復(fù)變函數(shù)（第四版）

第五章留數(shù)§1孤立奇點(diǎn)§2留數(shù)§3留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用*§4對數(shù)留數(shù)與輻角原理4/1/20241《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章復(fù)變函數(shù)（第四版）

第五章留數(shù)§1孤立奇點(diǎn)§1孤立奇點(diǎn)1.定義例：如果函數(shù)f(z)在zo處不解析,但在zo的某一去心鄰域0<|z－zo|<δ處處解析,則稱zo為函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn).但一系列奇點(diǎn)的極限點(diǎn)(聚點(diǎn))4/1/20242《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章§1孤立奇點(diǎn)1.定義例：如果函數(shù)f(z2.孤立奇點(diǎn)的分類和判定法若zo為f(z)的孤立奇點(diǎn),則必存在δ>0,使得f(z)于圓環(huán)0<|z－zo|<δ內(nèi)解析,從而可展成洛朗級數(shù).z0為f(z)的可去奇點(diǎn)Δ(不含負(fù)冪項(xiàng))z0為f(z)的m級極點(diǎn)Δ(c－m≠0)4/1/20243《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章2.孤立奇點(diǎn)的分類和判定法若zo為f(z)的例:z0為f(z)的本性奇點(diǎn)Δ(

)中含無窮多個(gè)(z－z0)的負(fù)冪項(xiàng)4/1/20244《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例:z0為f(z)的本性奇點(diǎn)Δ()中含無窮多個(gè)(z∴

z=0分別是(1)(2)本性奇點(diǎn).zo為f(z)的可去奇點(diǎn)相當(dāng)于實(shí)函可去間斷點(diǎn)f(z)在zo點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有界.zo為f(z)的極點(diǎn)相當(dāng)于無窮間斷點(diǎn)zo為f(z)的m級極點(diǎn)其中g(shù)(z)在z0的鄰域內(nèi)解析,且g(z0)≠04/1/20245《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章∴z=0分別是(1)(2)本性奇點(diǎn).zo為f(z例:(3)z=1是三級極點(diǎn),z=±i是一級極點(diǎn)z0為f(z)的本性奇點(diǎn)z0附近性質(zhì)復(fù)雜,實(shí)函不可比(對任意復(fù)數(shù)A,總可以找到一個(gè)趨向于zo的數(shù)列,當(dāng)z

沿這個(gè)數(shù)列趨于zo時(shí)，f(z)的值趨于A

).用極限來判別奇點(diǎn)的類型時(shí),若碰到型極限,可用洛必達(dá)法則求.維爾斯特拉斯Th4/1/20246《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例:(3)z=1是三級極點(diǎn),z=±i是一級極點(diǎn)z03.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系例:m為正整數(shù)，g(z)在zo點(diǎn)解析,且g(zo)≠0.Δ4/1/20247《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章3.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系例:m為正整數(shù)，g(z)在zo定理:證:4/1/20248《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章定理:證:3/31/20248《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例1:解:指出它的級.4/1/20249《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例1:解:指出它的級.3/31/20249《復(fù)變函數(shù)》(第四一般:例:4/1/202410《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章一般:例:3/31/202410《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五4.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)作變換規(guī)定：∞為f(z)的孤立奇點(diǎn)在擴(kuò)充的復(fù)平面上,Δf(z)在z=∞的去心鄰域

