第二單元方程（組）與不等式（組）第7講分式方程其應(yīng)用復(fù)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)目標(biāo)1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定義及產(chǎn)生增根的原因；2.會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，并能對(duì)分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷方程的解是不是增根；3.會(huì)列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題.備考指南備考指南考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)考點(diǎn)1分式方程的解法☆☆中考中本考點(diǎn)考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問(wèn)題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問(wèn)題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握．考點(diǎn)2分式方程的增根或無(wú)解☆考點(diǎn)3分式方程的應(yīng)用☆☆☆知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)清單知識(shí)清單1．分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：(1)基本思路：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．(2)基本方法和步驟：①去分母：在方程兩邊同時(shí)都乘最簡(jiǎn)公分母轉(zhuǎn)化為整式方程；②解這個(gè)整式方程；③檢驗(yàn)：把求得的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母≠0的就是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母＝0的就是增根，應(yīng)舍去．有時(shí)需要把求得的根代入原分式方程左右兩邊進(jìn)行檢驗(yàn)．（3）分式方程的增根：解分式方程時(shí)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一過(guò)程中，產(chǎn)生了使原分式方程的最簡(jiǎn)公分母等于0的未知數(shù)的值，稱為增根．（4）分式方程的無(wú)解：分式方程無(wú)解有兩種可能的情況：(1)去分母后的整式方程無(wú)解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最簡(jiǎn)公分母為0，分式方程也無(wú)解3．分式方程的應(yīng)用：（1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審(審清題意)、設(shè)(設(shè)未知數(shù))、找(找相等關(guān)系)、列(列方程)、解(解出這個(gè)方程)、驗(yàn)(既要檢驗(yàn)所得的根是否是所列分式方程的根，又要檢驗(yàn)這個(gè)根是否符合題意)、答(寫(xiě)出答案)．（2）常見(jiàn)類型及數(shù)量關(guān)系深度講練深度講練■考點(diǎn)一解分式方程?

典例1：（2023?西湖區(qū)二模）解分式方程：小明同學(xué)是這樣解答的：解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．去括號(hào)，得：x+4＝3x﹣6．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：﹣2x＝﹣10．兩邊同時(shí)除以﹣2，得：x＝5．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解．小明的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】x＝1．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解分式方程的步驟計(jì)算即可．【解析】解：有錯(cuò)誤．去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），去括號(hào)，得：x﹣4＝3x﹣6，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：﹣2x＝﹣2，兩邊同時(shí)除以﹣2，得：x＝1．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023?海南）分式方程的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，得出方程的解，注意檢驗(yàn)．【解析】解：去分母，得1＝x﹣5，移項(xiàng)，得﹣x＝﹣5﹣1，合并同類項(xiàng)，得﹣x＝﹣6，系數(shù)化為1，得x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解，∴方程的解是x＝6．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是關(guān)鍵．2．（2022?余杭區(qū)一模）把分式方程去分母后化為整式方程為（）A．﹣3＝x﹣2﹣1 B．﹣3＝x﹣2+1 C．3＝x﹣2+1 D．3＝x﹣2﹣1【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】C【思路點(diǎn)撥】分式方程變形后，兩邊同乘（x﹣2）去分母化為整式方程，判斷即可．【解析】解：分式方程去分母得：3＝x﹣2+1．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．3．（2022?北侖區(qū)一模）方程的解為x＝﹣5．【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】x＝﹣5．【思路點(diǎn)撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：2x+4＝x﹣1，解得：x＝﹣5，檢驗(yàn)：把x＝﹣5代入得：x﹣1≠0，∴分式方程的解為x＝﹣5．故答案為：x＝﹣5．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．4．（2022?仙居縣二模）解方程：．【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】x＝2．