第02講勾股定理逆定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①勾股定理逆定理②勾股數(shù)③勾股定理的應(yīng)用掌握勾股定理的逆定理內(nèi)容，并能夠熟練的運(yùn)用它來(lái)判斷直角三角形。掌握勾股數(shù)并能夠判斷勾股數(shù)。能夠在各類實(shí)際問(wèn)題中熟練應(yīng)用勾股定理。知識(shí)點(diǎn)01勾股定理逆定理勾股定理逆定理內(nèi)容：在△ABC中，如果三角形的三邊分別是且滿足，則該三角形一定是有一個(gè)直角三角形且∠C是直角。勾股定理的逆定理用于判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形。直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一個(gè)角是90°。③三角形中有兩個(gè)角之和為90°?！炯磳W(xué)即練1】1．以下列數(shù)據(jù)為長(zhǎng)度的線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C、12+（）2＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；D、（）2+32≠52，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．故選：C．【即學(xué)即練2】2．如圖，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）試說(shuō)明△ABC為直角三角形．（2）求CE的長(zhǎng)．【分析】（1）先計(jì)算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得結(jié)論；（2）設(shè)CE長(zhǎng)為xcm，則BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）證明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形．（2）解：設(shè)CE長(zhǎng)為xcm，則BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的長(zhǎng)為．知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)勾股數(shù)的定義：滿足勾股定理：即的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)。注意：①一定要滿足勾股定理；②一定要是正整數(shù)。常見(jiàn)的勾股數(shù)類型：基本勾股數(shù)：（3，4，5）（6，8，10）①倍數(shù)型勾股數(shù)：②奇數(shù)規(guī)律：滿足的三個(gè)正整數(shù)。（為奇數(shù)）③偶數(shù)規(guī)律：滿足的三個(gè)正整數(shù)。（為偶數(shù)）【即學(xué)即練1】3．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、，不是整數(shù)，不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；B、，，不是整數(shù)，不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；C、∵12+12≠22，∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；D、∵92+122＝152，∴能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意．故選：D．知識(shí)點(diǎn)03勾股定理的應(yīng)用勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】4．2023年7月五號(hào)臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國(guó)很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響．據(jù)報(bào)道，這是今年以來(lái)對(duì)我國(guó)影響最大的臺(tái)風(fēng)，風(fēng)力影響半徑250km（即以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，250km為半徑的圓形區(qū)域都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響）．如圖，線段BC是臺(tái)風(fēng)中心從C市移動(dòng)到B市的大致路線，A是某個(gè)大型農(nóng)場(chǎng)，且AB⊥AC．若A，C之間相距300km，A，B之間相距400km．（1）判斷農(nóng)場(chǎng)A是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為20km/h，則臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？【分析】（1）過(guò)A作AH⊥BC于H，由勾股定理得BC＝＝500（km），由三角形面積公式得到500AH＝300×400，求出AH＝240（km），由AH＜250km，判斷農(nóng)場(chǎng)A會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；（2）臺(tái)風(fēng)從點(diǎn)M開(kāi)始影響該農(nóng)場(chǎng)，到點(diǎn)N以后結(jié)束影響，連接AN，AM，得到AM＝AN＝250km，由勾股定理求出MH＝NH＝70（km），得到MN＝140（km），即可求出臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間．【解答】解：（1）農(nóng)場(chǎng)A會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，理由如下：過(guò)A作AH⊥BC于H，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝500（km），∵△ABC的面積＝BC?AH＝AB?AC，∴500AH＝300×400，∴AH＝240（km），∵AH＜250km，∴農(nóng)場(chǎng)A會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；（2）如圖，臺(tái)風(fēng)從點(diǎn)M開(kāi)始影響該農(nóng)場(chǎng)，到點(diǎn)N以后結(jié)束影響，連接AN，AM，∴AM＝AN＝250km，∵AM＝AN，AH⊥BC，∴MH＝NH，由勾股定理得：MH＝NH＝＝70（km），∴MN＝2×70＝140（km），∵臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為20km/h，∴臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間是140÷20＝7（小時(shí)）．題型01判定直角三角形【典例1】已知a，b，c是△ABC的三邊，下列條件中，能夠判斷△ABC為直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠B＝2∠C C．a(chǎn)：b：c＝2：2：3 D．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【解答】解：A、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，故不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；B、由∠A＝∠B＝2∠C，可得∠A＝72°、∠B＝72°、∠C＝36°，故不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；C、由a：b：c＝2：2：3，可設(shè)a＝2k，b＝2k，c＝3k，那么c2≠a2+b2，故不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；D、由a＝1，b＝2，c＝，可得b2＝a2+c2，故能判斷△ABC是直角三角形，符合題意；故選：D．【變式1】下列四條線段不能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝8，b＝15，c＝17 B．a(chǎn)＝9，b＝12，c＝15 C．a(chǎn)＝，b＝，c＝ D．a(chǎn)：b：c＝2：3：4【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：A、因?yàn)?2+152＝172，故A能組成直角三角形；B、因?yàn)?2+122＝152，故B能組成直角三角形；C、因?yàn)椋ǎ?