參考答案，僅供參考

c_V6

1.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意M=5，而a2=b2+c2,所以

,a=V3

?2c

b=l.所以所求橢圓方程為言+必=1.

(2)設(shè)4(%i，yD，8(%2，丫2)，

①當月81%軸時，\AB\=V3,

②當4B與％軸不垂直時，設(shè)直線48的方程為y=々％+小.由已知

^===辛得巾2=：(/：2+1),把y=土%+小代入橢圓方程，整理得

(3/c2+l)x2+6kmx+3m2—3=0,

其中A>0恒成立，%1+%2-3d+l,%1%2-所以

MFI2=(1+爐)(%2-％J?

八36/c2m212(m2—1)

=(1+好)————_——----L

[(3/+1)23/+1

_12(/c2+l)(3/c2+l-m2)

一(3/c2+I)2

_3(/C2+1)(9/C2+1)

—(3/c2+l)2

12k2

=34-.)

9k4+6k2+1

12,、

=3+](/cW0)

弘2+后+6

12

工3+2X3+6=&

當且僅當9幺=也,即k=±9時等號成立，1481=2.當k=0時,

\AB\=V3,

綜上所述，l4Blmax=2.

所以當L48I最大時，△MB面積取最大值，S=|x\AB\x^=^-.

2mwaacx22

22

2.（1）設(shè)雙曲線方程為%-%=1.

22

由橢圓2+亍=1，得兩焦點為（—2,0）,（2,0）.對于雙曲線C,根據(jù)題

o4

意得

b

c=2,—=V3,

a

結(jié)合c2=a2+b2解得

c”2

所以雙曲線C的方程為

（2）解法一：由題意知，直線，的斜率k存在且不等于零.設(shè)/的

方程為y=k%+4,設(shè)4（%i，yi）,8（%2，丫2），則Q（一右。）

因為所=入1遢，所以

%1+嬴），

V-4=入1丫1，

44

k入1k

4

因為力（%1，%）在雙曲線。上，所以

+入1

整理得

(16—入j+32入i+16——=0,

KJ

同理得

/>Ox9169

(16—k)%+32入2+16——k—0.

KJ

若16—1=0,直線/過頂點，不合題意，則有16-幺。0,從而

入1，入2是二次方程

/八)16_

(16—/c2)%2+32%+16———k2—0

的兩根，于是

解得

k2=4,

適合A>0,于是/c=±2,故所求Q的坐標為（±2,0）.

解法二：由題意知直線2的斜率左存在且不等于零，設(shè)，的方程為y=

kx+4,設(shè)8（%2）2），則Q（—%0）?

因為而=入19=入2證，所以

（一$—4）=入1卜］+氤）=入292+和2），

即

-4=X1y1=入2y2,

亦即

44

入1=--------，入2=一

yi丁2

乂入1+入2=—/所以

112

---1---=B

yi72----3

即

3（乃+y2）=2yly2?……①

將y=kx+4代入/—g=1得

（3-/c2）y2-24y+48-3k2=0.

而3-Mwo,否則，與漸近線平行.于是

2448-3k2

為+'2=^^必，乃乃二石*

將它們代入①得

2448-3k2

3X-------7=2X---------，

3-k23-k2

解得

k=±2,

適合A>0,故所求Q的坐標為（±2,0）.

3.（1）設(shè)4（%i，yi）,8（%2，乃），

則:

X1+X2、，_yi+yict-i>yM_月+，2

XP

M-2—，――2-，所以k（）M

XM盯+%2

又

9%；+y：=

9%2+y2=m2>

兩式相減得

9（%1+%2）（%1-%2）+01+72）（71-72）=0,

即

為+72yi-72c

----------------------=—9.

%+%2%1—％2

所以k°M,=—9,

因此原命題得證，且定值為-9.

（2）根據(jù)題意，如圖.

假設(shè)存在符合題意的平行四邊形O/PB,設(shè)MO。,%),貝iJP(2%o,2yo),

于是

1

9珞+*=嚴2?①.

此時根據(jù)第(1)小題的結(jié)論，有

m-yy門

根0丫0力

可一%。

KJ

整理得

1

2

3mx04-my0=9說+其=-m,

即

1

3%o+yo=7^……②，

4

由方程①與②解得

缶=和+上)，

或

無。=/(1-b)，

%=表1+⑨,

斫以“_yo_3(1一夕)或“_yo_3。+⑺

于是直線I的斜率為

-9?—=4+V7.

yo

或

-9?—=4-V7.

yo

,所以能為平行四邊形.

4.(1)依題意，設(shè)拋物線C的方程為%2=4cy(c>0),

由點到直線的距離公式，得

|0-c-2|_3V2

Vl+1—2，

解得c=l(負值舍去)，故拋物線。的方程為

x2—4y.

(2)由％2=4y,得y=[%2,其導數(shù)為

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

吊=4yl，%=4y2,

切線PA,PB的斜率分別為71，n2，所以切線PA的方程為

y-yi

即

丫亍一三+為，

即

xxx—2y—2y1=0.

同理可得切線PB的方程為

應(yīng)％-2y-2y2=0.

因為切線PA,PB均過點P?),yo),所以

%i%o-2y0-2yl=0,

x2xo—2yo—2y2=0,

所以和心：：2為方程％0%—2y0—2y=0的兩組解.

ty—yiu—丫2

所以直線48的方程為

%0%-2y-2yo=0.

（3）由拋物線定義可知

I4FI=y1+l,

\BF\=y2+l,

所以

\AF\?IBFI=&+I）—+D

=y02+（71+力）+1-

由

（xox-2y-2yo=0,

I%2=4y,

消去%并整理得到關(guān)于y的方程為

2

y+（2y0-%）y+羽=。.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

yi+丫2=說一2%,

乃乃=其，

所以

\AF\-\BF\=yry2+（y1+乃）+1

二羽+說-2yo+1.

又點P（%o，yo）在直線/上，所以

%o--2=0，

即&=yo+2,所以

弟+說-2y°+1=2*+2y0+5

/1\29

=2。。+?+了

所以當yo=-g時，I2FIJBFI取得最小值，且最小值為

5.（1）由橢圓的定義，2a=出匕1+3&1=（2+魚）+（2—魚）=4,

故a=2.

設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PFilP%，

因此2c=IF1&I=JlPF/2+IPFZR=J（2+V2）2+（2-V2）2=2V3.

即c=V3,從而b-yJdz—c2-1,

2C

故所求橢圓的標準方程為千Y+y2=1.

4

（2）連接％Q.

如圖，由橢圓的定義，得IP&I+IP尸2l=2a,\QF1\+\QF2\=2a,

從而有|P%I+\PQ\+IF?=4a,因為|P尸J=\PQ\,且PF11PQ,

所以舊乙|=熹=4a—2魚a,\PF2\=242a-2a,因為△P%F2

為直角三角形，所以|P%|2+|PF2|2=EF2|2,所以（4a—2魚a）+

2

（2^2a—2a）-4c2,所以6=￡=布一遍.

方法二：

22

如圖，設(shè)點P（%o，yo）在橢圓上，且PF1IPF2，則云+卷=1，芯+

求得％o=±Ra2-2b2,y0=±y.

由IP尸［I=\PQ\>\PF2\得％0>0,

2222

從而IPF/2=(a，。12b+—_|_L.=2(a—b)+2aVa—2b=(a+

Va2-2b2)2.

由橢圓的定義，IPF/+IPF2I=2a,IQFil+IQBl=2a.

從而由IP%I=IPQI=IPF2I+\QF2\,有IQ%I=4a-2IPF1I,

又由PF1IP4，IP%I=IPQI，知IQ%I=魚3%1,

22

因此(2+^2)\PFr\=4a,即(2+V2)(a+Va—2b)=4a,

于是(2+V2)(l+V2e2—1)=4,

解得e=用+(癮-第=巫-瓜

6.(1)由題意可得

b=V3,

c1

￡二5，

b2=a2—c2.

解得

a=2,b=y/3,c=1,

22

所以橢圓的方程為亍+g=l.

(2)由題意可得以FiB為直徑的圓的方程為/+y2=i,所以圓

心到直線2的距離為4=鬻.由d<l,得鬻VI,解得ImlV冬所

以

設(shè)4（%i，yi）,8（%2，丫2），由方程組

（1

y=——x+m,

22L

x乙y

—+5r=1.

143

整理得

x2—mx+m2—3=0,

則

2

x1+x2=m,x1x2=m—3,

所以

因為黑=#,所以』=1'解得

V3

…可，

且滿足\m\<y.

因此直線I的方程為y=—3%+f或y=-g%-9.

2「

7.（1）橢圓”:一v+y2=i的右頂點8的坐標為（2,0）.因為四邊形

4

。力BC為菱形，

所以4C與。B相互垂直平分.所以可設(shè)4（1即），代入橢圓方程得;十

4

m2=1,即771=±-y.

所以菱形0/8C的面積是與08|?\AC\=|x2x2|m|=V3.

（2）當B不為頂點時,不妨設(shè)4（%i，yD，。（%2，乃），則

1+了t:兩式相減，k「一

Xl+%2

%2+4y；=44（71+72）?

令A(yù)C的中點為M（%o，y°）,則kAc=—魯Go。O,yo工。，），

yo_i,

則七二一荒-------....—--1,

CXo4

故四邊形O/1BC不可能是菱形.

8.(1)焦點坐標為(0,1),準線方程為y=-l.

(2)由題意知直線1的斜率存在，故設(shè)直線2的方程為丫=4％+小,

y=kx+m,

由方程組

,x2—4y.

得x2—4kx-4m=0,

由題意，得A=16/c2+16m>0.

設(shè)4Qi，yD，8(%2，丫2)，

則%i+%2=4k,%62=—4m,

由拋物線方程％2=4y,得y=：/,

所以y1-

所以拋物線在點A處的切線方程為

y一滔=%(%一%1),

化簡，得y=]i%-1/，①

同理，拋物線在點8處的切線方程為

y=^x2x-^.……②

聯(lián)立方程①②，

曰

得4一1%1%——1X27=1-XoX——%彳.

21412242

即-x2)x=k%i-%2)(%1+%2)?

Z4

因為所以％=+%2)，

代入①，得、=；%1%2=-小，

所以點Q,-7?1),

即Q(2k,—m).

所以點Q在直線y=-m±.

(3)假設(shè)存在點P,使得四邊形PEQF為矩形，

由四邊形PEQ/7為矩形，得EQJ.FQ,即2Q1BQ,

所以kAQ-kBQ=-1,BP-x1--%2=—1.

由(2),得=](-4?n)=-1,

解得m=1.

所以P(O,1).

在①中，令y=0，得網(wǎng)?通)，

同理得產(chǎn)6％2，。)?

所以直線EP的斜率為kEP=這=3，

(

直線FQ的斜率為kFQ=.°--^2=—.

/2———其1

所以冊P=MQ,BPEP//FQ.

同理P尸〃EQ.

所以四邊形PEQF為平行四邊形，

綜上所述，存在點P(O,1),使得四邊形PFQF為矩形.

9.(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點，那么點P(x,y)滿足

d(x-1)2+y2—x=l(x>0),

化簡得y2=4x(%>0).

(2)設(shè)過點>0)的直線N與曲線C的交點為4(/,yj,

8(%2，、2)?

設(shè)I的方程為x=ty+m,

,(X=ty+m,

由

2=/4x,

得產(chǎn)—4ty—4m=0,A=16(t2+m)>0,

于叱藍二……①

又E4=(%]-l,yi),FB=(x2-l,y2)?FA-FB<0-1)(%2一

1)+y/2=-(%i+%2)+1+y/2<o,……②

222/22\

又％于是不等式②等價于v??v2+y/2-vv+1<0，

444\44,

“普+丫供一；[%+為尸一2yly21+1<0....③

由①式，不等式③等價于m2-6m+1<4t2....④

對任意實數(shù)34戶的最小值為0,所以不等式④對于一切七成立等價

于租2—6巾+1<0,BP3-2V2<m<3+2V2.

