第7講函數(shù)的單調性與最值

學校:姓名：班級：考號：

【基礎鞏固】

1.（2022?全國?高三專題練習）函數(shù)丫二心目/一/+以+時）單調遞減區(qū)間是（）

3

A.（—oo,2）B.（2,+co）C.（—2,2）D.（—2,6）

【答案】C

【解析】令'一〃=一九2+4x+12?由〃=一/+4工+12>0,得一2vxv6.

3

因為函數(shù)y=l°g產(chǎn)是關于〃的遞減函數(shù)，且“?-2,2）時，〃=f2+4x+i2為增函數(shù)，所以

y=log1—f+4x+12）為減函數(shù)，

3

所以函數(shù)y=log+4x+12）的單調減區(qū)間是（_2,2）.

3

故選：C.

2.（2021?山東臨沂?高三階段練習）“。=2”是“函數(shù)〃6=卜-4在區(qū)間［2,叱）上為增函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】〃x）=|x-a|的圖象如圖所示，要想函數(shù)f（x）=|x-4在區(qū)間［2,轉）上為增函數(shù)，必須滿足。42,

因為｛2｝是｛m42｝的子集，所以“a=2”是“函數(shù)〃x）=|x-a|在區(qū)間［2,叱）上為增函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A

3(2022?湖北?二模)已知函數(shù)“r)=lg(|x|-l)+2,+2T,則使不等式，。+1)</②)成立的冗的取值范

圍是()

A.(-oo,-l)u(l,+oo)B.(-2,-1)

C.18,-；)u(l,+8)D.(F,-2)U(1,+O

【答案】D

【解析】由次|—1>0得/(X)定義域為(-00,—1)0(1,y0),

/(-X)=lg(lx|-1)+2"+2,=fix),故fix)為偶函數(shù)，

而y=lg(|x|-1),y=2'+*在(1,+co)上單調遞增，

故/(x)在。,物)上單調遞增，

[x+l|<|2x]

則/(x+l)</(2x)可化為，X+1|>1,得]/_1_0v-_1_14Y~

|2X|>1U+l>lnJcx+l<-l

解得x>1或r<-2

故選：D

4.(2022?湖南?長沙市明德中學二模)定義在R上的偶函數(shù)在[0,+。)上單調遞減，且/(-3)=0,若

不等式的解集為(-1，5),則加的值為()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】B

【解析】因為f(x)為偶函數(shù),/(3)=/(-3)=0,f(x)在［0,+8)單調遞減,若〃x)>0,則

川動>〃3),不等式“X—〃?)>0可轉化為〃,一砌>"3),所以,一曰<3,解得：m-3<x<m+3,

所以〃z-3=—1且機+3=5,即m=2.

故選:B.

2

x-2O￥4-9,X<1

5.(2022?河北?石家莊二中模擬預測)設aeR,函數(shù)=1,16，若f(x)的最小值為

X"4----3。,X>1

X

/(I),則實數(shù)〃的取值范圍為()

A.[1,2]B.[1,3]C.[0,2]D.[2,3]

【答案】A

【解析】當x>l時，x2+--3a=x2+—+--3a>3^/x2x—x—-3?=12-3a,

XXXvXX

Q

當且僅當V=9時，等號成立；

X

即當x>l時，函數(shù)/(X)的最小值為12-3a,

當xVl時，/(x)=x2-2ax+9=(x-a)2+9-a2,

,、，、fa>1

要使得函數(shù)f(x)的最小值為f(l)，則滿足[([)=[0_2a412_3a，解得心心？，

即實數(shù)。的取值范圍是口，2].

故選：A.

6.(2022?山東濟寧?三模)若函數(shù)〃x+2)為偶函數(shù)，對任意的與,9《2,母)，且x產(chǎn)々，都有

則()

A./(log26)</^</(log312)B./(log312)</^</(log26)

c.>Z(log26)>/(log312)D./(log312)>/(log26)>

【答案】A

【解析】解：由對％，We[2,+oo),且x產(chǎn)聲，都有(%-々)[/(xj-f(9)]<0,

所以函數(shù)“X)在[2,十功上遞減，

又函數(shù)〃x+2)為偶函數(shù),

所以函數(shù)“X)關于x=2對稱，

所以*圖，

又log26=1+log23>2,log312=1+log34>2,

53—

S^log23+l-rlog23-rlog23-log22^1og23-log2^>0.

所以log23+l>g,

53—

S^log34+l-rlog34--=log34-log33^1og34-log3^<0,

所以Iog23+l<|,

所以log,6>|>log312>2,

所以川幅6)</(卜/(1嗝12),

即〃1嗎6)</(1</(1幅12).

故選：A.

