挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸真題匯編

專題03二次函數(shù)中面積問題壓軸真題訓(xùn)練

1.(2022?連云港)已知二次函數(shù)y=j?+Cm-2)x+m-4,其中加>2.

(1)當(dāng)該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點0(0,0),求此時函數(shù)圖象的頂點A的坐標(biāo)；

(2)求證：二次函數(shù)丁=尤2+(m-2)x+〃z-4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點在直線y

=-x-2上運動，平移后所得函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸的交點為8,求^

面積的最大值.

【解答】(1)解：把。(0,0)代入y=/+(m-2)x+m-4得:

m-4=0,

解得m=4,

.,.y=x2+2x=(x+1)2-1,

.??函數(shù)圖像的頂點A的坐標(biāo)為(-1,-1)；

(2)證明：由拋物線頂點坐標(biāo)公式得y=1+(m-2)x+m-4的頂點為(2?,

2

9

-in+8m20),

4

V/n>2,

.*.2-m<0,

2zm<o,

2

2

V-m+8m_20=-1(m-4)2--l<0,

44

...二次函數(shù)y=/+(/n-2)x+m-4的頂點在第三象限；

(3)解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=f+公+c,其頂點為(-

b4c-b2)

~2-

當(dāng)x=0時，B(0,c),

2

將(-A,4c-b)代入=-尸2得:

24

4c-『=旦-2,

42

?,-b2+2b-8

.?cz-------,

4

'：B(0,c)在y軸的負(fù)半軸，

.*.c<0,

：.AH=l,

在△AOB中，

2

SMOB=—OB*AH=—'X(-b+zb-/)X1=-A/?2-A/?+l=-_L(b+l)2+9,

2248488

：-1<0,

8

...當(dāng)Z?=-l時，此時CVO,S、AOB取最大值，最大值為?，

8

答：aAOB面積的最大值是9.

8

2.(2022?成都)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線丫=依-3(AW0)與

拋物線y=-f相交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè))，點8關(guān)于y軸的對

稱點為B1.

(1)當(dāng)k=2時，求A,B兩點的坐標(biāo)；

(2)連接。4,OB,AB',BB',若△8AB的面積與△OAB的面積相等，求k

的值；

(3)試探究直線A9是否經(jīng)過某一定點.若是，請求出該定點的坐標(biāo)；若不

是，請說明理由.

【解答】解：(1)當(dāng)女=2時，直線為y=2x-3,

.,.A(-3,-9),8(1,-1)；

的面積與△OAB的面積相等,

OB'//AB,

：.ZOB'B=ZB'BC,

'：B.夕關(guān)于y軸對稱，

：.OB=OB',ZODB=ZODB,=90°,

：.ZOBB=ZOBB',

：./OBB,=/BBC,

'：ZODB=90°=ZCDB,BD=BD,

：./\BOD^/\BCD(ASA),

，OD=CD,

在了=人-3中，令尤=0得y=-3,

：.C(0,-3),OC=3,

：.OD=1OC=1,D(0,-2),

222

在yn-x2中，令y=-3得-旦=-x2,

22

解得或x=-1，

_22

：.B(運-2),

22

把8(返_,-3)代入y=^-3得：

22

-旦=^^-3,

22

解得k=運;

2

當(dāng)GV0時，過夕作8尸〃A3交)，軸于F,如圖:

在y=Ax-3中，令x=0得y=-3,

：.E(0,-3),OE=3,

'：/\B'AB的面積與△OA8的面積相等，

：.OE=EF=3,

?；B、夕關(guān)于y軸對稱，

：.FB=FB',/FGB=NFGB，=90°,

?:B'F//AB,

：.ZEBB'=ZFB'B,

：.ZEBB'=ZFBB',

VZBG￡=90°=ZBGF,BG=BG,

:.△BGF/ABGE(ASA),

:.GE=GF=1EF=1,

22

AOG=OE+GE=1,G(0,-2),

22

在y=-J?中，令y=-9得-2=-X2,

22

解得x=s&或x=-3巨，

22

：.B(3返,-2),

22

把B(-?■返一,-9)代入y=kx-3得：

22

-g=3加4-3,

22

解得k=-1，

2__

綜上所述，々的值為限或-Y2；

22

(3)直線AB，經(jīng)過定點(0,3),理由如下：

f_2

由y-x得:/+入一3=0,

y=kx-3

設(shè)f+&-3=0二根為mb,

Aa+b=-k,ab=-3,A(a,-/),B(b,-〃),

?；B、夕關(guān)于y軸對稱，

(-b,-〃)，

設(shè)直線A夕解析式為y=/nr+〃，將A(a,-/),B'(-b,-b2)代入得:

(2

am+n=-a

2

.-bm+n=-b

解得：(m=-(a-b),

ln=-ab

?:a+b=-k,ab=-3,

?"=-(a-b)=b-?=V(a+b)2-4ab==Vk2+12)?=-ab=~(7)=

3,

，直線AB'解析式為y=7k2+12*-r+3，

令x=0得y=3,

直線A8經(jīng)過定點(0,3).