【思路點(diǎn)撥】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：，x﹣x2＝x（x﹣3），解得：x＝0或x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝0時(shí)，x（x﹣2）＝0，∴x＝0是原方程的增根，當(dāng)x＝2時(shí)，x（x﹣3）≠0，∴x＝2是原方程的根．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．5．（2022?定海區(qū)一模）閱讀下列解題過(guò)程．解方程：．解：方程兩邊同乘以（x+2）（x﹣2），方程兩邊化簡(jiǎn)，得（x﹣2）+4x＝2（x+2）去括號(hào)，移項(xiàng)，得x﹣2+4x﹣2x﹣4＝0解這個(gè)方程，得x＝2∴x＝2是原方程的解．你認(rèn)為此解法是否正確？若不正確，請(qǐng)寫(xiě)正確的解題過(guò)程．【考點(diǎn)】解分式方程；分式的混合運(yùn)算．【答案】x＝．【思路點(diǎn)撥】不正確，寫(xiě)出正確的解題過(guò)程即可．【解析】解：方程兩邊同乘以（x+2）（x﹣2）得：（x﹣2）+4x＝﹣2（x+2），去括號(hào)得：x﹣2+4x＝﹣2x﹣4，移項(xiàng)合并得：7x＝﹣2，解得：x＝，檢驗(yàn)：把x＝代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解為x＝．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．■考點(diǎn)二分式方程的解?

典例2：（2022?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程﹣＝1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1【考點(diǎn)】分式方程的解．【答案】C【思路點(diǎn)撥】先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．【解析】解：方程兩邊同時(shí)乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，解得x＝m﹣4．∵x為正數(shù)，∴m﹣4＞0，解得m＞4，∵x≠1，∴m﹣4≠1，即m≠5，∴m的取值范圍是m＞4且m≠5．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023?眉山）關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是m≥﹣5且m≠﹣3．【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式．【答案】m≥﹣5且m≠﹣3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根據(jù)解為非負(fù)數(shù)和分母不為0即可求解．【解析】解：，去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，去括號(hào)移項(xiàng)得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，合并同類項(xiàng)得：﹣x＝﹣5﹣m，系數(shù)化為1得：x＝5+m，∵x﹣2≠0，∴x≠2，即5+m≠2，∴m≠﹣3，∵解為非負(fù)數(shù)，∴x＝5+m≥0，∴m≥﹣5，∴m≥﹣5且m≠﹣3．故答案為：m≥﹣5且m≠﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最簡(jiǎn)公分母不能為0．2．（2021?浙江模擬）已知關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)】分式方程的解．【答案】C【思路點(diǎn)撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無(wú)解得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．【解析】解：去分母得：x﹣1＝m，即x＝1+m，∵分式方程無(wú)解，∴x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：1+m＝3，解得：m＝2，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程無(wú)解的條件是解本題的關(guān)鍵．■考點(diǎn)三分式方程的應(yīng)用?

典例3：（2023?鹽城）某校舉行“二十大知識(shí)學(xué)習(xí)競(jìng)賽”活動(dòng)，老師讓班長(zhǎng)小華到商店購(gòu)買筆記本作為獎(jiǎng)品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）．（1）若班長(zhǎng)小華在甲商店購(gòu)買，他發(fā)現(xiàn)用240元購(gòu)買硬面筆記本與用195元購(gòu)買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價(jià)．（2）若班長(zhǎng)小華在乙商店購(gòu)買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價(jià)不變）：一次購(gòu)買的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出．班長(zhǎng)小華打算購(gòu)買m本硬面筆記本（m為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購(gòu)買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買的費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià)．【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；二元一次方程的應(yīng)用．【答案】（1）16元；（2）18元．