平面問(wèn)題的有限單元解法14/3/2024平面問(wèn)題的有限單元解法14/2/2024有限元單元法基本思想有限單元法的思想是將物體（連續(xù)的求解域）離散成有限個(gè)且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合，來(lái)模擬或逼近原來(lái)的物體，從而將一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為離散的有限自由度問(wèn)題求解的一種數(shù)值分析法。物體被離散后，通過(guò)對(duì)其中各個(gè)單元進(jìn)行單元分析，最終得到對(duì)整個(gè)物體的分析。有限單元法的分析步驟如下：物體離散化單元特性分析單元組集，整體分析求解未知節(jié)點(diǎn)的位移由節(jié)點(diǎn)的位移求解各單元的位移和應(yīng)力24/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基本思想有限單元法的思想是將物體（連續(xù)的求解域）精品資料3精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒(méi)有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽(yáng)曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒(méi)有學(xué)問(wèn)無(wú)顏見(jiàn)爹娘……”“太陽(yáng)當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥說(shuō)早早早……”44基本變量uεσ

（位移）（應(yīng)變）（應(yīng)力）基本方程力的平衡方程幾何方程物理方程求解方法經(jīng)典解析半解析傳統(tǒng)數(shù)值解法現(xiàn)代數(shù)值解法（計(jì)算機(jī)硬件、規(guī)范化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)?；┪矬w變形及受力情況的描述三大方面三大方程即：σ=EεE彈性模量54/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系基本變量uε有限元單元模型中幾個(gè)重要概念單元網(wǎng)格劃分中每一個(gè)小的塊體節(jié)點(diǎn)確定單元形狀、單元之間相互聯(lián)結(jié)的點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力單元上節(jié)點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)內(nèi)力載荷作用在單元節(jié)點(diǎn)上的外力（集中力、分布力）約束限制某些節(jié)點(diǎn)的某些自由度彈性模量（楊式模量）E泊松比（橫向變形系數(shù)）μ密度單元單元載荷節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力約束64/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元模型中幾個(gè)重要概念單元單元單元載荷節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力約束6平面問(wèn)題有限單元法基本概念有限單元法(FEM)是20世紀(jì)50年代以來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用而發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)值解法。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解彈性力學(xué)問(wèn)題。平面問(wèn)題的有限單元法求解將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)。即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)有限大小的單元，這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)所謂離散化結(jié)構(gòu)。（對(duì)于平面問(wèn)題，常用的單元是三角形單元）用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法進(jìn)行求解74/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面問(wèn)題有限單元法基本概念有限單元法(FEM)是20世紀(jì)50有限元單元法分析步驟（一）結(jié)構(gòu)離散化

將結(jié)構(gòu)分成有限個(gè)小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析地第一步，關(guān)系到計(jì)算精度和效率，包括以下三個(gè)方面：?jiǎn)卧愋偷倪x擇。選定單元類型，確定單元形狀、單元節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)等。單元?jiǎng)澐?。網(wǎng)格劃分越細(xì)，節(jié)點(diǎn)越多，計(jì)算結(jié)果越精確，但計(jì)算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計(jì)算精度提高就不明顯，對(duì)應(yīng)應(yīng)力變化平緩區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)編碼。

注意：有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是由同樣材料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。所以，用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果是近似的（滿足工程要求即可）。84/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法分析步驟（一）結(jié)構(gòu)離散化84/2/2024南京農(nóng)有限元單元法分析步驟（二）單元特性分析

