專(zhuān)題12.6成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系

1.變量的相關(guān)關(guān)系

⑴相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱(chēng)為相

關(guān)關(guān)系.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且

函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

⑵線(xiàn)性相關(guān)、非線(xiàn)性相關(guān)

①線(xiàn)性相關(guān)：一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線(xiàn)附近,我們就稱(chēng)這

兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān).

②非線(xiàn)性相關(guān)：一般地,如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線(xiàn)性相關(guān),那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量非線(xiàn)性相關(guān)

或曲線(xiàn)相關(guān).

⑶散點(diǎn)圖

將樣本中的幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（肛%）（i=1,2,…必）描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)

的分布可以直觀(guān)地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

①如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱(chēng)為正

相關(guān)，如圖（1）所示；

②如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱(chēng)為負(fù)

相關(guān)，如圖（2）所示.

①將收集到的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別作為橫、縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn),這樣得到的圖叫作散點(diǎn)圖；

②散點(diǎn)圖具有直觀(guān)簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，可以根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系.

⑷正相關(guān)、負(fù)相關(guān)

①正相關(guān)：從整體上看,當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì),我們就稱(chēng)這兩個(gè)

變量正相關(guān)；

②負(fù)相關(guān)：從整體上看,如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢(shì),則稱(chēng)這兩個(gè)變

量負(fù)相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

⑴相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算

變量x與變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：r=,?屋8'）（%一歹）.

出匕（4-/）2位乙（九一7）2

⑵相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

①當(dāng)r>0時(shí),稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；

當(dāng)r<0時(shí),稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；

當(dāng)r=0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.

②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1],當(dāng)|r|越接近1時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近

0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱.

3.一元線(xiàn)性回歸模型

⑴經(jīng)驗(yàn)回歸方程

我們將9=5久+a稱(chēng)為丫關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱(chēng)經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)回

歸直線(xiàn)，其中

t_鄧=1(XL五)3-y)_E乙符％-n型

■=i(%-冗AXjtix^-nx2.

a—y—bx

⑵利用決定系數(shù)R2刻畫(huà)回歸效果

R2=1_宏呼L露R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差.

⑶一元線(xiàn)性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

①經(jīng)驗(yàn)回歸方程：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上大致在一條直線(xiàn)附近,就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相

關(guān)關(guān)系,我們把這條直線(xiàn)稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)(回歸直線(xiàn))，借助最小二乘法得到的直線(xiàn)方程，=bx+a稱(chēng)為經(jīng)

驗(yàn)回歸方程(線(xiàn)性回歸方程).

②經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)

i.經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)(工，)；

ii.y與x正相關(guān)的充要條件是的分>0；y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是石<0；

iii.當(dāng)%增大一個(gè)單位時(shí),9增大石個(gè)單位,這就是回歸系數(shù)B的實(shí)際意義.

4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)2x2列聯(lián)表

如圖，給出成對(duì)分類(lèi)變量數(shù)據(jù)的交叉分類(lèi)頻數(shù)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱(chēng)為2x2列聯(lián)表.

XY合計(jì)

Y=0Y=1

x=0aba+b

X=1cdc+d

合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d

(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)

2

①依據(jù)上述2x2列聯(lián)表構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量X?nQad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

忽略乂2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值a,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)%,

使得P(x2>%)=a成立.我們稱(chēng)為為a的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷X?大小的標(biāo)準(zhǔn).

②基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則是:

當(dāng)乂22/時(shí)，我們就推斷/不成立，即認(rèn)為X和丫不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a；

當(dāng)乂2<%時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷為不成立，可以認(rèn)為X和丫獨(dú)立.

這種利用X?的取值推斷分類(lèi)變量X和丫是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為乂2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)

稱(chēng)獨(dú)立性檢驗(yàn).

下表給出了X2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a

Xa

【重要結(jié)論】

1.線(xiàn)性回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心@歹),據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、判斷結(jié)論的正確性.

y值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.

X?的值可以判斷兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)的可信程度，若X?越大，則兩分類(lèi)變量有關(guān)的把握越大.

