概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分階精講精練講概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分階精講精練講主講：張年歡迎使用新東方在線電子教目錄 第一講第二講第三講第四講 第一講隨機(jī)事件與概率隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件1隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件【評(píng)注】EE1，E2次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件，記為φ．ΩΩ＝{ωAAΩ的子集，AΩ．事件A發(fā)生等價(jià)于構(gòu)成A的基本事件有一個(gè)發(fā)生．范圍，但可以把這范圍取為[0，∞)，它總能包含一切可能的試驗(yàn)結(jié)果，盡管我們明知，某些結(jié)果，如x＞10000，是不會(huì)出現(xiàn)的，我們甚至可以把這范圍取為(－∞，∞)也無妨．這2．隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算ABBAAB包含)，記為ABABBAABA＝B．AB相等，事實(shí)上也稱“事件AB至少有一個(gè)發(fā)生”的事件為事件AB的并(或和)，記為A∪B，稱“A1，A2，?，An?至少有一個(gè)發(fā)生”的事件為事件A1A2Ann的并(或和)，記為Ai或AiABABA∩BABA1，A2，?，An1或Ai．稱“事件A發(fā)生而事件BnA1An的交(或積)，記為或Ai．稱“事件A發(fā)生而事件BnA1An的交(或積)，記為A．由定義易知ABAABABBAAB且ABA1A2An構(gòu)成一個(gè)完備事件組( AiAji吸收律：若AB，則A∪B＝B，AB＝A；ABAB,AB【評(píng)注】(1)事件運(yùn)算順序約定為先進(jìn)行逆運(yùn)算，而后交運(yùn)算，最后并或差隨機(jī)事件的概率及其性質(zhì)AA發(fā)生的概率，記為P(A)．這是概率的描述性定義．1概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下做重復(fù)試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)的次數(shù)k和總的試驗(yàn)次數(shù)n之比k/n，稱為事件近”。nppA的概率．95%這個(gè)數(shù)據(jù)，于是毫不猶豫地拒絕你的結(jié)論。2古典概率與幾何概率nAk個(gè)基本事件，即有利于AkA2事件A所含基本事件的個(gè)數(shù)nA事件A所含基本事件的個(gè)數(shù)nA)B={n個(gè)盒子各有一球}C={k(kn如：12個(gè)人回母校參加百年校慶，求下列事件的概率：B={12個(gè)人的生日全不相同}稱隨機(jī)試驗(yàn)(隨機(jī)現(xiàn)象)的概率模型為幾何概型，如果(1)樣本空間(基本事件空間)Ω是一個(gè)可度量的幾何區(qū)域；(2)每個(gè)樣本點(diǎn)(基本事件)發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點(diǎn)落入ΩSAΩA＝“SAA【評(píng)注基本事件有限、等可能的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型；基本事件無限、等可能的隨6 的概率 533設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為ΩA都賦于一個(gè)確定的實(shí)數(shù)P(AP()滿足(1)非負(fù)性：P(A)≥0；(2)規(guī)范性：P(Ω)＝1；(3A1，A2?AnAiAj＝φ設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為ΩA都賦于一個(gè)確定的實(shí)數(shù)P(AP()滿足(1)非負(fù)性：P(A)≥0；(2)規(guī)范性：P(Ω)＝1；(3A1，A2?AnAiAj＝φ，i≠jP(AiPAiPii率P是事件的函數(shù)．4(1)有界性0≤P(A)≤1，P(φ(2(3nnA) P(A設(shè)A1，A2，?，Aniiii(4)加法公式P(A∪B∪nn—般地 Ai)P(Ai)1ijk＋(－1)n－1P(AAP(AiAjAk)11ii(5)減法公式P(A－B)＝P(A(6)求逆公式P(A)1【評(píng)注】P(A)＝0A＝φ；P(B)＝11.條件概率及與其有關(guān)的三公式：乘法公式、全概率公式、貝葉斯(Bayes)式1條件概率生的概率為條件概率，記為P(B｜A)，并定義P(P(B|A)1P(B|P(BC|A)1P(B|A-P(BC|A)＞02如果P(A)＞0，則P(AB)＝P(A)P(B｜A)．一般地，如果PA1An1PA1A2An(A1)P(A2｜A1)P(A3｜A1A2)?P(An｜A1A－4【評(píng)注】AiAi＋13n如果AiAi【評(píng)注】AiAi＋13n如果AiAinnBAiB,P(B)P(Ai)P(B|Aiii4．