由此可知，存在正數(shù)相，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點4

B的任一直線，都有兩?而<0,且小的取值范圍是(3-2魚,3+

2V2).

10.(1)由題意可知尸信0),則該直線方程為y=x—壬代入y2二

。2

2Px(p>0),得％2—3Px+—n=0.

設(shè)M(%i，yD，N(%2，y2)，則有%i+&=3p.

因為|MN=8|,所以％I+%2+P=8,即3p+p=8,解得p=2,

所以拋物線的方程為y2=4%.

(2)設(shè)直線E的方程為y=%+b,代入y2=4%,得％2+(2b-

4)x+b2=0.

因為直線/為拋物線。的切線，所以A=0,解得b=l.

所以直線I的方程為y=%+l.

由(1)可知%1+%2=6,%1%2=L

設(shè)P(m,m+1),則PM=—m,y1—(m+1)),PN—(x2—m,y2—

(m+1)),

所以

PM?麗=(%i—m)(x2—租)+[yi—(jn+l)][y2—(m+1)]

2

=%1%2-巾(％1+%2)+/+y，2-O+1)(71+y2)+(m+l).

因為+上=6,=1，所以(y/z)?=16%I%2=16,yyy-i=-4.

因為y：-兔=4(%1-％2)，所以為+乃=4藍度=4,

所以

~PM-~PN=1—6m+m2—4—4(m+1)+(m+I)2

=2(m2—4m—3)

=2[(m-2)2-7]

2—14.

當且僅當巾=2,即點P的坐標為(2,3)時，兩?麗的最小值為-14.

11.(1)由題意得『二；.所以橢圓C的方程為

I。=2

%22

彳+y=工

(2)設(shè)4(%i，yi),8(%2，乃)，OCWo).

由題意知直線I,的斜率存在，不妨設(shè)其為k,則直線。的方程為

y=kx—1.

2

又圓C2：x+泡=4,故點。到直線k的距離

1

d=,

V/c2+1

所以

I------14k2+3

\AB\=2-v4—cP=21-7-5——.

“2+1

又八上％，故直線，2的方程為

x+ky+k=0.

x+ky+k=0,

由/?消去外整理得

丁+y=i，

(4+fc2)%2+8kx=0,

8V/c2+1

\PD\=

44-/c2

設(shè)△480的面積為S,則

1

s=1

所以

74k2+?+,

74k2+3

32

2V4/r2+3.—

JV4/c2+3

16V13

13'

當且僅當k=±乎時取等號，所以所求直線的方程為

Vio

y=±~Y-X-1?

b=y/2,

12.(1)由已知，得h=解得p=V2,

a2=b2+c2,

22

所以橢圓E的方程為?+5=l.

42

(2)解法一：

設(shè)4（%i，yi）,8（%2，、2），48的中點為

rx=my—1,

由-x2y2_得（m？+2）y2—2my-3=0,

—I—=1,

142

所以乃+丫2=^7，y/2=—從而yo=^7.

機乙+2小乙+2mz+2

22

2

所以\GH\=（%o+：）+羽=（my。+1）+九=（*+1）赤+|my0+

25

16,

?Bl_（%1-%2）2+。1-丫2）2

4-4

_（1+-2）（丫1_.）2

―4

_（1+/）[（月+.2）2-4皿2]

—4

=（1+巾2）（犬一y/2），

故IGHI2一粵=|皎0+（1+?。┠搜?+!|二就分3（1+/）?25_

m2+216

17/+2〉o

1652+2）；U，

所以IGHI>—.

故點G（—?0）在以48為直徑的圓外.

解法二:

設(shè)點4（%i，yJ,3（%2，丫2），則GA=&+%丫1），=（x2+油）.

rx=my—1,

由2得（M？+2）y2-2?ny-3=0,

匕+萬=1，

所以乃+丫2=焉，%丫2=一高，從而

GA?GB=[1+a）卜2++y02

=（my1+§（my2+3）+7172

525

=（m2+1）丫1乃+彳m（Yi+乃）+77

416

52

-3（m2+1）2m25

=-----------+—±-----1---

m2+2m2+216

_17m2+2

16（m2+2）>

所以cos（GA^GB）>0.

