?，根?jù)對(duì)122稱性知|FP||FP|，設(shè)|FP|FPt|2Pt|2Qt，則，，可得|FP||FPt2a，即121221226310ta，所以|PQ|t8a，則||||2aa，|FP||FP|a，1212332|FP||1|22FPQF90，可知，112即|PQ|1104c29在△PFF中，由勾股定理得|FP||FP||FF|，即(a)2(a)4c2，解得e2222.12211233a3故選B.數(shù)學(xué)全解全析第1頁(yè)（共12頁(yè)）7．C【解析】由yex，得ye，設(shè)切點(diǎn)為(x,e)，所以直線l的斜率為e0，所以直線l的方程為0xx0ye0e0(x0)，代入點(diǎn)(0,0)，則e0e0(0)，解得01，即斜率為e，由l，得e1b，結(jié)合圖形知b0．b令()exfxx，x0，則f(x)e1exe，所以1b2．f(x)在)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．f10f(2)e2e10，所以2因?yàn)?，故選C.8．B【解析】依題意，甲、乙隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)的試驗(yàn)有32個(gè)基本事件，事件A含有的基本事件數(shù)54是2215，則P()，事件含有的基本事件數(shù)為224，則P(AB)，99P(AB)45P(B|)所以.故選B.P()4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。3113π9．AC【解析】f(x)sin2xcos2xsin2xsin2xcos2xsin(2x).222232π對(duì)于A，f(x)的最小正周期為π，故A正確；2πππ對(duì)于B，當(dāng)x時(shí)，2x0，所以直線xf(x)不是的圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；636ππππf(x)0sin(2x)02xπ(kZ)x(kZ)，故C正確；對(duì)于C，由，得，所以，所以3326數(shù)學(xué)全解全析第2頁(yè)（共12頁(yè)）πππ5ππ2π2x2π(kZ)πxπ(kZ)f(x)的單調(diào)對(duì)于D23212125ππ遞增區(qū)間為[故選AC.π,π](kZ)，故D錯(cuò)誤.1212150ab15010ABD50ab80a0.7y0.7x45x時(shí)，y115Ab45yx450.3xxyx0知yx，故當(dāng)原始成績(jī)低于150分時(shí)，折算成績(jī)均高于原始成績(jī)，即除150分不變外，其余成績(jī)折算后均提高，所以將原始成績(jī)和折算成績(jī)分別從小到大D(y)D(0.7x0.49D(x)D(x)依次排序后，它們的中位數(shù)的序號(hào)相同，故B，D均正確；，故折算成績(jī)的方差必小于原始成績(jī)的方差，故C錯(cuò)誤.故選ABD.11．ACD【解析】axy22a0可化為a(x2)(y2)0，即直線l過(guò)定點(diǎn)P(2,2)，所以A正確；因?yàn)橹本€l與圓C總有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得點(diǎn)r5，所以B不正確；P(2,2)在圓C內(nèi)部，所以(22(22r2，解得當(dāng)r3的方程為的最小值為2r|CP|4，最大值即為6，所以C正確；當(dāng)r=5時(shí)，圓C的方程為當(dāng)直線l過(guò)圓心C1C(x4)2(y29CP(2,2)|CP|5|MN|22(x4)2(y225，則CMCN|CM||CN|cosMCN25cosMCN，cosMCN的最小值為1，所以CMCN的最小值為時(shí)，，所以25，故D正確.故選ACD．12ACDD為坐標(biāo)原點(diǎn)，,DC,DD的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間xyz111直角坐標(biāo)系，則CFD(0,0),E,0)，122數(shù)學(xué)全解全析第3頁(yè)（共12頁(yè)）121所以CF,0),1,0).，12110354|CF,|對(duì)于A，1，所以A正確；545412|CF|3525d1(11)22(2)對(duì)于B，，所以B錯(cuò)誤；|CF|514對(duì)于C，BNBC)11111())，1101因?yàn)?/平面ABCD，所以，即，所以C正確；對(duì)于D，由題意，知,BNBC(,，A0,0),BC0)，1111設(shè)M(x,y,zN(x,y,z)，111222則(1y,z)(，(xyz(1,0,，11222M,,N)解得所以|1)，2(2(1)212162224222()2)2，2312316,所以當(dāng)時(shí)，|min，所以D正確.266故選ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．10【解析】x2y)5的通項(xiàng)為r1Cr5x5r(2y)rCr5(2)rx5ryr，當(dāng)r1時(shí)，TC(2)x154y10xy.42故答案為：10.5514．(,)【解析】∵fa)f(4a)0，∴fa)f(4a).43f(x)f(x)fa)fa4).∵，∴11a154531a41a∴，解得，1aa4數(shù)學(xué)全解全析第4頁(yè)（共12頁(yè)）55(,)a∴的取值范圍是.4355故答案為：(,).4315．55【解析】由題意，得123421b1322，因?yàn)閚}為等差數(shù)列，且公差為2b11，首項(xiàng)為2，所以bn1n，故n1nnn1，因此21b1，aab322，aab，1099累加可得1012345678910，所以101234567891055，故答案為：55.116．；3xy1530【解析】設(shè)點(diǎn)B(x,y)，C(x,y)，因?yàn)辄c(diǎn)B,C在橢圓E上，11222x22y22所以111①，abx222y2221②，ab34因?yàn)閗CBkOM，y211y2211234所以③，y2yyy2112ba212x222y212y222x2122y21y2222x①②，得，0，即0，所以112由，aabba2b2ba223由③得4c2214c1e，則.所以aa2因?yàn)椤?，kkAF,(0,b2(c,0)所以，BC2數(shù)學(xué)全解全析第5頁(yè)（共12頁(yè)）b所以kBC3.c設(shè)直線BC的方程為y3xm，my3x聯(lián)立，整理，得15x28mx4m2b0，23x2y21b2b28m4mm所以xx，則M(,)，1215557m24mm25919，所以|()()319,即221515由題意m0，所以m153，所以y3x153,即直線l的方程為3xy1530.1故答案為:；3xy1530.2四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。