2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷2（新高考地區(qū)專用）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，兩個(gè)區(qū)域分別對應(yīng)集合4&其中A={-2,-1,0,1,2},8={xeN|x<4）.則陰影部

分表示的集合為（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{-2,-1,2}D.{-2,-1}

K答案》D

K解析》由題意知,A={—2,—l,0,l,2},3={xeN|x<4},

陰影部分表示的集合為AQ,B,

因?yàn)?={xeN|x<4}={0,l,2,3},

所以A4，B={_2,T}.

故選:D.

2

2.已知復(fù)數(shù)z=l+"（其中i是虛數(shù)單位）JlJz+z=（）

A.1+V3iB.3+GiC.5+?D.-l+行

K答案1D

K解析》因?yàn)閦=l+>/3i,

所以22+彳=（1+后）-+1-6=1+24-3+1-后=-1+瘋

故選：D.

3.隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E（X）=g,則￡>（3X-2）=（）

卜口：1

A.9B.7C.5D.3

（答案Uc

K解析HE（x）=g,

???由隨機(jī)變量X的分布列得:

,6.］，解得“=；，b=；,

--+b=-'

63

,..D（X）=（-I—!-）2X-!-+（O--）2X-!-+（I--!-）2X-!-=-.

3633329

D（3X-2）=9￡>（X）=9x1=5.

故選：c.

4.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》

中“物不知數(shù)''問題的解法傳至歐洲，1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯

得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理“，此定理講的是關(guān)

于整除的問題，現(xiàn)將I到2023這2023個(gè)數(shù)中，所有能被3除余1且被7除余1的數(shù)按從小到

大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛5｝,則該數(shù)列共有（）

A.97項(xiàng)B.98項(xiàng)C.99項(xiàng)D.100項(xiàng)

K答案UA

K解析》所有能被3除余1且被7除余1的數(shù)就只能是被21除余1的數(shù)，

所以，a?=l+21（n-l）=21n-20,

2

由14442023可得1<21/?-20<2023,解得14"497,,

因此，數(shù)列｛4｝共有97項(xiàng).

故選：A.

TT

5.在,A8C中，AB=8,AC=6,4=§,點(diǎn)E,尸分別在邊A8,AC上，且線段所平分

43c的面積，則線段瓦■的最小值為（）

A.V13B.2而C.y/26D.2不

K答案UB

K解析XtSAE=m,AF=n.

根據(jù)三角形面積公式可得，sARC=gA8?AC?sinm=126,

SAFF=1AE-AF-sin—=—mn>

""234

又SAEF=~SABC,mn=24.

根據(jù)余弦定理可得EF2=AE2+AF2-2AE-AFcos-=m1+n2-mn>2mn-mn="〃=24

3

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=2"時(shí)，等號成立，.的最小值為2a.

故選：B.

6.在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90,AB=AC=AAt=2,E,F,D,分別是

BC,AG.4G的中點(diǎn)，則下面說法中正確的有（）

C.直線瓦'與平面A8C所成角的余弦值為孚

D.點(diǎn)。到平面8b的距離為好

9

K答案》A

K解析》直三棱柱ABC-A&G中，/&4C=90,故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

A-xyz,

則有

A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（0,2,0），A（0,0,2），A（2,0,2），G（0,2,2）,0（1,1,2）,E（1,1,0）,產(chǎn)（0,1,2）,

EF=（-l,0,2）,BD=（-l,l,2）.

對A,平面44乃乃的其中一個(gè)法向量為AC=（0,2,0）,由EG4C=0，平面

故防〃平面A錯(cuò)；

對B,由所？8。5得與EF不垂直，B錯(cuò)；

對C,平面ABC的其中一個(gè)法向量為A4,=(0,0,2),則

EFxA<_4_2石

cos(^EF,AA^

同|匐R25

則直線所與平面ABC所成角的余弦值為sin(EF,A4,C錯(cuò);

對D,BC=(-2,2,O),CF=(O,-l,2),設(shè)平面8CF的法向量為〃=(x,y,z),則有

〃BC=-2x+2y=0

令x=2得〃=(2,2,1),

n-CF=-y+2z=0

故D到平面BCF的距離為184cos(82n)=節(jié)^=|,D錯(cuò).

