小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)1-6年級(jí)培優(yōu)講座、習(xí)題集、與答案完整版

計(jì)數(shù)問題排列組合講義

1、“IMO”是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這3個(gè)字母用3種不同顏色來

寫，現(xiàn)有5種不同顏色的筆，問共有多少鐘不同的寫法？

分析：從5個(gè)元素中取3個(gè)的排列：P（5,3）=5X4X3=60

2、從數(shù)字0、1、2、3、4、5中任意挑選5個(gè)組成能被5除盡且各位數(shù)字互

異的五位數(shù)，那么共可以組成多少個(gè)不同的五位數(shù)？

分析：個(gè)位數(shù)字是0：P（5、4）=120；個(gè)位數(shù)字是5：P（5、4）-P（4、3）

=120-24=96,（扣除0在首位的排列）合計(jì)120+96=216

另：此題乘法原理、加法原理結(jié)合用也是很好的方法。

3、用2、4、5、7這4個(gè)不同數(shù)字可以組成24個(gè)互不相同的四位數(shù)，將它

們從小到大排列，那么7254是第多少個(gè)數(shù)？

分析：由已知得每個(gè)數(shù)字開頭的各有24+4=6個(gè)，從小到大排列7開頭的從

第6X3+1=19個(gè)開始，易知第19個(gè)是7245,第20個(gè)7254。

4、有些四位數(shù)由4個(gè)不為零且互不相同的數(shù)字組成，并且這4個(gè)數(shù)字的和等

于12,將所有這樣的四位數(shù)從小到大依次排列，第24個(gè)這樣的四位數(shù)是多

少？

分析：首位是1：剩下3個(gè)數(shù)的和是11有以下幾種情況：⑴2+3+6=11,共

有P（3、3）=6個(gè)；（2）2+4+5=11,共有P（3,3）=6個(gè)；

首位是2：剩下3個(gè)數(shù)的和是10有以下幾種情況：（1）1+3+6=10,共有P

（3、3）=6個(gè)；（2）1+4+5=10,共有P（3、3）=6個(gè)；以上正好24個(gè)，最

大的易知是2631。

5、用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，組成各位數(shù)字互不相同的四位數(shù)，例如

1023、2341等，求全體這樣的四位數(shù)之和。

分析：這樣的四位數(shù)共有P(4、1)XP(4、3)=96個(gè)

1、2、3、4在首位各有964-4=24次，和為(1+2+3+4)X1000X

24=240000；1、2、3、4在百位各有244-4X3=18次，和為(1+2+3+4)

X100X18=18000；1、2、3、4在十位各有24+4X3=18次，和為(1+2+3

+4)X10X18=1800；1、2、3、4在個(gè)位各有244-4X3=18次，和為(1+2

+3+4)X1X18=180；

總和為240000+18000+1800+180=259980

6、計(jì)算機(jī)上編程序打印出前10000個(gè)正整數(shù)：1、2、3、……、10000時(shí)，不

幸打印機(jī)有毛病，每次打印數(shù)字3時(shí)，它都打印出x,問其中被錯(cuò)誤打印的

共有多少個(gè)數(shù)？

分析：共有10000個(gè)數(shù)，其中不含數(shù)字3的有：五位數(shù)1個(gè)，四位數(shù)共8

X9X9X9=5832個(gè)，三位數(shù)共8X9X9=648個(gè)，二位數(shù)共8X9=72個(gè)，一位

數(shù)共8個(gè)，不含數(shù)字3的共有1+5832+648+72+8=6561所求為10000—

6561=3439個(gè)

7、在1000到9999之間，千位數(shù)字與十位數(shù)字之差(大減小)為2,并且4

個(gè)數(shù)字各不相同的四位數(shù)有多少個(gè)？

分析：1口3口結(jié)構(gòu)：8X7=56,3口1口同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；2口4口結(jié)構(gòu)：

8X7=56,4口2口同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；3口5口結(jié)構(gòu)：8X7=56,5口3口同

樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；4口6口結(jié)構(gòu)：8X7=56,6口4口同樣56個(gè)，計(jì)112

個(gè)；5口7口結(jié)構(gòu)：8X7=56,7口5口同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；6口8口結(jié)構(gòu)：8

X7=56,8口6口同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；7口9口結(jié)構(gòu)：8X7=56,9口7口同樣

56個(gè)，計(jì)112個(gè)；2口0□結(jié)構(gòu)：8X7=56,以上共112X7X56=840個(gè)

8、如果從3本不同的語文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、5本不同的外語書中選取

2本不同學(xué)科的書閱讀，那么共有多少種不同的選擇？

分析：因?yàn)閺?qiáng)調(diào)2本書來自不同的學(xué)科，所以共有三種情況：來自語文、數(shù)

學(xué)：3X4=12；來自語文、外語：3X5=15；來自數(shù)學(xué)、外語：4X5=20；所以

共有12+15+20=47

9、某條鐵路線上，包括起點(diǎn)和終點(diǎn)在內(nèi)原來共有7個(gè)車站，現(xiàn)在新增了3個(gè)

車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，這樣需要增加多少種不同的

車票？

分析：方法一：一張車票包括起點(diǎn)和終點(diǎn)，原來有P（7、2）=42張，（相當(dāng)

于從7個(gè)元素中取2個(gè)的排列），現(xiàn)在有P（10、2）=90,所以增加90-

42=48張不同車票。

方法二：1、新站為起點(diǎn)，舊站為終點(diǎn)有3X7=21張，2、舊站為起點(diǎn)，新站為

終點(diǎn)有7X3=21張，3、起點(diǎn)、終點(diǎn)均為新站有3X2=6張，以上共有21+21

+6=48張

10、7個(gè)相同的球放在4個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放一個(gè)，不同的放法

有多少種？

分析：因?yàn)?=1+1+1+1+1+1+1,相當(dāng)于從6個(gè)加號(hào)中取3個(gè)的組合，C

（6、3）=20種

11、從19、20、21、22、、93、94這76個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù),

使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？

分析：76個(gè)數(shù)中，奇數(shù)38個(gè)，偶數(shù)38個(gè)有703+703=1406種

偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)：C（38、2）=703種，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)：C（38、2）=703

種，以上共

12、用兩個(gè)3,一個(gè)1,一個(gè)2可組成若干個(gè)不同的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一

共有多少個(gè)？

分析：因?yàn)橛袃蓚€(gè)3,所以共有P（4、4）4-2=12個(gè)

