挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學解答題壓軸真題匯編專題02銳角三角函數(shù)壓軸真題訓練一．解直角三角形的應用-方向角問題1．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點C在點A的正東方向，AC＝200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD＝100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．（1）求步道DE的長度（精確到個位）；（2）點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）過D作DF⊥AE于F，如圖：由已知可得四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵點D在點E的北偏東45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵點B在點A的北偏東30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，∵BD＝100米，∴經(jīng)過點B到達點D路程為AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，∴AF＝CD＝（200+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，∴經(jīng)過點E到達點D路程為AE+DE＝200﹣100+200≈529米，∵529＞500，∴經(jīng)過點B到達點D較近．2．（2022?資陽）小明學了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道AB進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進100米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60°方向上，（點A、B、C、D在同一平面內(nèi)）（1）求點D與點A的距離；（2）求隧道AB的長度．（結(jié)果保留根號）【解答】解；（1）由題意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：點D與點A的距離為300米．（2）過點D作DE⊥AB于點E，∵AB是東西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的長為米．3．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【解答】解：過B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．二．解直角三角形的應用-仰角俯角問題4．（2022?遂寧）數(shù)學興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角∠GAE＝50.2°，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度i＝5：12，然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角∠EBF＝63.4°，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）【解答】解：如圖，延長EF交AG于點H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點P，則四邊形BFHP是矩形，∴FB＝PH，F(xiàn)H＝PB，由i＝5：12，可以假設(shè)BP＝5x，AP＝12x，∵PB2+PA2＝AB2，∴（5x）2+（12x）2＝262，∴x＝2或﹣2（舍去），∴PB＝FH＝10，AP＝24，設(shè)EF＝a米，BF＝b米，∵tan∠EBF＝，∴≈2，∴a≈2b①，∵tan∠EAH＝＝＝，∴≈1.2②，由①②得a≈47，b≈23.5，答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米．5．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【解答】解：過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，設(shè)BF＝y(tǒng)米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y(tǒng)（米），∴AE＝DF＝y(tǒng)米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，經(jīng)檢驗：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB約為31.9米．6．（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識測量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cosα＝．小文在C點處測得樓頂端A的仰角為60°，在D點處測得樓頂端A的仰角為30°（點A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）求C，D兩點的高度差；（2）求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【解答】解：（1）過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D兩點的高度差為9m．（2）過點D作DF⊥AB于F，由題意可得BF＝DE，DF＝BE，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民樓的高度AB約為24m．7．（2022?襄陽）位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度．無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°，烈士塔底部點C的俯角為61°，無人機與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）【解答】解：由題意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan61°＝≈1.80，解得CD≈18，∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．∴烈士塔的高度約為28m．8．（2022?鞍山）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚航天精神，某校在教學樓上懸掛了一幅長為8m的勵志條幅（即GF＝8m）．小亮同學想知道條幅的底端F到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點B處，在點B正上方點A處測得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學樓條幅方向前行12m到達點D處（樓底部點E與點B，D在一條直線上），在點D正上方點C處測得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），請你幫助小亮計算條幅底端F到地面的距離FE的長度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：設(shè)AC與GE相交于點H，由題意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，設(shè)CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH?tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，解得：x＝4，經(jīng)檢驗：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．三．解直角三角形的應用-坡度坡角問題9．（2022?郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計人員準備把背水坡的坡度改為i2＝1：，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73．結(jié)果精確到0.1m）【解答】解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度為i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度為i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6米．10．（2022?徐州）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在陽光下，小明觀察到AB在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180cm．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【解答】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，則DF＝CD＝90（cm），CF＝CD?cos∠DCF＝180×＝90（cm），由題意得：＝，即＝，解得：EF＝135，∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90）cm，則＝，解得：AB＝170+60，答：立柱AB的高度為（170+60）cm．四．解直角三角形的應用（共2小題）11．（2022?東營）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高約為78m．12．（2022?六盤水）“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點E處，使得A，D，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的高度可控制“天幕”的開合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴時打開“天幕”，若∠α＝65°，求遮陽寬度CD（結(jié)果精確到0.1m）；（2）下雨時收攏“天幕”，∠α從65°減少到45°，求點E下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）【解答】解：（1）由對稱知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，在Rt△AOD