7.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=log“x,記g(x)=/(x)]/(x)+,“2)-l],若g(x)在區(qū)間

；,2上是增函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.[2,詞B.(0,；C.D.(O,1)U(1,2)

【答案】B

【解析】g(x)=/(%)-[/(x)+/(2)-l]=log?x(lognx+log“2-1)

令f=lgx,由xe[g,2],所以fw[-lg2,lg2]

令M（'）=-°g"lg2）f]

因為g（x）在區(qū)間仕,2]上是增函數(shù)，所以M⑺在問-Ig2,lg2]也是增函數(shù)

所以Igajg24Tg2n[ga4_]g2=]gg,則0<avg

即ae（0,；

故選：B

8.（2022?浙江?高三專題練習）已知函數(shù)/。）=》2-2枕+1在區(qū)間（—/1上遞減，且當xe[0/+l]時，有

/（4"-/。）而“42,則實數(shù)/的取值范圍是（）

A.[-△及]B.[1,721C.[2,3]D.[1,2]

【答案】B

【解析】解：函數(shù)，*）=*2-2枕+1的對稱軸為宜線x=f,

因為函數(shù)/(x)=f-2a+1在區(qū)間(YO,1]上遞減，

所以f21.

所以/(X)min=/⑺=產(chǎn)-2產(chǎn)+1=1—產(chǎn)，f(心=/(O)=1，

所以1—(1—廠)42,.,.—4,4>/2.

因為d1,所以iwVL

故選：B

9.(多選)(2022?重慶八中高三階段練習)函數(shù)〃x),g(x)均是定義在R上的單調遞增函數(shù)，且g(x)*O,

則下列各函數(shù)一定在R上單調遞增的是()

A.f(x)-g(x)B./(x)+g(x)C."(x)FD.-^7

g(x)

【答案】BC

【解析】取解x)=x,g(x)=e*,故/(x)?g(x)=xe",設F(x)=xe*,

則F'(x)=(x+l)e'，

在(一,-1)上，F(xiàn)(x)<0,故F(x)在上為減函數(shù)，故A錯誤.

而一怒=T，設G(x)=-j，則G，(x)=宗，

在(—,1)上，G'(x)<0,故G(x)在(—,1)上為減函數(shù)，故D錯誤.

設5(%)=/(%)+g(x),。(x)=[/(x)]3,

任意再<電,貝1」5(與)一5(幻=/(用)一/(*2)+8(玉)一8七)，

因為f(x)，g(x)均是定義在R上的單調遞增函數(shù)，

故)(石)</(毛),g(%)<g(%)，

所以S(xJ-S(w)<0即S(xJ<S(w),故S(x)是R上的單調遞增函數(shù).

而。(丙)-。(尤2)=[/(藥)-/(》2)](/(當)+；/(9))+1尸(%)

因為/(X)是定義在R上的單調遞增函數(shù)，

故/&)</5)，且|/3)+3〃動)2+(產(chǎn)(西)>。，

所以。（丹）-。（毛）＜0即U（X）＜U（W）,故u（x）是R上的單調遞增函數(shù).

故BC正確.

故選：BC

10.（多選）（2022?山東?青島二中高三期末）記“X）的導函數(shù)為廣（x）,若/（x）＜V[x）＜2/（x）—x對任

意的正數(shù)都成立，則下列不等式中成立的有（）

A."1）＜2唱）B.

C./⑴卜D./⑴＜?（2）+：

【答案】BC

【解析】解：因為/（X）〈礦（力，所以r（x）x——（x）＞0,則9（力=件1]J（x）7（x）〉0,所以

尸（力=§在x?0,E）單調遞增，所以尸⑴＞?即*＞寺2,所以〃1）＞2佃，故A錯

2

誤；同理尸（2）＞/1）,即卓＞犯，所以〃1）＜:/（2）,故B正確；因為短（同＜2/（刈-x,所以

212

xf'（x）-2f（x）+x＜0,構造函數(shù)心）=/（,7,則〃（x）=]，（2-⑴-2/（x）+X＜0,所以

XL廠」丫

f（L]_L

心尸號二在xe（O,y）單調遞減，所以力⑴＜以；），即*J化簡得

4

故C正確；同理網(wǎng)2）＜〃⑴，即"？二2＜*zl,化簡得〃]）＞；〃2）+g,故D

錯誤.

故選：BC.

11.（2022?江蘇省平潮高級中學高三開學考試）函數(shù)＞=一/+2仇|+3的單調減區(qū)間是.

【答案】（1,討）和（-1。）.

【解析】根據(jù)題意，

.■）

/（幻=-工2+2可+3=[一，+,故當x20時，函數(shù)/*）=一/+2*+3=-*_1）2+4在區(qū)間（。，

一廠-2x+3,x＜0

2)上單調遞增,在(1，+8)上單調遞減;

當x<0時，函數(shù)/(幻=一/一2》+3=—(犬+1)2+4在區(qū)間(一8,-1)上單調遞增，

在(-1,0)上單調遞減.