13、有5個(gè)標(biāo)簽分別對(duì)應(yīng)著5個(gè)藥瓶，恰好貼錯(cuò)3個(gè)標(biāo)簽的可能情況共有多

少種？

分析：第一步考慮從5個(gè)元素中取3個(gè)來進(jìn)行錯(cuò)貼，共有C（5、3）=10,第

二步對(duì)這3個(gè)瓶子進(jìn)行錯(cuò)貼，共有2種錯(cuò)貼方法，所以可能情況共有10X

2=20種。

14、有9張同樣大小的圓形紙片，其中標(biāo)有數(shù)碼“1”的有1張，標(biāo)有數(shù)碼

“2”的有2張，標(biāo)有數(shù)碼“3”的有3張，標(biāo)有數(shù)碼“4”的有3張，把這

9張圓形紙片如呼所示放置在一起，但標(biāo)有相同數(shù)碼的紙片不許*在一起。⑴

如果M處放標(biāo)有數(shù)碼“3”的紙片，一共有多少種不同的放置方法？⑵如果

M處放標(biāo)有數(shù)碼“2”的紙片，一共有多少種不同的放置方法？

分析：

⑴如果M處放標(biāo)有數(shù)碼“3”的紙片，只有唯一結(jié)構(gòu)：在剩下的6個(gè)位置

中，3個(gè)“4”必須隔開，共有奇、偶位2種放法，在剩下的3個(gè)位置上

“1”有3種放法（同時(shí)也確定了“2”的放法）。由乘法原理得共有2X3=6

種不同的放法。

⑵如果M處放標(biāo)有數(shù)碼“2”的紙片，有如下幾種情況：

結(jié)構(gòu)一：3個(gè)“3”和3個(gè)“4”共有2種放法，再加上2和1可以交換位

置，所以共有2X2=4種；

結(jié)構(gòu)二：3個(gè)“4”有奇、偶位2種選擇（相應(yīng)的“1”也定了，只能*著已有

的“3”,加上2和3可以交換，所以共有2X2=4種；

結(jié)構(gòu)三：3個(gè)“3”有奇、偶位2種選擇，“1”有唯一選擇，只能*到已有的

“4”，加上2和4可以交換位置，所以共有2X2=4種，

以上共有4+4+4=12種不同的放法。

15、一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目。問：⑴如果4個(gè)舞蹈節(jié)目

要排在一起，有多少種不同的安排順序？⑵如果要求每?jī)蓚€(gè)舞蹈節(jié)目之間至少

安排一個(gè)演唱節(jié)目，一共有多少種不同的安排順序？

分析：（D4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，好比把4個(gè)舞蹈在一起看成一個(gè)節(jié)目，這

樣和6個(gè)演唱共有7個(gè)節(jié)目，全排列7!,加上4個(gè)舞蹈本身也有全排

4!,所以共有7!X4!=120960種。

⑵4個(gè)舞蹈必須放在6個(gè)演唱之間，6個(gè)演唱包括頭尾共有7個(gè)空檔，7個(gè)

空檔取出4個(gè)放舞蹈共有P（7、4）,加上6個(gè)演唱的全排6!,共有P

（7、4）X6!=604800種。

行程問題講義

1、甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時(shí)間平均每分鐘

行80米，后一半時(shí)間平均每分鐘行70米。問他走后一半路程用了多少分

鐘？

分析：解法1、全程的平均速度是每分鐘(80+70)/2=75米，走完全程的時(shí)間

是6000/75=80分鐘，走前一半路程速度一定是80米，時(shí)間是

3000/80=37.5分鐘，后一半路程時(shí)間是80-37.5=42.5分鐘

解法2：設(shè)走一半路程時(shí)間是x分鐘，則80*x+70*x=6*1000,解方程得：

x=40分鐘

因?yàn)?0*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80

米，時(shí)間是3000/80=37.5分鐘，后一半路程時(shí)間是40+(40-37.5)=42.5

分鐘

答：他走后一半路程用了42.5分鐘。

2、小明從家到學(xué)校有兩條一樣長(zhǎng)的路，一條是平路，另一條是一半上坡路、一

半下坡路。小明上學(xué)走兩條路所用的時(shí)間一樣多。已知下坡的速度是平路的

1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？

分析：解法1：設(shè)路程為180,則上坡和下坡均是90o設(shè)走平路的速度是2,

則下坡速度是3。走下坡用時(shí)間90/3=30,走平路一共用時(shí)間180/2=90,所

以走上坡時(shí)間是90-30=60下坡速度的45/60=0.75倍。走與上坡同樣距離的

平路時(shí)用時(shí)間90/2=45因?yàn)樗俣扰c時(shí)間成反比，所以上坡速度是

解法2：因?yàn)榫嚯x和時(shí)間都相同，所以平均速度也相同，又因?yàn)樯掀潞拖缕侣?/p>

各一半也相同，設(shè)距離是1份，時(shí)間是1份，則下坡時(shí)間=0.5/1.5=1/3,上

坡時(shí)間=1-1/3=2/3,上坡速度=(1/2)/(2/3)=3/4=0.75

解法3：因?yàn)榫嚯x和時(shí)間都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路

程/I,得：上坡速度=0.75

答：上坡的速度是平路的0.75倍。

3、一只小船從甲地到乙地往返一次共用2小時(shí)，回來時(shí)順?biāo)?，比去時(shí)的速度

每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米。那么甲、乙

兩地之間的距離是多少千米？

分析：解法1,第二小時(shí)比第一小時(shí)多走6千米，說明逆水走1小時(shí)還差

6/2=3千米沒到乙地。順?biāo)?小時(shí)比逆水多走8千米，說明逆水走3千

米與順?biāo)?-3=5千米時(shí)間相同，這段時(shí)間里的路程差是5-3=2千米，等于

1小時(shí)路程差的1/4,所以順?biāo)俣仁敲啃r(shí)5*4=20千米（或者說逆水速度

是3*4=12千米）。甲、乙兩地距離是12*1+3=15千米

解法2,順?biāo)啃r(shí)比逆水多行駛8千米，實(shí)際第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6

千米，順?biāo)旭倳r(shí)間=6/8=3/4小時(shí)，逆水行駛時(shí)間=2-3/4=5/4,順?biāo)俣龋?/p>

逆水速度=5/4：3/4=5：3,順?biāo)俣?8*5/（5-3）=20千米/小時(shí),兩地距離

=20*3/4=15千米。

答：甲、乙兩地距離之間的距離是15千米。

4、一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電

車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘。有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車線路