L【人教A版選擇性必修三習(xí)題8.2第1題P120】如果發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)圖中所有的樣本點(diǎn)都落在一條斜率為非

0實(shí)數(shù)的直線(xiàn)上，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.解釋變量和預(yù)報(bào)變量是一次函數(shù)關(guān)系B.決定系數(shù)#=1

C.殘差平方和為0D.相關(guān)系數(shù)r=1

2.【人教A版選擇性必修一習(xí)題8.3第5題P135】為了研究高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否大于170cm

的關(guān)聯(lián)性，同學(xué)甲調(diào)查了某中學(xué)高三年級(jí)所有學(xué)生，整理得到列聯(lián)表1,同學(xué)乙從該校高三學(xué)生中獲取容

量為40的有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到列聯(lián)表2.

表1單位：人

身高

性別合計(jì)

<170crr>1705

女811697

男2875103

合計(jì)10991200

表2單位：人

身高

性別合計(jì)

<170cn>170cn

女15621

男91019

合計(jì)241640

(1)利用表1,通過(guò)比較不低于170cM的學(xué)生在女生和男生中的比率，判斷該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別和

身高是否有關(guān)聯(lián)，如果有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響；

(II)利用表2,依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否有關(guān)聯(lián)，并解釋

所得結(jié)論的實(shí)際含義：

（Ill）以上兩種方法得出的結(jié)論是否一致？如果不一致，你認(rèn)為哪種方法得出的結(jié)論準(zhǔn)確，原因是什么？

(X2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d)

P(x2>fco)0.1500.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

考點(diǎn)一成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)

【方法儲(chǔ)備】

判斷數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的方法：

1函數(shù)曲線(xiàn)的附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.

2.樣本相關(guān)系數(shù)法：若|r|的值越接近于1,說(shuō)明變量之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越高；當(dāng)尸>0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)

正相關(guān)；當(dāng)廠(chǎng)<0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程法：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)務(wù)<0時(shí)，負(fù)相關(guān).

【典例精講】

例1.（2023?天津市真題）調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度,所得數(shù)據(jù)如圖所示,其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,

下列說(shuō)法正確的是（）

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

例2.（2023?浙江省溫州市月考）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)為了建立

茶水溫度y隨時(shí)間久變化的函數(shù)模型，小明每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度，得到若干組數(shù)據(jù)（%,乃）,（冷）2），

…，（馬,%），繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.小明選擇了如下2個(gè)函數(shù)模型來(lái)擬合茶水溫度y隨時(shí)間x的變化情

況，函數(shù)模型一：y=人久+b（k<0,%20）;函數(shù)模型二：y=kax+b（J<>0,0<a<l,x>0）,下列說(shuō)法正

確的是（）

90-

8C-?

■

70-??.

Lilt1.

°I2345x

①變量y與久具有負(fù)的相關(guān)關(guān)系

②由于水溫開(kāi)始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情

況

③若選擇函數(shù)模型二，利用最小二乘法求得到y(tǒng)=叱+b的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（元，歹）

④當(dāng)x=5時(shí)，通過(guò)函數(shù)模型二計(jì)算得y=65.1,用溫度計(jì)測(cè)得實(shí)際茶水溫度為65.2,則殘差為0.1

A.②③④B.①②④C.①③④D.①②③

【拓展提升】

練11（2023?廣東省揭陽(yáng)市月考）在由一組樣本數(shù)據(jù)（久口為），（x2,y2）,（xn,yn）（?i22,%i，%2，...,xn不全相

等）的點(diǎn)所構(gòu)成的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（4％）（i=L2，…,⑶都在直線(xiàn)y=-2x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)

中變量％,y的相關(guān)系數(shù)為（）

A.-2B.-1C.1D.2

練12（2023?浙江省寧波市模擬）（多選）根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫?cái)?shù)

A.5號(hào)到11號(hào)的最低氣溫與日期之間呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)

B.9號(hào)的最高氣溫與最低氣溫的差值最大

C.最高氣溫的眾數(shù)為2TC

D.5號(hào)到15號(hào)的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大

考點(diǎn)二一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用

【方法儲(chǔ)備】

1.求線(xiàn)性回歸萬(wàn)程的步驟：

⑴利用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判定兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；

⑵列表求出Q著々%；

⑶利用相應(yīng)公式計(jì)算

⑷寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程.