3.(2022?巴中)如圖1,拋物線yuo^+Zx+c,交x軸于A、B兩點,交y軸于

點C，口為拋物線頂點，直線EF垂直于x軸于點E,當(dāng)＞20時，-1WXW3.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點P是線段8E上的動點(除8、E外)，過點P作x軸的垂線交拋物

線于點D.

①當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時，求四邊形ACFD的面積；

②如圖2,直線A。，8。分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點.試問，EM+EN

是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

圖1圖2

【解答】解：(1)?.?當(dāng)y?0時，-l〈xW3,

/.XI=-1,%2=3是加+2x+c=0的兩根，A(-1,0),B(3,0),

?(a-2+c=0

19a+6+c=0

解得：fl.

1c=3

二拋物線的表達(dá)式為：y=-/+2x+3；

(2)①把x=2代入y=-/+2x+3得：y—3,

：.D(2,3).

又當(dāng)x=0,y=3,

：.C(0,3),

二線段CD〃x軸.

■；y=-X2+2X+3=-(x-1)?+4,

4)，=SAFCD+SAACD(yp~yA^=4：

②設(shè)￡)(m,-n?2+2/??+3)(1</w<3),

直線A￡)：y=k\x+b\9BD：y=kix+b2y

0=-k]+b]0=3卜2+b2

因此可得：＜或o

-m+2m+3=k]in+b]-m+2m+3=k2m+b?

ki=3-mk2=-]-m

解得：＜1或

b|=3-mb2=3m+3

直線AD：y=(3-m)x+(3-m),BD：y=-(/n+1)x+3(.m+l).

令x=l得y“=6-2m,yN=2m+2,

ME=6-2m,NE=2m+2,

：.NE+ME=S.

4.(2022?阜新)如圖，已知二次函數(shù)y=-J+bx+c的圖象交工軸于點A(-1,

0),B(5,0),交y軸于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,點M從點B出發(fā)，以每秒加個單位長度的速度沿線段3C向點

。運動，點N從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段OB向點8運

動，點M,N同時出發(fā).設(shè)運動時間為，秒(0V/V5).當(dāng)，為何值時，叢BMN

的面積最大？最大面積是多少？

（3）已知產(chǎn)是拋物線上一點，在直線上是否存在點Q,使以A,C,P,

。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點。坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

【解答】解：（1）將點A（-1,0）,B（5,0）代入y=-x1+bx+c中,

得/0=-l-b+c

10=-25+5b+c

解這個方程組得［b=4,

1c=5

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-/+4x+5;

（2）過點M作MELr軸于點E,如圖：

設(shè)面積為S,

根據(jù)題意得：ON=t,

?；B(5,0),

：.BN=5-t,

在y=-r+4x+5中，令x=0得y=5,

：.C(0,5),

:.OC=OB=5,

；.NOBC=45°.

：.ME=BMsin45°=如t與=t,

:.S=LBN?ME=L（5-1）*t=-工1+且=-A（r-A）2+絲，

2222228

V0<?<5,

.,.當(dāng)tQ■時，△8WN的面積最大，最大面積是空；

28

（3）存在點Q,使以A,C,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：

由8（5,0）,C（0,5）得直線8c解析式為y=-x+5,

設(shè)。（加，-m+5）,P（〃，-〃2+4〃+5），又4（-1,0）,C（0,5）,

①當(dāng)PQ,AC是對角線，則尸Q,AC的中點重合，

.m+n=~l+0

?.42，

,"m+5-n+4n+5=0+5

解得加=0（與C重合，舍去）或〃2=-7,

：.QC-7,12）；

②當(dāng)。A,PC為對角線，則Q4,PC的中點重合，

.fm-l=n+0

，

.~m+5+0=-n2+4n+5+5

解得加=0（舍去）或加=7,

：.Q（7,-2）；

③當(dāng)。C,附為對角線，則。C,%的中點重合，

.fm+0=n-l

，

,-m+5+5=-n2+4n+5+0

解得m=\或m=2,

：.Q（1,4）或（2,3）,

綜上所述，Q的坐標(biāo)為（-7,12）或（7,-2）或（1,4）或（2,3）.

5.（2022?鞍山）如圖，拋物線y=-與x軸交于A（-1,0）,B兩

點，與y軸交于點C（0,2）,連接BC.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點P是第三象限拋物線上一點，直線與y軸交于點。，△BCD的面

積為12,求點P的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下，若點E是線段8C上點，連接0E,將沿直線

0E翻折得到△。七夕，當(dāng)直線與直線8P相交所成銳角為45°,時，求點

8的坐標(biāo).