R<|z|<+∞內(nèi)解析(R>0)對z=∞的討論t=0的討論.4/1/202411《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章4.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)作變換規(guī)定：∞為f(z)的孤立∵(1)

z=∞為f(z)的可去奇點(diǎn)4/1/202412《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章∵(1)z=∞為f(z)的可去奇點(diǎn)3/31/202(2)∞是f(z)的極點(diǎn)(3)∞是f(z)的本性奇點(diǎn)∞是f(z)的m級極點(diǎn)∞是f(z)的m級極點(diǎn)4/1/202413《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章(2)∞是f(z)的極點(diǎn)(3)∞是f(z)的本性例(P152):4/1/202414《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例(P152):3/31/202414《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例2:解:對z=2,什么類型的奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它的級.而4/1/202415《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例2:解:對z=2,什么類型的奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出∴z=2是f(z)的可去奇點(diǎn).對于z=∞,z=∞不是f(z)的孤立奇點(diǎn).從而4/1/202416《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章∴z=2是f(z)的可去奇點(diǎn).對于z=∞總之,判別奇點(diǎn)類型方法:奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)1.定義:展成洛朗級數(shù)2.求極限3.極點(diǎn)與零點(diǎn)的關(guān)系(不恒等于0的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的)4/1/202417《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章總之,判別奇點(diǎn)類型方法:奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)§2留數(shù)1.留數(shù)的定義如果函數(shù)f(z)于簡單閉曲線C上及其內(nèi)部解析,則據(jù)柯西定理.有但是,如果C內(nèi)含有f(z)的孤立奇點(diǎn)zo,則4/1/202418《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章§2留數(shù)1.留數(shù)的定義如果函數(shù)f(z)于簡單閉曲將f(z)作洛朗展開:則由此可見:在zo點(diǎn)的鄰域內(nèi),c–1是個(gè)特別值得注意的數(shù),是上述逐項(xiàng)積分中唯一殘留下來的系數(shù).4/1/202419《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章將f(z)作洛朗展開:則由此可見:在zo點(diǎn)的鄰由上知2.留數(shù)定理Th1(留數(shù)定理):c–1為f(z)在zo點(diǎn)的留數(shù)(residue

殘數(shù))設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,…,zn外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線.4/1/202420《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章由上知2.留數(shù)定理Th1(留數(shù)定理):c–1為f由柯西

Th

極容易得到因此,以上的留數(shù)Th.更確切地說,留數(shù)Th

是柯西Th的一個(gè)直接應(yīng)用.它把計(jì)算封閉曲線積分的整體問題,化為計(jì)算各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)的局部問題.即利用留數(shù)計(jì)算積分.有必要專門研究留數(shù)的計(jì)算.4/1/202421《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章由柯西Th極容易得到因此,以上的留數(shù)Th.更確切地說,3.留數(shù)的計(jì)算(有限遠(yuǎn)奇點(diǎn))

基本算法:(1)(2)=c–1C是zo某去心鄰域內(nèi)一條簡單正向閉曲線.(當(dāng)z0是f(z)的本性奇點(diǎn)或孤立奇點(diǎn)類型不清楚時(shí),只能用這一方法求)zo是f(z)的可去奇點(diǎn).zo是f(z)的本性奇點(diǎn).f(z)展成洛朗級數(shù)4/1/202422《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章3.留數(shù)的計(jì)算(有限遠(yuǎn)奇點(diǎn))

基本算法:(1)(2(3)(Ⅰ)證明:zo是f(z)的極點(diǎn).有下面的計(jì)算規(guī)則:如果zo是f(z)的一級極點(diǎn).則[]4/1/202423《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章(3)(Ⅰ)證明:zo是f(z)的極點(diǎn).有下面的計(jì)算(Ⅱ)如果zo為f(z)的m級極點(diǎn).則證:轉(zhuǎn)下頁↓4/1/202424《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章(Ⅱ)如果zo為f(z)的m級極點(diǎn).則證:則:4/1/202425《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章則:3/31/202425《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章(Ⅲ)證:如果zo是f(z)的一級極點(diǎn).且都在zo點(diǎn)解析.4/1/202426《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章(Ⅲ)證:如果zo是f(z)的一級極點(diǎn).且都在z特別地:例:解:

方法一.一級極點(diǎn)二級極點(diǎn)

z=0是的n+1級極點(diǎn).=4/1/202427《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章特別地:例:解:方法一.一級極點(diǎn)二級極點(diǎn)z=0是的方法二:方法三:在原點(diǎn)的洛朗展式中z的負(fù)一次冪的系數(shù),也即ez的展式中zn

