2021-2022學(xué)年遼寧省六校協(xié)作體高二下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式不等式的解法求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】解：由，得，解得，則，，所以.故選：B.2．“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)，再依據(jù)充分非必要條件的定義去判斷二者的邏輯關(guān)系【詳解】由，可得或則由“”可以得到“”；由“”不能得到“”則“”是“”的充分非必要條件故選：A3．若，則下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ABD，利用賦值法即可判斷C，如.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，，故ABD正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤.故選：C.4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公差(

)A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于和d的方程組求解即可．【詳解】由題可知．故選：B．5．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷A、D，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值的特征排除C，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，即，解得、，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故排除A、D；當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C；故選：BA． B． C． D．【答案】B【分析】【詳解】故選：B7．在數(shù)列中，，且，（

）A．0 B．1300 C．2600 D．2650【答案】D【分析】分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況討論，再利用分組求和法及等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以0為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故選：D.8．已知函數(shù)在R上存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)滿(mǎn)足，在上，若，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意設(shè)，由條件和奇函數(shù)的定義判斷出是上的奇函數(shù)，求出后結(jié)合條件判斷出符號(hào)，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷出在上的單調(diào)性，由奇函數(shù)的性質(zhì)判斷出在上的單調(diào)性，由的解析式化簡(jiǎn)已知的不等式，利用的單調(diào)性列出不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：由題意設(shè)，對(duì)有，，則函數(shù)是上的奇函數(shù)，在上，，則函數(shù)在上遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)知：函數(shù)在上遞減，，，則，解得，故選：C．二、多選題9．投擲一枚質(zhì)地均勻的股子，事件“朝上一面點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“朝上一面點(diǎn)數(shù)不超過(guò)”，則下列敘述正確的是（

）A．事件互斥 B．事件相互獨(dú)立C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件定義可知AB正誤；根據(jù)可知C錯(cuò)誤；由條件概率的公式可求得D正確.【詳解】對(duì)于A，若朝上一面的點(diǎn)數(shù)為，則事件同時(shí)發(fā)生，事件不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件不影響事件的發(fā)生，事件相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，D正確.故選：BD.10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．不是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列中最小 D．【答案】BD【分析】根據(jù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可判斷A、B、C，再根據(jù)數(shù)列的特征計(jì)算D；【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，顯然當(dāng)時(shí)不成立，所以，所以從第二項(xiàng)起以為公差的等差數(shù)列，故數(shù)列不是等差數(shù)列，即A錯(cuò)誤，B正確；從第二項(xiàng)起為遞增的等差數(shù)列，又，所以為數(shù)列的最小項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確；故選：BD11．已知，，且，則（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是5【答案】ABC【分析】利用基本不等式一一計(jì)算可得．【詳解】解：對(duì)于A，由，，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取得最大值，故A正確，對(duì)于B，，，且，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故B正確，對(duì)于C，，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，的最小值為4，故C正確，對(duì)于D，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為9，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確有（

