無向圖與有向圖的基本概念2023REPORTING引言無向圖的基本性質(zhì)有向圖的基本性質(zhì)無向圖與有向圖的表示方法無向圖與有向圖的應(yīng)用舉例總結(jié)與展望目錄CATALOGUE2023PART01引言2023REPORTING圖論是研究圖的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)及其應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。圖是由頂點(diǎn)（或節(jié)點(diǎn)）和邊構(gòu)成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用于表示對(duì)象及其之間的關(guān)系。圖論的基本概念根據(jù)邊的方向和權(quán)重，圖可分為無向圖、有向圖、加權(quán)圖等。無向圖和有向圖是圖論中最基本的概念。圖的分類圖的定義與分類無向圖無向圖是一種沒有方向性的圖，其中邊連接兩個(gè)頂點(diǎn)，表示這兩個(gè)頂點(diǎn)之間存在某種關(guān)系。在無向圖中，邊沒有箭頭，表示關(guān)系是雙向的。有向圖有向圖是一種具有方向性的圖，其中邊以箭頭的形式連接兩個(gè)頂點(diǎn)，表示從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的單向關(guān)系。在有向圖中，邊的方向性通過箭頭來表示。無向圖與有向圖的概念PART02無向圖的基本性質(zhì)2023REPORTING

連通性連通圖在無向圖中，若任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑，則稱該圖是連通圖。連通分量無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量。割點(diǎn)對(duì)于連通圖G，如果刪除一個(gè)頂點(diǎn)v及其相關(guān)聯(lián)的邊后，G的連通分量數(shù)增加，則稱v為G的一個(gè)割點(diǎn)。在無向圖中，與頂點(diǎn)v相關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為v的度，記作deg(v)。度無向圖中所有頂點(diǎn)的度的最大值稱為最大度，最小值稱為最小度。最大度與最小度將無向圖中所有頂點(diǎn)的度按非遞增順序排列得到的序列稱為該圖的度序列。度序列度與度序列在無向圖中，一條至少包含3個(gè)頂點(diǎn)且起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的路徑稱為圈。圈除了起點(diǎn)和終點(diǎn)外，其余頂點(diǎn)均不相同的圈稱為簡單圈。簡單圈在無向圖中，由一系列頂點(diǎn)和邊交替出現(xiàn)構(gòu)成的序列，且任意相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條邊相連，這樣的序列稱為路徑。路徑在無向圖中，連接兩個(gè)頂點(diǎn)之間所有路徑中邊數(shù)最少的路徑稱為最短路徑。最短路徑圈與路徑PART03有向圖的基本性質(zhì)2023REPORTING如果將有向圖中的所有有向邊替換為無向邊后，所得的無向圖是連通的，則稱該有向圖是弱連通的。如果對(duì)于有向圖中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)u和v，都存在從u到v和從v到u的路徑，則稱該有向圖是強(qiáng)連通的。有向圖的連通性強(qiáng)連通性弱連通性對(duì)于有向圖中的一個(gè)頂點(diǎn)v，指向v的有向邊的數(shù)量稱為v的入度。入度出度平衡節(jié)點(diǎn)對(duì)于有向圖中的一個(gè)頂點(diǎn)v，從v出發(fā)的有向邊的數(shù)量稱為v的出度。如果一個(gè)頂點(diǎn)的入度等于出度，則該頂點(diǎn)被稱為平衡節(jié)點(diǎn)。030201入度與出度有向路徑在有向圖中，如果存在一條從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)v的路徑，且路徑中的頂點(diǎn)互不相同（除了起點(diǎn)和終點(diǎn)可能相同），則稱該路徑為有向路徑。有向圈在有向圖中，如果存在一條從頂點(diǎn)v開始并回到v的路徑，且路徑中的其他頂點(diǎn)互不相同，則稱該路徑為有向圈。簡單有向路徑如果一條有向路徑中的所有邊都互不相同，則該路徑被稱為簡單有向路徑。有向圈與有向路徑PART04無向圖與有向圖的表示方法2023REPORTING定義鄰接矩陣是表示頂點(diǎn)之間相鄰關(guān)系的矩陣。對(duì)于無向圖，若頂點(diǎn)i與頂點(diǎn)j之間有邊相連，則鄰接矩陣中第i行第j列的元素值為1，否則為0。對(duì)于有向圖，若存在從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的有向邊，則鄰接矩陣中第i行第j列的元素值為1，否則為0。優(yōu)點(diǎn)直觀、簡單、方便檢查任意兩頂點(diǎn)間是否有邊相連。缺點(diǎn)空間復(fù)雜度高，對(duì)于稀疏圖尤其浪費(fèi)空間。鄰接矩陣表示法定義01鄰接表是圖的一種鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)，包括頂點(diǎn)表和邊表。頂點(diǎn)表由頂點(diǎn)域和指向第一條依附該頂點(diǎn)的邊的指針組成，邊表由邊域和指向下一條依附相同頂點(diǎn)的邊的指針組成。