貝葉斯(Bayes)公式(逆概公nP(A|B)P(Ai)P(B|Ai)(i1,2,,inP(Ai)(B|Ai【評(píng)注】(1)要注意P(AB)與P(B｜A)的區(qū)別P(ABΩ時(shí)，AB同時(shí)發(fā)生的可能性，而P(B｜A)則是表示在A已“在A發(fā)生的條件下”或“已知A發(fā)生”等等，均要考慮條件概率．(2)全概率公式是用于計(jì)算某個(gè)“結(jié)果”BB總是與某些前提條件(或原因、因素或前一階段結(jié)果)相聯(lián)系，那么在計(jì)算P(B)時(shí)，我們BAiBP(BBi各種“原因”Ai發(fā)生的可能性大?。麭)，則要應(yīng)用Bayes公式隨機(jī)事件相互獨(dú)立與獨(dú)立試驗(yàn)序列概型1．事件的獨(dú)(1描述性定義(直觀性定義A、B為兩個(gè)事件，如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受另A1A2AA1，A2，?，An相互獨(dú)立．A、BP(AB)＝P(A)P(BAB稱為ABA1，A2，?，An設(shè)有PA1A2APA)P(A2)(Aik)，則(2n2kkk≥2；P(Aij)P(Aij〈1〉A(chǔ)1A相互獨(dú)立jj5A、B獨(dú)立P(AB)＝P(A)P(BA、B獨(dú)立PA、B獨(dú)立P(AB)＝P(A)P(BA、B獨(dú)立P(B|A)P(B|A)〈2〉n個(gè)事件相互獨(dú)立的充要條件是，它們中任意一部分事件換成各自的對(duì)立事件所得到的n個(gè)事件相互獨(dú)立．3〈1〉n〈2〉n個(gè)事件相互獨(dú)立，則不含相同事件的事件組經(jīng)某種運(yùn)算后所得的事件是相互獨(dú)立的．例如，A、B、C、DABCD相互獨(dú)立，ABCD相互獨(dú)立，410＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，AAB【評(píng)注】在現(xiàn)實(shí)生活中，難于想像兩兩獨(dú)立而不相互獨(dú)立的情況，可以這樣想：獨(dú)立6】將一枚硬幣獨(dú)立擲兩次，A1={擲第一次出現(xiàn)正面}，A2={擲第二次出現(xiàn)正面}，A3反面各出現(xiàn)一次}，A4={正面出現(xiàn)兩次}，則）（A）A1，A2，A3（C）A1，A2，A32試驗(yàn)的獨(dú)立（B）A2，A3，A4（D）A2，A3，A4E1的任一結(jié)果A2，事件 是相互獨(dú)立的，如果的任一結(jié)果 獨(dú)立，即E1E2E是相互獨(dú)立的，如果對(duì)試驗(yàn)Ei中的Ai(i＝1，2，?，n)，事件A1，A2，?，AnkkkP(Aij)P(Aij)(kjj3立試驗(yàn)序列概型n重貝努利概型（放到第二章中講AAA發(fā)生的概率都相等(即P(A)＝pnnnAkCkpk(1p)nk(k0，1，?，nXn重貝努利概型中事件An【評(píng)注】(1)事件相互獨(dú)立的概念是概率論中一個(gè)重要的概念，它是定義隨機(jī)試驗(yàn)獨(dú)立6典型例題精解典型例題精解率為β，甲先射擊，誰先命中誰取勝，求甲、乙獲勝的概率分別是多少？周買一次彩票，堅(jiān)持十年（每年52周，則他從未中獎(jiǎng)的概率為多少？0.6，0.5，7第二一維隨機(jī)變量及其概率分布 基本概念與常用分布隨機(jī)變量的定義EΩ＝{}，如第二一維隨機(jī)變量及其概率分布 基本概念與常用分布隨機(jī)變量的定義EΩ＝{}，如果對(duì)每一個(gè)∈Ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X)與之對(duì)應(yīng)，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x：X)≤x}ΩXX．一般，Z或希臘字母，ξ來表示隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)為某一隨機(jī)變量X2°F(xxx∈RlimF(xF(x00F(x00x3°F()=limF(x)0,F()limF(x)3．離散型隨機(jī)變量及其概率分布x1x2?則XXX～pi 數(shù)列{pi：i＝1，2pi≥0(i＝1，2iF(x)P(Xx)P(XxiXxipi＝P(X＝xi)＝P(X≤xi)-P(X＜xi)＝F(xi)-BP(XB)P(Xxi4續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度xF(x) f(t)dt(xR)8f(xXf(xX的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù)，記為X～f(x)．f(xX概率密度的充要條件是，f(x)≥0且f(x)dxf(xXf(xX的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù)，記為X～f(x)．f(xX概率密度的充要條件是，f(x)≥0且f(x)dx1(由此可知，可以改變f(x)有限個(gè)點(diǎn)的值，f(x)仍然是密度函數(shù))．