）A．時(shí)， B．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，C．時(shí)，有極值 D．時(shí)，的圖象存在兩條相互垂直的切線(xiàn)【答案】ABD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，A代入自變量求參數(shù)值即可；B由在上恒成立，求范圍即可；C判斷時(shí)的符號(hào)即可；D利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及值域，判斷定義域內(nèi)是否存在即可.【詳解】由題設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?，A：，則，正確；B：在定義域上遞增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值為，故，正確；C：由B分析知：當(dāng)時(shí)恒成立，此時(shí)無(wú)極值，錯(cuò)誤；D：令，則，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；又，故，趨向于0或正無(wú)窮時(shí)都趨向于正無(wú)窮，所以上各有一個(gè)零點(diǎn)，故上，上，故必存在，即存在兩條相互垂直的切線(xiàn)，正確.故選：ABD三、填空題13．已知且，則的取值范圍___________.【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】由，由，相加得.故答案為：.14．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】先求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式即可求解切線(xiàn)方程.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，故當(dāng)時(shí)，，所以切線(xiàn)斜率為-4，所以切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.15．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】求出，即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，．又，又，所以．故答案為?16．已知，若在上存在x使得不等式成立，則a的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】將原式化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即得，兩邊取對(duì)數(shù)分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：不等式成立，即成立，因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)樵谏洗嬖趚使得不等式成立，所以，令，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.所以，即a的最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；（2）設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）先求出首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式和；（2）先求出，即可得出公比，求出通項(xiàng)公式.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，；（2），，則公比為，.18．某校在一次期末數(shù)學(xué)測(cè)試中，為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績(jī)，被測(cè)學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿(mǎn)分150分），將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[65，75），第二組[75，85），第八組[135，145]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.(1)根據(jù)圖表，計(jì)算第七組的頻率，并估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；(2)若從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率.【答案】(1)頻率為：0.08；平均分為102；(2).【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求出；根據(jù)頻率分布直方圖直接列式即可計(jì)算；（2）可得第六組3人，第八組2人，隨機(jī)抽取2名，列出所有基本事件，再求出分差的絕對(duì)值小于10分包含的基本事件，即可求出概率.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：；用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分為：；(2)樣本成績(jī)屬于第六組的有人，設(shè)為A，B，C，樣本成績(jī)屬于第八組的有人，設(shè)為a，b，從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，基本事件有，，，，，，，，，共10種，他們的分差的絕對(duì)值小于10分包含的基本事件有，，，，共4種，∴他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率．19．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，(1)求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線(xiàn)的斜率，從而求出切線(xiàn)方程；（2）依題意可得，即可求出的值，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值，最后求出區(qū)間端點(diǎn)值，即可求出函數(shù)的最值；【詳解】(1)解：因?yàn)椋?，所以，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即；(2)解：依題意，即，解得，所以，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值；因?yàn)椋栽诤蜕蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，所以，；20．國(guó)防科技大學(xué)是我國(guó)軍事學(xué)院的最高學(xué)府，被稱(chēng)為“軍中清華”學(xué)校擬計(jì)劃對(duì)今年招收的部分新生做一個(gè)測(cè)試，抽取40名新生對(duì)關(guān)于報(bào)考志愿的首要考慮因素進(jìn)行調(diào)查，所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：男生女生總計(jì)以祖國(guó)的國(guó)防事業(yè)為首要考慮因素1026以實(shí)現(xiàn)自己的軍人夢(mèng)為首要考慮因素4總計(jì)2040(1)完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95％的把握認(rèn)為新生報(bào)考志愿的首要考慮因素與性別有關(guān)；(2)若測(cè)試調(diào)查共設(shè)置2個(gè)環(huán)節(jié)，新生需要參加全部環(huán)節(jié)的測(cè)試，每個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)置兩個(gè)項(xiàng)目，若新生每通過(guò)一個(gè)項(xiàng)目積2分，未通過(guò)積分．已知新生甲第1環(huán)節(jié)每個(gè)項(xiàng)目通過(guò)的概率均為第2環(huán)節(jié)每個(gè)項(xiàng)目通過(guò)的概率為，各環(huán)節(jié)、各項(xiàng)目間相互獨(dú)立．求甲經(jīng)過(guò)兩個(gè)環(huán)節(jié)的測(cè)試后所得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有95%的把握認(rèn)為“新生報(bào)考志愿的首要考慮因素與性別有關(guān)”(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）由已知條件完成2×2列聯(lián)表，計(jì)算，即可求解.（2）由題意可得，ξ的所有可能取值為，2，5，8，分別求出其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出ξ的分布列，并結(jié)合期望公式，即可求解.【詳解】(1)補(bǔ)充2×2列聯(lián)表如下所示：男生女生總計(jì)以祖國(guó)的國(guó)防事業(yè)為首要考慮因素101626以實(shí)現(xiàn)自己的軍人夢(mèng)為首要考慮因素10414總計(jì)202040∴∴有95%的把握認(rèn)為“新生報(bào)考志愿的首要考慮因素與性別有關(guān)”(2)ξ的所有可能取值為，2，5，8，，，，.所以，的分布列為ξ258P∴21．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，再根據(jù)構(gòu)造法，即可得出答案；（2）利用錯(cuò)位相減法和分組求和法計(jì)算即可得出答案.【詳解】(1)解：∵對(duì)任意的正整數(shù)都成立，∴，兩式相減，得，∴，即，∴，∴是以2為公比的等比數(shù)列，由已知得，，即；(2)∵，∴，∴，兩式相減，得∴.22．已知，.（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）在上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增.（2）見(jiàn)解析【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，再進(jìn)行求導(dǎo)得，對(duì)分成，，三種情況討論，求得單調(diào)區(qū)間；（2）要證由，等價(jià)于證明，再對(duì)分，兩種情況討論；證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，可先利用放縮法將參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化成證明不等式成立，再利用構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其最小值大于0即可?！驹斀狻浚?）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得；所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得；所以在上單調(diào)遞減；在