第03講整式除法的綜合運算【題型1單項式除法運算】【題型2多項式除法運算】【題型3整式的混合運算】【題型4整式化簡求值】考點1：單項式的除法單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．【題型1單項式除法運算】【典例1】（2023?青島）計算：8x3y÷（2x）2＝2xy．【答案】2xy．【解答】解：原式＝8x3y÷4x2＝2xy，故答案為：2xy．【變式11】（2022秋?柳州期末）計算4x2y÷2xy＝2x．【答案】2x．【解答】解：原式＝2x，故答案為：2x．【變式12】（2023春?威寧縣期末）計算：﹣28a3÷7a＝﹣4a2．【答案】﹣4a2．【解答】解：﹣28a3÷7a＝﹣4a2，故答案為：﹣4a2．【變式13】（2023秋?鯉城區(qū)校級月考）計算：6a2b÷2ab＝3a．【答案】3a．【解答】解：6a2b÷2ab＝3a，故答案為：3a．【變式14】（2023?城陽區(qū)三模）＝﹣a4b5．【答案】﹣a4b5【解答】解：﹣a6b7÷（a2b2）＝[﹣÷（）]?a6﹣2b7﹣2＝﹣a4b5，答案為：﹣a4b5考點2：多項式除以單項式多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【題型2多項式除法運算】【典例2】（2023?豐城市校級開學）計算：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，【答案】4a2﹣2a+1，原式＝7．【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1，當a＝﹣1時，原式＝4×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+1＝4×1+2+1＝4+2+1＝7．【變式21】（2023春?濟南期中）計算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【答案】b2﹣2ab+1．【解答】解：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab＝ab3÷ab﹣2a2b2÷ab+ab÷ab＝b2﹣2ab+1．【變式22】（2023春?蓮湖區(qū)期中）計算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【答案】﹣5x2y2+4y3+1．【解答】解：原式＝15x4y2÷（﹣3x2）﹣12x2y3÷（﹣3x2）﹣3x2÷（﹣3x2）＝﹣5x2y2+4y3+1；【變式23】（2023春?西安月考）計算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．【答案】﹣a3b+3ab2c．【解答】解：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）＝（2a4b3c﹣6a2b4c2）÷（﹣2ab2c）＝﹣a3b+3ab2c．【題型3整式的混合運算】【典例3】（2023秋?重慶期末）計算：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；（2）（a﹣1）（a+2）﹣（4a3+8a2）÷（2a）2．【答案】（1）2x2+y2；（2）a2﹣4．【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2＝2x2+y2；（2）原式＝a2+2a﹣a﹣2﹣（4a3+8a2）÷4a2＝a2+a﹣2﹣a﹣2＝a2﹣4．【變式31】（2023秋?唐山期末）（1）a2?a4﹣（a2）3﹣（2a）3；（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．【答案】（1）﹣8a3；（2）4x+5．【解答】解：（1）a2?a4﹣（a2）3﹣（2a）3＝a6﹣a6﹣8a3＝﹣8a3；（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2+4x+4﹣（x2﹣1）＝x2+4x+4﹣x2+1＝4x+5．【變式32】（2023秋?望城區(qū)期末）（1）（﹣2x2）3+x2?x4；（2）（﹣4x3+2x）÷2x；（3）（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）．【答案】（1）﹣7x6．（2）﹣2x2+1．（3）x2﹣4y2．