+（）2＝（）2，故C能組成直角三角形；D、不滿足勾股定理的逆定理，故D不能組成直角三角形．故選：D．【變式2】△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷A和B；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷C和D．【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵a＝5，b＝12，c＝13，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴最大角∠C＝×180°≠90°，∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式3】若△ABC的三邊分別是a，b，c，則下列條件能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6 D．a(chǎn)＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0）【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A、B是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A＝∠B＝2∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，解得：∠C＝36°，∴∠A＝∠B＝72°，此時(shí)△ABC不是直角三角形，不符合題意；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴最大角為，此時(shí)△ABC不是直角三角形，不符合題意；C、當(dāng)a＝4，b＝5，c＝6時(shí)，a2+b2＝16+25＝41，c2＝36，∴a2+b2≠c2，此時(shí)△ABC不是直角三角形，不符合題意；D、∵a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0），∴c2﹣a2＝（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）＝4m2n2＝（2mn）2＝b2，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，符合題意．故選：D．題型02勾股定理逆定理的應(yīng)用【典例1】若一個(gè)三角形的三邊分別是7，24，25，則它的面積是（）A．84 B．87.5 C．168 D．300【分析】先根據(jù)勾股定理逆定理證明三角形是直角三角形，再利用面積公式求解即可【解答】解：∵72+242＝252，∴這個(gè)三角形是直角三角形，∴面積為：．故選：A．【變式1】如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，點(diǎn)O是三條角平分線的交點(diǎn)，則△BOC的BC邊上的高是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE＝OF＝OD，設(shè)OE＝x，然后利用三角形面積公式得到S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，于是可得到關(guān)于x的方程，從而可得到OF的長(zhǎng)度．【解答】解：過(guò)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，在△ABC中，BC＝4，CA＝3，AB＝5，∴△ABC是直角三角形，∵點(diǎn)O為△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，∴OE＝OF＝OD，設(shè)OE＝x，∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，∴×4×3＝OD×5+OE×3+OF×4，∴5x+3x+4x＝12，∴x＝1，∴點(diǎn)O到BC的距離等于1．即△BOC的BC邊上的高是1，故選：A．【變式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，試問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，△ABP為直角三角形．【分析】當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的t值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝132﹣52＝12，∴BC＝12（cm），由題意知BP＝2tcm，①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP＝BC＝12cm，即2t＝12，t＝6；②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣12）cm，AC＝5cm，在Rt△ACP中，AP2＝52+（2t﹣12）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：132+[52+（2t﹣12）2]＝（2t）2，解得：t＝，故當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t＝6或t＝．【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．（1）求證：△ACD是直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC＝2AB＝6，根據(jù)跟勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到BC＝3，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，∴AC＝2AB＝6，在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10，∵82+62＝102，即AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形；（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝3，∴Rt△ABC的面積為?AB?BC＝×3×3＝，又∵Rt△ACD的面積為?AC?CD＝×8×6＝24，∴四邊形ABCD的面積為：+24．題型03勾股數(shù)及其求值【典例1】下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．2，4，6 B．1，，2 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．【解答】解：A、22+42≠62，不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；B、不是整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；C、82+152＝172，能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意；D、0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；故選：C．【變式1】勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù)，則下列各組數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義解答即可．【解答】解：A、，，這三個(gè)數(shù)不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；B、，，這三個(gè)數(shù)不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵52+152＝25+225＝250≠202，∴5，15，20這三個(gè)數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵92+402＝81+1600＝1681＝412，∴9，40，41這三個(gè)數(shù)是勾股數(shù)，符合題意．故選：D．