故選：A.

7073J-7073

7.已知〃=tan------，8=e2023c=-------,則〃，b,c大小關(guān)系是()

20222022

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

R答案XD

3i3

K解析U令/(x)=tanx-x,則尸(x)=--——1>0,即當(dāng)時(shí),

2cos-x2

盟x)>0，

〃x)在(l.j)上單調(diào)遞增，...逅J>/⑴，

20232023

tan>tan1-1>0即〃>c；

2022202220222022

令

g(x)=lnx+1-lx^r(x)=———7=—y->0,

(2023、

g(x)在(L+°o)上單調(diào)遞增，Jg(亞^J>g(l)=°，

?2023,11

In------>1—=------

202220232023，

2022

??.些,e福，即c〉b,綜上可知：b<c<a.

2022

故選：D.

8.P、Q、R是等腰直角三角形ABC（NA=/）內(nèi)的點(diǎn)，且滿足NAP8=N3PC=NCR4,

ZACQ=ZCBQ=ZBAQ,sin4R4+sin8RB+sinCRC=0，則下列說法正確的是（）

A.PAPB>QAQB>RARB

B.QAQB>PAPB>RARB

C.RARB>PAPB>QAQB

D.RARB>QAQB>PAPB

K答案》c

R解析》sinARA+sinBRB+sinCRC=0

.■.^-RA+^-RB+^-RC=O（正弦定理）

2A2A2A

:.aRA+hRB+cRC=O

：.cRC=-aRA-bRB

cRC=-a（RC+C4）-b（RC+CB）

/、

/,\DCsi>ACBCACBC

「.（〃+/?+（?）RC.=ciAC+bBC=cib--b---Fciba=cib阪r+前-；r

R在ZACB的角平分線上，同理可證R在N8AC,ZABC的角平分線上，

；./?為內(nèi)心

如圖所示

由ZAPB=NBPC=NCPA知,這三個(gè)角都是120

且P在28AC的平分線AR上，延長AR交8c于點(diǎn)D

取AB=6,則BD=AD=3垃,NPBC=30

得瓜

PD=,=PB=2^,PAAD-PD=3叵-瓜

所以PA.PB=（3&-&）-26.cosl20=6-66

記一ABC的周長為CABC

由題意知&是一ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑RD=等"=z￡后=6-3后

C^ABC6+6+6V2

RA=AD-RD=6y/2-6

所以RB-RA=（RD+DB）/iA=RDRA+DB/iA

=-（6-30）?6&-6）+0=72-54夜

由ZACQ=N8AQ,且/8AQ+ZCAQ=ZBAC=90

則NACQ+/CAQ=90

所以NAQC=90，即AQ^CQ,則。在以AC為直徑的圓上

由NCBQ=ZACQ,JLZACQ+NBCQ=ZACB=45

所以ZCBQ+ZBCQ=45，得NBQC=135,NAQ8=135

由NBQC=XAQB,NBCQ=NA8Q,得/XBQC^AQB

BQBC?

所以--==72

AQAB

設(shè)AQ=x,BQ=信，在一A3。中由余弦定理得

x2+2x2-62=2x->/2x-cosl35J

解得x2-y

所以QAQ2=x.VLrcosl35=-x2=-=-1.2

由PA-PB=6-々6-6x1.732=-4.392

RBRA=J2-5472=-4.356

所以RBRA>PAPB>QAQB

故選:C

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.在（5-xj的展開式中，下列說法正確的是（）

A.不存在常數(shù)項(xiàng)B.二項(xiàng)式系數(shù)和為1

C.第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為128

K答案UAC

K解析H因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為

7

對A,由2〃-7=0,得/*=］（舍去），所以展開式不存在常數(shù)項(xiàng)，故A正確;

對B,二項(xiàng)式系數(shù)和為2’=128,故B錯(cuò)誤；

對C,展開式共有8項(xiàng)，所以第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C正確;

對D,令x=l,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為(2-1)7=1,故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

R解析2令g(x)=2'+2-，，函數(shù)定義域?yàn)镽,由g(-x)=2-、+2'=g(x),故

g(x)=2'+2T為偶函數(shù).