騎車前往甲站。他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站。在路上他又遇到了

10輛迎面開來的電車。到達(dá)甲站時(shí)，恰好又有一輛電車從甲站開出。問他從

乙站到甲站用了多少分鐘？

分析：騎車人一共看到12輛車，他出發(fā)時(shí)看到的是15分鐘前發(fā)的車，此時(shí)

第4輛車正從甲發(fā)出。騎車中，甲站發(fā)出第4到第12輛車，共9輛，有

8個(gè)5分鐘的間隔，時(shí)間是5*8=40（分鐘）。

答：他從乙站到甲站用了40分鐘。

5、甲、乙兩人在河中游泳，先后從某處出發(fā)，以同一速度向同一方向游進(jìn)。現(xiàn)

在甲位于乙的前方，乙距起點(diǎn)20米，當(dāng)乙游到甲現(xiàn)在的位置時(shí)，甲將游離起

點(diǎn)98米。問：甲現(xiàn)在離起點(diǎn)多少米？

分析：甲、乙速度相同，當(dāng)乙游到甲現(xiàn)在的位置時(shí)，甲也又游過相同距離，兩

人各游了(98-20)/2=39(米)，甲現(xiàn)在位置：39+20=59(米)

答：甲現(xiàn)在離起點(diǎn)59米。

6、甲、乙兩輛汽車同時(shí)從東西兩地相向開出，甲每小時(shí)行56千米，乙每小時(shí)

行48千米，兩車在離兩地中點(diǎn)32千米處相遇。問：東西兩地的距離是多少

千米？

分析：解法1：甲比乙1小時(shí)多走8千米，一共多走32*2=64千米，用了

64/8=8小時(shí)，所以距離是8*(56+48)=832(千米)

解法2：設(shè)東西兩地距離的一半是X千米，則有：48*(X+32)=56*(X-

32),解得X=416,距離是2*416=832(千米)

解法3：甲乙速度比=56：48=7：6,相遇時(shí)，甲比乙多行=(7-6)/(7+6)

=1/13,兩地距離=2*32/(1/13)=832千米。

答：東西兩地間的距離是832千米。

7、李華步行以每小時(shí)4千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米外的冬令營(yíng)報(bào)

到。0.5小時(shí)后，營(yíng)地老師聞?dòng)嵡巴?，每小時(shí)比李華多走1.2千米。又

過了1.5小時(shí)，張明從學(xué)校騎車去營(yíng)地報(bào)到。結(jié)果3人同時(shí)在途中某地相

遇。問：騎車人每小時(shí)行駛多少千米？

分析：老師速度=4+1.2=5.2(千米)，與李相遇時(shí)間是老師出發(fā)后(20.4-

4*0.5)/(4+5.2)=2(小時(shí))，相遇地點(diǎn)距離學(xué)校4*(0.5+2)=10(千

米)，所以騎車人速度=10/(2+0.5-2)=20(千米)

答：騎車人每小時(shí)行駛20千米。

8、快車和慢車分別從甲、乙兩地同時(shí)開出，相向而行，經(jīng)過5小時(shí)相遇。已

知慢車從乙地到甲地用12.5小時(shí)，慢車到甲地停留0.5小時(shí)后返回，快車

到乙地停留1小時(shí)后返回，那么兩車從第一次相遇到第二次相遇需要多少時(shí)

間？

分析：解法1，快車5小時(shí)行過的距離是慢車12.5-5=7.5小時(shí)行的距離，慢

車速度/快車速度=5/7.5=2/3。兩車行1個(gè)單程用5小時(shí)，如果不停，再次

相遇需要5*2=10小時(shí)，如果兩車都停0.5小時(shí)，則需要10.5小時(shí)再次相

遇。快車多停30分鐘，這段路程快車與慢車一起走，需要30/(1+2/3)=18

(分鐘)所以10.5小時(shí)+18分鐘=10小時(shí)48分鐘

解法2：回程慢車比快車多開半小時(shí)，這半小時(shí)慢車走了0.5/12.5=1/25全

程，兩車合起來少開1/25,節(jié)省時(shí)間=5*1/25=0.2小時(shí)，所以，從第一次相

遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小時(shí)。

答：兩車從第一次相遇到第二次相遇需要10小時(shí)48分鐘。

9、某校和某工廠之間有一條公路，該校下午2時(shí)派車去該廠接某勞模來校作

報(bào)告，往返需用1小時(shí)。這位勞模在下午1時(shí)便離廠步行向?qū)W校走來，途中

遇到接他的汽車，便立刻上車駛向?qū)W校，在下午2時(shí)40分到達(dá)。問：汽車速

度是勞模步行速度的幾倍？

解：汽車走單程需要60/2=30分鐘，實(shí)際走了40/2=20分鐘的路程，說明相

遇時(shí)間是2：20,2點(diǎn)20分相遇時(shí)，勞模走了60+20=80分鐘，這段距離汽

車要走30-20=10分鐘，所以車速/勞模速度=80/10=8

答：汽車速度是勞模步行速度的8倍。

10、已知甲的步行的速度是乙的L4倍。甲、乙兩人分別由A,B兩地同時(shí)出

發(fā)。如果相向而行，0.5小時(shí)后相遇；如果他們同向而行，那么甲追上乙需要

多少小時(shí)？

分析：兩人相向而行，路程之和是AB,AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差

是AB,人8=速度差*追及時(shí)間。速度和=1.4+1=2.4,速度差=1.4-1=0.4。所

以：追及時(shí)間=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小時(shí)）

答：甲追上乙需要3小時(shí)。

11、獵狗發(fā)現(xiàn)在離它10米的前方有一只奔跑著的兔子，馬上緊追上去。兔跑

9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的時(shí)間，兔卻跑3步。問狗追上兔

時(shí)，共跑了多少米路程？

分析：狗跑2步時(shí)間里兔跑3步，則狗跑6步時(shí)間里兔跑9步，兔走了狗

5步的距離，距離縮小1步。狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米）

答：狗追上兔時(shí)，共跑了60米。

12、張、李兩人騎車同進(jìn)從甲地出發(fā)，向同一方向行進(jìn)。張的速度比李的速度

每小時(shí)快4千米，張比李早到20分鐘通過途中乙地。當(dāng)李到達(dá)乙地時(shí)，張

又前進(jìn)了8千米。那么甲、乙兩地之間的距離是多少千米？

分析：解法1,張速度每小時(shí)8/（20/60）=24（千米），李速度每小時(shí)24-

4=20（千米），張到乙時(shí)超過李距離是20*（20/60）=20/3（千米）所以甲乙

距離=24*(20/3/4)=40(千米)

解法2：張比李每小時(shí)快4千米，現(xiàn)共多前進(jìn)了8千米，即共騎了8/4=2小

時(shí)，張從甲到乙用了2*60-20=100分鐘，所以甲乙兩地距離=(100/20)

*8=40千米。

答：甲、乙兩地之間的距離是40千米。

13、上午8時(shí)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)；8分鐘后，爸爸騎摩托車去

追他，在離家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回

頭去追小明，再追上他的時(shí)候，離家恰好是8千米。問這時(shí)是幾時(shí)幾分？

分析：爸爸第一次追上小明離家4千米，如果等8分鐘，再追上時(shí)應(yīng)該離家

8千米，說明爸爸8分鐘行8千米，爸爸一共行了8+8=16分鐘，時(shí)間是8

點(diǎn)8分+8分+16分=8點(diǎn)32分。

答：這時(shí)8點(diǎn)32分。

14、龜兔進(jìn)行10000米賽跑，兔子的速度是烏龜?shù)乃俣鹊?倍。當(dāng)它們從起

點(diǎn)一起出發(fā)后，烏龜不停地跑，兔子跑到某一地點(diǎn)開始睡覺，兔子醒來時(shí)烏龜

已經(jīng)領(lǐng)先它5000米；兔子奮起直追，但烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子仍落后100

米。那么兔子睡覺期間，烏龜跑了多少米？

分析：兔子跑了10000-100=9900米，這段時(shí)間里烏龜跑了9900*1/5=1980

米，兔子睡覺時(shí)烏龜跑了10000-1980=8020米

答：兔子睡覺期間烏龜跑了8020米。

15、一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地。大轎車的速度是小轎車速度

的0.8倍。已知大轎車比小轎車早出發(fā)17分鐘，但在兩地中點(diǎn)停了5分鐘

后，才繼續(xù)駛往乙地；在小轎車出發(fā)后中途沒有停，直接駛往乙地，最后小轎

車卻比大轎車早4分鐘到達(dá)乙地。又知大轎車是上午10時(shí)從甲地出發(fā)的，

求小轎車追上大轎車的時(shí)間。

分析：解法1,大車如果中間不停車，要比小車多費(fèi)17-5+4=16分鐘，大車用

的時(shí)間與小車用的時(shí)間之比是速度比的倒數(shù)，即1/0.8=5/4,所以大車行駛時(shí)

間是16/(5-4)*5=80分鐘，小車行駛時(shí)間是80-16=64分鐘，走到中間分別

用了40和32分鐘。大車10點(diǎn)出發(fā)，到中間點(diǎn)是10點(diǎn)40分，離開中點(diǎn)

是10點(diǎn)45分，到達(dá)終點(diǎn)是11點(diǎn)25分。小車10點(diǎn)17分出發(fā)，到中間

點(diǎn)是10點(diǎn)49分，比大車晚4分；到終點(diǎn)是11點(diǎn)21分，比大車早4

分。所以小車追上大車的時(shí)間是在從中間點(diǎn)到終點(diǎn)之間的正中間，11點(diǎn)5

分。

解法2：大轎車的速度是小轎車速度的0.8倍，大轎車的用時(shí)是小轎車用時(shí)的

1/0.8=1.25倍，大轎車比小轎車多用時(shí)17-5+4=16分鐘，大轎車行駛時(shí)間

=16*(1.25/0.25)=80分鐘，小轎車行駛時(shí)間=16/(0.25)=64分鐘，小轎車

比大轎車實(shí)際晚開17-5=12分鐘，追上需要=12*0.8/(1-0.8)=48分鐘，

48+17=65分=1小時(shí)5分，所以，小轎車追上大轎車的時(shí)間是11時(shí)5分

答：小轎車追上大轎車的時(shí)間是11點(diǎn)5分。

第二講義

1、某解放車隊(duì)伍長(zhǎng)450米，以每秒1.5米的速度行進(jìn)。一戰(zhàn)士以每秒3米

的速度從排尾到排頭并立即返回排尾，那么這需要多少時(shí)間？

分析:從排尾到排頭用的時(shí)間是450/(3-1.5)=300秒，從排頭回排尾用的時(shí)

間是450/(3+1.5)=100秒，一共用了300+100=400秒

答：需要400秒。

2、鐵路旁的一條平行小路上，有一行人與一騎車人同進(jìn)向南行進(jìn)，行人速度為

每小時(shí)3.6千米，騎車人速度為每小時(shí)10.8千米。這時(shí)，有一列火車從他

們背后開過來，火車通過行人用22秒鐘，通過騎車人用26秒鐘。這列火車

的車身總長(zhǎng)是多少米？

分析：設(shè)火車速度是每秒X米。行人速度是每秒3.6*1000/60*60=1（米），

騎車人速度是每秒1.8*1000/60*60=3（米）根據(jù)已知條件列方程：（XT）

*22=（X-3）*26,解得:X=14（米），車長(zhǎng)=（14-1）*22=286（米）

分析2,騎車人速度是行人速度的10。8/3o6=3倍，22秒時(shí)火車通過行人

（設(shè)行人這22秒所走的路程為1）,車尾距騎車人還有2倍行人22秒所走

的路程，即距離2；26秒（即又過4秒）時(shí)，火車通過騎車人，騎車人行=4*

（3/22）=6/11,火車行2+6/11=28/11,火車與騎車人的速度比為28/11：

6/11=14：3；火車速度=14*10.8/3=504千米/小時(shí);火車車長(zhǎng)=（50400-3600）

*22/3600=286米。

答：這列火車的車身總長(zhǎng)是286米。

3、一列客車通過250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過210米長(zhǎng)的隧道用23秒。

已知在客車的前方有一列行駛方向與它相同的貨車，車身長(zhǎng)為320米，速度

每秒17米。求列車與華車從相遇到離開所用的時(shí)間。

分析:客車速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，車身長(zhǎng)=20*23-210=250

米

客車與火車從相遇到離開的時(shí)間是（250+320）/（20-17）=190（秒）

答：客車與火車從相遇到離開的時(shí)間是190秒。

4、鐵路旁有一條小路，一列長(zhǎng)110米的火車以每小時(shí)30千米的速度向北緩

緩駛?cè)ァ?4小時(shí)10分鐘追上向北行走的一位工人，15秒種后離開這個(gè)工

人；14時(shí)16分迎面遇到一個(gè)向南走的學(xué)生，12秒后離開這個(gè)學(xué)生。問工人

與學(xué)生將在何時(shí)相遇？

分析：解法1：工人速度是每小時(shí)30-0.11/(15/3600)=3.6千米學(xué)生速度

是每小時(shí)(0.11/12/3600)-30=3千米14時(shí)16分到兩人相遇需要時(shí)間(30-

3.6)*6/60/(3.6+3)=0.4(小時(shí))=24分鐘14時(shí)16分+24分=14時(shí)40

分

解法2：(車速-工速)*15=車長(zhǎng)=(車速+學(xué)速)*12,那么工速+學(xué)速=(車速+

學(xué)速)-(車速-工速)=(1/12-1/15)*車長(zhǎng)

而14點(diǎn)10分火車追上工人，14點(diǎn)16分遇到學(xué)生時(shí)，工人與學(xué)生距離恰好

是(車速-工速)*6=6/15*車長(zhǎng)這樣，從此時(shí)到工人學(xué)生相遇用時(shí)(6/15*車

長(zhǎng))/[(1/12-1/15)*車長(zhǎng)]=(6/15)/(1/12-1/15)=24分

答：工人與學(xué)生將在14時(shí)40分相遇。

5、東、西兩城相距75千米。小明從東向西走，每小時(shí)走6.5千米；小強(qiáng)從

西向東走，每小時(shí)走6千米；小輝騎自行車從東向西，每小時(shí)騎行15千

米。3人同時(shí)動(dòng)身，途中小輝遇見小強(qiáng)又折回向東騎，這樣往返，直到3人在

途中相遇為止。問：小輝共走了多少千米？

分析：3人相遇時(shí)間即明與強(qiáng)相遇時(shí)間，為75/(6.5+6)=6小時(shí)，小輝騎了

15*6=90千米

答：小輝共騎了90千米。

6、設(shè)有甲、乙、兩3人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的

速度是步行速度的3倍?，F(xiàn)甲從A地去B地，乙、丙從B地去A地，雙方

同時(shí)出發(fā)。出發(fā)時(shí)，甲、乙為步行，丙騎車。途中，當(dāng)甲、丙相遇時(shí)，丙將車

給甲騎，自己改為步行，3人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)；當(dāng)甲、乙相遇時(shí)，

甲將車給乙騎，自己重又步行，3人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)。問：3人之

中誰最先達(dá)到自己的目的地？誰最后到達(dá)目的地？

分析：

如圖，甲與乙在M點(diǎn)相遇，甲走了AM,同時(shí)乙也走了同樣距離BNo當(dāng)甲與乙

在P點(diǎn)相遇時(shí)，乙一共走了BP,甲還要走PB,而丙只走了MAo所以3人

步行的距離，甲=AM+PB,乙=BP,丙=配。甲最遠(yuǎn)，最后到；丙最短，最先到。

分析2,由于每人的步行速度和騎車速度都相同，所以，要知道誰先到、誰后

到，只要計(jì)算一下各人誰步行最長(zhǎng)，誰步行最短。將整個(gè)路程分成4份，甲

丙最先相遇，丙騎行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后騎車與乙相

遇,騎行2*3/4=3/2份，總步行4-3/2=5/2份；乙步行1+(2-3/2)=3/2,

騎行4-3/2=5/2份，所以，丙最先到，甲最后到。

答：丙最先到達(dá)自己的目的地，甲最后到達(dá)自己的目的地。

7、有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走

75米。現(xiàn)在甲從東村，乙、丙兩人從西村同時(shí)出發(fā)相向而行，在途中甲與乙

相遇后6分鐘后，甲又與丙相遇。那么，東、西兩村之間的距離是多少米？

分析：甲、乙相遇時(shí)，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙6分鐘的路程之和=

(100+75)*6,乙比丙每分鐘多走(80-75)米，因此甲、乙相遇時(shí)走了：

[(100+75)*6/(80-75)]分鐘，兩村的距離是(100+80)*[(100+75)*6/

(80-75)]=37800(米)

答：東、西兩村之間的距離是37800米。

8、甲、乙、丙3人進(jìn)行200米賽跑，當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)后，乙離終點(diǎn)還有20

米，丙離終點(diǎn)還有25米。如果甲、乙、丙賽跑的速度始終不變，那么，當(dāng)乙

到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還有多少米？（答案保留兩位小時(shí)。）

分析：乙跑200-20=180米比丙多跑25-20=5米，所以乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙比乙

少跑200/180*5=5（5/9）=5.56（米）

答：當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還有5.56米。

9、張、李、趙3人都從甲地到乙地。上午6時(shí)，張、李兩人一起從甲地出

發(fā)，張每小時(shí)走5千米，李每小時(shí)走4千米。趙上午8時(shí)從甲地出發(fā)。傍

晚6時(shí)，趙、張同時(shí)到過乙地。那么趙追上李的時(shí)間是幾時(shí)？

分析：甲、乙距離是5*12=60（千米），趙的速度是60/10=6（千米），趙追

上李時(shí)走了（4*2）/（6-4）=4（小時(shí)），這時(shí)的時(shí)間是8+4=12（點(diǎn)）

分析2,趙晚走2小時(shí)，此時(shí)張已走出5*2=10千米，李走出4*2=8千米，

從上午8時(shí)到下午18：00時(shí)，共10個(gè)小時(shí)，趙、張同時(shí)到達(dá)乙地，趙每

小時(shí)比張多走10/10=1千米，那么趙比李每小時(shí)多走1+1=2千米，追上需要

8/2=4小時(shí)，即追上為12：00時(shí)。

答：趙追上李的時(shí)間是12時(shí)。

10、快、中、慢3輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個(gè)騎車

人。這3輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人。現(xiàn)在知道快車

每小時(shí)走24千米，中車每小時(shí)走20千米，那么，慢車每小時(shí)走多少千米？

分析：快車6分鐘行24*1000*6/60=2400（米），中車10分鐘行

20*1000*10/60=3333（1/3）（米）騎車人速度每分鐘行（3333（1/3）-

2400）/（10-6）=700/3（米）慢車12分鐘行2400-700/3*6+700/3*12=3800

(米)，每小時(shí)行3800/12*60=190000(米)=19(千米)

分析2,6分鐘快車追上騎車人時(shí)，中車與它們還相差6*(24-20)/60=0.4

千米，10分鐘時(shí)，中車又開了4*20/60=4/3千米，追上騎車人，說明騎車人

4分鐘騎了4/3-0.4=14/15千米，即騎車人速度=(14/15)*(60/4)=14千

米/小時(shí)，因?yàn)榭燔囉?分鐘追上騎車人，由此可知原本三輛汽車落后騎車人

6*(24-14)/60=1千米，12分鐘時(shí)，騎車人離三車出發(fā)點(diǎn)1+14*12/60=3.8

千米,所以，慢車速度=(3.8/12)*60=19千米/小時(shí)。

答：慢車每小時(shí)行19千米。

11、客車和貨車分別從甲、乙兩站同進(jìn)相向開出，第一次相遇在離甲站40千

米的地方，相遇后兩車仍以原速度繼續(xù)前進(jìn)?？蛙嚨竭_(dá)乙站、貨車達(dá)到甲站后

均立即返回，結(jié)果它們又在離乙站20千米的地方相遇。求甲、乙兩站之間的

距離。

分析：第一次相遇一共走了全程S,其中客車走40千米S+20=3*40,解得

S=100(千米)

第二次相遇兩車一共又走了3個(gè)全程2S,其中客車走(S+20)千米

所以

答：甲、乙兩站之間的距離是100千米。

12、甲、乙、丙是3個(gè)車站。乙站到甲、丙兩站的距離相等。小明和小強(qiáng)分別

從甲、丙兩站同時(shí)出發(fā)，機(jī)向而行。小明過乙站100米后與小強(qiáng)相遇，然后兩

人又繼續(xù)前進(jìn)。小明走到兩站立即返回，經(jīng)過乙站后300米又追上小強(qiáng)。問：

甲、丙兩站的距離是多少米？

分析:

第一次相遇，小明走：全程的一半+100米

從第一次相遇點(diǎn)再到追上小強(qiáng)時(shí)離乙站300米，300-100=200米，小明又走：

全程+20

0米，可知第二段距離是第一段距離的2倍。小強(qiáng)第二段也應(yīng)該走第一段的2

倍，100+300=400米，所以第一段走400/2=200米。乙丙距離=200+100=300

米，甲丙距離=2*300=600米。

答：甲、丙兩站距離是600米。

13、甲、乙兩地之間有一條公路。李明從甲地出發(fā)步行去乙地，同時(shí)張平從乙

地出發(fā)騎摩托車去甲地，80分鐘后兩人在途中相遇。張平到達(dá)甲地后馬上折

回乙地，在第一次相遇后又經(jīng)過20分鐘在途中追上李明。張平達(dá)到乙地后又

馬上折回甲地，這樣一直下去。問：當(dāng)李明到達(dá)乙在，張平共追上李明多少

次？

分析：設(shè)李20分鐘走1份距離，則80分鐘走4份

張20分鐘后追上李，李這時(shí)走了4+1份距離，張202分鐘走4+5=9份，所

以

速度比：李速度/張速度=1/9。李走完單程時(shí)張應(yīng)該走9個(gè)單程，追上的次數(shù)

是（9-1）/2=4（次）

答：當(dāng)李明到達(dá)乙地時(shí)，張平共追上李明4次。

14、甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)，在A,B之間不斷往返行駛。已知甲

車的速度是每小時(shí)15千米，乙車的速度是每小時(shí)35千米，并且甲、乙兩車

第三次相遇（兩車同時(shí)到達(dá)同一地點(diǎn)即稱相遇）的地點(diǎn)與第四次相遇的地點(diǎn)恰

好相距100千米，那么兩地之間的距離等于多少千米？

分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7,第三次相遇時(shí)兩車一共行駛5個(gè)AB,其中

甲行5*3/10=1（5/10）AB,第四次相遇時(shí)兩車一共行駛7個(gè)AB,其中甲行

7*3/10=2（1/10）AB,這兩點(diǎn)的距離是5/10-l/10=4/10AB=100（千米）所以

AB=100*10/4=250（千米）

答：兩地之間的距離是250千米。

15、兩名游泳運(yùn)動(dòng)員在長(zhǎng)為30米的游泳池里來回游泳，甲的速度是每秒游1

米，乙的速度是每秒游0.6米，他們同時(shí)分別從游泳池的兩端出發(fā)，來回共

游了5分鐘。如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，那么在這段時(shí)間內(nèi)兩人共相遇多少次？

分析：5分鐘兩人一共游了（1+0.6）*5*60=480米

第一次迎面相遇，兩人一共游了30米；以后兩人和起來每游2*30=60米，就

迎面相遇一次，480=30+60*7+30,迎面相遇了8次。甲比乙多游了（1-0.6）

*5*60=120米，甲第一次追上乙時(shí)，比乙多游30米；以后每多游2*30=60

米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30,甲一共追上乙2次兩人相遇次數(shù)

=8+2=10次。

分析2,甲的速度是每秒游1米，一個(gè)來回60秒=1分鐘，5分鐘共游了5

個(gè)來回；乙的速度是每秒游0.6米，一個(gè)來回100秒，5分鐘共游了

5*60/100=3個(gè)來回；畫圖很容易可以看出共相遇了幾次。

答：在這段時(shí)間內(nèi)兩人共相遇10次。

計(jì)算問題

多位數(shù)與小數(shù)講義

1.計(jì)算：1991+199.1+19.91+1.991.

解析:1991+199.1+19.91+1.991

=1991+9+199.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009)

=2000+200+20+2-9.999=2222-10+0.001=2212.001

2.計(jì)算:7142,854-3.74-2.7X1,7X0.7.

解析:7142.854-3.74-2.7X1.7X0.7=7142.854-374-27X17X7=7142.85X7

4-999X17=49999.954-999X17=50.05X17=850.85

3.光的速度是每秒30萬千米，太陽離地球1億5千萬千米.問：光從太陽到

地球要用幾分鐘？(答案保留一位小數(shù).)

解析：1500000009300000?60=150?3?6=50+6心8.33心8.3(分)光從太陽

到地球要用約8.3分鐘。

4.已知105.5+[(40+Q4-2.3)X0.5-1.53]+(53.6+26.8X0.125)=187.5,那

么口所代表的數(shù)是多少？解析：105.5+[(40+口+2.3)X0.5-1.53]4-(53.6

4-26.8X0.125)=105.5+(20+04-4.6-1.53)4-(2X26.84-26.8X0.125)

=105.5+(18.47+04-4.6)4-0.25=105.5+18.474-0.25+口+4.64-0.25

=105.5+73.88+Q4-1.15因?yàn)?05.5+73.88+Q4-1.15=187.5所以口=(187.5-

105.5-73.88)X1.15=8.12X1.15=8.12+0.812+0.406=9.338答:0=9.338

5.22.5-(DX32-24Xn)4-3.2=10在上面算式的兩個(gè)方框中填入相同的數(shù)，

使得等式成立。那么所填的數(shù)應(yīng)是多少？

解析：22.5-(0X32-24X0)4-3.2=22.5-QX(32-24)93.2=22.5-口X8

4-3.2=22.5-QX2.5因?yàn)?2.5-口X2.5=10,所以□X2.5=22.5T0,□

=(22.5-10)+2.5=5答:所填的數(shù)應(yīng)是5o

6.計(jì)算:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+-+0.99.