【解答】解：(1)將A(-1,0),C(0,2)代入y=-l^+bx+c,

2

(c=2

??4]f

方-b+c=0

解得力,

c=2

.*.y=--11+旦*+2；

-22

(2)令y=0,則-_1?+%+2=0,

22

解得x=-1或x=4,

：.B(4,0),

：.OB=4,

.,.SABCD=AX4X(2+0。)=12,

2

：.OD=4,

：.D(0,-4),

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,

.*=-4,

I4k+b=0

解得S,

lb=-4

.".y=x-4,

聯(lián)立方程組

x+2

解得卜=-3或［x=4,

ly=-7Iy=0

(-3,-7)；

(3)如圖1,當(dāng)8在第一象限時,

設(shè)直線BC的解析式為y=Z'x+6,

.Jb'=2,

l4k7+—=0'

解得4-2，

b'=2

?*.y=-AX+2,

2

設(shè)E(t,-L+2),

2

：.OH=t,EH=-lt+2,

2

,:D(0,-4),B(4,0),

：.OB=OD,

008=45°,

直線EB，與直線BP相交所成銳角為45°,

：.EB'//CD,

由折疊可知，。8=8。=4,BE=BE,

在中，S'H=716-t2>

?''B，￡=V16-t2'(_乎2)=V16-t2+1/-2,

.*.BE=Vl6-t2+l/-2,

在R5HE中，2)2=(4-f)2+(-乎2)2

解得一+生區(qū)，

一5

,.?0WW4,

.1=逅，

5

：.B'（±ZL82ZL）；

55

如圖2,當(dāng)8在第二象限，ZBGB-450時，

VZABP=45°,

，8G〃x軸，

?.?將△0E8沿直線0E翻折得到△OE8,

：.BE=B'E,OB=OB',ZBOE=ZB'OE,

：.ZBOE=ZB'EO,

：.B'E//B'O,

'：B'E=BO,

...四邊形是平行四邊形，

：.B'E=4,

：.B'（r-4,-lt+2）,

2

由折疊可知OB=OB'=4,

???平行四邊形OBES是菱形，

:.BE=OB,

??（4-t）2+（-yt+2）2=4,

解得r=4+8&或r=4-竺叵，

55

?.?0WW4,

.*.r=4-

5_

...8（一恒4恒）；

55__

綜上所述：8的坐標(biāo)為（返，/）或（-述，生叵）.

5555

方法2：在中，BC=2娓,CO：OB：BC=1：2：粕,

〈BP與x軸和y軸的夾角都是45°,BP與8E的夾角為45°,

.?.8E〃x軸或8萬〃），軸，

當(dāng)8七〃y軸時，延長8E交x軸于E,

C.B'FLOB,

■:NCBA=NOB'E,

.?.△OBFSACBO,

：.OF：FB'：80=1：2：遙，

?；0B=0B'=4,

:.F0=^~,B'F=8后,

55

：.B,（生叵,8粕）；

55

當(dāng)B'E//x軸時,過8'作B'FLx中交于F,

：.B'Fl.OF,B'E//OB,

'：B'E和BE關(guān)于0E對稱,OB和OB'關(guān)于0E對稱，

C.BE//0B',

"：XFOB'=ZOBC,

：./\OB'F^/\BCO,

：.B'FzF0-.03'=1：2：娓,

'：OB=OB'=4,

：.B'F=^B-,"=8恒,

55

...8（_嶇，Wl）；

55___

綜上所述：夕坐標(biāo)為（逅，述）或（-心應(yīng)，逅）.

Br

6.(2022?荷澤)如圖，拋物線＞=加+法+,(aWO)與x軸交于A(-2,0)、

B(8,0)兩點，與y軸交于點C(0,4),連接AC、BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)將△A3C沿AC所在直線折疊，得到△AOC,點B的對應(yīng)點為O,直接

寫出點。的坐標(biāo)，并求出四邊形OAOC的面積；

(3)點尸是拋物線上的一動點，當(dāng)NPC8=NA3C時，求點P的坐標(biāo).

B(8,0)兩點，與y軸交于點C(0,4),

4a~2b+c=0

?I64a+8b+c=0>

c=4

'1

解得：|-且?

噸

c=4

.?.拋物線的表達(dá)式為、=-12+2X+4；

4X2

(2)點。的坐標(biāo)為(-8,8),理由：

將△A8C沿AC所在直線折疊，得到△ADC,點3的對應(yīng)點為O,如圖,

(-2,0)、8(8,0),C(0,4),

：.OA=2,OB=8,OC=4.