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)甲商店硬面筆記本的單價(jià)為x元，則甲商店軟面筆記本的單價(jià)為（x﹣3）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用240元購(gòu)買硬面筆記本與用195元購(gòu)買軟面筆記本的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價(jià)為y元，則乙商店軟面筆記本的原價(jià)為（y﹣3）元，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合再多購(gòu)買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買的費(fèi)用相同，可列出關(guān)于y，m的二元一次方程，結(jié)合且m，y均為正整數(shù)，即可求出結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)甲商店硬面筆記本的單價(jià)為x元，則甲商店軟面筆記本的單價(jià)為（x﹣3）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝16，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝16是所列方程的解，且符合題意．答：甲商店硬面筆記本的單價(jià)為16元；（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價(jià)為y元，則乙商店軟面筆記本的原價(jià)為（y﹣3）元，根據(jù)題意得：my＝（m+5）（y﹣3），整理得：5y﹣3m＝15，∴y＝m+3．∵，且m，y均為正整數(shù)，∴．答：乙商店硬面筆記本的原價(jià)為18元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．【變式訓(xùn)練】1．（2023?蘭溪市模擬）習(xí)近平總書(shū)記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”．為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開(kāi)展名著閱讀活動(dòng)．用3600元購(gòu)買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書(shū)滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書(shū)管理員在購(gòu)買第二批時(shí)正趕上圖書(shū)城八折銷售該套書(shū)，于是用2400元購(gòu)買的套數(shù)只比第一批少4套．設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則符合題意的方程是（）A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝0 D．﹣＝4【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程．【答案】B【思路點(diǎn)撥】設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則設(shè)第二批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為0.8x元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合第二批購(gòu)買的套數(shù)比第一批少4套，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解析】解：設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則設(shè)第二批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為0.8x元，依題意得：﹣＝4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023?縉云縣二模）“我市為處理污水，需要鋪設(shè)一條長(zhǎng)為4000米的管道，為了盡量減少施工對(duì)交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成任務(wù)．”根據(jù)題意可得方程，則方程中x表示（）A．實(shí)際每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度 B．實(shí)際施工的天數(shù) C．原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度 D．原計(jì)劃施工的天數(shù)【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方程中的實(shí)際意義求解即可．【解析】解：由方程可得，方程中x表示實(shí)際每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用題，能正確分析題目中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022?北侖區(qū)二模）新華書(shū)店決定用不多于28000元購(gòu)進(jìn)甲乙兩種圖書(shū)共1200本進(jìn)行銷售，已知甲種圖書(shū)進(jìn)價(jià)是乙種圖書(shū)每本進(jìn)價(jià)的1.4倍，若用1680元購(gòu)進(jìn)甲種圖書(shū)的數(shù)量比用1400元購(gòu)進(jìn)的乙種圖書(shū)的數(shù)量少10本．（1）甲乙兩種圖書(shū)的進(jìn)價(jià)分別為每本多少元？（2）新華書(shū)店決定甲種圖書(shū)售價(jià)為每本40元，乙種圖書(shū)售價(jià)每本30元，問(wèn)書(shū)店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)？（購(gòu)進(jìn)的兩種圖書(shū)全部銷售完）【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．【答案】（1）甲種圖書(shū)進(jìn)階每本28元，乙種圖書(shū)進(jìn)階每本20元；（2）書(shū)店甲種圖書(shū)進(jìn)貨500本，乙種圖書(shū)進(jìn)貨700本時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是13000元．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)乙種圖書(shū)進(jìn)階每本x元，則甲種圖書(shū)進(jìn)階為每本1.4x元，由題意：用1680元購(gòu)進(jìn)甲種圖書(shū)的數(shù)量比用1400元購(gòu)進(jìn)的乙種圖書(shū)的數(shù)量少10本．