當(dāng)k=0時(shí);函數(shù)〃x)=2'+2T為偶函數(shù)，且其圖像過點(diǎn)(0,2),顯然四個(gè)選項(xiàng)都不滿

足.

當(dāng)上為偶數(shù)且A40時(shí)，易知函數(shù)〃(x)=x”為偶函數(shù)，所以函數(shù)/(x)=4(2，+2f)為偶函

數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，則選項(xiàng)C,D符合，

若人為正偶數(shù)，易知選項(xiàng)C符合；若及為負(fù)偶數(shù)，易知函數(shù)〃%)=/?(2'+2-')的定義域

為卜|田｝,排除選項(xiàng)C,D.

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，易知函數(shù)Mx”/為奇函數(shù)，所以函數(shù)〃月=/?(2，+2-，)為奇函數(shù)，其

圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則選項(xiàng)A,B符合，

若k為正奇數(shù)，易知選項(xiàng)B符合；若％為負(fù)奇數(shù)，易知函數(shù)/(*)=/?(2*+2-*)的定義域

為｛x|xH0｝,易知選項(xiàng)A符合.綜上，選ABC.

故選：ABC.

11.已知數(shù)列｛5｝,4=1,a/,,M=22"T(”wN*),｛q｝的前〃項(xiàng)的和為S,,前〃項(xiàng)的積為

T?,則下列結(jié)論正確的是（）

n(2n-l)

A.%=2B.-=4C.S,=2"-lD.T2?=2

an-\

K答案DBCD

K解析》數(shù)列｛%｝中，卬=1,的,用=22"T("eN)

當(dāng)九=1時(shí),則有=2,可得出=2,

當(dāng)“22時(shí)，由q,%=221可得44=2*3,

上述兩個(gè)等式相除可得也=4,B對；

所以，數(shù)列｛《,｝中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成以4為公比的等比數(shù)列，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2左-1（%eN*）,則4=%T=q.4i=22i=2"T,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2k（&eN*）,則為=4，=%-4'7=2"-1=2",，

2

故對任意的〃eN*,a?=2'-',所以，a3=2=4,A錯(cuò)；

a9W

箕=聲=2,所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為1,公比為2,

1—2”

則S“二——=2〃-1,C對；

〃1-2

&=a。％/"=2°小2+心-i)=22=2@T)，D對.

故選：BCD.

12.已知曲線=：/=16》，直線/過點(diǎn)/（4,0）交「于A,8兩點(diǎn)，下列命題正確的有

（）

A.若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8,則|明=24

B.若P（2,3）,則|M+|AF|的最小值為6

C.原點(diǎn)。在A8上的投影的軌跡與直線6=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

D.若AF=2FB，則以線段A8為直徑的圓的面積是8E

K答案DBCD

K解析》對于A,易得產(chǎn)（4,0）是拋物線r：y2=i6x的焦點(diǎn),

若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8,則y；=16x8=以=±8夜，即A（8,80）或A（8,-8夜），根據(jù)拋物線的

對稱性可得兩種情況計(jì)算出的|A8|相同，再此取98,80）計(jì)算.

所以/的直線方程是y

.y2=16x

直線與「：y2=i6x相交，聯(lián)立方程得.廠_10丹16=0,

y=2\J2x-8V2

得石+工2=1°，|陰=玉+w+p=10+8=18,故A錯(cuò)誤；

對于B,過點(diǎn)4作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，貝!當(dāng)P,4,A三點(diǎn)共線

時(shí)|AP|+|A曰取最小值，此時(shí)最小值為|叫=%+勺2+4=6,故B正確；

對于C,設(shè)原點(diǎn)0在直線/上的投影為“，。尸的中點(diǎn)為。（2,0）,

因?yàn)樗訬O"=90。，所以O(shè)HF為直角三角形,所以

|/7D|=l|OF|=|x4=2,

根據(jù)幾何性質(zhì)及圓的定義可知點(diǎn)〃的軌跡方程為（x-2『+y2=4（yH0）,聯(lián)立

x+\/3y-6-0.2

:、，，，、得丁-2回+3=0/=2五—4xlx3=0,

（x-2）+y=4（yw0）''

解得y=>5,所以直線x+Gy—6=0與（x—2）2+y2=4（ywO）只有一個(gè)交點(diǎn)，故C正

對于D,設(shè)直線/的方程為x=ty+4,聯(lián)立得9-16。，-64=0,所以

yi+y2=\f>t,yxy2=-M,

因?yàn)锳F=（4-X],-yJ,尸8=（》一42，%），而AE=2FB，所以-%=2%，

所以）L+%=+%=-%=16f,所以必=T6r,y=-2y,=32r,

所以％為=32產(chǎn)=-64,解得”土孝，

則乂+%=16/=±4逝,yty2=-64,

所以回_%|=J（3+必）2_4%當(dāng)=,（4&）-4x（-64）=12&，

恒用=廬下加-必|=18,所以以線段AB為直徑的圓的面積是5=苧=工普=8bi,

故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+1>a.若是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

13.設(shè)命題P：

X

K答案U（田,2）

K解析H因?yàn)閒是假命題，

所以P是真命題，

（41廠）

因?yàn)?

\7

所以y==2,

當(dāng)且僅當(dāng)］=匕即％=1時(shí)，等號成立，

x

所以"2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（口,2）,

故K答案H為：（3,2）

14.某種食鹽的袋裝質(zhì)量X服從正態(tài)分布N（400,16）,隨機(jī)抽取10000袋，則袋裝質(zhì)量在

區(qū)間（396,408）的約有袋.（質(zhì)量單位：g）

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nj。?），則P（〃—b<X<〃+b）=0.6827,

P（〃-2cr<X<〃+2cr）=0.9545,P（〃-M<X<〃+3<T）=0.9973.

K答案》8186

K解析X由題意知，X~y（400,42）,

所以P（396<X<404）=0.6827,尸（392<X<408）=0.9545,

得P(396<X<408)=尸(392<X<408)-P(392<X<396)

=P(392<X<408)-g[P(392<X<408)-P(396<X<404)]

=0.9545--(0.9545-0.6827)=0.8186,

2

所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間(392,408)的約有10000x0.8186=8186袋.

故R答案H為：8186.

15.先將函數(shù)/(x)=cosx的圖象向左平移m27c個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐

標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?3>0),縱坐標(biāo)不變，所得圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，若函數(shù)

CD

27r7E7T

g(x)在0,y上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在-五，而上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是

K答案》》4

K解析》函數(shù)/(X)的圖象向左平移7個(gè)單位長度，得到產(chǎn)cos[x+《J的圖象,

再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉磲?，縱坐標(biāo)不變，得到…os5+g的圖象,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象與y=COS〔0X+與J的圖象關(guān)于X軸對稱,

sin(s+H

I6r

e、rc2ll兀兀,It

因?yàn)?4x4；兀，所以七4。犬+/4丁兀+7，

36636

又因?yàn)間(x)=sin"+^)在0,y恰有2個(gè)零點(diǎn)，且sin(E:)=0,keZ,

所以。爭+**解得+J

令-尹2y3臺>2陽，&eZ,得.各誓4三畀等,&wZ,令

&=0,得g(x)在-棄，在上單調(diào)遞增，所以TITI27c兀

2兀71

--—―--

3。-12

所以又3>0,解得0〈844.

7in

[

綜上所述，詈?！?，故。的取值范圍是卜

故隋案】為：卜

16.己知函數(shù)y=,-2x-l|的圖象與直線y=雙機(jī)eR)有四個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)分別為。，b,。，d(a<b<c<d),則4+。+。+d=；2(d-4)+(c-b)的最大值

為.

R答案』446

x=ayx=d是方程工2_2工—1二6的兩根，

則a+d=2,ad=-l-m,

x=b,x=c是方程“2一2X-1=一機(jī)的兩根,

則匕+c=2,bc--\-\-m,

,\a+b+c+d=4.

d>a=d-a>0,.*?d—a=\J(d—a)2=J(d+a)?—4ad=2\j2+m,

c>h=>c-h>0,/.c-b=yl(c-h)2=J(c+Z?>-4歷=2d2-m,

2(d—a)+(c—b)=4)2+/〃+2d2-m,

令=4<2+m+2,2-〃z,0<m<2f

J8-4/九一<2+m

則r(M=

,2+m.5/2—"7

令8-4m>2+m,解得。<加<《，此時(shí)/'(機(jī))>0,單調(diào)遞增,

令8-4相>2+〃?，解得［<m<2,此時(shí)/'(㈤<0,/()%)單調(diào)遞減,

/(Mm"=火|")=4技

故R答案X為：4；4\/5.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在..ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c.已知

sinA+V3cosA=0"

(1)求角A的大??；

(2)給出以下三個(gè)條件：①“=46，匕=4；②層一/+02+106=0；③

若這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請選出正確的條件并回答下面問題：

(i)求sinB的值；

(ii)/8AC的角平分線交8C于點(diǎn)。，求AD的長.

(1)解：因?yàn)閟i〃A+&cos4=0，若cosA=0,則sin4=0,不滿足sin。A+cos2A=1,

2兀

所以，tanA=—>/3>0<A<7c,/.A=.

(2)解：由4彎及①，由余弦定理可得。2=/+,2-2機(jī)，cos?,HPC2+4C-32=0，

Qc>0,解得c=4；

由A=及②，由余弦定理可得層+c2—a2=2bccosA=—be，

由6一片+02+]0〃=?？傻?0〃-0C=0,可得c=10；

由4普及③，由三角形的面積公式可得5/=/5出4=￥乩=15石，可得歷=60.

經(jīng)分析可知①②不能同時(shí)成立，①③不能同時(shí)成立，正確條件為②③，故b=6,c=10.

(i)將b=6,c=10代入②可得36—。2+]0()+60=0可得0=14.

ab28o同

在_ABC中，由正弦定理^—-=——-=-/T,故sin8=-

sinAsinB，314

I2冗17T1JT

（ii）因?yàn)镾ABC=SABO+5ACO，即5%csiny=5。?4。$抽3+2力A￡>sin§,

.?be6015

所rri以sl，AD=--.

b+c164

18.（12分）己知｛%｝為等差數(shù)列，前”項(xiàng)和為S"，若SS=4S2，a2n=2an+l

（I）求知

（2）對VmeN*,將0｝中落入?yún)^(qū)間（2",22”）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為仇｝,求｛（-1）”也,｝的和.

解：（1）設(shè)｛q｝的公差為d,

所以S4=4S,=>4a?+6J=4（%+d）,

%“=2an+l=>q+（2〃-l）d=2[%+（w-l）t/]+l,

解得q=l,d=2,

所以a“=2”-1

(2)由題意可得2"'<2〃-1<22"'=21<〃<豈21,即2"‘T+■!■<〃<2*1+工，

2222

因?yàn)閣eN”,所以2"i+lV〃W2”"T,

所以〃"=22"i—2",㈠)"也=(-1)"'22&,

所以北［

)l-H)

19.（12分）在數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)課上，小明設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：在盒子中裝有紅球、白球等多

種不同顏色的小球，現(xiàn)從盒子中一次摸一個(gè)球，不放回.

（1）若盒子中有8個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，從中任意摸兩次.

①求摸出的兩個(gè)球中恰好有一個(gè)紅球的概率；

②記摸出的紅球個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）若1號盒中有4個(gè)紅球和4個(gè)白球，2號盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)甲、乙、丙

三人依次從1號盒中摸出一個(gè)球并放入2號盒，然后丁從2號盒中任取一球.已知丁取到

紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.

解：（1）①設(shè)事件4=”摸出的兩個(gè)球中恰好有一個(gè)紅球”，

C'C115

0(4)=—^=——

Cj28

②X可取0,1,2,則尸(X=Z)=c；，其中k=0,l,2.

「（x=o）=罟4,尸罟嘴P（X3警

故X的分布列為

X012

5153

P

2828

1533

則E(X)=1X2+2X±=3

28284

（2）設(shè)事件3=“丁取到紅球”，事件C="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.

4

當(dāng)甲，乙，丙三人取得1個(gè)白球，則丁取到紅球概率為X7；

C'C23

當(dāng)甲，乙，丙三人取得2個(gè)白球，則丁取到紅球概率為中'5；

C32

當(dāng)甲，乙，丙三人取得3個(gè)白球，則丁取到紅球概率為**??；

C35

當(dāng)甲，乙，丙三人取得3個(gè)紅球，則丁取到紅球概率為涓■又不.