?.@二，里」，

'0COB

?0A0C

"oc"OB'

VZAOC=ZCOB=90a,

:.△AOCs^COB,

：.ZACO=ZCBO.

,：ZCBO+ZOCB=90°,

AZACO+ZOCB=90°,

AZACB=9Q°,

?.?將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC,點8的對應(yīng)點為

...點O,C,8三點在一條直線上.

由軸對稱的性質(zhì)得：BC=CD,AB=AD.

VOC±AB,DELAB,

.".DE//OC,

：.OC為△8DE的中位線，

：.OE=OB=S,DE=2OC=S,

：.D(-8,8)；

由題意得：SAACD=S\ABC,

四邊形OADC的面積

=S^OAC+S^ABC

=工xOC*OA+1.xAB?OC

22

=±X4X2+J-X10X4

22

=4+20

=24；

(3)①當(dāng)點P在BC上方時，如圖，

J.PC//AB,

...點C,P的縱坐標(biāo)相等，

點P的縱坐標(biāo)為4,

令y=4,貝ij-1c+4=4,

解得：x=0或x=6,

：.P(6,4)；

②當(dāng)點P在BC下方時，如圖,

'：/PCB=ZABC,

設(shè)HB=HC=m,

：.OH=OB-HB=8-m,

在RtZ\COH中，

,:OC2+OH2=CH2,

42+(8-zn)2—nr,

解得：m—5,

：.OH=3,

：.H(3,0).

設(shè)直線PC的解析式為y=fcc+〃,

.中=4,

I3ktn=0

1_4

解得：卜一瓦.

n=4

???y=-與4+.4A?

：.P(34,-獨).

39

綜上，點尸的坐標(biāo)為(6,4)或(旦生--1^2.).

39

7.(2022?沈陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點B

(6,0)和點。(4,-3),與x軸的另一個交點為A,與y軸交于點C,作

直線AD.

(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

②直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點E是直線A。下方的拋物線上一點，連接BE交AD于點、F,連接8D,

DE,尸的面積記為Si,△OEF的面積記為S2,當(dāng)SI=2S2時，求點E的

坐標(biāo)；

(3)點G為拋物線的頂點，將拋物線圖象中x軸下方的部分沿x軸向上翻折，

與拋物線剩下的部分組成新的曲線記為。，點C的對應(yīng)點為C',點G的對

應(yīng)點為G',將曲線。沿y軸向下平移〃個單位長度(0<n<6).曲線Ci

與直線的公共點中，選兩個公共點記作點P和點Q,若四邊形CG'QP

是平行四邊形，直接寫出點P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)①???拋物線y=a?+fec-3經(jīng)過點B(6,0)和點D(4,

-3),

36a+6b-3=0

16a+4b_3=：_3

,1

解得：aq,

b=-l

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=：-x-3；

4

②由①得y=￥-x-3,

當(dāng)y=0時，Ax2-%-3=0,

-4

用軍彳導(dǎo)：xi=6,X2=-2,

AA(-2,0),

設(shè)直線A。的函數(shù)表達(dá)式為則卜2k+d=0,

I4k+d=_3

\_1

解得:k.

d=-l

二直線A。的函數(shù)表達(dá)式為y=*-1；

(2)如圖1,過點8作86〃)軸交直線A。于G,過點E作￡”〃>軸交直線

AD于H,

VSi=252,即包迎=2,

^ADEF

.?.班=2,

EF

'：BG//y^,E”〃y軸，

J.BG//EH,

:.ABFGsAEFH,

ABG==BF=2>即BG=2EH,

EHEF

Y點G在直線y=*-1上，BG〃y軸，

：.G(6,-4),

:.BG=4,

:.EH=2,

設(shè)E(x,-kx2-x-3),則“(x,_Ax-1),

42

EH=_Ax-1-(A.%2-x-3)=-AX2+A%+2,

2442

2

-AX+_1.X+2=2>

42

解得：xi=0,X2=2,

：.E(0,-3)或(2,-4)；

(3),.,y=L2-x-3=A(x-2)2-4,

44

頂點坐標(biāo)為G(2,-4),

當(dāng)x=0時，y=3,即點C(0,-3),

.,.點C'(0,3),G'(2,4),

.?.向上翻折部分的圖象解析式為y=-1(x-2)2+4,

...向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為y=-l(x-2)2+4-n,平移后拋物

4

線剩下部分的解析式為(九-2)2-4-〃，

設(shè)直線BC的解析式為y=/x+d'(/70),

把點8(6.0),C(0,-3)代入得：［6k'+d'=0,

Id7=-3

(，-A

解得：，一2,

d'=-3

二直線8C的解析式為3,

同理直線C'G'的解析式為y=/+3,

：.BC//CG',

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(s,工-3),

2

?點C'(0,3),G'(2,4),

...點C'向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點G',

???四邊形C'G'QP是平行四邊形，

.?.點Q(5+2,1s-2),

2

當(dāng)點P,。均在向上翻折部分平移后的圖象上時，

’191

-T(s-2)+4-n=-z-s~3

貝*:1，

9

工(s+2-2)+4-n=qs-2

解得:s=0

n=6

V0<n<6,

，s=0,〃=6不符合題意，舍去;