選擇未知量模式選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)，稱為位移法；選節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時(shí)，稱為力法；取一部分節(jié)點(diǎn)位移和一部分節(jié)點(diǎn)力作為未知量，稱為混合法。分析單元力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置等，找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式，應(yīng)用幾何方程和物理方程建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?。?jì)算等效節(jié)點(diǎn)力作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，即用等效力來(lái)替代所有作用在單元上的力。94/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法分析步驟（二）單元特性分析94/2/2024南京有限元單元法分析步驟（三）整體分析集成整體節(jié)點(diǎn)載荷矢量F。結(jié)構(gòu)離散化后，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞力，作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，形成等效節(jié)點(diǎn)載荷。將所有節(jié)點(diǎn)載荷按照整體節(jié)點(diǎn)編碼順序組集成整體節(jié)點(diǎn)載荷矢量。組成整體剛度矩陣K，得到總體平衡方程：引進(jìn)邊界約束條件，解總體平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移。

通過(guò)上述分析可以看出有限單元法的基本思想是“一分一合”，分是為了進(jìn)行單元分析，合是為了對(duì)整體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。104/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法分析步驟（三）整體分析104/2/2024南京農(nóng)彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念作用于物體的外力可以分為體積力和表面力。體力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力、慣性力。為了表明物體在某一點(diǎn)P所受體力的大小和方向，在這一點(diǎn)取物體的一小部分，它包含P點(diǎn)，而它的體積為△V，作用于其上的體力為△F，則體力的平均集度為△F/△V。當(dāng)△V不斷減小，假定體力為連續(xù)分布，則△F/△V將趨于一定的極限f，即:這個(gè)極限矢量f就是該物體在P點(diǎn)所受體力在集度。f的方向就是△F的方向，矢量f在坐標(biāo)軸x,y,z上的投影fx,fy,fz稱為該物體在P點(diǎn)的體力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。114/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念作用于物體的外力可以分為體積力和表面彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念面力：分布在物體表面上的力，如流體壓力和接觸力。為了表明物體在某一點(diǎn)P所受面力的大小和方向，在這一點(diǎn)取物體表面的一小部分，它包含P點(diǎn)，而它的面積為△S，作用于其上的面力為△F，則面力的平均集度為△F/△S。當(dāng)△S不斷減小，假定體力為連續(xù)分布，則△F/△S將趨于一定的極限

，即:這個(gè)極限矢量

就是該物體在P點(diǎn)所受面力在集度。

的方向就是△F的方向，矢量

在坐標(biāo)軸x,y,z上的投影

稱為該物體在P點(diǎn)的面力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。124/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念面力：分布在物體表面上的力，如流體壓彈性力學(xué)中應(yīng)力的方向規(guī)定每一個(gè)面上的應(yīng)力可以分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)切應(yīng)力。正應(yīng)力用σ表示，加上一個(gè)下標(biāo)字母，表示作用面和作用方向。切應(yīng)力用τ表示，并加上兩個(gè)下標(biāo)字母，表示作用面和作用方向。前一個(gè)字母表示作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)字母表示作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。134/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系彈性力學(xué)中應(yīng)力的方向規(guī)定每一個(gè)面上的應(yīng)力可以分解為一個(gè)正應(yīng)力彈性力學(xué)中的基本假定連續(xù)性——假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留任何空隙。完全彈性——假定物體在引起形變的外力被除去之后能恢復(fù)原形，而沒(méi)有任何剩余形變。均勻性——假定整個(gè)物體有同一材料組成的，物體的所有各部分具有相同的彈性。各向同性——假定物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同。小變形——假定位移和形變是微小的，物體受力之后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來(lái)的尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。144/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系彈性力學(xué)中的基本假定連續(xù)性——假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)平面問(wèn)題的基本理論任何一個(gè)實(shí)際的彈性力學(xué)問(wèn)題都是空間問(wèn)題，但是如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某些特殊的外力和約束，就可以把空間問(wèn)題簡(jiǎn)化為近似的平面問(wèn)題。兩種典型的平面問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題154/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面問(wèn)題的基本理論任何一個(gè)實(shí)際的彈性力學(xué)問(wèn)題都是空間問(wèn)題，但由于板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿板的厚度又是連續(xù)分布的，所以可以認(rèn)為在整個(gè)薄板的所有各點(diǎn)：只剩下平行于xy面的三個(gè)平面應(yīng)力分量，即：這種問(wèn)題成為平面應(yīng)力問(wèn)題。平面應(yīng)力問(wèn)題設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并不沿厚度變化的面力或約束。同時(shí)，體力也平行于板面不沿厚度變化。設(shè)薄板的厚度為δ。以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任何一直線為z軸。所以有：164/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系由于板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿板的厚度又是連續(xù)分布的，只剩下平行于xy面的三個(gè)形變分量，即：這種問(wèn)題成為平面應(yīng)變問(wèn)題。由于z方向的位移處處為0，所以：，由于z方向的伸縮被阻止，一般平面應(yīng)變問(wèn)題設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體，它的橫截面不沿長(zhǎng)度變化，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力或約束。同時(shí)，體力也平行于橫截面不沿長(zhǎng)度變化。假想該柱體為無(wú)限長(zhǎng)，以任一橫截面為xy面，以任一縱線為z軸，則所有一切應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都不沿z方向變化，而只是xy的函數(shù)，所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于xy面，這種問(wèn)題稱為平面位移問(wèn)題。由對(duì)稱條件可知：由胡克定律，相應(yīng)的切應(yīng)變：174/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系只剩下平行于xy面的三個(gè)形變分量，即：由于z方向的位移處處為三大基本方程根據(jù)靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方程。平面問(wèn)題中，根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程： (1-1)根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程：

