費馬點中三線段模型與最值問題【專題說明】費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距高之和最短的點。主要分為兩種情況：（1）當三角形三個內角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點旋轉60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉化在同一條直線上，利用兩點之間線段最短解決問題。（2）當三角形有一個內角大于120°時，費馬點就是此內角的頂點.費馬點問題解題的核心技巧：旋轉60°構造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉化至同一直線上利用兩點之間線段最短求解問題【模型展示】問題：在△ABC內找一點P，使得PA+PB+PC最小．【分析】在之前的最值問題中，我們解決的依據有：兩點之間線段最短、點到直線的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動點軌跡求最值等．（1）如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE．（2）連接CD、BE，即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）記CD、BE交點為P，點P即為費馬點．（到這一步其實就可以了）（4）以BC為邊作等邊△BCF，連接AF，必過點P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在圖三的模型里有結論：（1）∠BPD=60°；（2）連接AP，AP平分∠DPE．有這兩個結論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原來在“手拉手全等”就已經見過了呀，只是相逢何必曾相識！【精典例題】1、如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，當AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據“兩點之間線段最短”，∴當G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．2、如圖，將繞點逆時針旋轉60°得到，與交于點，可推出結論：問題解決：如圖，在中，，，．點是內一點，則點到三個頂點的距離和的最小值是___________【答案】【詳解】如圖，將△MOG繞點M逆時針旋轉60°，得到△MPQ，顯然△MOP為等邊三角形，∴，OM＋OG＝OP＋PQ，∴點O到三頂點的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，∴當點N、O、P、Q在同一條直線上時，有ON＋OM＋OG最小，此時，∠NMQ＝75°+60°＝135°，過Q作QA⊥NM交NM的延長線于A，則∠MAQ=90°，∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，∵MQ＝MG＝4，∴AQ＝AM＝MQ?cos45°=4，∴NQ＝，故答案為：.3、如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．【答案】【詳解】將△BMN繞點B順時針旋轉60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當A、M、N、E四點共線時取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．4、如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．【答案】【詳解】如圖將△ABP繞點A順時針旋轉60°得到△AMG．連接PG，CM．∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA=PG，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，∴當M，G，P，C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM=2，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN⊥AC于N．則BN=AB=1，AN=，CN=2-，∴BC=．故答案為．5、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.EEADBCNM⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當M點在何處時，AM＋CM的值最?。虎诋擬點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；⑶當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.【答案】（1）△AMB≌△ENB，證明略。（2）①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.②連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，圖略（3）【解析】（滿分13分）解：⑴∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.………………5分⑵①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.………………7分②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，FFEADBCNMAM＋BM＋CM的值最小.………………9分理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.………………10分根據“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長.……11分⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.設正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.………………12分解得，x＝（舍去負值）.∴正方形的邊長為.………………13分6、在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補充完整（無需寫畫法）；②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）①補圖見解析；②；（2）【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，設AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，∴y＝（4?x）2＋x2＝2x2?8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x?2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2時，y有最小值，最小值為8，當x＝4時，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．（2）如圖中，將△ABE繞點A