當(dāng)點P在向上翻折部分平移后的圖象上，點。在平移后拋物線剩下部分的圖

象上時，

f121

則L-77（s-2）+4-n=K，S-3，

9

1（s+2-2）-4-n=-s-2

解得：卜=i+d萬或卜=i-T7（不合題意，舍去），

In=2\n=2

當(dāng)點P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點Q在向上翻折部分平移后的圖

象上時,

1,91

~r(s-2)-4-n=-^-s-3

則,、

口(s+2-2)+4-n=5s-2

解得：至或卜=1+里1（不合題意，舍去），

n=2+V13ln=2-V13

綜上所述，點尸的坐標(biāo)為（i+VTF，-5而）或J5-V13..）.

22

圖2

8.(2022?西藏)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-U+(a-1)x+2〃？與x

2

軸交于A,B(4,0)兩點，與y軸交于點C,點P是拋物線在第一象限內(nèi)的

一個動點.

(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點A,C的坐標(biāo)；

(2)如圖甲，點M是直線上的一個動點，連接AM,OM,是否存在點M

使AM+OM最小，若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)如圖乙，過點尸作PFLBC,垂足為凡過點C作CO_L3C,交x軸于

點D,連接。P交8C于點E,連接CP.設(shè)△PEF的面積為Si,△PEC的面

積為S2,是否存在點P,使得出最大，若存在，請求出點尸的坐標(biāo)，若不存

S2

【解答】解：(1)將3(4,0)代入y=-Ax2+Cm-1)x+2m,

：.-8+4Cm-1)+2〃z=0,

解得m=2,

.*.y=-AX2+X+4,

2

令x=0,則y=4,

：.C(0,4),

令y=0,則-工

2

解得x=4或％=-2,

AA(-2,0)；

(2)存在點似使AM+OM最小，理由如下：

作。點關(guān)于3C的對稱點。‘，連接A。'交8c于點M,連接3。,

由對稱性可知，0M=O'M,

，AM+OM=AM+O'M^AO',

當(dāng)A、M、。三點共線時，AM+OM有最小值，

VB(4,0),C(0,4),

：.OB=OC,

：.ZCBO=45°,

由對稱性可知/O'BM=45°,

：.BO'±BO,

：.O'(4,4),

設(shè)直線AO'的解析式為y=kx+b,

?f-2k+b=0

l4k+b=4

k卷

解得

b4

x+A,

33

設(shè)直線BC的解析式為y=k'x+4,

.?.4女'+4=0,

：?K=-1,

，y=-x+4,

y=-x+4

聯(lián)立方程組，24，

y=7x+3

f8

x至

解得:c,

12

|y=V

：.M(反，必；

55

(3)存在點P,使得2L最大，理由如下：

s2

連接尸8,過P點作PG〃y軸交C8于點G,

設(shè)P6-上尸+什4),則G(/,7+4),

2

：.PG=-1?+2/,

2

：08=00=4,

:.BC=4M，

.,.SABCP=1X4X(-工產(chǎn)+2/)=-產(chǎn)+4f=_lX4&XPF,

222

：.PF=-返

4

■:CDLBC,PFLBC,

：.PF//CD,

???E■F.-3PFi,

CECD

?.a=空,

S2CE

?S1-PF

??一,

s2CD

:B。兩點關(guān)于y軸對稱，

C￡)=4^2?

AL=-_L_(i2-4t)="—(/-2)2+A,

S216164

???P點在第一象限內(nèi)，

/.0<r<4,

.??當(dāng)/=2時，包有最大值上,

$24

此時P(2,4).

9.（2022?青海）如圖1,拋物線yuf+foc+c與x軸交于A（-1,0）,B（3,

0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點E是拋物線的對稱軸與直線8C的交點，點E是拋物線的頂點，求

的長；

（3）設(shè)點P是（1）中拋物線上的一個動點，是否存在滿足S△%B=6的點P?

如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（請在圖2中探討）

【解答】解：（1）將A（-1,0）,8（3,0）代入y=f+bx+c,

得：（l-b+c=0,解得：（b=-2,

I9+3b+c=0\c=_3

二該拋物線的解析式為-2r-3.