I

CC4,C?3,C：2

C；7C；7C；744

則所求概率為尸(。8)=

_C_-：?75I___C__4；C4[49

-TX------1-----------;—

c：7C；7C：7C7

20.(12分)如圖，在四棱錐P—ABC。中，BDYPC,Z48C=60。，四邊形ABC。是

__UU1ULH1

菱形，PB=42Afi=42PA,E是棱尸。上的動點(diǎn)，且PE=/IPZ).

(1)證明：H_L平面A8CD

(2)是否存在實(shí)數(shù)2,使得平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值是2叵？若存

29

在，求出4的值；若不存在，請說明理由.

(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛8CD是菱形，所以BD_LAC.

因?yàn)?DJ.PC,AC,PCu平面尸AC,且ACPC=C,

所以▲平面PAC.因?yàn)镽4u平面P4C,所以8￡>_LB4.

因?yàn)镻B=CAB=gPA，所以依2=45?+/%2,所以AB_LP4.

因?yàn)锳B,8Du平面A8C0,且A3BD=B,所以平面4BCD.

(2)解：取棱CD的中點(diǎn)尸，連接4尸，易證AB,AF,AP兩兩垂直，故以A為原點(diǎn)，分

別以AB,AF?AP的方向?yàn)閄，y，Z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2,則A（0,0,0）,C（l,5/3,0）,D（-l,73,0）,尸（0,0,2）,

故AC=（1,0,O）,PO=（-1,3-2）,AP=（0,0,2）.

因?yàn)殁?2茄，所以PE=p,6Z-2/l）,則4￡=”+尸￡=卜兒包,2-24.

n-AC=x+\/3y-0

設(shè)平面ACE的法向量為n=（x,y,z）

n-AE-=-2x+\/32y+（2-2A）z=0

平面PAB的一個(gè)法向量為加=（0,1,0）.

設(shè)平面PA8與平面ACE所成的銳二面角為，，則

12M

r322=，

4/4H---------------

V22-22+1

整理得3萬+24—1=0,解得，=；或幾=-1（舍去）.

故存在實(shí)數(shù)2=1,使得平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值是巫.

319

21.（12分）已知過點(diǎn)（Le）的橢圓E：5■+￡=1（。>〃>0）的焦距為2,其中e為橢圓E

的離心率.

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與E交于AC兩點(diǎn)，以。4,OC為鄰邊作平行四邊形

OABC,且點(diǎn)B恰好在E上，試問：平行四邊形Q4BC的面積是否為定值？若是定值，求

出此定值；若不是，說明理由.

解：（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c,則c=l,e=￡=L,

aa

1

由題意可得3+段=1,解得m

abb~=i

a2=b2+\

故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為E+V=i.

2

（2）平行四邊形。鉆。的面積為定值逅，理由如下:

2

由（1）可得：a=\/2,b=i,則有：

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)。（冷-乂）,

若Q4BC為平行四邊形，則點(diǎn)B為長軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)可友,0）,

丘0

%=彳X'=T

可得2解得「

玉21

y+Ji=1|皿邛

故平行四邊形OABC的面積S=2x'x夜x^=邁；

222

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)/：）=kx+m（mH0）,4（具三）,5（々,%），

y=kx+m

聯(lián)立方程X?,,消去y得（1+2K+4k/zx+2m2—2=0,

.萬+y=1

22

則△=16km-4（1+2公）（2/—2）=8（2獷一M+1）>0,3+w=-J；）,x[x2=

4k2m2m

口[得X+丁2="l+m+仇+〃2=R（%+%2）+2團(tuán)=------2機(jī)=--------

1+2k1+2k

*/04=（不，乂）,0。=（々,乂），

uniuuruun（4km2m\

若。ABC為平行四邊形，則OB=04+OC=（x+X2，X+y2）=-FJ，TF，

I14~2K1+ZK）

2

4km

,-J4km2m2

即點(diǎn)§一K',在橢圓上，則1+2公2m

4-1=1'