第第頁第07講向量法求距離、探索性及折疊問題(精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．已知平面的一個法向量為，且，則點A到平面的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】∵，∴，又平面的一個法向量為，∴點A到平面的距離為故選：B2．在空間直角坐標系中，平面的一個法向量為，已知點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，平面的一個法向量為，，所以所以點到平面的距離．故選：D．3．已知動直線l過點A(1，－1,2)，和l垂直的一個向量為，則P(3,5,0)到l的距離為（

）A．5 B．14 C． D．【答案】C【詳解】∵＝(－2，－6,2)，·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n|＝5，∴點P到直線l的距離為d＝＝.4．四棱錐P-ABCD中，，，則這個四棱錐的高h為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】在四棱錐中，，，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為：，，．則，可得：，不妨令，則，，可得，12，．，1，在平面上的射影就是這個四棱錐的高，，．故選：．5．如圖，已知梯形，．，沿著對角線折疊使得點B，點C的距離為，此時二面角的平面角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別過作，垂直，交于，如圖所示：因為，，所以梯形為等腰梯形，則，.在中，，，則.所以，則，即.沿著對角線折疊使得點B，點C的距離為，如圖所示：在中，，，則，即.所以平面.又因為平面，所以平面平面，即二面角的平面角為.故選：D6．如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，點為的中點，沿，折疊，使得點與重合于點，如圖2，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知是邊長為1的正三角形，，平面，，，將該幾何體補形為直三棱柱，如圖所示，取的中點，連接，，則由三角形中位線定理，，所以為異面直線與所成的角或其補角．在中，，在中，，所以．取的中點，連接，，則，，，所以，在中，，，，由余弦定理得：所以，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：B7．如圖，正方形沿對角線折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)正方形邊長為，和的交點為，過作的平行線交于,則二面角的平面角就是，因，，且平面平面，，所以，所以，即，所以，故選：C二、多選題8．已知平面的法向量為，點為內(nèi)一點，若點到平面的距離為4，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】AD【詳解】解：由向量法可知，點到平面的距離公式為，又，，由點到平面的距離為4，有解得或故選：AD9．[多選題]下列命題中正確的是（

）．A．可以用求空間兩點A，B的距離B．設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，點A在平面內(nèi)，則點B到的距離為C．若直線l與平面平行，直線l上任意一點與平面內(nèi)任意一點的距離就是直線l與平面的距離D．若平面與平面平行，則平面內(nèi)任意一點到平面的距離就是平面與平面之間的距離【答案】ABD【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知A顯然正確，由點到平面的距離，面面距的定義以及向量公式易知B，D正確．C中，直線l上任意一點到平面的垂線段的長度為直線l與平面的距離，故C錯誤．故選：ABD．三、填空題10．如圖，在長方體中，，，??分別是??的中點，則直線到平面的距離為___________.【答案】【詳解】以D為原點，DC，DA，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，由題，則，，因為??分別是??的中點，所以，，，則，所以，所以平面，所以點E到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，因為，所以，取，則，，所以是平面的一個法向量，又向量，所以點E到平面的距離為，即直線到平面的距離為.故答案為：11．如圖，四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，，且，為的中點，則點到平面的距離為___________.【答案】【詳解】因為，，由勾股定理可知，，，所以直線兩兩垂直.以為原點，所在的直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離.故答案為：.四、解答題12．如圖，已知長方體＝＝1，直線BD與平面所成的角為30°，AE垂直BD于E，F(xiàn)為的中點．(1)求異面直線AE與BF所成的角的余弦；(2)求點A到平面BDF的距離．【答案】(1)(2)（1）在長方體中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系如圖．由已知AB＝＝1，可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面從而BD與平面所成的角即為∠DBA＝30°，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝從而易得∵＝＝（－1，0，1）．設(shè)異面直線AE與BF所成的角為，則．即異面直線AE、BF所成的角的余弦為（2）設(shè)＝（x，y，z）是平面BDF的一個法向量．＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．由∴，即?。剿渣cA到平面BDF的距離13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，M是PD上一點，且.(1)求異面直線PB與CM所成角余弦的大??；(2)求點M到平面PAC的距離.【答案】(1)(2)(1)解法一：連BD交AC于O，連MO，如圖（一）所示，平面ABCD，所以，.在中，，，，又因為底面ABCD是矩形，所以O(shè)為BD中點，，，所以，因為M是PD上一點，且，所以M為PD中點，，，所以（或補角）就為PB與CM所成的角，因為，，，所以平面PAD，.，，，，所以異面直線PB與CM所成角余弦值為；解法二：分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖（二）所示的空間直角坐標系，（1）則，，，設(shè)，則，所以，由，知，所以，M為PD中點，所以，，.所以異面直線PB與CM所成角的余弦值為.(2)解法一：過D做于N，如圖（一）所示，平面ABCD，所以，，所以平面PAC，DN為點D到平面PAC的距離，在中，，又M是PD中點，所以點M到平面PAC的距離為.解法二：由問題（一）中解法二，可知，，設(shè)平面PAC的法向量為，由，得，所以，取，得，所以是平面PAC的一個法向量.所以點M到平面PAC的距離為.B能力提升14．如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，是的中點.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求點到面的距離.【答案】(1)(2)(1)因為三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，所以以為坐標原，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，因為是的中點，所以，所以,所以，所以異面直線與所成角的余弦值為(2)，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因為，所以點到面的距離為，15．如圖所示，在邊長為12的正方形中，點B，在線段上，且，，作，分別交、于點、，作，分別交、于點、，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱．(1)試判斷直線AQ是否與平面平行，并說明理由；(2)求平面APQ與平面ABC所成二面角的余弦值．【答案】(1)直線AQ是否與平面不平行，理由見解析(2)（1）直線AQ是否與平面不平行，理由如下：如圖，以B為原點，BA為