(1-2)根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程： (1-3)(1-3‘)184/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系三大基本方程根據(jù)靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方平衡微分方程從彈性體中取出一個(gè)微分體，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問(wèn)題的平衡微分方程。從彈性體中取出一個(gè)微小的正平行六面體，它在x和y方向的尺寸分別為dx和dy，在z方向的尺寸為一個(gè)單位長(zhǎng)度。以x為投影軸，列出投影的平衡方程：約簡(jiǎn)以后，兩邊除以dxdy，得：同理，以y為投影軸，列出投影的平衡方程，化簡(jiǎn)得：194/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平衡微分方程從彈性體中取出一個(gè)微分體，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分假定已知任一點(diǎn)P處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量σx，σy，τxy=τyx。求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的，平行于z軸而傾斜于x軸和

y軸的任何傾斜面上應(yīng)力。從在P點(diǎn)附近取一個(gè)平面AB，它平行于上述斜面，并經(jīng)過(guò)P點(diǎn)劃出一個(gè)微小的三棱柱PAB。當(dāng)AB無(wú)限小而趨于P點(diǎn)時(shí)，平面AB上的應(yīng)力就成為斜面上的應(yīng)力。平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)設(shè)斜面AB的長(zhǎng)度為ds，則PB面及A面的長(zhǎng)度分別為lds及mds，而PAB的面積為

ldsmds/2，棱柱的厚度設(shè)為1。由x軸平衡條件，得：其中，fx為體力分量。將上式除以ds，并令ds趨于0（斜面AB趨于P點(diǎn)），即得：由y軸平衡條件，得：用n表示斜面AB的外法線方向，其方向余弦為：204/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系假定已知任一點(diǎn)P處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量σx，σy，τxy幾何方程經(jīng)過(guò)彈性體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，沿x軸和y軸的正方向取兩個(gè)微小長(zhǎng)度的線段PA＝dx和PB＝dy。假定彈性體受力后，P,A,B三點(diǎn)分別移動(dòng)到P’,A’,B’.線段PA的線應(yīng)變是：注:由于位移微小，y方向的位移v引起的PA的伸縮，是高一階微量，略去不計(jì)。線段PB的線應(yīng)變是：線段PA與