【解答】解：（1）（﹣2x2）3+x2?x4＝﹣8x6+x6＝﹣7x6．（2）（﹣4x3+2x）÷2x＝﹣4x3÷2x+2x÷2x＝﹣2x2+1．（3）（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝（﹣x）2﹣（2y）2＝x2﹣4y2．【變式33】（2023秋?大連期末）計算：（1）（2a2﹣1）（a﹣4）；（2）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）．【答案】（1）2a3﹣8a2﹣a+4；（2）12xy+10y2．【解答】解：（1）原式＝2a3﹣8a2﹣a+4；（2）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2．【題型4整式化簡求值】【典例4】（2023秋?衡陽期末）先化簡，再求值：[（3m﹣n）2﹣（3m+n）（3m﹣n）]÷（2n）．其中，n＝2．【答案】﹣3m+n，3．【解答】解：[（3m﹣n）2﹣（3m+n）（3m﹣n）]÷（2n）＝（9m2﹣6mn+n2﹣9m2+n2）÷（2n）＝（﹣6mn+2n2）÷（2n）＝﹣3m+n；當，n＝2時，原式＝．【變式41】（2023秋?澄海區(qū)期末）先化簡，再求值：（a2b+2ab2﹣2b3）÷b+（a﹣b）2，其中a＝3，b＝﹣2．【答案】2a2﹣b2，14．【解答】解：（a2b+2ab2﹣2b3）÷b+（a﹣b）2＝a2b÷b+2ab2÷b﹣2b3÷b+a2﹣2ab+b2＝a2+2ab﹣2b2+a2﹣2ab+b2＝2a2﹣b2，當a＝3，b＝﹣2時，原式＝2×32﹣（﹣2）2＝14．【變式42】（2023秋?東遼縣期末）先化簡，再求值：（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2+（2ab2﹣8a2b2）÷2ab，其中a＝1，b＝2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝a2﹣4b2+a2+4ab+4b2﹣4ab+b＝2a2+b，∵a＝1，b＝2，∴原式＝2a2+b＝4．【變式43】（2023秋?泉州期末）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1，y＝2．【答案】﹣3x2﹣xy+y2，原式＝3．【解答】解：＝3x3﹣3x2﹣xy+y2﹣3x3+xy＝﹣3x2﹣xy+y2，當x＝﹣1，y＝2時，原式＝﹣3×（﹣1）2﹣（﹣1）×2+22＝﹣3×1+2+4＝﹣3+2+4＝3．【變式44】（2023秋?通榆縣期末）先化簡，再求值：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，其中x＝，y＝﹣．【答案】8xy，﹣．【解答】解：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2＝4x2+4xy+y2﹣（y2+4x2﹣4xy）＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4x2+4xy＝8xy，當x＝，y＝﹣時，原式＝8××（﹣）＝﹣．一．選擇題（共8小題）1．（2023秋?瀘縣期末）計算﹣2a4÷a3的結(jié)果是（）A．﹣16a B．16a C．﹣2a D．2a【答案】C【解答】解：﹣2a4÷a3＝﹣2a，故選：C．2．（2023秋?白河縣期末）計算（x3﹣2x2y）÷（﹣x2）的結(jié)果是（）A．x﹣2y B．﹣x+2y C．﹣x﹣2 D．﹣x+2【答案】B【解答】解：原式＝x3÷（﹣x2）﹣2x2y÷（﹣x2）＝﹣x+2y．故選：B．3．（2023秋?思明區(qū)校級期末）長方形的面積是12a2﹣6ab．若一邊長是3a，則另一邊長是（）A．4a+2b B．4a﹣2b C．2a﹣4b D．2a+4b【答案】B【解答】解：∵長方形的面積是12a2﹣6ab，一邊長是3a，∴它的另一邊長是：（12a2﹣6ab）÷3a＝12a2÷3a﹣6ab÷3a＝4a﹣2b．故選：B．4．（2023秋?寶塔區(qū)校級期末）計算：（14a3b2﹣7ab2）÷7ab2的結(jié)果是（）A．2a2 B．2a2﹣1 C．2a2﹣b D．2a2b﹣1【答案】B【解答】解：（14a3b2﹣7ab2）÷7ab2＝14a3b2÷7ab2﹣7ab2÷7ab2＝2a2﹣1．故選：B．5．（2023秋?烏蘭察布期末）小亮在計算（6x3y﹣3x2y2）÷3xy時，錯把括號內(nèi)的減號寫成了加號，那么正確結(jié)果與錯誤結(jié)果的乘積是（）A．