分離參數(shù)法解決不等式恒成立問題[典例](2014·天津調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1，對任意x∈[eq\f(3,2)，＋∞)，f(eq\f(x,m))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．[審題視角]本題把函數(shù)問題與恒成立問題巧妙的結(jié)合起來，解題時先把參數(shù)分離，從而把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．[解析]依據(jù)題意得eq\f(x2,m2)－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈[eq\f(3,2)，＋∞)上恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1在x∈[eq\f(3,2)，＋∞)上恒成立．即(eq\f(1,m2)－4m2)≤(－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1)min，當(dāng)x＝eq\f(3,2)時函數(shù)y＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1取得最小值－eq\f(5,3)，所以eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(5,3)，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2).[答案](－∞，－eq\f(\r(3),2)]∪[eq\f(\r(3),2)，＋∞)對于給定區(qū)間上的不等式恒成立問題，一般可根據(jù)以下幾步求解：第一步：整理不等式，分離參數(shù)；第二步：構(gòu)造函數(shù)g(x)；第三步：求函數(shù)g(x)在給定區(qū)間上的最大值或最小值；第四步：根據(jù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點，完善解題步驟．該題需注意兩點：①分離參數(shù)時一定要搞清誰是參數(shù)；②求g(x)最值的常用方法有：二次函數(shù)、均值不等式、單調(diào)性等．1．(2014·廣州模擬)若關(guān)于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，求a的取值范圍．解：由4x－2x＋1－a≥0可得a≤4x－2x＋1令2x＝t，則4x＝t2，∵x∈[1,2]，∴t∈[2,4]∴a≤t2－2t，要使關(guān)于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立只需a≤(t2－2t)min，而t2－2t＝(t－1)2－1∵t∈[2,4]∴t2－2t∈[0,8]，∴a≤0.2．(2014·淄博模擬)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0對一切x∈(0,2]恒成立，則a的取值范圍為()A．(－∞，eq\f(1－\r(3),2))B．[eq\f(1＋\r(3),2)，＋∞)C．(－∞，eq\f(1－\r(3),2)]∪[eq\f(1＋\r(3),2)，＋∞)D．[eq\f(1－\r(3),2)，eq\f(1＋\r(3),2)]解析：∵x∈(0,2]，∵a2－a≥eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)).要使a2－a≥eq\f(1,x＋\f(1,x))在x∈(0,2]上恒成立，則a2－a≥(eq\f(1,x＋\f(1,x)))max，由均值不等式得x＋eq\f(1,x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，等號成立，即(eq\f(1,x＋\f(1,x)))max＝eq\f(1