PB之間的直角的改變，即切應(yīng)變線段PA的轉(zhuǎn)角α是：線段PB的轉(zhuǎn)角β是：214/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系幾何方程經(jīng)過(guò)彈性體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，沿x軸和y軸的正方向取兩個(gè)物理方程在理想的彈性體中，形變分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，在材料力學(xué)根據(jù)胡克定律導(dǎo)出如下：在平面應(yīng)力問(wèn)題中，σz＝0，式變?yōu)椋涸谄矫鎽?yīng)變問(wèn)題中，只要將上式中的E換為，μ換為就得到平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程。224/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系物理方程在理想的彈性體中，形變分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，在材邊界條件若在su部分邊界上給定了約束位移分量和，則對(duì)于此邊界上的每一點(diǎn)，位移函數(shù)u和v應(yīng)滿足條件：其中（u）s和（v）s是位移的邊界值，和在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：若在su部分邊界上給定了面力和，則由平衡條件得出平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力(或面力）邊界條件為：其中，l,m是邊界面外法線的方向余弦。234/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系邊界條件若在su部分邊界上給定了約束位移分量圣維南原理在求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足區(qū)域內(nèi)的三套基本方程，還必須滿足邊界上的邊界條件。但是，要使邊界條件得到完全滿足，往往遇到很大的困難。圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大方便。圣維南原理表明，如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。244/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系圣維南原理在求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量圣維南原理的應(yīng)用例，設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F（a）。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，則只有虛線劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受影響是可以不計(jì)的。由于（d）圖中，面力連續(xù)分布，邊界條件簡(jiǎn)單，應(yīng)力容易求得。其它三種情況，應(yīng)力難以求得。把d情況下的應(yīng)力解答應(yīng)用到其它三個(gè)情況，雖不能滿足兩端的應(yīng)力邊界條件，但仍然可以表明離桿端較遠(yuǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，而沒(méi)有顯著的誤差。圖e，構(gòu)件右端有位移邊界條件，，d情況的解答，不能滿足位移邊界條件，但e圖右端的面力，一定是合成為經(jīng)過(guò)截面形心的力F。所以把圖d情況的解答應(yīng)用于圖e時(shí)，仍然只是在靠近兩端處有顯著的誤差，而在離兩端較遠(yuǎn)之處，誤差可以不計(jì)。254/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系圣維南原理的應(yīng)用例，設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相圣維南原理的應(yīng)用(續(xù))例，厚度δ=1的梁中，左右兩端x=±l，的邊界面是正、負(fù)x面，其上作用有一般分布的面力。按照嚴(yán)格的應(yīng)力邊界條件，應(yīng)力分量在邊界上滿足：上式要求在邊界上y值不同的各點(diǎn)，應(yīng)力分量與對(duì)應(yīng)的面力分量必須處處相等，這種嚴(yán)格的條件是較難滿足的。當(dāng)1>>h時(shí)，x=±l是梁的邊界的一小部分，可以應(yīng)用圣維南原理，利用靜力等效條件來(lái)代替，即，使應(yīng)力的主矢量和主矩分別等于對(duì)應(yīng)的面力的主矢量和主矩。264/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系圣維南原理的應(yīng)用(續(xù))例，厚度δ=1的梁中，左右兩端x=±l圣維南原理的應(yīng)用(續(xù))應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對(duì)值分別等于面力的主矢量和主矩的絕對(duì)值；面力的主矢量和主矩的方向就是應(yīng)力的主矢量和主矩的方向。274/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系圣維南原理的應(yīng)用(續(xù))應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對(duì)值分別等于面力有限單元法中基本量的矩陣表示有限單元法(FEM)中，為了簡(jiǎn)潔清晰地表示各個(gè)基本量以及它們之間的關(guān)系，也為了便于編制程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，廣泛采用矩陣表示和矩陣運(yùn)算。平面問(wèn)題中，物體受體力，可用體力列陣表示：(1)物體受面力，可用面力列陣表示：(2)3個(gè)應(yīng)力分量的應(yīng)力列陣表示：(3)3個(gè)形變分量的應(yīng)變列陣表示：(4)2個(gè)位移分量的位移列陣表示：(5)284/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限單元法中基本量的矩陣表示有限單元法(FEM)中，為了簡(jiǎn)潔彈性力學(xué)中基本方程的矩陣表示幾何方程的矩陣表示為： (6)物理方程矩陣表示為： (7)利用應(yīng)力列陣和應(yīng)變列陣（3）、（4）得： (8)其中矩陣 (9)只于彈性常數(shù)E及μ有關(guān)，稱為平面問(wèn)題的彈性矩陣。294/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系彈性力學(xué)中基本方程的矩陣表示幾何方程的矩陣表示為：只于彈性常虛位移原理用u*和v*表示虛位移，用表示與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變。根據(jù)虛功方程：在虛位移過(guò)程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。對(duì)于厚度為t的薄板，虛功方程可用矩陣表示為：其中，分別為體力列陣，面力列陣和應(yīng)力列陣。為虛位移列陣為虛應(yīng)變列陣有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以作用于某些點(diǎn)的等效集中力來(lái)代替。在厚度為t的薄板上，設(shè)作用于i點(diǎn)的集中力沿x及y方向的分量為Fix,Fiy,作用于j點(diǎn)的力為Fjx,Fjy等。這些集中力以及它們相應(yīng)的虛位移用列陣表示為：304/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系虛位移原理用u*和v*表示虛位移，用虛位移原理(續(xù))代入虛功方程，得：上式為集中力作用下的虛功方程。集中力列陣（13）虛位移列陣（14）外力在虛位移上所做的功為：314/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系虛位移原理(續(xù))代入虛功方程，得：上式為集中力作用下的虛功（1）取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本位置量：