f(x)＝F＇(xF＇(xf(x)＝0有P(XB)fBbP(aXb) f(x)dxF(b)Fa【評(píng)注】(1x，則按分布函數(shù)的定義，事件{x＜X≤x＋h}的概率(h＞0F(x＋h)－F(x)．所以，比值[F(x＋→0F＇(x)＝f(xx點(diǎn)處(無窮小區(qū)段內(nèi))單位長的概率，b1，概率密度相當(dāng)于桿上各點(diǎn)的質(zhì)量密度．(2P(aXbf(x)dxa5．常見的離散型、連續(xù)型分布(1)0—10P1XpP(Xk)Ckpk(1p)nkk0,1,n0p1Xkn參數(shù)為(n，p【評(píng)注】XnAX～B(n，pp＝e布近似，即Cp(1 knXpkPXk)k!ek0,1,0Xλ的泊松分布，記為X～P(λ)．9kX1－G(p5CkCn NkX1－G(p5CkCn N如果X的概率分布為 P(Xk)k0,1,min(Mn),M,NnkCNn)．(6)均勻分布U(a，b)Xxaxb,bx,f(x)ax其他x,b或F(x) bX在區(qū)間(a，b【評(píng)注區(qū)間(a，b)，可以是閉區(qū)間[a，b]；幾何概型是均勻分布的實(shí)際背景．用幾X xx00x(f(x)F(x) xE(λ)．(8)正態(tài)分布N(μ，σ2)X1(x1 f(x)(x2e1 f()．μ＝0，σ＝1N(0，111(x) ,Φ(x)122N(μ，σ2)，則其分布函數(shù)F(x)P(Xx)Φ(x);F(x)F(x)b)Φ(aP(aXb)2.2分布的討論1X1,X2f1(xf2(xF1(xF2(x，則（（A）f1(xf2(x（B）2.2分布的討論1X1,X2f1(xf2(xF1(xF2(x，則（（A）f1(xf2(x（B）f1(xf2(x（C）F1(xF2(x（D）F1(x)F2(x2X1X2F1(xF2(xF(xaF1(xbF2(x隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則ab的取值為（3253223（A）a ,b（B）a ,b531132（C）a ,b（D）a ,b2 0xf(x)XPXa)PXa，求a(2f(x)AX10x4Xf(x23x2若k使得P(Xk) ，求k的取值范圍 3 抽象問題求分布3且P(X2) 4f(x)=F(xF(0)=111【例3】設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大3且P(X2) 4f(x)=F(xF(0)=111【例3】設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，P(X1) ，P(X1) ，在事84(1X1發(fā)生的條件下X(1,1)具體問題求分布利用分布求概率及逆問題0x1】設(shè)隨機(jī)變量Xf(x1出現(xiàn)的次數(shù)，則P(Y2) 2【例2】設(shè) N(,2)(0)，且二次方程y24yX0無實(shí)根的概率為1，2 2.6隨機(jī)變量函數(shù)的分【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x) ，Y13X，求Y的概率密度(1x2XfY(y)1E(2)，YfyY ,x3】設(shè)隨機(jī)變量Xf(x3xFX(xXYFX(x【例4】設(shè) U[0,]，求YsinX的概率密fY(y)k123P(Xk2(1(111x11x5】設(shè)隨機(jī)變量Xf(x0x2,YX2fyXY第三講二維(n維)隨機(jī)變量及其概率分布 二維(n維)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)1.二維(n維)隨機(jī)變量的定義第三講二維(n維)隨機(jī)變量及其概率分布 二維(n維)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)1.二維(n維)隨機(jī)變量的定義X，YΩ上的二個(gè)隨機(jī)變量，則稱二元總體(X，YX1，X2，?，Xnnn元總體(X1X2?Xn)為n維隨機(jī)向量．Xii2.二維(n維)隨機(jī)變量的分布函數(shù)與邊緣(邊際)分布函數(shù)(1)定義設(shè)(X，Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，yF(x，y)=為二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，簡稱為分布函數(shù)，記nx1，x2，?，xnF(x1，x2，?，xn)=X2≤x2，?，Xn≤xn} 維隨機(jī)變量(X1，X2，?，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)n(2二元函數(shù)F(x，y)是某一二維隨機(jī)變量(X，Y2°F(x，yxylimF(x,y)F(x00,y)F(x0,xx0limF(x,y)F(x,y00)F(x,y0yy03°4°對(duì)任意x1＜x2，y1＜y2有FY(y)分別稱為(X，YXYlimP(Xx,YlimF(x,y)F 常見的兩類二維隨機(jī)變量——離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量1．