又褊，方不共線，

所以乙4GB為銳角.

故點G（—3,0）在以48為直徑的圓外.

13.（1）設(shè)切點坐標為（沏,%）（軟>O,yo>O）,則切線斜率為一處，切

yo

線方程為

y~yo=—（%一％。），

yo

即

%。%+yoy=4,

此時，兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為

1448

S=-------=----，

2%oy0xoyo

由％°2+y。2=422%oy（），可知，當且僅當％o==魚時，％0丫0有

最大值，即S有最小值，因此點P的坐標為（企,魚）.

由題意知

（22

______=1

a2b2___'

a2+b2=3a2.

解得

a2=1,

力2=2.

故C1方程為/—1=1.

（2）由（1）知。2的焦點坐標為（―但0）,（V3,0）,由此設(shè)C2的

方程為

X2芯=1

--------2+

3+廳bi2'

其中仇＞0,由P（&,魚）在。2上，得

22

----------1-----=]

3+bJ瓦2'

解得好=因此的方程為

3,C2

X2V2

——F—=1

63

顯然，，不是直線y=0,設(shè)2的方程為％=my+遮，點

8（%2，丫2），由

x=my+V3,

x2y2

——I--=1

163

得

（m2+2）y2+2省771y—3=0,

又為，為是方程的根，因此

’2V3m三

yi+y?=—……①

J7724+2

-3o

y/2=2n……⑷

Im￡+2

由不乃+g,得

i=??1x2=my2+V3,

+%2=巾(%+丫2)+2V3=3……③

<mz+2

2

9.、6-6m小

巧％2=巾y02+v37n(yi+y2)+3=—2——.……⑷

I171十Z

因為

AP=(V2—xlfy/2—yi),BP=(V2—x2,y[2—y2).

由題意知萬?瓦3=0,所以

%1%2-V2(%i+%2)+y，2-+丫2)+4=0,........⑤

將①，②，③，④代入⑤式整理得

2m2-2yf6m+4A/6-11=0,

解得

3A/6_p,V6

m=—-----1或？?！=——+1,

乙乙

因此直線I的方程為x—(警—l)y—百=0或%+*—1)y—V3=

0.

14.(1)設(shè)4(%i，yi),8(%2，丫2)，。(%1，-丫1)，1的方程為久=刈丫一

l(mH0).

將％=my-1代入y2=4x并整理得

y2—4my+4=0,

從而得到

[Yi+y2=4m,

1月丫2=&

直線BD的方程為

-2=看三(…2)'

即

4(乃2、

y-y=----------x———.

2y2-yiV4)

令y=0，得

所以點尸(1,0)在直線BD上.

(2)由(1)知

m2

+%2=Cyi—1)+(my2—1)=4m—2,

%i%2=(小乃~l)(my2-1)=1.

因為方=(巧一l,y。麗=(x2-1)2)，所以

FA-FB=(%i-1)(%2-1)+y/2

=巧％2一(%i+%2)+1+4=8—4m2,

故8-4/="解得巾=±1所以I的方程為

yj

3%+4y+3=0,3%—4y+3=0.

又由(1)知

72-7i=±V(4m)2-4X4=±-V7,

故直線BD的斜率

丫2-%~~肝

因而直線BD的方程為

3%+y/7y—3=0,3%—巾y—3=0.

因為KF為乙BKD的平分線，故可設(shè)圓心M(t,0)(-1<t<1),

M(t,0)到I及BD的距離分別為空工,亨.

3lt+lI_3It11,得

1,、

t=G，或t=9(舍去)，

2

故圓M的半徑廠二亨二|,所以圓M的方程為卜—目+y2=^.