(a)其中，

稱為單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣；（2）應(yīng)用插值公式，由單元結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)： (b)其中，N稱為形函數(shù)矩陣；（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的應(yīng)變： (c)其中，B是表示與之間關(guān)系的矩陣；三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟324/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系（1）取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本位置量：三角形單元離散化結(jié)

(f)其中，F(xiàn)e

是單元的結(jié)點(diǎn)力，k稱為單元?jiǎng)哦攘嘘嚕?/p>

對(duì)三角形板單元，節(jié)點(diǎn)力為：

(e)

（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的結(jié)點(diǎn)應(yīng)力求出單元的結(jié)點(diǎn)力。假設(shè)把單元和節(jié)點(diǎn)切開(kāi)，對(duì)右圖中的i節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力為節(jié)點(diǎn)力，作用于單元上。三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟(續(xù)）（4）應(yīng)用物理方程，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的應(yīng)力：

(d)其中，S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣；

Fe是作用于單元的外力，此外，單元內(nèi)部還作用有應(yīng)力。根據(jù)虛功方程，可以將單元的節(jié)點(diǎn)力Fe用應(yīng)力來(lái)表示，從而得到節(jié)點(diǎn)力的公式：334/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系 (f（7）列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。由于節(jié)點(diǎn)i受有環(huán)繞節(jié)點(diǎn)的單元移置而來(lái)的節(jié)點(diǎn)載荷和節(jié)點(diǎn)力因而i節(jié)點(diǎn)的平衡方程為： （i=1,2,…,n）(h)三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟(續(xù)）（6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的外力載荷向結(jié)點(diǎn)移置，化為結(jié)點(diǎn)載荷（即求出單元的節(jié)點(diǎn)載荷）： (g)將（f）代入（h），整理得：（j)其中，K稱為整體剛度矩陣，F(xiàn)L是整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣，δ是整體結(jié)點(diǎn)位移列陣。在上述求解步驟中，（2）至（6）是針對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行的，稱為單元分析；（7）是針對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行的稱為整體分析。344/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系（7）列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。由于節(jié)對(duì)三角形三個(gè)結(jié)點(diǎn)i,j,m結(jié)點(diǎn)，位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谠摴?jié)點(diǎn)的位移值，即：

