圓的基本性質(zhì)1.如圖，在⊙O中，A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，AD是⊙O的直徑，B是的中點(diǎn)，若∠AOC＝120°，則∠AOB＝________，∠BOC＝________，∠COD＝________，與的大小關(guān)系為________，AB與CD的數(shù)量關(guān)系為________．第1題圖2.如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦．AB與CD交于點(diǎn)E，且AB⊥CD，連接OC.(1)＝________，＝________；(2)若CD＝4，AE＝6，則CE＝________，OC＝________．第2題圖3.如圖，點(diǎn)A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，AD是⊙O的直徑，∠CBD＝70°，則∠CAD＝________，∠AOC＝________，∠ABC＝________．第3題圖4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)．(1)若∠BAD＝52°，則∠DCE＝________°；(2)若∠ABC＝100°，則∠ADC＝________°.第4題圖5.如圖，△ABC的外接圓半徑為5，其圓心O恰好在中線CD上，若AB＝CD，則△ABC的面積為________．第5題圖6.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O.第6題圖(1)∠ADB的度數(shù)為________；(2)若⊙O的直徑為6，則線段BC的長為________．知識逐點(diǎn)過考點(diǎn)1圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1.相關(guān)概念圓在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖中AC，BC直徑經(jīng)過①________的弦叫做直徑弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓??；小于半圓的弧叫做劣弧，如圖中；大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，如圖中圓周角在圓中，頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，如圖中②______圓心角頂點(diǎn)在③________的角叫做圓心角，如圖中④________【溫馨提示】不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓2.性質(zhì)對稱性圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任何一條直徑所在的直線；圓也是中心對稱圖形，⑤________是它的對稱中心旋轉(zhuǎn)不變性圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合考點(diǎn)2垂徑定理及其推論定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧推論平分弦(不是直徑)的直徑⑥________于弦，并且⑦_(dá)_______弦所對的兩條弧【溫馨提示】根據(jù)圓的對稱性，在以下5個結(jié)論中：①＝；②＝；③AE＝BE(AB不是直徑)；④CD⊥AB；⑤CD是直徑，只要滿足其中兩個結(jié)論，另外三個結(jié)論就一定成立，即“知二推三”考點(diǎn)3弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的?、郷_______，所對的弦也⑨________；如圖，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，則＝⑩______，AB＝?______推論1.在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角和弦分別?__________；如圖，若＝，則∠AOB＝?________，AB＝CD；2.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角和弧分別?________；如圖，若AB＝CD，則∠AOB＝∠COD，?________＝考點(diǎn)4圓周角定理及其推論定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的?________推論1.同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角?________；2.直徑(或半圓)所對的圓周角是?________，90°的圓周角所對的弦是?________常見圖形及結(jié)論圖①圖②圖③∠APB＝eq\f(1,2)∠AOB應(yīng)用如圖①，已知AP是⊙O的直徑，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，連接AB，則有∠ABP＝90°【溫馨提示】1.一條弦對著兩條弧，這兩條弧所對的圓周角互補(bǔ)；2.一條弧只對著一個圓心角，卻對著無數(shù)個圓周角考點(diǎn)5三角形的外接圓及外心圓心外心(三角形三條邊的?____________的交點(diǎn))性質(zhì)三角形的外心到三角形eq\o(○,\s\up1(21))______________角度關(guān)系∠BOC＝2∠A【知識拓展】1.直角三角形外接圓的半徑：R＝eq\f(1,2)c(c為斜邊長)；2.等邊三角形外接圓的半徑：R＝eq\f(\r(3),3)a(a為邊長)考點(diǎn)6圓內(nèi)接四邊形概念如果一個四邊形的四個頂點(diǎn)都在同一個圓上，則這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)1.圓內(nèi)接四邊形的對角eq\o(○,\s\up1(22))________，如圖，∠A＋∠BCD＝eq\o(○,\s\up1(23))______，∠B＋∠D＝eq\o(○,\s\up1(24))________；2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的eq\o(○,\s\up1(25))________，如圖，∠DCE＝eq\o(○,\s\up1(26))________考點(diǎn)7正多邊形與圓中心角θ＝eq\f(360°,n)設(shè)正n邊形的邊長為a邊心距r＝eq\r(R2－（\f(a,2)）2)周長C＝na面積S＝eq\f(1,2)nar＝eq\f(1,2)lr真題演練命題點(diǎn)與圓周角、圓心角有關(guān)的計(jì)算1.如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝()A.20°B.40°C.50°D.80°第1題圖2.