⑸經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)|r|判斷，當(dāng)|r|R2判斷，爐越大，擬合效果越好.

2.利用回歸方程可以進(jìn)行預(yù)測(cè)和估計(jì)總體，回歸方程將部分觀(guān)測(cè)值所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸，是我們對(duì)有線(xiàn)

性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析和控制、依據(jù)自變量的取值估計(jì)和預(yù)報(bào)因變量值的基礎(chǔ)和依據(jù).

3.非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法

如：①若9-a+byfx,設(shè)t=y/x,則夕—a+bt；②若滿(mǎn)足對(duì)數(shù)式：y-a+blnx,設(shè)t=Inx,則產(chǎn)—a+bt；

C1X

③若滿(mǎn)足指數(shù)式：y=cre,兩邊取對(duì)數(shù)解Iny=Inq+設(shè)z=lny,a=lnq,b=c2,貝!Jz=a+bx.

【典例精講】

例3.（2023?湖南省長(zhǎng)沙市模擬）若需要刻畫(huà)預(yù)報(bào)變量w和解釋變量x的相關(guān)關(guān)系,且從已知數(shù)據(jù)中知道

預(yù)報(bào)變量w隨著解釋變量久的增大而減小，并且隨著解釋變量x的增大，預(yù)報(bào)變量w大致趨于一個(gè)確定

的值，為擬合w和x之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程中的（b>0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）

A.w=bx+aB.w=—b\nx+aC.w=—by/~x+aD.iv=be~x+a

例4.（2023?江蘇省無(wú)錫市月考）新能源汽車(chē)作為戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，代表汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向.發(fā)展新能

源汽車(chē)，對(duì)改善能源消費(fèi)結(jié)構(gòu)、減少空氣污染、推動(dòng)汽車(chē)產(chǎn)業(yè)和交通運(yùn)輸行業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)具有積極意義.經(jīng)

過(guò)十多年的精心培育，我國(guó)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)取得了顯著成績(jī)，產(chǎn)銷(xiāo)量連續(xù)四年全球第一，保有量居全球首

位.

（1）已知某公司生產(chǎn)的新能源汽車(chē)電池的使用壽命家單位：萬(wàn)公里）服從正態(tài)分布N（60,16）,問(wèn)：該公司每

月生產(chǎn)的2萬(wàn)塊電池中，大約有多少塊電池的使用壽命可以超過(guò)68萬(wàn)公里？

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量己?則p（〃一彳=0.683,^</Z+2CT）?0.955,

PQi—3<J<^</z+3c）x0.997.

（2）下表給出了我國(guó)2017?2021年新能源汽車(chē)保有量y（單位：萬(wàn)輛）的數(shù)據(jù).

年份20172018201920202021

年份代碼X12345

新能源汽車(chē)保有量y153260381492784

經(jīng)計(jì)算，變量x與y的樣本相關(guān)系數(shù)勺笈0.946,變量/與y的樣本相關(guān)系數(shù)寶=0985.

①試判斷9-bx+a與y=bx2+a哪一個(gè)更適合作為y與比之間的回歸方程模型？

②根據(jù)①的判斷結(jié)果，求出y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）,并預(yù)測(cè)2023年我國(guó)新能源汽車(chē)保有量.

參考數(shù)據(jù)：令力=青0=1,234,5）,計(jì)算得歹=414,%%%=7704,￡著為%=32094,建著號(hào)=979.

參考公式：在回歸方程產(chǎn)=亂+a中，務(wù)==丁，a=y-bt.

【拓展提升】

練21（2023?江西省南昌市模擬）（多選）某同學(xué)用搜集到的六組數(shù)據(jù)（如％）（i=1,2，…,6）繪制了如下散點(diǎn)

圖，在這六個(gè)點(diǎn)中去掉B點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（）

Bf

一

0X

A.殘差平方和變小B.相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越趨于1

C.決定系數(shù)W變小D.解釋變量%與預(yù)報(bào)變量y相關(guān)性變?nèi)?/p>

練22（2023?黑龍江省哈爾濱市模擬）碳中和是指國(guó)家、企業(yè)、產(chǎn)品、活動(dòng)或個(gè)人在一定時(shí)間內(nèi)直接或間