的系數(shù).∴4/1/202428《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章方法二:方法三:在原點(diǎn)的洛朗展式中z的負(fù)一次冪的系數(shù),例1:計(jì)算積分解:(用規(guī)則Ⅰ求)C為正向圓周:|z|=2.的兩個(gè)一級極點(diǎn)z=±1均在|z|=2內(nèi).∴∴4/1/202429《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例1:計(jì)算積分解:(用規(guī)則Ⅰ求)C為正向圓周:|z(用規(guī)則Ⅱ求)直接求積分:(較規(guī)則Ⅰ簡單)∴4/1/202430《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章(用規(guī)則Ⅱ求)直接求積分:(較規(guī)則Ⅰ簡單)∴3/31/2補(bǔ)例1:計(jì)算積分解:(n為正整數(shù))為一級極點(diǎn).∴4/1/202431《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章補(bǔ)例1:計(jì)算積分解:(n為正整數(shù))為一級極點(diǎn).∴3/3補(bǔ)例2:計(jì)算解：z

=0為的三級極點(diǎn),且在|z|=1內(nèi).4/1/202432《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章補(bǔ)例2:計(jì)算解：z=0為的三級極點(diǎn),且在|zP158例2:計(jì)算積分解：被積函數(shù)四個(gè)一級極點(diǎn)±1，±i均在C內(nèi)。由規(guī)則Ⅲ4/1/202433《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章P158例2:計(jì)算積分解：被積函數(shù)四個(gè)一級極點(diǎn)±1，±例3:計(jì)算積分解：z=0為被積函數(shù)的一級極點(diǎn)，z=1為二級極點(diǎn)，均在C內(nèi)。4/1/202434《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例3:計(jì)算積分解：z=0為被積函數(shù)的一級極點(diǎn)，z=1為二級極例:Q(z)的六級零點(diǎn).∵z=0是P(z)的三級零點(diǎn).∴z=0是f(z)的三級極點(diǎn).較繁注:在用規(guī)則Ⅱ時(shí),有時(shí)將m

取得比實(shí)際的級數(shù)高可使計(jì)算簡便.4/1/202435《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例:Q(z)的六級零點(diǎn).∵z=0是P(z將

m取作6.則利用洛朗展開式求c–1也較方便.4/1/202436《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章將m取作6.則利用洛朗展開式求c–1也較方便.34.關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義:C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線.即4/1/202437《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章4.關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義:C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條注:例如:規(guī)則Ⅳ:若∞為f(z)的可去奇點(diǎn),則不一定等于0.(這與有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)不同)∞是它的可去奇點(diǎn),但(∵c–1=1)例:4/1/202438《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章注:例如:規(guī)則Ⅳ:若∞為f(z)的可去奇點(diǎn),則不一定定理2：如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那么f(z)在所有奇點(diǎn)(包括∞點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.=0(C包含了所有有限奇點(diǎn)

zk,k=1,2,…,n

)4/1/202439《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章定理2：如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇例4.(P162)計(jì)算積分解:由定理2及規(guī)則Ⅳ:C為正向圓周:|z|=2.(上一段例2)在|z|=2的外部,除∞點(diǎn)外沒有其他奇點(diǎn).=04/1/202440《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例4.(P162)計(jì)算積分解:由定理2C為正向圓周:例5.計(jì)算積分解:∴C為正向圓周|z|=2.被積函數(shù)的奇點(diǎn):–i,1,3,∞.其中–i,1在|z|=2內(nèi)部.4/1/202441《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例5.計(jì)算積分解:∴C為正向圓周|z|=2.被而：∴原積分=04/1/202442《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章而：∴原積分=03/31/202442《復(fù)變函數(shù)》(第例:(作業(yè)題11)解:若直接求.需通過洛朗展式求,涉及冪級數(shù)除法.不易求.4/1/202443《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例:(作業(yè)題11)解:若直接求.需通過洛朗展式求,涉及利用定理2.4/1/202444《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章利用定理2.3/31/202444《復(fù)變函數(shù)》(第四版)利用留數(shù)計(jì)算積分步驟:(1)(2)求出被積函數(shù)f(z)在積分路徑C內(nèi)的有限個(gè)孤立奇點(diǎn)