解析:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+-+0.99

=(0.1+0.9)X54-2+(0.11+0.99)X454-2=2.5+24.75=27.25

7.計(jì)算:37.5X21.5X0.112+35.5X12.5X0.112.

解析:37.5X21.5X0.112+35.5X12.5X0.112=0.112X(37.5X21.5+35.5X

12.5)=0.112X(12.5X3X21.5+35.5X12.5)=0.112X12.5X(3X

21.5+35.5)=0.112X12.5X100=1250X(0.1+0.01+0.002)=125+12.5+2.5

=140

8.計(jì)算：3.42X76.3+7.63X57.6+9.18X23.7.

解析:3.42X76.3+7.63X57.6+9.18X23.7=7.63X(34.2+57.6)+9.18X

23.7=7.63X91.8+91.8X2.37=(7.63+2.37)X91.8=10X91.8=918

9.計(jì)算:(32.8X91-16.4X92-1.75X656)9(0.2X0.2).

解析:(32.8X91-16.4X92-1.75X656)4-(0.2X0.2)=(16.4X2X91-16.4X

92-16.4X40X1.75)4-(0.2X0.2)=16.4X(182-92-70)4-(0.2X0.2)=16.4

X204-0.24-0.2=82X100=8200

10.計(jì)算:(2+3.15+5.87)X(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)X

(3.15+5.87).

解析:（2+3.15+5.87）X（3.15+5.87+7.32）-（2+3.15+5.87+7.32）X

（3.15+5.87）=（2+3.15+5.87）X（3.15+5.87+7.32）-2X（3.15+5.87）-

（3.15+5.87+7.32）X（3.15+5.87）=（3.15+5.87+7.32）X（2+3.15+5.87-3.15-

5.87）-2X（3.15+5.87）=（3.15+5.87+7.32）X2-2X（3.15+5.87）

=（3.15+5.87）X2+7.32X2-2X（3.15+5.87）=7.32X2=14.64

IL求和式3+33+333+…+33…3（10個(gè)3）計(jì)算結(jié)果的萬位數(shù)字.

解析：個(gè)位10個(gè)3相加，和為30,向十位進(jìn)3；十位9個(gè)3相加，和為

27,加上個(gè)位的進(jìn)位3得30,向百位進(jìn)3；百位8個(gè)3相加，和為24,

加上十位的進(jìn)位3得27,向千位進(jìn)2；千位7個(gè)3相加，和為21,加上

百位的進(jìn)位2得23,向萬位進(jìn)2；萬位6個(gè)3相加，和為18,加上千位

的進(jìn)位2得20,萬位得數(shù)是0o答：計(jì)算結(jié)果的萬位數(shù)字是0o

12.計(jì)算：19+199+1999+-+199-9（1999個(gè)9）.

解析:19+199+1999+…+199…9（1999個(gè)9）?（20-1）+（200-1）+（2000-1）+???

+（200…0（1999個(gè)0）-1）=22…20（1999個(gè)2）-1999X1=22-2（1996個(gè)

2）0221

13.算式99-9（1992個(gè)9）X99-9（1992個(gè)9）+199-9（1992個(gè)9）的

計(jì)算結(jié)果的末位有多少個(gè)零？

解析:99-9（1992個(gè)9）X99-9（1992個(gè)9）+199…9（1992個(gè)9）

=99-9（1992個(gè)9）X（100-0-1）（1992個(gè)0）+199…9（1992個(gè)9）

=99-9（1992個(gè)9）0（1992個(gè)0）-99-9（1992個(gè)9）+199--9（1992

個(gè)9）=99-9（1992個(gè)9）0（1992個(gè)0）+100--0（1992個(gè)0）=100-0

（3984個(gè)0）

14.計(jì)算:33-3（10個(gè)3）X66-6（10個(gè)6）.

解析：33—3（10個(gè)3）X66-6（10個(gè)6）=33—3（10個(gè)3）X3X22-2

（10個(gè)2）=99-9（10個(gè)9）X22-2（10個(gè)2）=（100-0（10個(gè)0）-

1）X22-2（10個(gè)2）=22-2（10個(gè)2）00-0（10個(gè)0）-22-2（10個(gè)

2）=22-2（9個(gè)2）177（9個(gè)7）8

15.求算式99-9（1994個(gè)9）X88-8（1994個(gè)8）4-66-6（1994個(gè)6）

的計(jì)算結(jié)果的各位數(shù)字之和.

解析：99-9（1994個(gè)9）X88-8（1994個(gè)8）4-66-6（1994個(gè)6）=9X

11-1（1994個(gè)1）X8X11-1（1994個(gè)1）4-64-11-1（1994個(gè)1）=9X

84-6X11-1（1994個(gè)1）

=12X11-1（1994個(gè)1）=（10+2）X11--1（1994個(gè)1）=11-1（1995個(gè)

1）+22-2（1994個(gè)1）=13333-3（1993個(gè)1）2各位數(shù)字之和=1+1993X

3+2=5982答：計(jì)算結(jié)果的各位數(shù)字之和5982o

組合問題

構(gòu)造與論證講義

1、有一把長(zhǎng)為9厘米的直尺，你能否在上面只標(biāo)出3條刻度線，使得用這把

直尺可以量出從1至9厘米中任意整數(shù)厘米的長(zhǎng)度？

分析：可以。（1）標(biāo)3條刻度線，刻上A,B,C厘米（都是大于1小于9

的整數(shù)），那么，A,B,C,9這4個(gè)數(shù)中，大減小兩兩之差,至多有6

個(gè)：9-A,9-B,9-C,C-A,C-B,B-A,加上這4個(gè)數(shù)本身，至多有10個(gè)不同

的數(shù)，有可能得到1到9這9個(gè)不同的數(shù)。（2）例如刻在1,2,6厘米

處，由1,2,6,9這4個(gè)數(shù)，以及任意2個(gè)的差，能夠得到從1到9之

間的所有整數(shù)：1,2,9-6=3,6-2=4,61=5,6,9-2=7,9-1=8,9。(3)除

1,2,6之外，還可以標(biāo)出1,4,7這3個(gè)刻度線：1,9-7=2,4-1=3,4,

9-4=5,7-1=6,7,9-1=8,9。另外，與1,2,6對(duì)稱的，標(biāo)出3,7,8；與

1,4,7對(duì)稱的，標(biāo)出2,5,8也是可以的。

2、一個(gè)三位數(shù)，如果它的每一位數(shù)字都不超過另一個(gè)三位數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)