接產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過(guò)植樹(shù)造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或

溫室氣體排放量，實(shí)現(xiàn)正負(fù)抵消，達(dá)到相對(duì)“零排放，”2020年9月22日，中國(guó)政府在第七十五屆聯(lián)合

國(guó)大會(huì)上提出：“中國(guó)將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030

年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.”某工廠(chǎng)響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，隨著對(duì)工業(yè)廢氣進(jìn)行處理新技

術(shù)不斷升級(jí)，最近半年二氧化碳排放量逐月遞減，具體數(shù)據(jù)如下表:

月份序號(hào)也）123456

碳排放量Pi（噸）1007050352520

并計(jì)算得弓=91,EtilnPi-73.1,￡：=Jnpi=22.5,e4-87~130,e4-88~132.

（1）這6個(gè)月中，任取2個(gè)月，求已知其中1個(gè)月的碳排放量低于6個(gè)月碳排放量的平均值的條件下，另1

個(gè)月碳排放量高于6個(gè)月碳排放量的平均值的概率;

（2）若用函數(shù)模型p=po*t對(duì)兩個(gè)變量月份t與排放量p進(jìn)行擬合，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出p關(guān)于t的回歸

方程.

附：對(duì)于同一組數(shù)據(jù)（%1，為），（x2,y2）>...>On，%），其回歸直線(xiàn)產(chǎn)=阪+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公

式分別為:

rCxi-x)(yt-y)-

b=圾i(“為2'a=y-bx

考點(diǎn)三列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

【方法儲(chǔ)備】

獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟:

(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理只能解決兩個(gè)對(duì)象，且每個(gè)對(duì)象有兩類(lèi)屬性的問(wèn)題，所以對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,我們首

先要確定能否用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想加以解決；

(2)如果確實(shí)屬于這類(lèi)問(wèn)題,要科學(xué)地抽取樣本,樣本容量要適當(dāng),不可太小;

(3)根據(jù)數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表;

⑷提出假設(shè)飛：所研究的兩類(lèi)對(duì)象(X,Y)無(wú)關(guān);

n^ad-bc)2

(5)根據(jù)公式計(jì)算乂2=的值;

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(6)比較乂2與臨界值力,根據(jù)小概率原理肯定或者否定假設(shè),即判斷XX是否相關(guān).

【典例精講】

例5.(2023?湖南省長(zhǎng)沙市期末)根據(jù)分類(lèi)變量比與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到x?=6.147.依據(jù)a=0.01的獨(dú)立

性檢驗(yàn)(的.01=6.635),結(jié)論為()

A.變量比與y不獨(dú)立

B.變量久與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

變量x與y獨(dú)立

D.變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

例6.(2022?湖南省長(zhǎng)沙市期中)新能源汽車(chē)是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車(chē)，被認(rèn)為

能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車(chē)越來(lái)越受到消費(fèi)者的青

睞，新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)也必將成為未來(lái)汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某機(jī)構(gòu)從某地區(qū)抽取了500名近期購(gòu)買(mǎi)新

能源汽車(chē)的車(chē)主，調(diào)查他們的年齡情況，其中購(gòu)買(mǎi)甲車(chē)型的有200人，統(tǒng)計(jì)得到如下的頻率分布直方圖.

(1)將年齡不低于45歲的人稱(chēng)為中年，低于45歲的人稱(chēng)為青年，購(gòu)買(mǎi)其他車(chē)型的車(chē)主青年人數(shù)與中年人

數(shù)之比為3:1.完成下列2x2列聯(lián)表，依據(jù)a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)甲車(chē)型新能源汽車(chē)與

(2)用分層抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)甲車(chē)型的樣本中抽取8人，再?gòu)闹须S機(jī)抽取4人，記青年有X人，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

嗎.v2_n(ad—bc)2.力―々工辦.廠(chǎng)上〃

A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【拓展提升】

練31（2023?陜西省西安市模擬）（多選）已知某學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，該年級(jí)全部

男、女學(xué)生是否喜歡徒步運(yùn)動(dòng)的等高堆積條形圖如下，下列說(shuō)法正確的是

□喜歡徒步

II不喜歡徒步

a0.050.010.005

Xa3.8416.6357.879

A.參加調(diào)查的學(xué)生中喜歡徒步的男生比喜歡徒步的女生多;

B.參加調(diào)查的學(xué)生中不喜歡徒步的男生比不喜歡徒步的女生少;

C.若參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為300,則能根據(jù)小概率a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有關(guān);

D.無(wú)論參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為多少，都能根據(jù)小概率a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有

美.