zk

(k=1,2,……,n)判別奇點(diǎn)類型,計(jì)算出奇點(diǎn)處的留數(shù).當(dāng)被積函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)較多或極點(diǎn)的級數(shù)較高時(shí),留數(shù)的計(jì)算較煩,可改成計(jì)算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).4/1/202445《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章利用留數(shù)計(jì)算積分步驟:(1)(2)求出被積函數(shù)f(z§3留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用1.形如令留數(shù)計(jì)算定積分.關(guān)鍵:定積分(添f(x)的路徑)沿閉曲線的積分(圍線積分)4/1/202446《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章§3留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用1.形如令留數(shù)計(jì)算定積分.當(dāng)因此4/1/202447《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章當(dāng)因此3/31/202447《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例1:計(jì)算解:令4/1/202448《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例1:計(jì)算解:令3/31/202448《復(fù)變函數(shù)》(第四版)∴而在|z|=1內(nèi)被積函數(shù)f(z)有一個(gè)二級極點(diǎn)z=0,一個(gè)一級極點(diǎn)z=p.4/1/202449《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章∴而在|z|=1內(nèi)被積函數(shù)f(z)有一個(gè)二級極續(xù)上頁4/1/202450《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章續(xù)上頁3/31/202450《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章補(bǔ)例:解:先變形.4/1/202451《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章補(bǔ)例:解:先變形.3/31/202451《復(fù)變函數(shù)》(第四版令∴4/1/202452《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章令∴3/31/202452《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章被積函數(shù)的分母有兩個(gè)根由留數(shù)定理其中z1在|z|=1內(nèi).4/1/202453《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章被積函數(shù)的分母有兩個(gè)根由留數(shù)定理其中z1在|z|思考:解:(偶函數(shù))(周期函數(shù))4/1/202454《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章思考:解:(偶函數(shù))(周期函數(shù))3/31/202454《復(fù)變2.形如∵R(x)是x的有理函數(shù),分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高兩次,同時(shí)要求R(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn).(此時(shí)積分一定存在).取R(z)為被積函數(shù),取積分線路為以原點(diǎn)為圓心,位于上半平面上以R為半徑的上半圓周CR與實(shí)軸上區(qū)間[–R,R]構(gòu)成的正向閉曲線(R(z)的極點(diǎn)均在其內(nèi)).R-RCR4/1/202455《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章2.形如∵R(x)是x的有理函數(shù),分母的故其中特別,(如在下半平面計(jì)算:)若R(x)為偶函數(shù),有4/1/202456《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章故其中特別,(如在下半平面計(jì)算:)若R(x)為偶函數(shù),例2:計(jì)算積分解:被積函數(shù)R(x)分母的次數(shù)比分子的次數(shù)大2.R(z)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn),積分存在.4/1/202457《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例2:計(jì)算積分解:被積函數(shù)R(x)分母的次數(shù)比分子續(xù)上頁4/1/202458《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章續(xù)上頁3/31/202458《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章補(bǔ)例:解:被積函數(shù)R(x)為偶函數(shù).R(z)在上半平面有兩個(gè)一級極點(diǎn)4/1/202459《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章補(bǔ)例:解:被積函數(shù)R(x)為偶函數(shù).R(z)在上半平面∴4/1/202460《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章∴3/31/202460《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章3.形如處理方法與2.一樣特別:1.2.的混合型這里R(x)是x的有理函數(shù),而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,并且R(x)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn).(此時(shí)積分存在)得:4/1/202461《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章3.形如處理方法與2.一樣特別:1.2.的混合例3.解:4/1/202462《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例3.解:3/31/202462《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五4.積分路徑上有奇點(diǎn)的積分.例4.解:若被積函數(shù)中R(z)在實(shí)軸上有奇點(diǎn),適當(dāng)選取路徑,使積分路線繞開奇點(diǎn).(與例3