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1,則⊙O的直徑為()第2題圖A.eq\r(3)B.2eq\r(3)C.1D.23.同圓中，已知所對的圓心角是100°，則所對的圓周角是________．教材原題到重難考法與圓基本性質(zhì)有關(guān)的證明及計(jì)算例如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，AC為⊙O的直徑，∠BAD和∠BCD之間有什么關(guān)系？為什么？例題圖變式題連接BD，結(jié)合角平分線如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB.(1)試判斷△ABC的形狀，并給出證明；(2)若AB＝eq\r(2)，AD＝1，求CD的長度．第1題圖2.線段AC未經(jīng)過圓心，結(jié)合線段相等如圖，AD與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，設(shè)DB與AC交于點(diǎn)E，若DA＝DE，∠ADB＝∠BDC，⊙O的半徑為5，BC＝6，求BE的長．第2題圖基礎(chǔ)過關(guān)1.如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為()A.95°B.100°C.105°D.110°第1題圖2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC，BD為對角線，BD經(jīng)過圓心O.若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為()A.40°B.50°C.60°D.70°第2題圖3.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有圓材，徑二尺五寸，欲為方版，令厚七寸，問廣幾何？”結(jié)合題圖，其大意是：今有圓形材質(zhì)，直徑BD為25寸，要做成方形板材，使其厚度CD達(dá)到7寸，則BC的長是()A.eq\r(674)寸B.25寸C.24寸D.7寸第3題圖4.如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，若∠BAC＝35°，則∠AOB等于()A.140°B.120°C.110°D.70°第4題圖5.如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為()A.32°B.42°C.48°D.52°第5題圖6.如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點(diǎn)，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數(shù)是()A.25°B.30°C.35°D.40°第6題圖7.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO＝()A.25°B.50°C.60°D.65°第7題圖8.陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”(圖①)的形狀示意圖，是⊙O的一部分，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB.已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，則⊙O的半徑OA為()A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm圖①圖②第8題圖9.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE－∠COD＝()A.60°B.54°C.48°D.36°第9題圖10.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6.(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC距離及sin∠ACD的值．第10題圖綜合提升11.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.(1)求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；(2)過點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長線于點(diǎn)F.若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長．第11題圖12.如圖，某博覽會上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點(diǎn)P處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是55°，為了監(jiān)控整個展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器__________臺．第12題圖圓的基本性質(zhì)1.60°，60°，60°，＝，AB＝CD.2.(1)，；(2)2，eq\f(10,3).【解析】如解圖，連接OD，∵OC＝OD，OE⊥CD，∴點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE＝2，設(shè)OC＝r，∴AO＝r，∵AE＝6，∴OE＝6－r，∵AE⊥CD，∴在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋EC2，即r2＝22＋(6－r)2，解得r＝eq\f(10,3).第2題解圖3.70°，40°，20°.【解析】∵＝，∴∠CAD＝∠CBD＝70°，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠AOC＝40°，∵＝，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝20°.4.(1)52；【解析】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝128°，∴∠DCE＝180°－∠BCD＝52°.(2)80.5.32【解析】如解圖，連接OA，則OA＝OC＝5，∵圓心O恰好在中線CD上，∴AB＝2AD，CD⊥AB，設(shè)AD＝x，則CD＝AB＝2x，OD＝CD－OC＝2x－5，在Rt△OAD中，OD2＋AD2＝OA2，∴(2x－5)2＋x2＝52，解得x＝4，∴CD＝AB＝2x＝8，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×8×8＝32.第5題解圖6.