故答案為：(1,+°0)和(-1,0).

12.(2022?浙江省普陀中學高三階段練習)已知奇函數(shù)f(x)是定義在［—1,1］上的增函數(shù)，且

/(x-l)+/(l-2x)<0,則x的取值范圍為.

【答案】(0』

【解析】因為奇函數(shù)/(x)在［-1,1］上是增函數(shù)，所以有〃f)=—f(x),+—2x)<0可化為

/(X-1)<-/(1-2X)=/(2X-1),要使該不等式成立，有一142》-141,解得

x-K2x-l

0<x<l,所以x的取值范圍為(0』.

故答案為：(0』.

13.(2022?湖北?房縣第一中學模擬預測)已知函數(shù)/(x)=|lnx-a|+a(a>0)在［14］上的最小值為1,則a

的值為.

【答案】1

【解析】由題意得lnxe［0,2］,

當aN2時，/(犬)=左一Inx在［14］上單調遞減，

(X)的最小值為y(e2)=2?-2=l,a=］<2,

所以aN2不成立；

2a-lnx,xc「l,e")

當0<a<2時，/(》)=「°〃x)在［l,e］單調遞減，在［e",e［上單調遞增，

InX,XG|efl,e-I

???f(X)的最小值為〃e")=a=1,符合題意.

故。=1.

故答案為：1.

14.（2022?廣東?模擬預測）已知C（x）=2022d+log2N，且

a=f（《），6=，（lg羲際）則之間的大小關系是.（用“<”連接）

【答案】c<a<b

【解析】解：函數(shù)/（X）的定義域為（V,0）U（0,M）,

因為/（t）=2022x2+log?國=/（x）,

所以函數(shù)〃x）為偶函數(shù)，

2

因為函數(shù)V=2022x,y=log2|x|在（0,+（?）上遞增，

所以函數(shù)/（x）=2022x2+log?W在（0,+8）上遞增，

則"=人心2Q=大g募卜川g2。22）,

因為logo/vO,所以0<4*'<i，

l<10°2<（35），）2=3<lg2022,

所以4tag°』<1O02<1g2022，

所以/（4,o^6）</（1002）</（lg2022）,

即cvav].

故答案為：c<a<b.

15.（2022?全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃x）=署^是定義在（T1）上的函數(shù)，=恒成立,

且

⑴確定函數(shù)〃x）的解析式；

⑵用定義證明/（X）在（T，l）上是增函數(shù)；

⑶解不等式『(x-l)+〃x)<0.

【解】⑴解:因為函數(shù)/（力=詈〃T）=一“X）恒成立,

-cix-vb

所以，則6=0,

1+x21+x2

此時十)=得,所以/({|=不亍W

解得。=1,

Y

所以〃上行;

(2)證明：設-1＜%＜電＜1,

則如)-小)=自W_（芯一々）（1-占々）

1+X廠（l+x；）（l+x；）

,/—1<x1<x2<1,

/.-1<XyX2<1,且尤[一工2<0,則1一%%2>0，

則/(百)一/*2)<0，B|J/(x,X/(x2),

所以函數(shù)f(X)是增函數(shù).

(3)v/(x-l)+/(x)<0,

/(x-l)<-/(x)=f(-x),

??,fM是定義在(-1,1)上的增函數(shù)，

/.-1<-X<1,得0cxeL

,2

x-1<-x

所以不等式的解集為(O,；).

16.(2022?全國?高三專題練習)設函數(shù)/。)=以2+"+](a,6eR),滿足f(-l)=O,且對任意實數(shù)x均有

fM>0.

⑴求f(x)的解析式;

⑵當XWS時，若g(x)=|/(x)-對是單調函數(shù)，求實數(shù)上的取值范圍.

【解】(1):/(-1)=。，Z?=6!+l.BPf(x)=ax24-(674-l)X+l,

因為任意實數(shù)M/5)NO恒成立，則

Q>0旦△=〃—4。=(。+1)2—4。=(。-1)2<0,a=19h=2,

所以/（幻=/+2%+1.

(2)因為g(x)=|/(x)-時=*+(2-Z)x+1,

設力(x)=/+(2-k)x+l,要使g(x)在上單調，只需要

l-2>1fe-2>1A-2V1

22f22t、22

j或j或］i

嗎”0/?(")<o/!(--)>0

解得34%《9或1弓所以實數(shù)%的取值范圍3,91u--1,1

17.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=f+("-4)x+3-".

(1)若f(x)在區(qū)間［0』上不單調，求。的取值范圍；

⑵求函數(shù)“X)在區(qū)間［0,1］上的最大值；

⑶若對于任意的。?0,4),存在%e［0,2］,使得,求f的取值范圍.