列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)書(shū)店甲種圖書(shū)進(jìn)貨a本，總利潤(rùn)為w元，由題意：甲種圖書(shū)售價(jià)為每本40元，乙種圖書(shū)售價(jià)每本30元，求出w＝2a+12000，再由新華書(shū)店決定用不多于28000元購(gòu)進(jìn)甲乙兩種圖書(shū)共1200本進(jìn)行銷售，列出a的一元一次不等式，解得a≤500，再由一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)即可．【解析】解：（1）設(shè)乙種圖書(shū)進(jìn)階每本x元，則甲種圖書(shū)進(jìn)階為每本1.4x元，由題意得：﹣＝10，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的解，且符合題意，則1.4x＝1.4×20＝28，答：甲種圖書(shū)進(jìn)階每本28元，乙種圖書(shū)進(jìn)階每本20元；（2）設(shè)書(shū)店甲種圖書(shū)進(jìn)貨a本，總利潤(rùn)為w元，由題意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000，∵28a+20×（1200﹣a）≤28000，解得：a≤500，∵w隨a的增大而增大，∴當(dāng)a最大時(shí)w最大，∴當(dāng)a＝500時(shí)，w最大＝2×500+12000＝13000（元），此時(shí)，乙種圖書(shū)進(jìn)貨本數(shù)為1200﹣500＝700（本）答：書(shū)店甲種圖書(shū)進(jìn)貨500本，乙種圖書(shū)進(jìn)貨700本時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是13000元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．真題演練真題演練1．（2023?義烏市模擬）若分式的值為1，則x的值是（）A．5 B．4 C．3 D．1【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值．【解析】解：根據(jù)題意得：＝1，去分母得：x﹣2＝3，解得：x＝5，檢驗(yàn)：把x＝5代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解為x＝5．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．2．（2021?湖州模擬）解分式方程時(shí)，去分母正確的是（）A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2B．1﹣4（x﹣3）＝2 C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2 D．1﹣4（3﹣x）＝2【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】A【思路點(diǎn)撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，即可作出判斷．【解析】解：分式方程整理得：，去分母得：1﹣4（x﹣3）＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．3．（2022?寧波一模）分式方程的解為（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】C【思路點(diǎn)撥】方程兩邊都乘x﹣1得出1＝﹣x+2（x﹣1），求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解析】解：，方程兩邊都乘x﹣1，得1＝﹣x+2（x﹣1），解得：x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，x﹣1≠0，所以x＝3是原方程的解，即原分式方程的解是x＝3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．4．（2022?麗水一模）在如下解分式方程的4個(gè)步驟中，根據(jù)等式基本性質(zhì)的是（）x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①x﹣3+x＝x﹣2……②x+x﹣x＝﹣2+3……③∴x＝1……④A．①② B．①③ C．①④ D．③④【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】B【思路點(diǎn)撥】觀察4個(gè)步驟，找出根據(jù)等式的基本性質(zhì)即可．【解析】解：x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①（等式的基本性質(zhì)）x﹣3+x＝x﹣2……②（去括號(hào)法則）x+x﹣x＝﹣2+3……③（等式的基本性質(zhì)）∴x＝1……④（合并同類項(xiàng)法則）．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．5．（2022?麗水）某校購(gòu)買了一批籃球和足球．已知購(gòu)買足球的數(shù)量是籃球的2倍，購(gòu)買足球用了5000元，購(gòu)買籃球用了4000元，籃球單價(jià)比足球貴30元．根據(jù)題意可列方程，則方程中x表示（）A．足球的單價(jià)B．籃球的單價(jià)C．足球的數(shù)量 D．籃球的數(shù)量【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程．【答案】D【思路點(diǎn)撥】設(shè)籃球的數(shù)量為x個(gè)，足球的數(shù)量是2x個(gè)，列出分式方程解答即可．【解析】解：設(shè)籃球的數(shù)量為x個(gè)，足球的數(shù)量是2x個(gè)．根據(jù)題意可得：＝﹣30，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，得到相應(yīng)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．6．（2021?舟山）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（）A．B． C． D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程．【答案】B【思路點(diǎn)撥】若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，根據(jù)等量關(guān)系“繽紛棒比熒光棒少20根”列方程即可．【解析】解：若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，根據(jù)題意可得：．