練32（2023?安徽省合肥市聯(lián)考）針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委正在對(duì)“性別與中學(xué)生追星是否有

關(guān)”做相關(guān)研究.現(xiàn)從本校隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到下表：

性別

是否追星合計(jì)

男生女生

追星4570

不追星20

合計(jì)100

（1）請(qǐng)將上述2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與中學(xué)生追星有關(guān)聯(lián)?

（2）根據(jù)是否追星，在樣本的女生中，按照分層抽樣的方法抽取9人作為研究小組.為了更詳細(xì)地了解情況,

再?gòu)难芯啃〗M中隨機(jī)抽取4人，求抽到追星人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bc)2

參考公式：2n=a+b+c+d

x=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

下表給出了獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.0500.0250.0100.001

%3.84105.0246.63510.828

1.（2023?浙江省杭州市聯(lián)考）足球是一項(xiàng)大眾喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)，為了解喜愛(ài)足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取

了若干人進(jìn)行調(diào)查，抽取女性人數(shù)是男性的2倍，男性喜愛(ài)足球的人數(shù)占男性人數(shù)的，，女性喜愛(ài)足球的

O

人數(shù)占女性人數(shù)的,，若本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜愛(ài)足球與性別有關(guān)”

的結(jié)論，則被調(diào)查的男性至少有人（*=…鑿點(diǎn)Wd）

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.10B.11C.12D.13

2.（2023?重慶市市轄區(qū)模擬）已知變量y關(guān)于光的回歸方程為y=涉尸。.6,若對(duì)y=6丘-。6兩邊取自然

對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)my與久線(xiàn)性相關(guān)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：

X12345

yee3e4e6e7

則當(dāng)％=6時(shí)，預(yù)測(cè)y的值為（）

A.9B.8C.e9D.e8

3.（2023?湖北省荊州市月考）5G技術(shù)對(duì)社會(huì)和國(guó)家十分重要.從戰(zhàn)略地位來(lái)看，業(yè)界一般將其定義為繼

蒸汽機(jī)革命、電氣革命和計(jì)算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命.某科技集團(tuán)生產(chǎn)48兩種5G通信基站核心

部件，下表統(tǒng)計(jì)了該科技集團(tuán)近幾年來(lái)在4部件上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：

研發(fā)投入x（億元）12345

收益y（億元）3791011

（1）利用相關(guān)系數(shù)r說(shuō)明是否可以用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)|r|G[0.75,1]時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變

量有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性）；

（2）求出y關(guān)于光的線(xiàn)性回歸方程，并利用該方程回答下列問(wèn)題：

。）若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計(jì)至少需要投入多少研發(fā)資金？（精確到0.001億元）

5）該科技集團(tuán)計(jì)劃用10億元對(duì)A,B兩種部件進(jìn)行投資，對(duì)B部件投資x（l<x<6）億元所獲得的收益

y近似滿(mǎn)足y=0.9%-5+3.7,則該科技集團(tuán)針對(duì)4B兩種部件各應(yīng)投入多少研發(fā)資金，能使所獲得的

總收益P最大.

￡憶1（陽(yáng)一團(tuán)（力一9）

附：相關(guān)系數(shù)「=回歸直線(xiàn)方程的斜率1=啊各]）三嚴(yán),截距。=歹一石記

,￡之1（3一乃2]￡21例一刃2Li=lixi-x）

【答案解析】

L【人教A版選擇性必修三習(xí)題8.2第1題P120]

解：因?yàn)闃颖军c(diǎn)都落在一條斜率為非。實(shí)數(shù)的直線(xiàn)上，所以相關(guān)系數(shù)r滿(mǎn)足m=1,若直線(xiàn)的斜率為正，

則r=l；若斜率為負(fù)，則r=—1,故。錯(cuò)誤；

直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為一次函數(shù)，所以解釋變量和預(yù)報(bào)變量是一次函數(shù)關(guān)系，故/正確；

決定系數(shù)和殘差平方和都能反映模型的擬合程度，所以決定系數(shù)R2=l,殘差的平方和為0,故8,C正

確.