三角形單元的位移模式對(duì)每個(gè)單元，只要求得單元中的位移函數(shù)，就可以應(yīng)用幾何方程求得應(yīng)變，再應(yīng)用物理方程求得應(yīng)力。有限單元法中常取結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元中的位移函數(shù)是首先必須解決的問(wèn)題?？梢约俣ㄒ粋€(gè)位移模式，來(lái)表示單元中的位移函數(shù)（即在單元中做出位移插值函數(shù)）。三角形單元中，可以假定位移分量只是坐標(biāo)的線性函數(shù)，即假定：6個(gè)方程解出α1-6，代入u，v式整理得：其中：354/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系對(duì)三角形三個(gè)結(jié)點(diǎn)i,j,m結(jié)點(diǎn)，位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谠摴?jié)點(diǎn)的位移三角形單元的位移模式Ni也可以該寫成為：其中系數(shù)ai,bi,ci是：其中A就等于三角形ijm的面積：按照解析幾何學(xué)，在圖示的坐標(biāo)系中，為了得出的面積A不致成為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i，j，m的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的。

Ni，Nj，Nm這三個(gè)函數(shù)，表明了單元ijm的位移次形態(tài)（也就是位移在單元內(nèi)的變化規(guī)律），因而稱為形態(tài)函數(shù)，簡(jiǎn)稱形函數(shù)。364/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系三角形單元的位移模式Ni也可以該寫成為：其中系數(shù)ai,bi,三角形單元的位移模式位移模式的表示式可用矩陣表示為：簡(jiǎn)寫為：其中是單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。是形態(tài)函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣。有限單元法中，應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣和勁度矩陣的建立以及載荷的移置等，都依賴于位移模式。374/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系三角形單元的位移模式位移模式的表示式可用矩陣表示為：簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為：其中矩陣B可寫成分塊形式：

其子矩陣為：?jiǎn)卧膽?yīng)變列陣和應(yīng)力列陣?yán)脦缀畏匠毯臀锢矸匠?，求出單元中的?yīng)變和應(yīng)力，用結(jié)點(diǎn)位移表示：將位移函數(shù)(16)和(18)代入幾何方程(6)，得出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變。384/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系簡(jiǎn)寫為：?jiǎn)卧膽?yīng)變列陣和應(yīng)力列陣?yán)脦缀畏匠毯臀锢矸匠?，求出將D表達(dá)式(9)和B表達(dá)式(27)代入上式，并寫成分塊形式，即得到平面應(yīng)力問(wèn)中的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣：?jiǎn)卧膽?yīng)力列陣（續(xù)）再將單元的應(yīng)變式(26)代入物理方程(8)，得出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元中應(yīng)力的表達(dá)式。

其中子矩陣為：簡(jiǎn)寫為：其中，394/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系將D表達(dá)式(9)和B表達(dá)式(27)代入上式，并寫成分塊形式，由式(26)引起的虛應(yīng)變?yōu)椋河捎诮Y(jié)點(diǎn)力在虛位移上的虛功應(yīng)當(dāng)?shù)扔趹?yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功，即：

單元的結(jié)點(diǎn)列陣與勁度矩陣對(duì)于任一單元，均假設(shè)所受的外力載荷已經(jīng)被移置到結(jié)點(diǎn)上，并且單元已經(jīng)切開(kāi)，如右圖所示：?jiǎn)卧皇艿浇Y(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，即結(jié)點(diǎn)力：假想在結(jié)點(diǎn)i,j,m處發(fā)生了虛位移，即：對(duì)單元而言，這些結(jié)點(diǎn)力是外力，使單元內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力。404/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系由式(26)引起的虛應(yīng)變?yōu)椋簡(jiǎn)卧慕Y(jié)點(diǎn)列陣與勁度矩陣對(duì)于任一從而建立了單元結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。對(duì)于三角形單元，B中的元素為常量。并且，因此，k可簡(jiǎn)寫為：