2x2﹣xy B．2x2+xy C．4x4﹣x2y2 D．無法計算【答案】C【解答】解：正確結(jié)果為：原式＝6x3y÷3xy﹣3x2y2÷3xy＝2x2﹣xy，錯誤結(jié)果為：原式＝6x3y÷3xy+3x2y2÷3xy＝2x2+xy，∴（2x2﹣xy）（2x2+xy）＝4x4﹣x2y2，故選：C．6．（2023秋?鄧州市月考）若，則m，n的取值分別為（）A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0【答案】A【解答】解：由題意得，∴m＝4，n＝2，故選：A．7．（2022秋?泰山區(qū)校級期末）若多項式﹣12x2y3+16x3y2+4x2y2的一個因式是﹣4x2y2，則另一個因式是（）A．3y+4x﹣1 B．3y﹣4x﹣1 C．3y﹣4x+1 D．3y﹣4x【答案】B【解答】解：（﹣12x2y3+16x3y2+4x2y2）÷（﹣4x2y2），＝（﹣12x2y3）÷（﹣4x2y2）+16x3y2÷（﹣4x2y2）+4x2y2÷（﹣4x2y2）＝3y﹣4x﹣1．故選：B．8．（2023春?東陽市期中）已知▲?（﹣2xy）＝4x2y﹣6xy2，則▲＝（）A．﹣2x+3y B．2x+3y C．﹣2x﹣3y D．2x﹣3y【答案】A【解答】解：由題意得，▲＝（4x2y﹣6xy2）÷（﹣2xy）＝﹣2x+3y．∴▲＝﹣2x+3y．故選：A．二．填空題（共6小題）9．（2023秋?綏陽縣期末）計算：6a2b3÷3ab＝2ab2．【答案】2ab2．【解答】解：6a2b3÷3ab＝2ab2，故答案為：2ab2．10．（2023秋?浦東新區(qū)期末）計算：＝18x﹣6y．【答案】18x﹣6y．【解答】解：原式＝＝18x﹣6y，故答案為：18x﹣6y．11．（2023秋?東豐縣期末）某班墻上的“學習園地”是一個長方形，它的面積為6a2﹣9ab+3a，已知這個長方形“學習園地”的長為3a，則寬為2a﹣3b+1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意，寬為（6a2﹣9ab+3a）÷3a＝2a﹣3b+1，故答案為：2a﹣3b+1．12．（2023秋?永和縣期中）第七屆山西（運城）國際果品交易博覽會于10月23日到30日在運城市舉辦．本屆果博會以“果蔬運城，走向世界”為主題，努力將果博會辦成果農(nóng)的豐收節(jié)、果業(yè)的嘉年華、果企的狂歡季、果品的競秀場．小玲家的蘋果園呈長方形，果園的面積為（9a2﹣6ab）平方米，一邊長為3a米，則該蘋果園的另一邊長為（3a﹣2b）米．【答案】（3a﹣2b）．【解答】解：∵長方形面積是（9a2﹣6ab），一邊長為3a，∴它的另一邊長是：（9a2﹣6ab）÷3a＝（3a﹣2b）．故答案為：（3a﹣2b）．13．（2022秋?洛陽期末）已知A＝x，B是多項式，在計算B+A時，小明把B+A看成B÷A，計算結(jié)果是x+1，則B+A＝x2+2x．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵A＝x，B是多項式，小明把B+A看成B÷A，計算結(jié)果是x+1，∴B＝A?（x+1）＝x（x+1）＝x2+x，故B+A＝x2+x+x＝x2+2x．故答案為：x2+2x．14．（2022秋?鄰水縣期末）小明的作業(yè)本上有一道題不小心被沾上了墨水：（24x4y3﹣■+6x2y2）÷（﹣6x2y）＝﹣4x2y2+3xy﹣y，通過計算，這道題的■處應是18x3y2．【答案】18x3y2．【解答】解：設(shè)■處的數(shù)為a，∵（24x4y3﹣a+6x2y2）÷（﹣6x2y）＝﹣4x2y2+3xy﹣y，∴24x4y3﹣a+6x2y2＝（﹣4x2y2+3xy﹣y）×（﹣6x2y），24x4y3﹣a+6x2y2＝24x4y3﹣18x3y2+6x2y2，﹣a＝24x4y3﹣18x3y2+6x2y2﹣6x2y2﹣244y3，﹣a＝﹣18x3y2，a＝18x3y2，故答案為：18x3y2三．解答題（共4小題）15．（2023秋?門頭溝區(qū)期末）計算：a3?a+（﹣3a3）2÷a2．【答案】10a4．【解答】解：原式＝a4+9a6÷a2．＝a4+9a4＝10a4．16．（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）計算：（5a3+20a2﹣15a）÷5a．【答案】a2+4a﹣3．【解答】解：原式＝5a3÷5a+2