（2）..?拋物線的解析式為y=1-2x-3,

拋物線的頂點產(chǎn)的坐標(biāo)為（1,-4）,拋物線的對稱軸為直線.*=

當(dāng)x=0時，y=02-2X0-3=-3,

.?.點C的坐標(biāo)為（0,-3）.

設(shè)直線8C的解析式為（加W0）,

將B（3,0）,C（0,-3）代入y=wv+〃，

得：13m+n=0,解得：1m=l,

ln=-3ln=-3

直線BC的解析式為y=x-3.

當(dāng)x=l時，y=1-3=-2,

.?.點￡的坐標(biāo)為（1,-2）,

.,衣=|-2-（-4）|=2.

（3）?.,點A的坐標(biāo)為（-1,0）,點B的坐標(biāo)為（3,0）,

：.AB=\3-（-1）|=4.

設(shè)點尸的坐標(biāo)為（力產(chǎn)-2r-3）.

"?"SAMS=6.

.?.1X4X|?-2Z-3|=6,

2

即--2r-3=3或r2-2r-3=-3,

解得：n=1-V7>/2=1+V7'f3=0,白=2,

.?.存在滿足S△用B=6的點尸，點P的坐標(biāo)為(1-4，3)或(1+J7,3)或

(0,-3)或(2,-3).

10.(2022?上海)在平面直角坐標(biāo)系宜制中，拋物線y="1d+foc+c過點A(-2,

-1),B(0,-3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)平移拋物線，平移后的頂點為尸(m,ri')(；77>O).

i.如果SAOBP=3,設(shè)直線x=k,在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線均

呈上升趨勢，求左的取值范圍；

ii.點P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點0,且NBPQ=120。，求點P

的坐標(biāo).

【解答】解：(1)將4(-2,-1),B(0,-3)代入y=L-2+法+c,得：

2

f-l=2-2b+c

I-3=c

解得：1=0,

Ic=_3

二拋物線的解析式為)，=h-3.

(2)i.?.?尸占-3,

2

，拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,-3),

即點B是原拋物線的頂點，

?.?平移后的拋物線頂點為P(〃7,〃)，

...拋物線平移了依I個單位，

*'?S/\OPB~—X3|/n|—3?

2

**?"2=2,

即平移后的拋物線的對稱軸為直線x=2,

?.?在x=Z的右側(cè)，兩拋物線都上升，原拋物線的對稱軸為y軸，開口向上，

.M22；

ii.把尸(如〃)代入丁二2X27,

2

?n=12—3.

qm°'

:,P(m,—2-3)9

2

由題意得，新拋物線的解析式為y=^(x_m)2+n=lx2_mx+m2-3,

，Q(0,m2_3),

?：B(0,-3),

,BQ=m2,BP2=m2+(ym2-3+3)2=m2+[i?，箋=

m2+[(ym2-3)-(m2-3)]2=m2-^m4,

：.BP=PQ,

如圖，過點P作尸CJ_y軸于C,則PC=|m|,

,:PB=PQ,PCLBQ,

：.BC=lBQ=lm2,ZBPC=1ZBPQ=1X120°=60°,

2222

12

/.tanZBPC=tan60°=Bt.=2_J7,

PCImlYS

:?m=2M或m=-2如(舍)，

.,.二/--3=3,

，P點的坐標(biāo)為(2五，3).

軸交于A,B兩點,A(1,0),AB=4,點P為線段AB上的動點，過P作PQ

〃8C交AC于點Q.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求△CP。面積的最大值，并求此時P點坐標(biāo).

【解答】（1）???拋物線產(chǎn)/+法+c（b,c是常數(shù)）的頂點為C,與x軸交于

A,8兩點，A（1,0）,AB=4,

：.B（-3,0）,

?fl+b+c=0

I9-3b+c=0

解得『=2,

Ic=_3

...拋物線的解析式為曠=r+2%-3；

（2）過。作QEJ_x軸于E,過。作CFJ_x軸于尸，

設(shè)PCm,0),則PA=\-m,

"."y=x2+2x-3=(x+1)2-4,

：.C(-1,-4),

：.CF=4,

,JPQ//BC,

：.^PQA^/\BCA,

?QE_AP^||QE=_l--m'

"CF"AB"'vr

QE=1-m,

?'.SA.CPQ=S^PCA-S八PQA

=1PA*CF-IPA*QE

=_L(l-m)X4-A(1-/?)(1-m)

22

=-—(/n+1)?+2,

2

...當(dāng)加=-1時SACPQ有最大值2,

面積的最大值為2,此時P點坐標(biāo)為(-1,0).