k稱為單元的勁度矩陣。單元的結(jié)點(diǎn)列陣與勁度矩陣(續(xù)）由于中的元素是常量，并且虛位移的值可以是任意的：則將B和D表達(dá)式代入上式，得：令則式可以簡(jiǎn)寫為414/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系從而建立了單元結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。對(duì)于三角形單元，B載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣設(shè)單元ijm在坐標(biāo)為（x，y）的任意一點(diǎn)M，在單位厚度上受有集中載荷fP，其坐標(biāo)方向的分量為fPx和fPy，用矩陣表示為fP=（fPx

fPy）T，將此集中力移置到單元的節(jié)點(diǎn)處，轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)載荷，并且單元節(jié)點(diǎn)載荷列陣表示為：假想單元的各點(diǎn)發(fā)生了虛位移：由位移模式，相應(yīng)于集中力fP的作用點(diǎn)（x,y）的虛位移為：集中載荷的移置424/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣設(shè)單元ijm在坐標(biāo)為（x，y）載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）由于虛位移可以是任意的，所以：把N的表達(dá)式（25）代入上式，上式改寫為：其中，Ni,

Nj,

Nm，為它們?cè)贛點(diǎn)的函數(shù)值：根據(jù)靜力等效原則，節(jié)點(diǎn)載荷在節(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功，等于原載荷集中力在其作用點(diǎn)的虛位移上的虛功，即：434/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）由于虛位移可以是任意的，載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）例，設(shè)單元ijm的密度為ρ，試求自重的等效節(jié)點(diǎn)載荷。分析：因?yàn)閒x=0，

fy=-ρg，故由式（43）得：由設(shè)上述單元受有分布的體力f=（fx

fy）T，可將微分體積tdxdy上的體力ftdxdy當(dāng)作集中力，利用（40）式積分，得到：體力的移置注意單元的自重為-ρgtA，可見(jiàn)移置到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷均為1/3自重。444/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）例，設(shè)單元ijm的密度為載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）由設(shè)上述單元的某一邊上受有分布的面力，可將微分面積tds上的面力當(dāng)作集中載荷，利用（40）式積分，得到：面力的移置例，設(shè)在ij邊上受有沿x方向的均布面力q，試求等效節(jié)點(diǎn)載荷。分析：因?yàn)?/p>

，故由式（45）得：454/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）由設(shè)上述單元的某一邊上受注意：式(46)和(48）中的編碼i,j,m僅是每個(gè)單元的局部編碼，對(duì)于整個(gè)結(jié)構(gòu)，則將結(jié)點(diǎn)的平衡方程按整體結(jié)點(diǎn)編碼1，2，…，n排列起來(lái)，就組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)平衡方程組：

整體的結(jié)構(gòu)分析節(jié)點(diǎn)平衡方程組因此，結(jié)點(diǎn)i的平衡方程是：以上幾節(jié)的分析都是針對(duì)單元進(jìn)行的，即一將單元上的外力載荷都向節(jié)點(diǎn)移置而成為節(jié)點(diǎn)載荷；另一方面求出節(jié)點(diǎn)載荷與單元之間的相互作用力，如左圖所示。節(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力是節(jié)點(diǎn)力，相反，單元對(duì)節(jié)點(diǎn)的作用力是節(jié)點(diǎn)力的負(fù)值。于是，作用于結(jié)點(diǎn)i上的力，有結(jié)點(diǎn)載荷FLi

