八年級上冊13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題點此播放教學(xué)視頻

整理課件八年級上冊13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題點此播放教學(xué)視1

引言：

前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”．引入新知整理課件引言：引入新知整理課件2問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl點此播放題解視頻

整理課件問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久探索新知BA3精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？探索新知BAl整理課件精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的探索新知B4追問1

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al點此播放演示視頻

整理課件追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，5（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；探索新知追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？整理課件（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；探索新知6探索新知追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設(shè)C為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點C在l的什么位置時，

AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．BAlC整理課件探索新知追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，（37追問1

對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·整理課件追問1對于問題2，如何探索新知問題2如圖，點A8追問2

你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·整理課件追問2你能利用軸對稱的探索新知問題2如圖，點A9作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·B′C整理課件作法：探索新知問題2如圖，點A，B在直線l的10探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C整理課件探索新知問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？11證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′整理課件證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不探索新知12探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．整理課件探索新知問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？13若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追問1

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？整理課件若直線l上任意一點（與點探索新知B·lA·B′CC′14探索新知追問2

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′整理課件探索新知追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的B15運用新知練習(xí)如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋整理課件運用新知練習(xí)如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山16運用新知基本思路：

由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋整理課件運用新知基本思路：ABCPQ山河岸大橋整理課件17歸納小結(jié)（1）本