15.(1)設(shè)橢圓的右焦點尸2的坐標為90).由L4BI==191尸2〉可得

a2+b2=3c2,

又匕2=一,則

c^_l

滔=5'

所以，橢圓的離心率

V2

(2)由(1)知

a2—2c2,b2=c2,

故橢圓方程為

X2y2

+百=1，

2c2

設(shè)P(%o，y。)，由尸式一c,O),B(O,c),有

%P=(%o+c,yo),

Fl百=(c,c),

由已知，有

F\P-~F\B=0,

即

Oo+c)c+yoc=0,

又C。0,故有

x0+y0+c=0,……①

又因為點P在橢圓上，故

**1，……②

由①和②可得

2

3%04-4cx0=0,

而點P不是橢圓的頂點，故％0=—短，代入①得y°=臺

即點P的坐標為（一

設(shè)圓的圓心為T（%i，yD，則

4

一§c+02

X1

c

3+C2

進而圓的半徑

----------------------V5

r=V（Xi-0）2+（乃-c）2=—c,

設(shè)直線，的斜率為匕依題意，直線/的方程為y=/cx.由/與圓相切,

可得

g一月1

———=V

V/c2+1

-----------------=—C

VFT13'

整理得

/c2—8/c+1=0,

解得

k=4+V15,

所以，直線［的斜率為4+底或4—底.

p=1,

16.(1)由題意得卜=?，解得a2=2.故橢圓C的方程為5+

Ia22

22

卜2=b+c,

y2=1.設(shè)MQM，。).

因為mW0,

所以一1＜九＜1.直線P4的方程為y—1二子,

所以羯=言，即M（E，O）.

（2）因為點8與點4關(guān)于％軸對稱，

所以B（m,-n）.

設(shè)N（%N，O），則桁二七.“存在點Q（0，y＜2）使得40QM=4NQ等價于

“存在點Q（0,%）使得盟=器"，即%滿足/=\xM\\xN\.

2

因為％M=F，XN=三，且，+九2=1,

1—n1+n2

2

所以=|%咻|=言r=2.

所以刈=&或VQ=-V2.

故在y軸上存在點Q,使得乙0QM=40NQ,點Q的坐標為（0,魚）或

（0.-V2）.

17.（1）把圓好的方程化為標準方程得（%—3）2+y2=+

???圓Q的圓心坐標為g（3,0）.

（2）設(shè)

???A,B為過原點的直線I與圓加的交點，且M為4B的中點，

:,由圓的性質(zhì)知MCi1MO,/.MC[?麗=0.

又MC；=（3——y）,~MO=（一%,—y）,

由向量的數(shù)量積公式得％2一3x+y2=0.

易知直線2的斜率存在，設(shè)直線1的方程為y=m%,

當直線，與圓Ci相切時，d=^==2,解得徵=±誓.

把相切時直線I的方程代入圓的的方程化簡得9%2-30%+25=0,解

得%=*

當直線I經(jīng)過圓Ci的圓心時，M的坐標為（3,0）.

又直線，與圓的交于48兩點，M為48的中點，

???|<%<3.

???點M的軌跡。的方程為％2—3x+y2=o,其中|<工43,其軌跡

為一段圓弧.

(3)法一：由題可知，直線y=k(%—4)恒過定點4(4,0),結(jié)合

(2)可作出圖象如下圖，

由(2)知，點8、。的橫坐標為全因此，代入曲線。的方程得

竽)、。(右一不>結(jié)合圖象，可知當出介于直線和"。的斜

率之間時，直線L與曲線。只有一個交點，又七8=齊=—釁，

3

12遍二匚［、］2V5j2>/5

kAD=—?所以一〒工女工〒；

另外，當直線L與曲線。相切時，只有一個交點，又曲線。的圓心為

直線方程為/c%—y—4/c=0,所以弓=品=今解得/c=±j；

V2//Vfc2+124

綜上所述，上的取值范圍是一?工上<?或/C=±*

方法二：由題意知直線L表示過定點(4,0),斜率為k的直線，

把直線L的方程代入軌跡C的方程/_3%+y2=o,其中?<%W3,

化簡得(/+1)%2一(3+8z2)%+16/=o,其中|<工43,

記/(%)=(/c2+I)%2—(3+8k2)x+16k2,其中g(shù)<%工3.