類似)如圖選擇積分路徑,由柯西—古薩基本定理4/1/202463《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章4.積分路徑上有奇點(diǎn)的積分.例4.解:若被積函數(shù)中令即只需求出極限4/1/202464《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章令即只需求出極限3/31/202464《復(fù)變函數(shù)》(第四版)由于又因.4/1/202465《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章由于又因.3/31/202465《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五因而從而有即:且在r充分小時(shí)綜上:(這個(gè)積分在研究阻尼振動(dòng)中有用)由于而4/1/202466《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章因而從而有即:且在r充分小時(shí)綜上:(這個(gè)積分在研究阻尼振解法二.取積分路徑:則另一方面RcR–R–rrcrO4/1/202467《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章解法二.取積分路徑:則另一方面RcR–R–rrcrO3/3與解法一類似可得∴從而P185習(xí)題14積分路徑RcR–R–rrcrO4/1/202468《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章與解法一類似可得∴從而P185習(xí)題14積分路徑RcR–R–例5.證明證:如圖，即4/1/202469《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章例5.證明證:如圖，即3/31/202469《復(fù)變函數(shù)》(而∴上式為:或4/1/202470《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章而∴上式為:或3/31/202470《復(fù)變函數(shù)》(第四版)當(dāng)R→∞時(shí),上式右端的第一個(gè)積分為而第二個(gè)積分的絕對值4/1/202471《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章當(dāng)R→∞時(shí),上式右端的第一個(gè)積分為而第二個(gè)積分的絕對值3/3由此可知,∴當(dāng)R→∞時(shí)第二個(gè)積分趨于零,從而有(菲涅耳Fresnel積分,光學(xué)中有用)4/1/202472《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章由此可知,∴當(dāng)R→∞時(shí)第二個(gè)積分趨于零,從而有(菲涅耳Fr利用留數(shù)計(jì)算定積分應(yīng)注意哪些問題?首先,由于留數(shù)是與求封閉曲線C上的復(fù)積分相聯(lián)系的,而定積分的積分區(qū)間是實(shí)軸或?qū)嵼S上的線段,定積分的被積函數(shù)是實(shí)函數(shù),因此必須改造區(qū)間和函數(shù)以適應(yīng)留數(shù)定義和定理要求.要拓展定積分的積分區(qū)間為簡單閉曲線,這可以用代換或添加輔助線路或輔以極限概念來實(shí)現(xiàn).4/1/202473《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章利用留數(shù)計(jì)算定積分應(yīng)注意哪些問題?首先,由于留數(shù)是與其次,最后,定積分的被積函數(shù)必須轉(zhuǎn)變?yōu)槟硞€(gè)解析函數(shù)(或僅有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)).要準(zhǔn)確求出積分線路C內(nèi)的奇點(diǎn),以利于計(jì)算留數(shù):對于在實(shí)軸上存在孤立奇點(diǎn)的情形,還需要對積分線路進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?4/1/202474《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章其次,最后,定積分的被積函數(shù)必須*§4對數(shù)留數(shù)與輻角原理1.對數(shù)留數(shù)留數(shù)的重要應(yīng)用之一是計(jì)算積分─

f(z)關(guān)于曲線C的對數(shù)留數(shù)