優(yōu)點(diǎn)02空間效率高，容易找到任一頂點(diǎn)的所有鄰接點(diǎn)。缺點(diǎn)03判斷兩頂點(diǎn)間是否有邊或弧不如鄰接矩陣方便。鄰接表表示法優(yōu)點(diǎn)容易找到以v為尾的弧，也容易找到以v為頭的弧，因而容易求得頂點(diǎn)的出度和入度。缺點(diǎn)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)起來相對(duì)困難。十字鏈表表示法PART05無向圖與有向圖的應(yīng)用舉例2023REPORTING最小生成樹定義一個(gè)連通無向圖的最小生成樹是指一個(gè)邊集，它連接了圖中的所有頂點(diǎn)，且不形成任何環(huán)，其所有邊的權(quán)值之和最小。Prim算法從一個(gè)頂點(diǎn)開始，每次選擇一條連接已選擇頂點(diǎn)和未選擇頂點(diǎn)中權(quán)值最小的邊，直到所有頂點(diǎn)都被選擇。求解算法常見的求解最小生成樹的算法有Prim算法和Kruskal算法。Kruskal算法按照邊的權(quán)值從小到大的順序選擇邊，每次選擇一條連接兩個(gè)未連接頂點(diǎn)的邊，直到所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)連通分量中。最小生成樹問題最短路徑問題最短路徑定義在無向圖或有向圖中，從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑是指一條路徑，其所有邊的權(quán)值之和最小。求解算法常見的求解最短路徑的算法有Dijkstra算法和Floyd算法。Dijkstra算法適用于沒有負(fù)權(quán)邊的圖，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，每次選擇距離最短的未訪問過的頂點(diǎn)進(jìn)行訪問，并更新其他頂點(diǎn)到起點(diǎn)的最短距離。Floyd算法適用于任意圖，通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想，依次將每個(gè)頂點(diǎn)作為中間點(diǎn)，更新任意兩點(diǎn)間的最短路徑。網(wǎng)絡(luò)流定義在一個(gè)有向圖中，每條邊都有一個(gè)非負(fù)整數(shù)表示的容量。網(wǎng)絡(luò)流是指一個(gè)滿足流量守恒和容量限制的流函數(shù)，它表示了從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的流量分配情況。常見的求解網(wǎng)絡(luò)流問題的算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。通過不斷尋找增廣路徑并增加流量，直到不存在增廣路徑為止。該算法的時(shí)間復(fù)雜度取決于每次尋找增廣路徑的方法。在Ford-Fulkerson算法的基礎(chǔ)上，使用廣度優(yōu)先搜索來尋找增廣路徑，從而保證了每次找到的增廣路徑都是最短的。因此，該算法的時(shí)間復(fù)雜度相對(duì)較低。求解算法Ford-Fulkerson算法Edmonds-Karp算法網(wǎng)絡(luò)流問題PART06總結(jié)與展望2023REPORTING無向圖和有向圖都是圖論中的基本概念，用于描述對(duì)象之間的二元關(guān)系。它們都由節(jié)點(diǎn)（或頂點(diǎn)）和邊組成，節(jié)點(diǎn)表示對(duì)象，邊表示對(duì)象之間的關(guān)系。聯(lián)系無向圖中的邊沒有方向，連接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)互為鄰居；而有向圖中的邊有方向，連接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)，且起點(diǎn)和終點(diǎn)的關(guān)系是單向的。此外，無向圖通常關(guān)注連通性、最短路徑等問題，而有向圖則更關(guān)注可達(dá)性、環(huán)路檢測等問題。區(qū)別無向圖與有向圖的聯(lián)系與區(qū)別網(wǎng)絡(luò)建模與分析圖論為計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)等復(fù)雜系統(tǒng)的建模提供了有效的工具。通過對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的分析，可以揭示網(wǎng)絡(luò)性能、信息傳播等關(guān)鍵特性。許多計(jì)算機(jī)科學(xué)問題可以轉(zhuǎn)化為圖論問題求解，如最短路徑、最小生成樹等?；趫D論的算法設(shè)計(jì)在性能優(yōu)化、資源分配等方面具有廣泛應(yīng)用。圖作為一種非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可用于表示復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)系。同時(shí)，圖的可視化技術(shù)有助于直觀地展示數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)和趨勢。在人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，圖論可用于表示知識(shí)圖譜、推薦系統(tǒng)等?；趫D論的算法可以挖掘數(shù)據(jù)中的隱藏模式