字，那么就稱它被后下個(gè)三位數(shù)“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被

123吃掉(任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉)，但240和223互相都不能

被吃掉?，F(xiàn)請(qǐng)你設(shè)計(jì)6個(gè)三位數(shù)，它們當(dāng)中任何一個(gè)都不能被其它5個(gè)數(shù)吃

掉，并且它們的百位數(shù)字只允許取1,2,3,4o問這6個(gè)三位數(shù)分別是多

少？

分析：6個(gè)三位數(shù)都不能互吃，那么其中任意兩個(gè)數(shù)，都不能同時(shí)有2個(gè)數(shù)位

相同。由于百位只取1,2,十位只取1,2,3,所以，只能讓3個(gè)數(shù)百位是

1,另外3個(gè)數(shù)百位數(shù)是2?百位是1的3個(gè)數(shù)，分別配上十位1,2,3；

百位是2的3個(gè)數(shù)同樣。這樣先保證前兩位沒有完全一樣的。即：11*,

12*,13*,21*,22*,23*。11*最小，個(gè)位應(yīng)取取最大的，4,它要求另外5

個(gè)數(shù)個(gè)位均小于4。11412*較小，個(gè)位應(yīng)取3,它要求前兩位能吃12*的數(shù)，

個(gè)位小于3。1233*的數(shù)個(gè)位小于2013213*個(gè)位取2,就不能吃前兩數(shù)，同

時(shí)它要求前兩位能吃122*個(gè)位取2即可。22223*各位必須取1。231

21*較小，個(gè)位應(yīng)取3,才能不被23*和22*吃。213

所以這6個(gè)數(shù)是114,123,132,213,222,231。

3、盒子里放著紅、黃、綠3種顏色的鉛筆，并且規(guī)格也有3種：短的、中的

和長(zhǎng)的。已知盒子的鉛筆，3種顏色和3種規(guī)格都齊全。問是否一定能從中

選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規(guī)格上各不相同？

分析：如果能選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規(guī)格上各不相同，則這

3支筆必須包含紅、黃、綠，短、中、長(zhǎng)這6個(gè)因子，即不能有重復(fù)因子出

現(xiàn)。但是這種情況并不能保證出現(xiàn)。例如，盒子中有4種筆：紅短，黃短，綠

中，綠長(zhǎng)，3種顏色和3種規(guī)格都齊全，由于紅和黃只出現(xiàn)1次，必須選，

但是這時(shí)短已經(jīng)出現(xiàn)2次，必然無法滿足3支筆6個(gè)因子的要求。所以，不

一定能選出。

4、一個(gè)立方體的12條棱分別被染成白色和紅色，每個(gè)面上至少要有一條邊是

白色的，那么最少有多少條邊是白色的？

分析：立方體的12條棱位于它的6個(gè)面上，每條棱都是兩個(gè)相鄰面的公用

邊，因此至少有3條邊是白色的，就能保證每個(gè)面上至少有一條邊是白色。

如圖就是一種。

5、國(guó)際象棋的皇后可以沿橫線、豎線、斜線走，為了控制一個(gè)4X4的棋盤至

少要放幾個(gè)皇后？

分析：2X2棋盤，1個(gè)皇后放在任意一格均可控制2X2=4格；3X3棋盤，1

個(gè)皇后放在中心格里即可控制3X3=9格；4X4棋盤，中心在交點(diǎn)上，1個(gè)

皇后不能控制兩條對(duì)角線，還需要1個(gè)皇后放在拐角處控制邊上的格。所以至

少要放2個(gè)皇后。如圖所示。

6、在如圖10-1所示表格第二行的每個(gè)空格內(nèi)，填入一個(gè)整數(shù)，使它恰好表示

它上面的那個(gè)數(shù)字在第二行中出現(xiàn)的次數(shù)，那么第二行中的5個(gè)數(shù)字各是

幾？

分析：設(shè)第二行從左到右填入A,B,C,D,E,則A+B+C+D+E=5若E大于

0,如E=l,則B=l,A+C+D=3,小于4,矛盾，可得：E=0,A大于0小于

4；若D大于0,如D=l,則B大于0,因A大于0,則A和C無法填

寫，所以D=0,A必等于2；A=2,可知B+C=3,只有當(dāng)B=l,C=2時(shí)，

ABCDE=21200,符合要求。所以第二行的5個(gè)數(shù)字是2,1,2,0,0。

7、在100個(gè)人之間，消息的傳遞是通過電話進(jìn)行的，當(dāng)甲與乙兩個(gè)人通話

時(shí)，甲把他當(dāng)時(shí)所知道的信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴

甲。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得只需打電話196次，就可以使得每個(gè)人都知道其

他所有人的信息。

分析：給100個(gè)人分別編號(hào)1T00,他們知道的消息也編上相同的號(hào)碼。

(1)2-50號(hào)每人給1號(hào)打1次電話，共49次，1,50號(hào)得到1-50號(hào)消

息。同時(shí)，52-100號(hào)每人給51號(hào)打1次電話，共49次，51,100號(hào)得到

51-100號(hào)消息。(2)1號(hào)和51號(hào)通1次電話，50號(hào)和100號(hào)通1次

電話，這時(shí)1,50,51,100號(hào)這4個(gè)人都知道了1-100號(hào)消息。(3)2-

49號(hào)，52-99號(hào)，每人與1號(hào)(或者50,51,100號(hào)中的任意1人)通1

次話，這96人也全知道了1-100號(hào)消息。這個(gè)方案打電話次數(shù)一共是

(49+49)+2+96=196(次)。

8、有一張8X8的方格紙，每個(gè)方格都涂上紅、藍(lán)兩色之一。能否適當(dāng)涂色，

使得每個(gè)3X4小長(zhǎng)方形(不論橫豎)的12個(gè)方格中都恰有4個(gè)紅格和8

個(gè)藍(lán)格？

分析：能。3X4=12,有4紅8藍(lán)，即紅1藍(lán)2,橫豎方向都按這個(gè)規(guī)律染

成下圖的樣子。

9、桌上放有1993枚硬幣，第一次翻動(dòng)1993枚，第二次翻動(dòng)其中的1992

枚，第三次翻動(dòng)其中的1