11.(2022?福建)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，已知拋物線>=加+區(qū)經(jīng)過A(4,

0),B(1,4)兩點.P是拋物線上一點，且在直線A3的上方.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若△048面積是面積的2倍，求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖，OP交45于點C,PQ〃30交45于點。.記△COP,△CPB,

△CB。的面積分別為S,S2,判斷出C+*C是否存在最大值.若存在，求

$2S3

出最大值；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)將A(4,0),B(1,4)代入^=加+么,

(4

...[16a+4b=0,解得3

la+b=4N喏

拋物線的解析式為：y=-￡+旦.

33

(2)設(shè)直線A3的解析式為：y=kx+t,

將A(4,0),B(1,4)代入y=h:+f,

4k+t=0

k+t=4

妊3

解得

16

〈A(4,0),B(1,4),

.*.SAO/IB=1X4X4=8,

2

S/\0AB=2S^PAB-ST即SAB4B=4,

過點P作PMLx軸于點M,PM與AB交于點N,過點B作BE上PM于點E,

如圖,

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,

.\P(m,-,N(m,-Am+JA)

3333

PN=-AW2+JA/??-(-芻w+K)=3..

33333

解得m=2或加=3；

：.P(2,K)或(3,4).

3

(3)'JPD//OB,

：.ZDPC=ZBOC,ZPDC=ZOBC,

:.△DPCsABOC,

:.CP：CO=CD：CB=PD：OB,

sS

..i=CD=PD2=CP=PP

?豆CB而'可COOB'

SS

?1.2=2PD

*-s7可"5T

設(shè)直線A3交y軸于點F.則E（0,竽），

過點尸作軸，垂足為H,PH交AB于點G,如圖,

：.ZPDG=ZOBF,

'：PG//OF,

：.NPGD=ZOFB,

:.△PDGSAOBF,

：.PDtOB=PG：OF,

設(shè)P(〃，-芻(l<n<4),

33

由(2)可知，PG=-生?2+4-西，

333

2PD=2FG=3PG=-_L(/?-A)2+,5..

S2s3OBOF8228

Vl<n<4,

當(dāng)〃=上時，包+包的最大值為9.

2s2s38

12.(2022?岳陽)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線為：y=x2+bx+c

經(jīng)過點A(-3,0)和點B(1,0).

(1)求拋物線B的解析式；

(2)如圖2,作拋物線尸2,使它與拋物線B關(guān)于原點。成中心對稱，請直

接寫出拋物線B的解析式；

(3)如圖3,將(2)中拋物線仍向上平移2個單位，得到拋物線尸3,拋物

線B與拋物線尸3相交于C,。兩點(點。在點。的左側(cè)).

①求點。和點。的坐標(biāo)；

②若點M,N分別為拋物線Fi和拋物線B上C,D之間的動點（點M,N與

點C,。不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值.

?J9_3b+c=0

1l+b+c=O

解得(b=2,

Ic=-3

.*.y=x2+2x-3；

(2),.?=x2+2x-3=(x+1)2-4,

...拋物線的頂點(-1,-4),

?.?頂點(-1,-4)關(guān)于原點的對稱點為(1,4),

；?拋物線人的解析式為y=-(x-1)2+4,

'?y=~X2+2X+3；

(3)由題意可得，拋物線后的解析式為y=-(x-1)2+6=-f+2x+5,

f2

①聯(lián)立方程組.y=-X+2*5,

,y=x2+2x-3

解得x=2或x=-2,

：.C(-2,-3)或￡>(2,5)；

②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,

?f-2k+b=~3

I2k+b=5

解得產(chǎn)，

Ib=l

/?y=2x+1,

過點M作MF//y軸交CD于點F,過點N作NE//y軸交CD于點E,

設(shè)M(m,m2+2m-3),N(〃，-n2+2n+5),

貝!JF(m,2m+1),E(〃，2〃+l),

'.MF=2m+\-(m2+2m-3)=-n/2+4,

NE--n2+2n+5-2n-\=-/r+4,

：-2<m<2,-2<n<2,

...當(dāng)加=0時，MF有最大值4,

當(dāng)"=0時，NE有最大值4,

Spqij?CMDN=S^CDN+SACDM=4X(MF+NE)=2(MF+NE),

2

...當(dāng)MF+NE最大時，四邊形CMDN面積的最大值為16.

13.（2023?沛縣模擬）如圖，已知拋物線y=-/+以經(jīng)過點人（4,0）和B（1,

〃2）點，其對稱軸交x軸于點“，點C是拋物線在直線A3上方的一個動點（不

含A,B兩點）.

(1)求a、的值.

(2)連接AB.0B,若△A03的面積是的面積的2倍，求點C的坐標(biāo).