【解】⑴解：函數(shù)/(x)=x2+(a-4)x+3-a的對稱軸為*=-區(qū)三，

因為已知/(X)在區(qū)間［0,1］上不單調,

<7—4

則0<-----<1,解得2<a<4,

2

故。的范圍為(2,4)；

⑵"(OX-a,f(1)=0,

當3—a>0時，即a<3時，最大值為/⑼=3-“，

當3-40時，即a.3時，最大值為/(1)=0,

=［0,〃..3

'J的［3-a,a<3

(3)解法一⑺當0<與@,,1時，即2,“<4時，《學卜"x)f(2),

1/⑵/⑶=「2+："-4=三，

〃2)H/(學)—a2—8-(a-4)+8>

44

所以l"x)|〃3.=a-l；

他)當1<?<2時，即0<。<2時，|/(0)|=|3-a|=3-a,/(?卜廠"+："-4

??/o)H住卜？>0，

?,■1/(切3=3-4,

-不上，l/(-r)U=j3_^0<fl<2.

故"(x)Lw」，所以4,1，

解法二：=+("2)(x-l)忸［x-l)-+|("2)(x-l)|l+|a-2|,

當且僅當x=0時等號成立，

又(1+k-嘰=1，

【素養(yǎng)提升】

1.(2022?江蘇南通?高三期末)已知函數(shù)/(x)=e*-eT+ln(dFW+x)，則不等式區(qū)外+火緘-1)>0的解集

是()

A.(1,+oo)B.C.(fg)D.(-00,1)

【答案】B

【解析】“X)的定義域滿足F「—x>0,由

所以G7T-x>0在R上恒成立.所以〃x)的定義域為R

xx

f(-x)=e~-e+ln(J%2+i-x)

則/(x)+/(—x)=，一6一"+ln(J%2+1+工)+［二一e*+ln(JM+1-x)

=ln(，f+i+%)+ln(Jf+1+x)=In1=0

所以/(x)=—/(—X)，即/(x)為奇函數(shù).

設8(彳)=1116%+1+x),由上可知g(x)為奇函數(shù).

當XNO時，y=GTT，)'=X均為增函數(shù)，則〉=小河口+兀在［0，+8)上為增函數(shù).

所以g(x)=ln(Vx2+l+x)在［o,+8)上為增函數(shù).

又g(x)為奇函數(shù)，則g(x)在(Y),0］上為增函數(shù)，且g(O)=O

所以g(x)在R上為增函數(shù).

又^=爐在R上為增函數(shù)，y=e-"在R上為減函數(shù)

所以y=e*-"*在R上為增函數(shù)，故/(同在R上為增函數(shù)

由不等式〃x)+/(2x-l)>0,即f(x)>―/(2x-l)=f)_2x)

所以x>l-2x,則x>；

故選：B

2.(2022?福建省廈門集美中學模擬預測)已知函數(shù)/(x)是定義域為R的函數(shù)，”2+x)+/(-x)=0,對

任意A，Xje［l,-K?)(x,<x2),均有/(々)一/(與)>0,已知a,為關于x的方程f-2x+r-3=0

的兩個解，則關于，的不等式/(“)+/。)+/(。>0的解集為()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由〃2+x)+〃—x)=0,得/⑴=0且函數(shù)關于點(1,0)對稱.

由對任意4，x,G［1,+OO)(X,<x2),均有/(巧)一了(再)>0,

可知函數(shù)/(x)在口,物)上單調遞增.

又因為函數(shù)“X)的定義域為R，

所以函數(shù)/(x)在R上單調遞增.

因為。，人(。/A)為關于x的方程V-2x+r-3=0的兩個解，

所以△=1(產(chǎn)-3)>0,解得-2<1<2,

且a+b=2,即b=2—a.

又〃2+X)+/(T)=0,

令x=-a,則/(4)+/(。)=0,

則由〃a)+〃6)+/(f)>0,得/0>0=〃1),

所以，>1.

綜上，f的取值范圍是(1,2).

故選：D.

3.(2022?湖南二中學模擬預測)已知函數(shù)“工人落，若不等式“1-")+/卜2"2對

Vxe(O,E)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(9,2]

2(1e，2

【解析】/(A-)=-^=^；~=2--^，

1+e7l+el+eT

因為y=l+e*在R上為增函數(shù)，

2

所以~^在區(qū)上為增函數(shù)，

l+e

2?

因為

所以“1-詞+/(f)*2可化為“1_依)22-/(巧=/(-V),

因為〃x)在R上為增函數(shù),

所以1-or2-f對Vxe(0,+oo)恒成立，

所以“4x+，對Vxe(0,+co)恒成立，

因為x>0,所以x+=2,