，和結(jié)點(diǎn)力的負(fù)值，即：其中，是對(duì)環(huán)繞結(jié)點(diǎn)i的單元求和，寫成標(biāo)量形式：

464/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系注意：式(46)和(48）中的編碼i,j,m僅是每個(gè)單元的局由整體平衡方程組，解出結(jié)點(diǎn)位移δ，便可由式(23)和(30)求出每個(gè)單元的位移函數(shù)和應(yīng)力。整體的結(jié)構(gòu)分析節(jié)點(diǎn)平衡方程組其中，整體結(jié)點(diǎn)位移列陣：整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣：K是整體剛度矩陣，其元素是： 整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)平衡方程組即整體勁度矩陣的元素,Krs就是按整體節(jié)點(diǎn)編碼的、同下標(biāo)rs的單元?jiǎng)哦染仃囋丿B加而得到的。474/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系由整體平衡方程組，解出結(jié)點(diǎn)位移δ，便可由式(23)和(30)平面有限元解法（例）設(shè)有對(duì)角受壓的正方形薄板（如上圖所示），載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。試對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，建立整體剛度矩陣和整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣，建立整體結(jié)點(diǎn)方程組，通過(guò)編程求解出結(jié)點(diǎn)的位移，并從而求出各單元的應(yīng)力。（為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取板的厚度t=1,彈性常數(shù)E=1,泊松比μ＝0）484/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面有限元解法（例）設(shè)有對(duì)角受壓的正方形薄板（如上圖所示），平面有限元解法——?jiǎng)澐謫卧捎谄矫姹“逖豿z面和yz面均對(duì)稱，所以只取1/4之一部分作為分析和計(jì)算對(duì)象。將對(duì)象劃分成4個(gè)單元，共有6個(gè)結(jié)點(diǎn)，單元和結(jié)點(diǎn)上均編上號(hào)碼，其中結(jié)點(diǎn)的整體編碼1至6，以及個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)局部編碼i,j,m,均示于上圖中。單元號(hào)ⅠⅡⅢⅣ局部編碼整體編碼i3526j1253m2435494/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面有限元解法——?jiǎng)澐謫卧捎谄矫姹“逖豿z面和yz面均對(duì)稱平面有限元解法——整體勁度矩陣每個(gè)單元，結(jié)點(diǎn)的局部編碼和整體編碼對(duì)應(yīng)關(guān)系已經(jīng)確定，每個(gè)單元?jiǎng)哦染仃囍腥我蛔泳仃囋谡w勁度矩陣中的位置及其力學(xué)意義也就明確了。如單元Ⅰ的kii，即k33，它的四個(gè)元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)3沿x或y方向有單位位移時(shí)，在結(jié)點(diǎn)3的x方向或y方向引起的結(jié)點(diǎn)力。暫時(shí)不考慮位移邊界條件，把所分析結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點(diǎn)平衡方程組列出：整體勁度矩陣寫成6×6的矩陣，它的每個(gè)子塊是2×2的矩陣，實(shí)際它是一個(gè)12×12的矩陣。如K23，它的四個(gè)元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)3沿x或y方向有單位位移時(shí)，在結(jié)點(diǎn)2的x方向或y方向引起的結(jié)點(diǎn)力。504/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面有限元解法——整體勁度矩陣每個(gè)單元，結(jié)點(diǎn)的局部編碼和整體平面有限元解法——整體勁度矩陣?yán)m(xù)由于于結(jié)點(diǎn)3和結(jié)點(diǎn)2在結(jié)構(gòu)中是通過(guò)Ⅰ和Ⅲ這兩個(gè)單元相聯(lián)系，因而K23應(yīng)是單元Ⅰ的k23和單元Ⅲ的k23之和。同理，可以找到各單元?jiǎng)哦染仃囍兴凶泳仃囋谡w勁度矩陣K中的位置，得到整體勁度矩陣。式中k的上標(biāo)1,2,3,4表示是哪一個(gè)單元的勁度矩陣中的子矩陣，空白處是2×2的零矩陣。514/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面有限元解法——整體勁度矩陣?yán)m(xù)由于于結(jié)點(diǎn)3和結(jié)點(diǎn)2在結(jié)構(gòu)中平面有限元解法——整體勁度矩陣?yán)m(xù)對(duì)于單元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，將上式中各子塊的具體數(shù)值代入整體剛度矩陣K表達(dá)式中，得出整體剛度矩陣。對(duì)于單元Ⅲ，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，把μ＝0，t＝1m，代入單元的勁度矩陣，得兩種單元的勁度矩陣k都是：(37’)524/3/2024南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面有限元解法——整體勁度矩陣?yán)m(xù)對(duì)于單