[lnf(z)]′f(z)的對數(shù)留數(shù)4/1/202475《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章*§4對數(shù)留數(shù)與輻角原理1.對數(shù)留數(shù)留數(shù)的重要應(yīng)用之一留數(shù)有如下計(jì)算規(guī)則:引理1).2).若f(z)在z=zo的鄰域內(nèi)解析,zo為f(z)的n級零點(diǎn),則zo為的1級若z=zo是f(z)的m級極點(diǎn),則z=zo極點(diǎn),且有4/1/202476《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章留數(shù)有如下計(jì)算規(guī)則:引理1).2).若f(z)在z證:

1).于是:且若zo是f(z)的n級零點(diǎn),則在zo點(diǎn)鄰域內(nèi)有f(z)=(z–zo)n

g(z),g(z)在zo點(diǎn)鄰域內(nèi)解析,且g(zo)≠0.由于在zo點(diǎn)鄰域內(nèi)解析,故zo必為的一級極點(diǎn),4/1/202477《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章證:1).于是:且若zo是f(z)的n級零點(diǎn),2).于是:故若zo為f(z)的m級極點(diǎn),則在zo的去心鄰域內(nèi),有h(z)在zo點(diǎn)鄰域內(nèi)解析,且h(z0)≠0.z=zo是的一級極點(diǎn),且4/1/202478《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章2).于是:故若zo為f(z)的m級極點(diǎn),則Th1.(對數(shù)留數(shù)定理)其中:如果f(z)在簡單閉曲線C上解析且不為0.在C的內(nèi)部除去有限個(gè)極點(diǎn)以外也處處解析,那么:N為f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù),P為f(z)在C內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù),且C取正向,在計(jì)算零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí),m級的零點(diǎn)或極點(diǎn)算作m個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn).4/1/202479《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章Th1.(對數(shù)留數(shù)定理)其中:如果f(z)在簡單閉證:例:由留數(shù)定理及前面的引理可得.利用公式計(jì)算積分.4/1/202480《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章證:例:由留數(shù)定理及前面的引理可得.利用公式計(jì)算積分.3解:

1)2)f(z)在|z|<4內(nèi)有二個(gè)一級零點(diǎn):1,–3.無極點(diǎn)。所以N=2,P=0.4/1/202481《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章解:1)2)f(z)在|z|<4內(nèi)有二個(gè)一級零2.輻角原理考慮對數(shù)留數(shù)的幾何意義.z:沿C正向繞行一周,w=f(z)畫出連續(xù)封閉曲線Γ.（教材P174圖5-5）[當(dāng)z沿C的正向繞行一周Lnf(z)的改變量]4/1/202482《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章2.輻角原理考慮對數(shù)留數(shù)的幾何意義.z:沿C正向繞對數(shù)留數(shù)的幾何意義是Γ繞原點(diǎn)的回轉(zhuǎn)次數(shù).(z沿C正向繞一周時(shí))分子一定2π的整數(shù)倍±2kπ，其中k為w

沿Γ圍繞原點(diǎn)的圈數(shù)，逆時(shí)針圍繞時(shí)取正號。即:[當(dāng)z沿C的正向繞行一周ln|f(z)|的改變量＋iArgf(z)的改變量]=04/1/202483《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章對數(shù)留數(shù)的幾何意義是Γ繞原點(diǎn)的回轉(zhuǎn)次數(shù).(z沿C正向繞一周于是:因此公式可計(jì)算f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),這個(gè)結(jié)果稱為輻角原理.若f(z)在C內(nèi)解析,P=0,此時(shí)(零點(diǎn)的個(gè)數(shù))4/1/202484《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章于是:因此公式可計(jì)算f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),這Th2

(輻角原理):如果f(z)在簡單閉曲線C上與C內(nèi)解析,且在C上不等于零,那么f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于乘以當(dāng)z沿C的正向繞行一周f(z)的輻角的改變量.4/1/202485《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第五章Th2(輻角原理):如果f(z)在簡單閉曲線C3.

(路西定理)

(證明)Rouché設(shè)f(z)與g(z)在簡單閉曲線C上和C內(nèi)解析,且在C上滿足|f(z)|>|g(z