二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布(1?x?稱((1?x?稱(X，Y)為二維離散型隨機(jī)變量．稱p=P(Xxi,Yyi),i,j1,為(X，Y)的概率分布或聯(lián)合分布，記為(X，Y)～pij．聯(lián)合分布常用矩陣形式或表格形數(shù)列{pij：i，j＝1，2pij0且piji,(21設(shè)(X，Y)的概率分布pij，則(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)P{Xx,Yy}pijxixyj它是左下角四分之一平面上(X，Y)所有可能值的概率GP{(X,Y)G}Pij(x,yj它表明：(X，YG的概率，等于(X，YG內(nèi)所有可能值的概率的和．這是計(jì)算2°X、Y pP{Xx} P{Xx,Yy} p(i1,iijjp=P{Yy} p(j1,2,iji3°如果(X，Y)～pij，對(duì)固j，如pj＝P(Y＝y(tǒng)j)＞0，則xi,YyX|Y(xi|yj)=P{Xxi|Yyj}pP{Yyj?? ? ?p(iX在“Y＝y(tǒng)jY在“X＝xi(y|x) ppYp(iX在“Y＝y(tǒng)jY在“X＝xi(y|x) ppY i2．二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函(1如果二維隨機(jī)變量(X，YF(x，y F(x,y)f(u,)dud(x,y)f(x，y)是非負(fù)可積函數(shù)，則稱(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x,y)dxdy【評(píng)注】f(x，y)的部分值(仍取非負(fù)的)，f(x，y)仍然是密度函數(shù)．(2)聯(lián)合分布函數(shù)，邊緣概率密度，條件概率密度．1設(shè)(X，YF(x，yf(x，y fP{(X,Y)G}f(x,y)dxdyG2F(x,f(x,2F(x,④如果2°邊緣概率密度設(shè)(X，Y)～f(x，yXx fF(x)F(x,)xXf(x) f(x,y)dyXX度．同理，Yf(y) f(x,Y3°條件概率密度．Y在“X＝xXf(y) f(x,Y3°條件概率密度．Y在“X＝xXfXy)f(x,y)((y)f(xXYf(YfX(x)＞0，fY(y)＞0f(x，y)＝fX(x)fY｜x(y｜4°條件分布函數(shù)．Y(xf(x,)yy(y|x)fY|Y|fXY在“X＝xf(u,xxfX|Y(u|y)du(FX|Y(x|y)fY 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性1.定義設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)聯(lián)合分布函數(shù)為F(x，y)，邊緣分布函數(shù)分別為x，yF(x，y)＝FX(x)2FY(y)(x∈R，yR)，(即事件{X≤x}與yXYXY同理，如果n維隨機(jī)變量X1X2Xn的聯(lián)合分布函數(shù)等于邊緣分布函數(shù)乘積，F(xiàn)(x1，x2，?，xn)＝F1(x1n(xnFi(xXi的分布函數(shù)，xi為任意實(shí)數(shù)，則稱X1，X2，?，XnX1X2Xn相互獨(dú)立，如果對(duì)任意k(k≥2)，X1，X2，?，X兩個(gè)多維隨機(jī)變量(X1X2?Xn)與(Y1，Y2，?Ym)相互獨(dú)立，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)＝1?n)j(＝1?m)有P{X1≤x1?Xnxn；Y1≤y1,?Ymym}＝P{X1x1XnnP{Yy1,?，Ymym}，即聯(lián)合分布函數(shù)等于各自分布函數(shù)相乘：F1n1F11xnF21y2.X1，X2，?，Xn相互獨(dú)立(1nn個(gè)事件{X1≤x1}，?，{Xn≤xn(2設(shè)(X，YXY相互獨(dú)立聯(lián)合分布等于邊緣分布相PXYPXPYnX1，X2?Xn相互獨(dú)立xi∈Di＝{Xi有nP(X1x1,,Xnxn)P(Xixii(3)(X，YXYnP(X1x1,,Xnxn)P(Xixii(3)(X，YXY相互獨(dú)立聯(lián)合概率密度等于邊緣密度f(x，y)＝fX(2f(y)相互獨(dú)立設(shè)(X1，X2?，n)為nX1X2，X等于邊緣密度相乘：f(x1，x2，?，xn)＝f1(x12(2)fn()．其中fi(x)為Xi的概率密度3X1，X2，?，Xnk個(gè)(2≤k≤n立．(2)設(shè)(X，Y)為二維離散型隨機(jī)變量，XYP(X＝xi｜Y＝y(tǒng)j)＝P(X＝xi)(P(Y＝y(tǒng)j)＞0)P(Y＝y(tǒng)j｜設(shè)(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，XYf(x,(x|y) (x)(f(y)fX|XYf(Y(y|x)f(x,y)(y)(f(x)ffYXfXX1X2?Xng1(x?gn(xgn(XnX11X11X21X22Xn1Xn相互獨(dú)立，giti元連續(xù)函數(shù)(i＝1，2，?，n)，則g1(X11,?，X1t1)，g2(X21,?，X2t2)，?，gn(Xn1,?，Xntn)也典型例題x0,y1 0.5 0.5 0.5(xyF(x,y)0x1,0y2】已知二維隨機(jī)變量(X，Y)f(xy 利用分布求概率(11(x,y)其他f(x,y)DD(2如果(X，Y)的概率密度 xxy y 2)2f(x,y) 1)2 1 2) 2(12π121如果(X，Y)的概率密度 xxy y 2)2f(x,y) 1)2 1 2) 2(12π1211221,,, 則稱(X，Y)服從參數(shù) (X,Y)~N(,;; ) 1°X~N(,),Y~2)，ρXY2 cov(X,Y)cov(X,Y1 2°X、Y3°aX＋bY(ab≠04°XYXY110121，X1P(X1X20)142U(0,1)Xx(0x1Y在(0,x（（ⅡY（ 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)及其分布1．定義設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，g(x，yX，Y作為變量的函數(shù)U＝g(X，Y)也是隨機(jī)變量，稱之為隨機(jī)變量X，Y的函數(shù)．例如U＝X＋Y；XY；XYUXY;XY我們的問題是：已知(X，Y)的聯(lián)合分布，求U＝g(X，Y)的分布；又V＝φ(X，Y)，(U，V)的聯(lián)合分布2．設(shè)(X，Y)是二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布pij＝P(X＝xi，Y＝y(tǒng)jg(X，Y)也是離散型隨機(jī)變量，其分布列即g(x1,y1g(x1,y2 U~pp如果有若干個(gè)g(xi，yj)的概率．UUFu(u)P{Uu}P{g(X,Y)u}P(Xxi,YyjgUFu(u)P{Uu}P{g(X,Y)u}P(Xxi,Yyjg(xi,yj)1°方法一(直接法)直接計(jì)算P{Ua,Vb}P(Xxi,Yyjg(x,yg(x,y2°方法二(邊緣分布與條件分布法)首先求出U、V的邊緣分布列，再求得(U，V)聯(lián)合分布的部分值，最后通過邊緣分布3°方法三(矩陣法)3．設(shè)(X，Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y1U＝g(X，YU的分布為P{Uui}f(x,y)dxdy(iD(2U＝g(X，YUf(x,y)dxdyFU(u)P{g(X,Y)u}g(x,y1°(U，V)聯(lián)合分布函FU,V(u,)P{g1(X,Y)u,g2(X,Y)}g1(x,yg2(x,yf(x,2°若(U，V)是二維離散型隨機(jī)變量，則求(U，V直接計(jì)算法計(jì)算P{g1(X,Y)ui,g2(X,Y)vjP{(X,Y)D}f(x,y)dxdyDU、V的分布，而后求出某些聯(lián)合分布的值，最后應(yīng)用聯(lián)合分布3°若(U、V1°中的方法先求(U、V)聯(lián)合分布函 ? ???????4(1設(shè)(X，Y)～f(x，yZ＝X＋Yf(z) f(x,zx)dx f(zy,ZXYf24(1設(shè)(X，Y)～f(x，yZ＝X＋Yf(z) f(x,zx)dx f(zy,ZXYf2(z)fX*fYfX(x)fY(zx)dxfX(zy)fY(注意：被積函數(shù)變?cè)蛒zxzyy(2設(shè)(X，Y)～f(x，y)，Yf(z) f(x,xz)dx f(xz,(xz)ff1XYf2(z)f(x,xfX(x)fY(xz3設(shè)(X，Y)～f(x，yZXYf(z) |y|f(yz,ZXYf(z) |y|f(yz)f(ZXYyzzy(4設(shè)(X，Y)～f(x，yZ＝XYfZ(z)|x|f(x,x)dx|y|f(y,XYfZ(z)|x|fX(x)fY(x)dx|y|fX(y)fY(xzzy (5)max(X，Y)分設(shè)(X，Y)～F(x，y)，則Z＝max(X，Y)的分布函XY獨(dú)立時(shí)FXF()(6)min(X，Y)分XY獨(dú)立時(shí)FXF()(6)min(X，Y)分XY【評(píng)注nX1，X2，?，XnFmax(z)＝FX1(z)FX2(zFFmin(z)＝1－[1－FX1(z)][1－FX2(]?1特別地， 獨(dú)n且有相同的分布函n1F(x)、密度函數(shù)f(x)時(shí)Fmax(x)＝[F(x)]－－它們是：二項(xiàng)分布、泊松分布，正態(tài)分布與2分布．若X～B(n，p)，Y～B(m，p)，則X＋Y～B(n＋m，p)；(注意：p相同若X～P(λ1)，Y～P(λ2)，則X~N(),Y~N(,2，則XY~N(222； 2X～2(n)，Y～2(m)，則X＋Y～2nA1PAB1324A，YXA不發(fā)0x1,0y2】已知二維隨機(jī)變量X,Yf(xy求（Ⅰ）X,Y)fX(xfYy（Ⅱ）Z2XYZfZ（Ⅲ）P(Y2X1)210131的概率密度為110131的概率密度為130yf(y)Y 2X0);（Ⅱ）求ZfZ第四隨機(jī)變量的數(shù)字特征基本概隨機(jī)變量的數(shù)1(1X是隨機(jī)變量，YX第四隨機(jī)變量的數(shù)字特征基本概隨機(jī)變量的數(shù)1(1X是隨機(jī)變量，YXXpi＝P{X＝xi}(i＝1，2是離散型隨機(jī)變量，其分布律為xiP{XxiX的數(shù)學(xué)期望存在，并將級(jí)數(shù)xiP{XxiEXxiP{Xxi若級(jí)數(shù)g(xi)P{XxiY＝g(XEg(X)存在，且＝g(xi)P{Xxi}g(XX數(shù)學(xué)期望EX存在， 否則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在．若積分g(xf(x)dxg(XEgXg(x)f(x)dx．否則稱g(X)的數(shù)學(xué)期望不存在．【評(píng)注】(1)數(shù)學(xué)期望又稱為概率平均值，常常簡稱為期望或均值．?dāng)?shù)學(xué)期望是描述隨(2X的期望存在與X的取值順序無關(guān)，任意改變xi的次序不應(yīng)改變EX的存在性，這在數(shù)學(xué)上就2(1ai和隨機(jī)變量Xi(i＝1，?，nnnE(aiXi)ai特別地Ec＝c，E(aX＋c)＝aEX＋c，E(X±Y)＝EX±EY2XYEXYEXEYE1X2E1XE2(YnnnnE(Xi)EXi,E(gi(Xi))Egi(Xi4.1.2隨機(jī)變量的方Variance1．定義設(shè)nnnnE(Xi)EXi,E(gi(Xi))Egi(Xi4.1.2隨機(jī)變量的方Variance1．定義設(shè)XE(X－EX)2E(X－EX)2XDX＝Var(X)X*X稱DXXX21)DX≥0，EX2＝DX＋(2)Dc＝0(c為常數(shù) (3)D(aX＋b)＝a2DX．EX)(YnnD(aiXi)aiajE(XiEXi)(XjEXji1ni aDX aaE(XEX)(XEX2jijj1in i aDX aacov(X,X2 1i(5XYD(aX＋bY)＝a2DX＋b2DY，D(XY)＝DXDY＋DX(EY)2＋DY(EX)2≥DX2DYX1，X2，?，Xn兩兩相互獨(dú)立，gi(xxnnD(aX) aDX 2 nnD(gi(Xi))Dgi(Xic)2．(7P{|XEX|DXP{|XEX|1DX【評(píng)注DXP{X－EX＜ε}愈大．這表明方差是刻畫隨機(jī)變量與其期望值偏離的程度，是描述隨機(jī)變量X“分散程度”特征的指標(biāo)．4.1.3多維隨機(jī)變量的數(shù)字特征1X，Y為隨機(jī)變量，g(X，YX，Y的函數(shù)，如果(X，Ypij＝P(X＝xi，Y＝y(tǒng)j)，若級(jí)數(shù)g(xi,yjpiji,EgX,Y)g(xi,yj1X，Y為隨機(jī)變量，g(X，YX，Y的函數(shù)，如果(X，Ypij＝P(X＝xi，Y＝y(tǒng)j)，若級(jí)數(shù)g(xi,yjpiji,EgX,Y)g(xi,yjpij．如果(X，Y)為連續(xù)型的，其聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，yi,g(x,yf(x,y)dxdyEg(X,Y)g(x,y)f(x,y)dxdy2．兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差(covarlance)與相關(guān)系(1XYDX＞0，DY＞0E(X－EX)(Y為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差并記為cov(X，Y)，即 EXEXEEXEXEY?cov(X,Y)為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)．如果 ≠0XY相關(guān)系數(shù)ρXY是描述隨機(jī)變 與Y之間線性相依性，｜ρXY｜的大小是X【評(píng)注】XY之間線性相關(guān)程度的一種度量．ρXY＝0XYYXY之間不存在相依關(guān)系，它們之間還可能存在某種非線性(212°線性性nncov(aiXi,Yaicov(Xi,Ynn i由于 aX) aDX aacov(X,X)，所以2X1X2? 1innD(aX) aX2 iiDY a，bP{Y＝aX＋b}＝1a｜ρXY｜＝1 ,4°線性變換下的相關(guān)系數(shù)a如果Y＝aX＋b，則 a如果X與Yρ，ξ＝aX＋b，η＝cY＋d(ac≠0ξ與ηac|4°線性變換下的相關(guān)系數(shù)a如果Y＝aX＋b，則 a如果X與Yρ，ξ＝aX＋b，η＝cY＋d(ac≠0ξ與ηac|ac 求數(shù)字特征311，442】已知二維隨機(jī)變量X,Y求Cov(X2,Y20.90.4 【例5】已知 N(0,1)，YX2，討論X，Y的獨(dú)立性與相關(guān)性，并說明理由伯努利計(jì)數(shù)變量的引入與應(yīng)用求EX.數(shù)字特征的應(yīng)用問題【例】設(shè)某商品每周的需求量 U[10,30].當(dāng)商店進(jìn)貨改為[10,30]中的某一整數(shù)時(shí)，切比雪夫不等式及其使用XEX)DX)2都存在，則對(duì)任意0P{XE(X)}D(X或PXEX)1DXYX-0101【例】設(shè)隨機(jī)變量X，Y，EXEY2DX【例】設(shè)隨機(jī)變量X，Y，EXEY2DX1DY4XY0.5PX6) 全概思想在求期望中的應(yīng)用第五大數(shù)定律與中心極限定理5.1依概率收斂定義X與X1X2為一列隨機(jī)變量，如果對(duì)任意ε＞0limP{|XnX|ε0或limP{|X|ε1，則稱隨機(jī)變量序列{第五大數(shù)定律與中心極限定理5.1依概率收斂定義X與X1X2為一列隨機(jī)變量，如果對(duì)任意ε＞0limP{|XnX|ε0或limP{|X|ε1，則稱隨機(jī)變量序列{Xn，n≥1X，記為limXXpXpX(nnnn fn(x)(1n2x2)，xR,n1,Xn5.2大數(shù)定D(Xk)(k≥1差nnk≥1)，則{Xn，n≥11Xi1EXini ni5.2μnnAnlimP{|np|ε}n【定理5.3】(辛欽大數(shù)定律)假設(shè){Xn，n≥1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，如果1nn1n|ε} X，即對(duì)任意ε＞0，有l(wèi)imPiniX.當(dāng)n【例】設(shè)總體X1 Yn XP in5.3中心極限定理EXn＝μ，DXn＝σ2＞0(n≥1)存在，則{Xn，n≥1}服從中心極限定理，即對(duì)任意的實(shí)有nXi11xlimP{x} dt25.5Yn～B(n，p)，(0＜p＜1，n≥1Ynlim x}1x dtnp(1X1,?，XnYnlim x}1x dtnp(1X1,?，Xn，?為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且均服從參數(shù)為（1）【例】設(shè)數(shù)分布.記(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則）nnXiXi（A）limP( x)(x)（B）limP( x)(x)nnXi（C）limP( x)(x)（D）limP( x)(x)n第六數(shù)理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量及其分布總體與樣本總體研究對(duì)象的全體稱為總體，組成總體的每一個(gè)元素稱為個(gè)體．在對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)總體中的分布情況．我們把總體與數(shù)量指標(biāo)X可能取值的全體所組成的集合等同起來，或(簡單隨機(jī)樣本)n個(gè)相互獨(dú)立且與總體XX2，?，Xn的整體X1Xn第六數(shù)理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量及其分布總體與樣本總體研究對(duì)象的全體稱為總體，組成總體的每一個(gè)元素稱為個(gè)體．在對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)總體中的分布情況．我們把總體與數(shù)量指標(biāo)X可能取值的全體所組成的集合等同起來，或(簡單隨機(jī)樣本)n個(gè)相互獨(dú)立且與總體XX2，?，Xn的整體X1Xn稱為來自總X，容量為nn個(gè)具體數(shù)值(x1，x2?xn)，稱為樣本(X1?Xn)的一個(gè)觀測值(或樣本值)．樣本(X1，?，Xn)所有可能取值的全體稱為樣本空間(或子樣空間)，樣本空間是Rn的一個(gè)子集(或 統(tǒng)計(jì)量1.統(tǒng)計(jì)量的概念設(shè)(X1，?，Xn)為總體X的樣本g(1?xnngg(X1，?，Xn)為樣本(X1，?，Xn)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量．若(x1，?，xn)為樣本值，則g(x1，?，xn)為g(X1，?，Xn2.常用統(tǒng)計(jì)量n1Xin1n1n22S(XXnnX22 2iniin1(Xni32(1)典型模式若隨機(jī)變量X1，X2，?，Xnn服從自由度為n的分布．記為x～(n)特別地， ~2(1)．其概變量X 2222in服從自由度為n的分布．記為x～(n)特別地， ~2(1)．其概變量X 2222iP{22(n)f(x)dxa(n(nα6—2α，n2(n22αααμαμα上側(cè)(即右側(cè))，該分布密度曲線下方，X軸上方圖形面積為α．同理可以理解下α分位點(diǎn)．(221°與正態(tài)分布相同，2~2(n1)，～212 ，222i1mm相互獨(dú)立，則~ n2i2X～2(n4、t(1)典型模式設(shè)隨機(jī)變量XY2(n)，X與Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)t Y/(2)ttt1－α(n)＝－tα(n6－3αα5、FFX/(1X～(n)，Y～(nXY212Y/2n1n2FF～F(n1，n2n1稱為第一自由度，n2(2)F1°F～F(n，n)，則1~F5、FFX/(1X～(n)，Y～(nXY212Y/2n1n2FF～F(n1，n2n1稱為第一自由度，n2(2)F1°F～F(n，n)，則1~F(nn F2° (n,n) F(n,n 6.1.3正態(tài)總體下的抽樣分布設(shè)X1X2X是取自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，XXS2 n(X)(1X~N ~Nnnn(2)2(Xi)~ (n1)SXn)~(n1)；(μ未知，在(2X in(X(4XS2S)n(Xn~,2N(,2)，X,XNYX和Y,Y,Y12 (YYX(ij j ) n1n22】設(shè)X，YN(0,32XX X9X1 X9Y,Y,YY，則. 9Y2 Y19N(,2),2】設(shè)X，YN(0,32XX X9X1 X9Y,Y,YY，則. 9Y2 Y19N(,2),2均未知.現(xiàn)從中隨機(jī)抽x20(cm)，6.2求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征【例1】設(shè)總體 N(,2)，X,X,X獨(dú)立同分布于X（n1均值 .Xn ba（P(Xa)P(X（A）與n（C）與無關(guān)，與nb（B）與n（D）與有關(guān)，與n1X(n2)獨(dú)立同分布于N(0,1X，YXXX1,ni ni1 （Ⅱ）（Ⅲ）6.3點(diǎn)估計(jì)及評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)1.估計(jì)量、估計(jì)值與點(diǎn)估計(jì)XnXT(X1,?，Xnθθ的估計(jì)量，通常記為??(X1,,XnT(X1,?，Xn如果(x1，x2，?，xn)是樣本的一個(gè)觀察值，將其代入估計(jì)量?中得值?θθ題，稱為參數(shù)θ的點(diǎn)估計(jì)問題．2.構(gòu)造估計(jì)量的(11°基本思想(替換原則)根據(jù)大數(shù)定律，樣本矩、樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)2Xk12X1X2，n)是來自總Xf(x,;,,)dxXEXl(l≥kEXl1kEXl xP{Xx;,}存在．令樣本矩＝l ki1nEX(i1,2,, llinθ1,?，θkk??(X,X)(l1,2,, n??則θl的矩估計(jì)量，(x1EXl xP{Xx;,}存在．令樣本矩＝l ki1nEX(i1,2,, llinθ1,?，θkk??(X,X)(l1,2,, n??則θl的矩估計(jì)量，(x1，?，xnθlll【評(píng)EXl1n XEX是求得θ矩估計(jì)量的關(guān)鍵．在這里l取多少并沒有明確的?llnn1nXEX＝λλ的矩估計(jì)量XX)DX1X2i1n ?(XX)2in31n X是總體相應(yīng)原點(diǎn)矩EX的無偏、一致估計(jì)，kknnn11kk X)EX, XiEX(nk innii1nnXαl＝EXlliP必是無偏估計(jì)，即gA1,Akg(1,,kEgA1A未必等于g(α1?αk(1)x 0x【例】設(shè)總體 f(x,)，求1θ選取使“樣本獲此觀測值(x1?xn)”的概率最大的參數(shù)值?作為θ的估計(jì)，這樣選定的?設(shè)總體XP{X＝x}＝p(x；θ)，θ(X1,?，Xn) 的一個(gè)樣本，則(X1,?，Xn)取值為(x1，?，xn)的概率XnnP{X1x1,,Xnxn}P{Xixi}P(xi,nL()L(x1,,xn;)P(x1;稱L(θ)為樣本(x1，?，xn)的似然函數(shù)．若?L(x1,nL()L(x1,,xn;)P(x1;稱L(θ)為樣本(x1，?，xn)的似然函數(shù)．若?L(x1,,xn;?)maxL(x1,,xn;使,Xf(x；θ)，θnL(L(x1,xn;)f(xi,若??(x1,xnL(?maxf(xi,，則稱?(x1,xnθ然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量?X1,Xnθ2nn))或fxnL(x1)p(x；θ1，?，θk)或f(x；θ1，?，θk)關(guān)于L0lnθii最大似然估計(jì)量??(X,X)(i1,2,k np(x；θ1，?，θk)或f(x；θ1，?，θk其他方法求得?i，例如L(θθ單調(diào)增(或減)函數(shù)時(shí)，?θ【評(píng)注】θ的最大似然估計(jì)量必須知道總體的概率分布或密101231，其中(0 22【例2】設(shè) U[0,]，0，求的最大似然估計(jì)量3．估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)θ的估計(jì)量??(X1,XnnθE(?則稱?θ的無設(shè)??(3．估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)θ的估計(jì)量??(X1,XnnθE(?則稱?θ的無設(shè)??(X,X與??(X,Xθ n nD(?D(?，則稱?比?有效12 (3設(shè)??(X1,Xnθε＞0limP(?0即?P(n，則稱?為θ【評(píng)注無偏性、有效性、一致性是評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)量的一些基本標(biāo)準(zhǔn)，它們都是在某種意義下用于衡量估計(jì)量?與未知參數(shù)θ的“接近”程度，是從某一特定方面來評(píng)價(jià)其優(yōu)良性【例】設(shè)總體 U[0,]，X1,X2 ,Xn獨(dú)立同分布于證明：?2X為區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)（數(shù)一區(qū)間估X1?，(X,X),??X,X??Xn