(3)若直線AC、。。分別交該拋物線的對稱軸于點E、F,試問是否

為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

【解答】解：(1)將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=-16+4a,解得:

<7=4,

即拋物線的表達(dá)式為：y=-f+4x,

當(dāng)x=l時，y=-f+4x=3,即點8(1,3),即必=3,

故a=4,"?=3；

(2)延長AB交y軸于點N,過點。作CM〃A8交y軸于點

設(shè)直線A3的表達(dá)式為：y=kx+b,則［3=k+b,

(0=4k+b

解得：八=-1,即點N(0,4),即0N=4,

lb=4

AAOB的面積是△ABC的面積的2倍，

:.MN=L0N=2,即點M(0,6),

2

'：CM//AB,

故直線CM的表達(dá)式為：y=-x+6,

聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：-f+4x=-x+6,

解得：x=2或3,

即點C(2,4)或(3,3)；

(3)是定值，理由：

設(shè)點C(f,-產(chǎn)+4t),

由點A、C的坐標(biāo)得：直線AC的表達(dá)式為：y=-/(x-4),

當(dāng)x=2時，y=2t,即點E(2,2力，則E”=2f,

由點C的坐標(biāo)得，直線CO的表達(dá)式為：y=(-r+4)x,

當(dāng)x=2時，y=(-什4)x=-2什8,即點F(2,-2什8),貝UFH=-2/+8,

則EH+FH=2t-2r+8=8,為定值.

14.(2023?柳南區(qū)一模)如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過點C(0,3),與x軸

交于A,B兩點，頂點坐標(biāo)。(1,4),連接8C交對稱軸于點￡

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點尸是拋物線上的一個動點，位于直線8c的上方(點P與B,。不

重合)，過P作y軸的平行線交BC于F點；

①設(shè)點P的橫坐標(biāo)為加，當(dāng)四邊形OEFP是平行四邊形時，求〃?的值；

②在①的條件下，拋物線上是否存在點Q,使得△QBC的面積與△P8C的面

積相等，若存在，請求出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

y.

【解答】解：(1)?.?頂點坐標(biāo)。(1,4),

設(shè)二次函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x-1)2+4,

把C(3,0)代入y=a(尤T)?+4,解得a=-l,

.??拋物線解析式為y=-/+2無+3；

(2)①當(dāng)y=0時，貝！J-

??XI=1>X2=3>

.?.點8(3,0),

;點C(0,3),

設(shè)直線8C的解析式為丁=辰+力(AW0),

把B(3,0),C(0,3)代入直線尸區(qū)+。(20)得倍3k+b,解得(k=-：

I3=b1b=3

.?.8C解析式為＞=-x+3,

?點。(1,4),

.?.點E(1,2),

:.DE=2,

設(shè)點P(m,-m2+2m+3),則點F(tn,-m+3),

PF=(-/n2+2/w+3)-(m+3)=-nr+?>m,

???四邊形DEFP是平行四邊形，

:.PF=DE,

-2+4=-m2+3m,解得，m=l(不合題意舍去)，mi=2,

??m2；

②當(dāng)點。、點P在直線BC的同側(cè)時，如圖所示：

四邊形DEFP是平行四邊形,

：.PD//BC,

:.SABPC=SADBC,

，當(dāng)點。與點D重合時，SABPC=S2BC,

.,.點。(1,4)；

當(dāng)點P與點Q在直線8C的異側(cè)時，延長交y軸于"，在0C上截取CN

=CH=2,則N(0,1),過點N作3c的平行線交拋物線于點。，

如圖所示：

'.,DP//BC,

設(shè)直線DP的解析式為y=-x+d,

將。(1,4)代入y=-x+d得到4=-l+d,解得d=5,

二直線DP的解析式為y=-x+5,

，點”(0,5),

,/C(0,3),

：.CH=2,

VBC//QN,NC=CH,

/.QN與BC的距離與DP與BC的距離相等，

：5、BCQ=SABCP,

'：QN//BC,點N(0,1),

/.直線QN的解析式為y=-x+1,

fy=-+lX=9

聯(lián)立方程組得y\x,解得“L或

y=-x2+2x+3-1W17

_y2__

綜上所述,滿足題意的點Qi(昱票，二叵)，點Q?盧好，二等工)，

點。3(1,4).

15.(2022?淄博)如圖，拋物線y=-N+bx+c與x軸相交于A,8兩點(點A

在點3的左側(cè))，頂點。(1,4)在直線/：y=&+/上，動點P(〃?，〃)在

3

x軸上方的拋物線上.

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過點P作PMJ_x軸于點M,PN上I于點、N,當(dāng)Km<3時，求PM+PN

的最大值；

(3)設(shè)直線AP,BP與拋物線的對稱軸分別相交于點E,F,請?zhí)剿饕訟,F,

B,G(G是點E關(guān)于x軸的對稱點)為頂點的四邊形面積是否隨著P點的