故本題選D

2.1人教A版選擇性必修一習(xí)題8.3第5題P135]

解：（I）女學(xué)生身高低于170cm,不低于170cm的頻率分別為筮=0.835,招=0.165,

男學(xué)生身高低于170cm,不低于170cm的頻率分別為溫-0.272,^~0.728,

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，如果從女生、男生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，女生中身高低于170sl的概率大于男生中身

高低于170cm的概率，

故高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高有關(guān)聯(lián)，

故女生中身高低于170cm的頻率是男生中身高低于170cm的頻率的3倍以上,

所以女生身高更容易低于170cm；

所以依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有95%的把握認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)系;

（III）不一致，第一種準(zhǔn)確，第二種樣本容量太少，隨機(jī)性太大.

例1.解：根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤

散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；

由于r=0.8245是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來(lái)一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰?/p>

即取出的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

例2.解：觀(guān)察散點(diǎn)圖，變量”與y具有負(fù)的相關(guān)關(guān)系，①正確，易得②正確，

若選擇函數(shù)模型二，

利用最小二乘法求出的回歸方程一定經(jīng)過(guò)（后,歹），③錯(cuò)誤；

殘差=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值，因此殘差為0.1,④正確.

其中說(shuō)法正確的是①②④.

故選8.

練11.解：???直線(xiàn)2x+y-1=0的斜率k=—2,

且若所有本點(diǎn)（孫力）（i=1,2,3,…，孔）都在直線(xiàn)y=-2x+l±,

???說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的樣本完全負(fù)相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)達(dá)到最小值-1.

故選：B.

練12.解：由某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫（單位：?？跀?shù)據(jù)，折線(xiàn)圖，知：

在力中，5號(hào)到11號(hào)的最低氣溫與日期之間，在一條直線(xiàn)附近，成上升趨勢(shì)，即呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系且為正

相關(guān)，故/正確；

在8中，由圖知，6號(hào)的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，故8錯(cuò)誤；

在C中，最高氣溫27。出現(xiàn)2次，次數(shù)最多，則眾數(shù)為27。。故C正確；

在。中，5號(hào)到15號(hào)的最低氣溫的極差小于15-3-12,最高氣溫的極差為27-15=12,故最高氣溫

的極差大，故。錯(cuò)誤

故選：AC.

例3.解：對(duì)于4因?yàn)閥=x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且b>0,所以w隨著久的增大而增大，不合題意，

故4錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閥=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且6>0,所以w隨著x的增大而減小，

當(dāng)解釋變量X—+8,W00,不合題意，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)閥=C在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且。>0，所以卬隨著x的增大而減小，

當(dāng)解釋變量久一+8,W00,不合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)閥=e-=（；尸在定義域內(nèi)單調(diào)遞減且0,所以w隨著x的增大而減小，

當(dāng)解釋變量x->+8,wa,故。正確；

故選：D.

例4.解：（1）因?yàn)樾履茉雌?chē)電池的使用壽命;?N（60,42）,

所以PG>68）==（丁2『〃+2。）x=0Q225,

所以20000X0.0225=450塊，

則每月生產(chǎn)的2萬(wàn)塊電池中，使用壽命超過(guò)68萬(wàn)公里的大約有450塊；

(2)①因?yàn)镮QI>I—

所以產(chǎn)=bx2+a更適合作為y與x之間的回歸方程模型;

②因?yàn)楦?停+22+；2+42+52=]],

刑務(wù)-戲=1M53_32094-5X11X414

則南后5979-5X1P24.9,

a=y-St=414-24.9x11=140.1,

所以y=24.9t+140.1=24.9/+140.1,

當(dāng)尤=7時(shí)，y=24.9X49+140.1=1360.2萬(wàn)輛，

則2023年我國(guó)新能源汽車(chē)保有量約為1360.2萬(wàn)輛.