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，應(yīng)用題中一般有三個(gè)量，求一個(gè)量，明顯的有一個(gè)量，一定是根據(jù)另一量來(lái)列等量關(guān)系的．本題分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2023?溫州二模）《九章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，能夠剛好在規(guī)定時(shí)間送到，如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求兩匹馬的速度．設(shè)慢馬的速度為x里/天，則可列方程為（）A．+3B． C． D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程；數(shù)學(xué)常識(shí)．【答案】A【思路點(diǎn)撥】設(shè)慢馬的速度為x里/天，則快馬的速度為2x里/天，由題意得等量關(guān)系：慢馬所需的天數(shù)＝快馬所需的天數(shù)+3，根據(jù)等量關(guān)系，可得方程．【解析】解：設(shè)慢馬的速度為x里/天，則快馬的速度為2x里/天，根據(jù)題意，得+3，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．8．（2023?蕭山區(qū)一模）如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去4個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋紙盒．若無(wú)蓋紙盒的底面積與表面積之比為3：5，則根據(jù)題意可知a，x滿足的關(guān)系式為（）A．B．C． D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)無(wú)蓋紙盒的底面積為（a﹣2x）2，表面積為a2﹣4x2，無(wú)蓋紙盒的底面積與表面積之比為3：5，可得，化簡(jiǎn)即可得出答案．【解析】解：∵無(wú)蓋紙盒的底面積為（a﹣2x）2，表面積為a2﹣4x2，無(wú)蓋紙盒的底面積與表面積之比為3：5，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022?金華）若分式的值為2，則x的值是4．【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】4．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意列出分式方程，解分式方程即可求得結(jié)論．【解析】解：由題意得：＝2，去分母得：2＝2（x﹣3），去括號(hào)得：2x﹣6＝2，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：2x＝8，∴x＝4．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的根，∴x＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解分式方程需要驗(yàn)根，這是容易丟掉的步驟．10．（2023?紹興）方程的解是x＝3．【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】x＝3．【思路點(diǎn)撥】解分式方程得結(jié)論．【解析】解：去分母，得3x＝9，∴x＝3．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解．故答案為：x＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023?南湖區(qū)模擬）分式方程：的解是x＝5．【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】x＝5．【思路點(diǎn)撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：3x﹣3＝2x+2，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是分式方程的解，故答案為：x＝5．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．12．（2023?上城區(qū)二模）現(xiàn)有甲、乙兩種糖混合而成的什錦糖50千克，兩種糖的千克數(shù)和單價(jià)如表．商店以糖果的平均價(jià)格作為什錦糖的單價(jià)，要使什錦糖的單價(jià)每千克提高1元，需加入甲種糖10千克．甲種糖果乙種糖果千克數(shù)2030單價(jià)（元/千克）2515【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．【答案】10．【思路點(diǎn)撥】設(shè)需加入甲種糖x千克，利用單價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量，結(jié)合要使什錦糖的單價(jià)每千克提高1元，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)需加入甲種糖x千克，根據(jù)題意得：，解得：x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是所列方程的解，且符合題意，∴需加入甲種糖10千克．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．13．（2023?寧波模擬）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b＝．若（x﹣1）?（x+1）＝，則x的值為x＝2．【考點(diǎn)】解分式方程；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【答案】x＝2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題干的新定義，得到．再解這分式方程，進(jìn)而求得x．【解析】解：由題意得，．去分母，得x+1+x﹣1＝3x﹣2．移項(xiàng)，得x+x﹣3x＝﹣2+1﹣1．合并同類項(xiàng)，得﹣x＝﹣2．x的系數(shù)化為1，得x＝2．檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2，（x+1）（x﹣1）≠0．∴該分式方程的解為x＝2．故答案為：x＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程是解決本題的關(guān)鍵．14．（2023?鄞州區(qū)校級(jí)一模）如果關(guān)于x的方程無(wú)解，則a的值為2或1．【考點(diǎn)】分式方程的解．