(1)30°；【解析】如解圖，連接OB，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∠AOB＝eq\f(360°,6)＝60°，∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×60°＝30°.第6題解圖(2)3.【解析】∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ADB＝30°，∴AB＝eq\f(1,2)AD＝3，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴BC＝AB＝3.廣東近6年真題1.B【解析】∵AB是⊙O直徑，∠BAC＝50°，∴∠ACB＝90°，∠B＝180°－50°－90°＝40°，∵eq\x\to(AC)＝eq\x\to(AC)，∴∠D＝∠B＝40°.2.B【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1.∵AD＝AC－CD＝3－1＝2，∴在Rt△ADE中，sinA＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°，在Rt△ABC中，AB＝eq\f(AC,cosA)＝eq\f(3,cos30°)＝2eq\r(3).第2題解圖3.50°【解析】∵所對的圓心角是100°，∴所對的圓周角為eq\f(1,2)×100°＝50°.教材原題到重難考法例解：∠BAD＋∠BCD＝180°，理由如下：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝360°－(∠ABC＋∠ADC)＝180°.1.解：(1)△ABC為等腰直角三角形．證明：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°.∵∠ADB和∠ACB為同弧所對的圓周角，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形；(2)由(1)知△ABC為等腰直角三角形，∵AB＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2，∵在Rt△ACD中，AD＝1，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).2.解：如解圖，連接OB，OC，設(shè)OB交AC于點(diǎn)F，∵∠ADB＝∠BDC，∴＝，∴OB⊥AC，OB＝OC＝5，設(shè)OF＝x，則BF＝5－x，∴CF2＝52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝eq\f(7,5)，∴OF＝eq\f(7,5)，BF＝eq\f(18,5)，在Rt△OCF中，CF＝eq\r(OC2－OF2)＝eq\r(52－（\f(7,5)）2)＝eq\f(24,5)，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA.∵∠DAC＝∠DBC，∠DEA＝∠BEC，∴∠BEC＝∠DBC，∴EC＝BC＝6，∴EF＝EC－CF＝6－eq\f(24,5)＝eq\f(6,5)，在Rt△BEF中，BE＝eq\r(EF2＋BF2)＝eq\r(（\f(6,5)）2＋（\f(18,5)）2)＝eq\f(6\r(10),5).第2題解圖知識逐點(diǎn)過①圓心②∠ACB③圓心④∠AOB⑤圓心⑥垂直⑦平分⑧相等⑨相等⑩?CD?相等?∠COD?相等??一半?相等?直角?直徑?垂直平分線eq\o(○,\s\up1(21))各頂點(diǎn)的距離相等eq\o(○,\s\up1(22))互補(bǔ)eq\o(○,\s\up1(23))180°eq\o(○,\s\up1(24))180°eq\o(○,\s\up1(25))內(nèi)對角eq\o(○,\s\up1(26))∠A基礎(chǔ)過關(guān)1．D【解析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝2∠C＝110°.2.B【解析】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD經(jīng)過圓心O，∴∠BCD＝90°.∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°－∠BDC＝50°.3.C【解析】∵BD是圓的直徑，∴∠BCD＝90°.∵BD＝25，CD＝7，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝eq\r(252－72)＝24(寸).4.A【解析】如解圖，連接OC.∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝70°.∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝140°.第4題解圖5.A【解析】∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°－48°＝32°，∴∠B＝∠C＝32°.6.A【解析】∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝65°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－65°＝25°.【一題多解】如解圖，連接OC.∵∠ADC＝115°，∴所對的圓心角為2×115°＝230°，∴∠BOC＝230°－180°＝50°，∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝25°.第6題解圖7.D【解析】如解圖，連接OB.∵＝，∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝eq\f(1,2)×(180°－∠AOB)＝65°.第7題解圖8.A【解析】∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，OD是⊙O的半徑，∴OD垂直平分AB，∵AB＝24，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝12cm.設(shè)OA＝rcm，則OC＝(r－8)cm，在Rt△AOC中，由勾股定理得r2＝122＋(r－8)2，解得r＝13，即半徑OA的長為13cm.9.D【解析】由題意得∠BAE＝eq\f(（5－2）×180°,5)＝108°，∠COD＝eq\f(360°,5)＝72°，∴∠BAE－∠COD＝108°－72°＝36°.10.解：(1)作AC的垂線如解圖所示；【作法提示】分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別相交于P，Q兩點(diǎn)，畫直線PQ交劣弧于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，即作線段AC的垂直平分線，由垂徑定理可知，直線PQ一定過點(diǎn)O.(2)如解圖，連接OC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝1