考點(diǎn)6-4數(shù)列前?i項(xiàng)和綜合應(yīng)用

ιm練基礎(chǔ)JH

1.(2021?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛叫滿足q+4%+7%++(3〃—2)4,,=4%則

4必+a3a4++a2lα22=()

A3bcd

.8?:?1?I

【答案】C

利用(3〃-2應(yīng),的前“項(xiàng)和求出數(shù)列｛(3〃-2)q｝的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出％,然后利用裂項(xiàng)法

可求出a2a3+a3a4++a2]a22的直

【詳解】

4+4α°÷7?÷+(3n-2)aπ=4〃.

當(dāng)〃=1時(shí)，4=4；

當(dāng)〃≥2時(shí)，由4+4%+7%++(3〃一2"〃=4〃，

可得4+4W+7tz3++(3n-5)??,1=4(zι-l),

兩式相減，可得(3〃-2”“=4,故為=51，

4

因?yàn)?=4也適合上式，所以％=

3n-2

1616/

依題忠，all+laι,+2-(3"+I)(3"+4)-T13〃+1-3〃+4

乜16(11!_J_-L--L1116∩?_5

故aa+aa++aa=——+++H-----------

23342l22477-iθIθ~T36164^3^l4-64~4

故選：C.

2.(2014?全國(guó),高三課時(shí)練習(xí)(理))設(shè)函數(shù)/(X)=x'"+"X的導(dǎo)函數(shù)/'(X)=2x+1,則數(shù)

1

(∈的前項(xiàng)和是(

列而?N")n)

nC〃+2C"十1

A.一B.-----cD.——

n+ln+}?念n

【答案】A

【分析】

1

由題意,根據(jù)導(dǎo)數(shù)，求解〃IM的值,得到數(shù)列R%,即可求解數(shù)列的和.

/(〃)

【詳解】

刀1

由題意，函數(shù)/(x)=/+環(huán)則數(shù)(X)=欣+Cl,

2

又由/'(x)=2x+l,所以機(jī)=2,α=l,即/(x)=X÷x,所以/(H)=H23+n=n(n÷l),

111

所以麗=而下=；TQ

1，的前項(xiàng)和為二；1]n

所以n(l-g)+(g-)++

nn+1)duruτ'故選A?

3.(2018?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí))若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是〃“=(-1)"(3〃-2),則

q+〃2++^io()

A.15B.12C.-12D.-15

【答案】A

【分析】

根據(jù)通項(xiàng)公式求出前卜項(xiàng)，由此求得前卜項(xiàng)的和.

【詳解】

由于a”=(T)"(3"-2),故a∣+a2++ai0=

(-1)+(4)+(-7)+(10)+(-13)+(16)+(-19)+(22)+(-25)+(28)≈3+3+3+3+3=15

.故選A.

4.(2020?江蘇?高考真題)設(shè)｛〃〃｝是公差為a的等差數(shù)列，｛加｝是公比為〃的等比數(shù)列.已

知數(shù)列｛〃〃+加｝的前n項(xiàng)和S,,=∕-"+2"-l("∈N*),則d+q的值是.

【答案】4

【分析】

結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，分別求得｛4｝,｛"｝的公差和公比，由此求得

d+q.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,等比數(shù)列｛〃｝的公比為4,根據(jù)題意q≠L

等差數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和公式為E,="%+如Pd=弓/+,-?〃，

等比數(shù)列也“｝的前?項(xiàng)和公式為Qn="'(Y)=-?√'+?，

?-q1-q?-q

d.(d?h,,.b,

依題意邑=匕+?！?，即n^-n+2"--l=-n~++—1—

2cj'-2Γ?-q?-q,

%

2d=2

at--=-?a,I=0

通過(guò)對(duì)比系數(shù)可知?12=.故d+q=4.

q=2,

4=2

??-l4=ι

"q

故答案為：4

5.(2014?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí)(理))在數(shù)列｛2｝中，fl,=2,an+antl=l(〃∈N+),設(shè)Sn

為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.P1∣JS2007-2S2006+S2005=.

【答案】3

【詳解】

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，a∣+a2=aj+a4-...-all-∣+all-1>故Sn=y；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a∣=2,a2

〃一1〃+3

+a3=aj+a5=…=a〃/+a〃=1,故S〃=2H--=--~?故S2007-2S2006-l-S2005~1005—

22

2×1003+1004=3.

2維練能力Jll

6.(2021?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí))將等比數(shù)列圾｝按順序分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…，2'i項(xiàng)

的各組，再將公差為2的等差數(shù)列｛4,｝的各項(xiàng)依次插入各組之間，得到數(shù)列｛%｝：bl,%,

13

瓦,bi,a2,b4,bi,bh,b1,a?,數(shù)列｛q,｝的前"項(xiàng)和為S11.若C∣=l,c2=2,53,

貝goo=（）

3??θ-r]

b?Z

8686

1/1

21∕lγ^l1fVI

C.—130-1D.一130-1

23

【答案】D

【分析】

由已知求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，以及等差數(shù)列的首項(xiàng)，再求得數(shù)列｛%｝的前10()項(xiàng)中含

有數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)，含有數(shù)列｛2｝的前94項(xiàng)，運(yùn)用分組求和的方法可求得答案.

【詳解】

解：由已知得々=1,4=2,?2=c3=S3-C1-c2等比數(shù)列他｝的公比4=：.

I

令(=1+2+22++2"-=2"-1,則￡=63,Tl=I27,

所以數(shù)列｛%｝的前IOO項(xiàng)中含有數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)，含有數(shù)列｛"｝的前94項(xiàng)，

+β+a+

故SlOO=(a+4++?)4)(l2+%)

=IS+6x2+"x2=U130-p~r.

1.i23[⑴

4

故選：D.

7.(2021?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí))已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，若幾>0,%<0,則

'，上,…，殳中最大的是()

a

?生〃20

A.&B.見(jiàn)C.&D.&

48〃9QIoQIl

【答案】C

【分析】

由條件得到此數(shù)列為遞減數(shù)列，進(jìn)而可以推出4>%>田">alo>0>all>at2>,

0<5I<52<<SIO,S10>S11>S12>>S19>0>S20>S2,>,進(jìn)而可得出答案.

【詳解】

由，9=∣9q0>0,得到%>0；

由Sw==10（4。+孫）<O,得到4<O,

，等差數(shù)列｛a,J為遞減數(shù)列，

且4>O2>6>'>tz10>0>^∣1>012>,

O<5∣<52<<S10,510>S11>S12>>S19>O>S20>S21>,

S

當(dāng)〃≤10時(shí)，S>0,?>0,且S最大，4o最小，所以3最大;

tlK）aιo

S

一iL

當(dāng)11≤∕≤19時(shí),Sn>O,αw<O,此時(shí)<。；

當(dāng)〃=20時(shí)，S,°<O,α,°<O,B,O<∣5^∣<5,o,∣a,0∣>?>0,所以'=匡<相，

?∣??10

綜上所述，員中最大的是耳.

aaa

?2420IO

故選：C.

8.(2020.全國(guó).高三課時(shí)練習(xí)(理))設(shè)數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和為S,,,q=1,⑸+〃4｝為常

數(shù)列，?=()

1215-2n

?'Fb-∕z(n+l)c-(n+l)(n+2)D,

【答案】B

【分析】

由題意知，Sl,+nall=2,當(dāng)“≥2時(shí)，能得到由此能求出4=而詞.

【詳解】

數(shù)列｛an｝的前八項(xiàng)和為S“，且4=1,

S1÷1×?1=1÷1=2,

｛S,,+w,,｝為常數(shù)列，.?.由題意知，S,,+"%=2,

當(dāng)n≥2時(shí)，(n+l)απ=(∕i-l)α,,-l,

,a2%?4?_12n-?

從πnil-------------------….........----------…--------.

八”J4a2%*3477+1

2

而可，當(dāng)〃=1時(shí)上式成立,

,2

〃M(H+1),

故選B.

9.(2014?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí)(理))若數(shù)列｛〃〃｝是正項(xiàng)數(shù)列，且

2AZZ

y[a^+y∣a^+...+y∣a^=n+3+2(?∈TV*),貝Ij?+?+…+-^?-?=.

【答案】2n2÷6w+10

【分析】

通過(guò)已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后化簡(jiǎn)所求數(shù)列的各項(xiàng),利用等差數(shù)列求出數(shù)列的和.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛〃〃｝是正項(xiàng)數(shù)列，且向+如+伍=∕+3"+2,("∈N')…①

所以++?lan-?=(〃-1)?+3及-3+2(〃≥2),…②

所以①-②得，瘋=2∕2("≥2),可得〃.=45+1)2(〃≥2),

則：TY=4(〃+1)(τι≥2),又=6,故q=36

所以，+—+H——=18÷4[3÷4÷...(∕7÷1)]=18+4×——-——----?=2π2+6z?+10.

23〃+12

故答案為2〃2+6〃+10

10.(2018?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí)(理))已知數(shù)列｛〃“｝中，?=-4/2+5,等比數(shù)列｛"｝的公

比g滿足口=?！耙弧?(鼠22),且〃,則MIH匕2∣++l?∣=.

【答案】4^-l

【詳解】

IH

q=an-arl^=(-4∕+5)-[-4(-1)+51=-4,?l=a2=-4×2+5=-3,

所以仇=?,?rl=-3?(-4Γ',聞=卜3?(T廣[=3?4"?

1_A"

所以I4|+|仇∣+…+h∣=3+3?4+3?42+…+3?4"T=3??!——=4"-l,

1—4

故答案為4"-l?

卜維練素養(yǎng)f//

11.（2021?河南?睢縣高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為

an=(-l)"(2n-l)?cos-^+l(n∈N*],其前“項(xiàng)和為5“，則兀。=()

A.-60B.-120C.180D.240

【答案】D

【分析】

分別取九二4左一3,4左一2,4Z-1和4々，攵∈N*,可驗(yàn)證出。以一3+。44-2+4A?-∣+〃必=8,利

用周期性可驗(yàn)算得到結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)〃=4攵一3,A∈N"時(shí)，Cos-=O,%AT=1;

2

當(dāng)77=4左一2,k∈N*時(shí)，COS-?=-1,^4k-2=[2×(4A:-2)-l]×(-l)+1=Sk+6?

當(dāng)九二4&-1,時(shí)，Cos-=O,44_|=1;

2

Yl九

當(dāng)”=4Z,%∈N*時(shí)，cos—=?,?=2×4?-l+l=8?.

a4k_3+a4k_2+%*_1+%*=1+(-8A+6)+1+8k=8,Sm=子X(jué)8=240.

故選：D

12.（2022?全國(guó),高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列&｝滿足4=1,a"÷1=Γ?cnejv*h記

數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5.，則（）

199

?-5<S∣OO<3B.3<5loo<4C.4<S100<—D.—<S100<5

【答案】A

【分析】

由題意首先整理所給的遞推關(guān)系式，得到數(shù)列的通項(xiàng)的范圍，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可

確定前IOO項(xiàng)和的范圍.

【詳解】

a,13

解：因?yàn)?=1,%]=[+五,所以q,>O,%=Q,所以SHI0>q+a2=5,

由累加法可得當(dāng)*2時(shí),

''<i(w-l)^'<>÷-=-

M瓜2M22(?+1)-'

44

又因?yàn)楫?dāng)〃=1時(shí)，??=■—?-也成立，所以α,,…而訪τ5eN）,

所以?-1+口”1+;_、+3“”,

/1+1

.?±<±tl?2物]?氏!.仁1%？2

i,ι,,

-anw+3故*n+2an_2〃+1'%4

=6(-

由累乘法可得當(dāng)〃??2時(shí)，勺=’"×7×f=z,9y4.n77一一二)，

4/7+2/2+1n54(/?+2)(〃+1)n+?n+2

所以S∣,,1+6(------1---------1--------FH-----------)=1+6(--------)<1÷2=3,所以二<S]<3.

Moo，v344556IOl102310220100

故選：A.

13.(2021.河南.高三階段練習(xí)(S))定義區(qū)表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如[-0.5]=-1,

4095

[2.3]=2.若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=[10g2〃](〃eN*),則gɑ,,=()

Λ=i

A.10×2I2+2B.9×2"+2C.2l0-2D.78

【答案】A

【分析】

由題可得當(dāng)2*W"<2"∣(AwN)時(shí)，含有2"個(gè)數(shù)列<｝中的項(xiàng)4=[bg2〃]=人,又

2"<4095<4096=212.再利用錯(cuò)位相減法即求.

【詳解】

k+

由題知當(dāng)》W〃<2'QeN)時(shí)，含有》個(gè)數(shù)列｛q/中的項(xiàng)4=[log2n]=k,

又2“<4095<4096=2%

4095

所以∑4,=0x2°+1x2'+2x2?+…+11x2”,

〃=1

44)95

兩邊同乘以2,得2Zq,=0x2∣+lx22+2x23+…+llx2?

∕t=l

兩式相減，得

40952(1-2")

-∑?=0÷2,+22+???÷2H-11×2,2=-?-------^-11×212=-10×2l2-2,

∏=ι1-2

4095

所以?>Λ,=10X2∣2+2.

w=l

故選：A.

14.(2022?北京?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=2+ln_,ai=l,

“"=/用+/用+陪)+…+/(Mi)"eN*,稔2).設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和九則顯詈

的最小值為.

41

【答案】M##8.2

【分析】

由題設(shè)A：)+"[1)=3討論”的奇偶性求｛4｝的通項(xiàng)公式，再確定s“的通項(xiàng)公式，進(jìn)

而得到型，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)確定其最小值.

n

【詳解】

由題設(shè)，/(?)+/(-)=4+ln(π-1)+In?=4,

nnn-?

4×∣--?∣+∕∣?∣=2(∕7-1),∕7=2?,?∈N,

所以q=｛_)"J,即4=2(〃-1)且”“，

4×??-==2k+l,ZeN*

21,77=1

l,n=l故鼠衛(wèi)=

則S,,=V

2

∕z-π+1,n≥2nH-------1,〃≥2

n

乂y=x+?-l在儀,血）遞減，在（⑨,+8）遞增，

W,25+202133WU25+202141曰心3341

當(dāng)九=4時(shí)，------=4zl+------1=—；當(dāng)〃=5時(shí)，------=5c+------1=—,顯然一>一,

n44n5545

綜上，盤(pán)他的最小值為3.

n5

41

故答案為：彳

15.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知S,,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若S238<S≡）<S20∣9,

設(shè)2=%”“+",+2，則數(shù)列I」I的前〃項(xiàng)和7“取最大值時(shí)?的值為

【答案】2019

【分析】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得數(shù)列｛凡｝的公