練21.解：由題圖，去掉B點(diǎn)后，回歸效果更好，

則殘差平方和變小，故/正確；

相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值|川越趨于1,故8正確；

決定系數(shù)產(chǎn)變大，故C錯(cuò)誤；

解釋變量久與預(yù)報(bào)變量y相關(guān)性增強(qiáng)，故。錯(cuò)誤.

故選AB.

練22.解：(1)設(shè)4="1個(gè)月的碳排放低于6個(gè)月排放的平均值”，

B="1個(gè)月的碳排放高于6個(gè)月排放的平均值”，

則P(8|A)=鬻1

21

kt

(2)p=poe=>Inp=kt+lnp0,

則仁疆半丹她…32,

慶斤6t

7

Inpo—3.75+0.32X—=4.87,

所以回歸方程為：Inp=—0.32t+4.87=>p=e4,87'e~032t?130e_032t.

例5.解：a=0.01時(shí)，Xa=6.635,則大于Xa時(shí)相關(guān)，不獨(dú)立，

而X?=6.147<Xa=6,635,所以變量比與y獨(dú)立，

但是這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率超過(guò)0.01,故4B,D錯(cuò)誤,C正確.

故選C

例6.解：(1)由直方圖可知，購(gòu)買(mǎi)甲車(chē)型的青年人數(shù)為200(0.005+0.025+0.0325)x10=125人，中年

人數(shù)為200-125=75人，

購(gòu)買(mǎi)其他車(chē)型的青年人數(shù)為(500-200)X言=225人，中年人數(shù)為300-225=75人,

可得2x2列聯(lián)表:

青年中年合計(jì)

甲車(chē)型12575200

其他車(chē)型22575300

合計(jì)350150500

零假設(shè)%:購(gòu)買(mǎi)甲車(chē)型新能源汽車(chē)與年齡無(wú)關(guān).

因?yàn)?=500(125x75-225x75)2=經(jīng)=g929>7879

X350x150x200x30014>'

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷/不成立，即認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)甲車(chē)型新能源汽車(chē)與年齡有關(guān),

此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

(2)用分層抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)甲車(chē)型的樣本中抽取8人，則青年有8x株=5人，中年有8x益=3人，

所以X的可能取值為1,2,3,4.

51鬃303

P(X=1)=塞。。=2)=骨=*慨

L87014

303CfCg51

P(X=3)=普I-P(X=4)=常=磊

L7014

8o

得分布列:

X1234

1331

P

147714

所以E(X)=lx=+2x5+3x#4x==|

練31.解：設(shè)高二年級(jí)總?cè)藬?shù)為3a,則根據(jù)等高堆積條形圖可得:

喜歡不喜歡合計(jì)

男生1.4a0.6a2a

女生0.4a0.6aa

合計(jì)1.8a1.2a3a

對(duì)于A(yíng)：參加調(diào)查的學(xué)生中喜歡徒步的男生人數(shù)為1.4a,喜歡徒步的女生人數(shù)為0.4a,所以N正確;

對(duì)于B-.參加調(diào)查的學(xué)生中不喜歡徒步的男生與不喜歡徒步的女生人數(shù)均為0.6a,所以2錯(cuò)誤；

對(duì)于c與D.2_3a(1.4ax0.6a—0.4ax0.6a)2_a

?X2axaxl.8axl.2a4'

當(dāng)3a=300時(shí)，x2=25>6,635,所以能根據(jù)小概率a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有關(guān);

當(dāng)總?cè)藬?shù)時(shí)，即不能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn),

3a<3x4x6,635x?=jq<6,635a=0.01

推斷喜歡徒步和性別有關(guān)，故C正確，。錯(cuò)誤.

故選NC.

練32.解：（1）列聯(lián)表補(bǔ)充為

性別

是否追星合計(jì)

男生女生

追星452570

不追星102030

合計(jì)5545100

零假設(shè)"oH■生別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)聯(lián),

2_100x(45x20-25x10)2

久—55x45x70x30?8.129>6.635=Xo.op

依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷為不成立，即認(rèn)為性別與中學(xué)生追星有關(guān)聯(lián),

此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.0L

（2）由題意知，9人中追星的有5人，不追星的有4人.

由題意可知，X的可能取值為0,