【答案】1或2【思路點(diǎn)撥】分式方程無(wú)解的條件是：去分母后所得整式方程無(wú)解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解析】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）ax﹣2x＝﹣1，（a﹣2）x＝﹣1，當(dāng)a﹣2＝0時(shí)，∴a＝2，此時(shí)方程無(wú)解，滿足題意，當(dāng)a﹣2≠0時(shí)，∴x＝﹣，將x＝﹣代入x﹣1＝0，解得：a＝1，綜上所述，a＝1或a＝2，故答案為：1或2．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．15．（2023?慈溪市一模）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y（x≠y），我們定義運(yùn)算F（x，y）＝，如：F（2，1）＝．則方程F（x，1）＝2的解為x＝3．【考點(diǎn)】解分式方程；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【答案】x＝3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)新定義，可知F（x，1）＝，可得＝2，解分式方程即可．【解析】解：根據(jù)新定義，可知F（x，1）＝，∴＝2，解得x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原分式方程的根，∴方程F（x，1）＝2的解為x＝3，故答案為：x＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，新定義，理解新定義是解題的關(guān)鍵．16．（2023?永康市一模）以下是小亮同學(xué)在解分式方程的過(guò)程：解：去分母得x（x+2）﹣x+1＝1………………①化簡(jiǎn)得x2+x＝0………………②解得x1＝0，x2＝﹣1……………③經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝0，x2＝﹣1是原方程的解………④所以原方程的解為x1＝0，x2＝﹣1根據(jù)小亮的解題過(guò)程，回答下列問(wèn)題：（1）小亮的解題過(guò)程中第①步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【考點(diǎn)】解分式方程；分式方程的解．【答案】（1）①；（2）見(jiàn)解析．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)分式方程的解法進(jìn)行分析即可得到答案；（2）先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解析】解：（1）由題意可知，小亮的解題過(guò)程中第①步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，故答案為：①；（2），去分母，得：x（x+2）﹣（x+1）＝x2﹣4，去括號(hào)，得：x2+2x﹣x﹣1＝x2﹣4，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得：x＝﹣3，檢驗(yàn)：把x＝﹣3代入x2﹣4≠0，所以原方程的解為x＝﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查的是解分式方程，熟練掌握分式方程的解法和步驟是解題關(guān)鍵．17．（2022?嘉興）解方程：．【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】x＝﹣2．【思路點(diǎn)撥】首先去分母化分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后驗(yàn)根．【解析】解：去分母得x﹣3＝2x﹣1，∴﹣x＝3﹣1，∴x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣2是分式方程的解，∴原方程的解為：x＝﹣2．【點(diǎn)睛】本題分別考查了解分式方程，解分式方程的基本方法時(shí)去分母．18．（2022?柯城區(qū)二模）解分式方程：．【考點(diǎn)】解分式方程．【答案】無(wú)解．【思路點(diǎn)撥】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：，2﹣x+3（x﹣3）＝﹣1，解得：x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，x﹣3＝0，∴x＝3是原方程的增根，∴原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程，必須檢驗(yàn)．19．（2022?衢州）金師傅近期準(zhǔn)備換車，看中了價(jià)格相同的兩款國(guó)產(chǎn)車．燃油車油箱容積：40升油價(jià)：9元/升續(xù)航里程：a千米每千米行駛費(fèi)用：元新能源車電池電量：60千瓦時(shí)電價(jià)：0.6元/千瓦時(shí)續(xù)航里程：a千米每千米行駛費(fèi)用：_____元（1）用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費(fèi)用．（2）若燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元．①分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用．②若燃油車和新能源車每年的其它費(fèi)用分別為4800元和7500元．問(wèn)：每年行駛里程為多少千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)表中的信息，可以計(jì)算出新能源車的每千米行駛費(fèi)用；（2）①根據(jù)燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元和表中的信息，可以列出相應(yīng)的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要檢驗(yàn)；②根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．【解析】解：（1）由表格可得，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為：＝（元），即新能源車的每千米行駛費(fèi)用為元；（2）①∵燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元，∴﹣＝0.54，解得a＝600，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝600是原分式方程