若直線L與曲線C只有一個交點，令/(%)=0.

當A=0時，解得左2=［即/c=±;,此時方程可化為25/—120%+

164

144=0,即（5%-12尸=0,

解得％=￡e（|,3］,

k=±:滿足條件.

4

當A>0時，

①若％=3是方程的解，則/（3）=00k=0=另一根為%=0<|,

故在區(qū)間G，3］上有且僅有一個根，滿足題意.

②若％=3是方程的解，則/?）=0=/c=±§=另外一根為％=普，

|<|^<3,故在區(qū)間停,3］上有且僅有一個根，滿足題意.

③若％=3和％=|均不是方程的解，則方程在區(qū)間（|,3）上有且僅有

一個根，

只需/（0"（3）<0=一乎<女<雪.

故在區(qū)間G，3］上有且僅有一個根，滿足題意.

綜上所述，女的取值范圍是一等W/cW萼或k=±：.

774

18.（1）設(shè)動圓圓心為C（%,y）,動圓圓心C到點（1,0）的距離與到直線

%=-1距離差為定圓半徑5

即動點C到頂點（1,0）的距離等于到定直線%=-1的距離，

根據(jù)圓錐曲線的定義，動點。的軌跡是以定點（1,0）為焦點，直線％=

-1為準線的拋物線，

圓心C的軌跡為曲線T的方程為：y2=4%.

（2）假設(shè)在曲線T上存在點P滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)P（%o，y0）,

4（%i，yi）,8（%2，丫2），

7,_yi-yo_4_yz-yo_4

KpA——，Kpp——,

xi-xoyi+yox2-x0y2+yo

>,>_44_4(yi+y2+2yo)①

PAPByi+yoy2+yo*+優(yōu)+以加+力及

顯然動直線l的斜率非零，

故可設(shè)其方程為x=ty+m（tER），

聯(lián)立y2=4x,整理得y2—4ty—4m=0,

所以乃+'2=43yiy2=-4m,且yiWy2，

代入(J)式得kpA+kpB=16t+8yo

yj+4tyo—4m，

顯然Vo。0，于是[4y()(kp4+kp^—16]t+(kPB+%)(*—4m)—

8yo=0,...②

欲使②式對任意4teR成立，必有4廣yo(kpA+J/CDD2)—A16A—0,QA

((%+4)(%-4m)-8yo=0,

因為。。，mW0,

所以-4m0,

所以kpz+/cpB與=策*，即羽=—4m,

于是，當山＞0時，不存在滿足條件的y。，即不存在滿足題設(shè)要求的

點P；

當山＜0時，丫0二±2廠元，將此代入拋物線T的方程可求得滿足條

件的P點坐標為（一m,27—Hi）,（-m,-2V-m）,

綜上所述，存在點P（與48兩點相異），其坐標為（―巾,2廠五），

（―叫一2AF五），直線P4PB的斜率之和為定值.

19.（1）設(shè)，（乙,”）,尸式一c,0）,尸2（c,0）,曲線Ci所在橢圓的長軸長

為2a,

則2a=|4產(chǎn)il+\AF2\=6.

又由已知及圓錐曲線的定義得：

2X

（%力-C）+y：=學（A+c）2+y：=1,xA+c=

得：（%A_C）2=：,又因為乙4尸2尸1為鈍角，所以陽C=g,故%A=g，

即曲線Cl的方程為^+^=1（-3<X<|）,曲線。2的方程為必=

4%（0<%<0.

（2）設(shè)直線OC的方程為：y=kg由？71”廣得（的％）2—

4%=0即C

同理得：D

(V2-/ci)2

4、_fci(V2-fci)

所以直線CD的方程為：y_g=廣早星二也

“1f--------------

4(4)

即丫=蟲等&+2企，

當％=0時，恒有y=2魚，即直線C。過定點（0,2迎）.

20.（1）設(shè)直線y=k%+l被橢圓截得的線段為/P,

y=kx+1,

由,/2_得（1+?2左2）X2+2a2kx=0,

2

因此\AP\=Vl+^ki-x2\=紅號?Vl+/c