1710分）1）根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)該校學(xué)生一周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間的平均數(shù)為x10.025230.100250.150270.125290.0752110.0252.（4分）（2）由頻率分布直方圖可得上網(wǎng)時(shí)間在所以可得22列聯(lián)表為和內(nèi)的人數(shù)之比為0.250.753，近視0.65n不近視合計(jì)長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)0.10n0.15n0.25n0.75n不長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)0.10n0.25n合計(jì)0.75nn（7分）n若為100，則22列聯(lián)表為近視不近視合計(jì)長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)6510107525不長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)數(shù)學(xué)全解全析第6頁(yè)（共12頁(yè)）合計(jì)7525100（8分）零假設(shè)為H0:該校學(xué)生一周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間與近視程度無(wú)關(guān).100(65151010)2221.7810.8280.001分）0.001H09根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算，得到75257525根據(jù)小概率值程度有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.（10分）1812分）4SaBabA，21）因?yàn)锽142所以=a+1分）2即2cBaBbA分）22sinCBsinABsinBAsin(AB)由正弦定理，得3分）因?yàn)锳BπC，所以2sinCBsinC分）412Cπ)sinC0B因?yàn)?，所以，所?分）πBπ)B又，所以.（6分）3（2）由余弦定理，得b2a2c22acB，即9a2c2ac7分）19(ac)2ac，即=[a+c(2-]分）8所以313因?yàn)镾acsinBac，l=a+c+3，24Slac4(ac3[(ac)9]2所以9分）12(acSl3所以(ac10分）(ac)2又ac（當(dāng)且僅當(dāng)acac34(ac)2所以9(ac)2ac（當(dāng)且僅當(dāng)4所以ac6（當(dāng)且僅當(dāng)ac311分）數(shù)學(xué)全解全析第7頁(yè)（共12頁(yè)）Sl333(ac(6（當(dāng)且僅當(dāng)ac3所以12124S3即的最大值為.（12分）l41912分）1）如圖，連接1B，因?yàn)樗倪呅蜛ABB為正方形，所以1B1分）111在直三棱柱ABCABC中，平面BB平面平面ABC，11111111BBABCAB由⊥AC得1AB，又平面，111111111所以1平面AABB3分）11又平面AABB，所以ACAB，111111AB1AAC又1B11，平面，平面，A1111所以平面A4分）11又BD平面1，所以ABBD.（5分）1（2A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，xyz1設(shè)2a，則(0,0)C(0,2a,0)，B(3,0)，，D(0,a,3)，(3,0)，2a,0)，a,3)6分）n(x,y,z)設(shè)是平面ABD的一個(gè)法向量，3z0n0ay，即3x0x0za，令，則y則，得3，n0所以n(0,3,a)為平面ABD7分）數(shù)學(xué)全解全析第8頁(yè)（共12頁(yè)）|ACn||n|2a3，解得a1，由題意，得3a2所以(3,0)，CD(0,3)．i(p,q,r)設(shè)為平面BCD的法向量，3p2q0i0則，即，iCD0qr0令q3，則p2，r1，即i(2,為平面j(0,.10分）BCD9分）易知平面ABC的一個(gè)法向量為設(shè)平面和平面的夾角為（，|ij||i||j|12cos則11分）422(3)211214所以sin1cos2，414所以平面與平面的夾角的正弦值為12分）42012分）1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由nan2n2n2a1分）n2，得所以數(shù)列n}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差為2，又11，所以an.（2分）nn2n43分）n當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由an24a，可得n所以數(shù)列n}的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為4，又22，所以n2n1.（4分）,an所以數(shù)列n}的通項(xiàng)公式為.（5分）2n1,n（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，Saaa(aaa)(aan1)（6分）n12n13n24n1n1(n4)(n22n228分）3n)(282n2)221443n當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，Saaa(aaa)(aaa)（9分）n12n13n124n數(shù)學(xué)全解全析第9頁(yè)（共12頁(yè)）nnn414)n22n12.10（分）23n(282n1)2243222n(n,為奇數(shù)43S綜上，.（12分）n12n22n,為偶數(shù)432112分）1）因?yàn)閽佄锞€C:y22px(p0)過(guò)點(diǎn)p)，所以p22p，又p0，所以p22分）所以拋物線C的方程為2y4x3分）21yxy214y224y214y214（2）設(shè)點(diǎn)M(,1)，N(,y)，聯(lián)立4，得G(yx,)4分）2又因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)為P，y214y212所以點(diǎn)P(,1)5分）y2121y22由O，N，P三點(diǎn)共線，可得kONkOP，即，y21y244化簡(jiǎn)得2(1y2)1y20.（6分）xn設(shè)直線l的方程為xmyn，聯(lián)立y，消去x，得2y44n07分）24x(4m)24(4n)0，即m2n則0，yy4n根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得1y24m，8分）12代入2(1y2)1y20，得8m4n0，所以n2m9分）xmy2mxm(y2)，所以直線l的方程為，即E(0,2)所以直線l過(guò)定點(diǎn)QHl10分）因?yàn)?，所以點(diǎn)H在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為211分）T|HT|，使得所以存在定點(diǎn)為定值，該定值為212分）數(shù)學(xué)全解全析第10