【變式2】給出下列四個(gè)說(shuō)法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，所以以0.3，0.4，0.5為邊長(zhǎng)的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股數(shù)；③若a，b，c是勾股數(shù)，且c最大，則一定有a2+b2＝c2；④若三個(gè)整數(shù)a，b，c是直角三角形的三邊長(zhǎng)，則2a，2b，2c一定是勾股數(shù)，其中正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解答】解：①由于0.32+0.42＝0.52，所以以0.3，0.4，0.5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，所以0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，故①說(shuō)法錯(cuò)誤；②雖然以0.5，1.2，1.3為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整數(shù)，所以0.5，1.2，1.3不是勾股數(shù)，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；③若a，b，c是勾股數(shù)，且c最大，則一定有a2+b2＝c2，故③說(shuō)法正確；④若三個(gè)整數(shù)a，b，c是直角三角形的三邊長(zhǎng)，則2a，2b，2c一定是勾股數(shù)，故④說(shuō)法正確．故選：C．【典例2】若3，a，5是一組勾股數(shù)，則a的值為（）A． B．4 C．或4 D．2【分析】滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，依此得到a．【解答】解：∵3，a，5是勾股數(shù)，∴a＝＝4，或a＝＝（舍去）．故選：B．【變式1】若6，8，a是一組勾股數(shù)，則a的值為（）A． B．10 C．或10 D．7【分析】分a為最長(zhǎng)邊，8為最長(zhǎng)邊兩種情況討論，根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解答】解：①8為最長(zhǎng)邊，a＝＝4，不是正整數(shù)，不符合題意；②a為最長(zhǎng)邊，a＝＝10，三邊是整數(shù)，能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意．故選：B．【變式2】已知一組勾股數(shù)中的兩個(gè)數(shù)分別是3和4，那么第三個(gè)數(shù)是（）A．5 B．5或 C． D．7【分析】設(shè)第三個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意分兩種情況考慮①當(dāng)x為斜邊時(shí)，有32+42＝x2，②當(dāng)x為直角邊時(shí)，有32+x2＝42，分別解出x，再根據(jù)勾股數(shù)的定義判斷即可，勾股數(shù)即為可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)．【解答】解：設(shè)第三個(gè)數(shù)為x，分兩種情況，①當(dāng)x為斜邊時(shí)，32+42＝x2，∴x＝5；②當(dāng)x為直角邊時(shí)，32+x2＝42∴（不符合勾股數(shù)的定義，舍去）；故選：A．題型04勾股數(shù)的證明【典例1】（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可判斷3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是不是一組勾股數(shù)；（2）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可判斷ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是不是一組勾股數(shù)．【解答】證明：（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由如下：∵k是正整數(shù)，∴3k，4k，5k都是正整數(shù)，∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)；（2）ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由如下：∵a，b，c是一組勾股數(shù)，且k是正整數(shù)，∴ak，bk，ck是三個(gè)正整數(shù)，∵a2+b2＝c2，∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2，∴ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)．【變式1】當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)．如：3，4，5都是正整數(shù)，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股數(shù)．（1）當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股數(shù)，說(shuō)明理由；（2）當(dāng)n是大于1的奇數(shù)時(shí)，若，x是勾股數(shù)，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示）【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)勾股數(shù)解答即可．【解答】解：（1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股數(shù)，理由：∵（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股數(shù)；（2）∵，x是勾股數(shù)，且x＞n，x＞，∴x2＝n2+（）2＝n2+＝＝，∴x＝．題型05勾股定理的實(shí)際應(yīng)用【典例1】如圖，從電線桿離地面6米處向地面拉一條10米長(zhǎng)的鋼纜，地面鋼纜固定點(diǎn)A到電線桿底部B的距離AB是（）米．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】從題意可知，電線桿，鋼纜和固定點(diǎn)A到電線桿底部B的線段，構(gòu)成了直角三角形，鋼纜是斜邊，根據(jù)勾股定理可求出解．【解答】解：∵鋼纜是電線桿，鋼纜，線段AB構(gòu)成的直角三角形的斜邊，又∵鋼纜長(zhǎng)度為10米，從電線桿到鋼纜的上端為6米，∴（米），故選：C．【變式1】如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，同理可得出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．故選：A．【變式2】勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，當(dāng)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推4m至C處時(shí)（即水平距離CD＝4m），踏板離地的垂直高度CF＝3m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長(zhǎng)是（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】設(shè)AC的長(zhǎng)為x，則AB＝AC＝xm，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．【解答】解：由題意可知，CF＝3m，BE＝1m，∴BD＝2m．設(shè)AC的長(zhǎng)為xm，則AB＝AC＝x（m），所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得：x＝5．故選：B．【變式3】圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測(cè)得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°），通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)．【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴BC⊥CD．故該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)．【變式4】如圖，一架25m長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)梯子的底部B到墻底端C的距離為7m．（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的底部B在水平方向滑動(dòng)了8m至D，那么梯子的頂端A沿墻垂直也下滑了8m嗎？【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理，求出EC即可解答．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：AB＝25，BC＝7，∴AC＝＝24（m），答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24m；（2）梯子的頂端A沿墻垂直不是下滑了8m，∵BC＝7，BD＝8，∴CD＝15m，∴CE＝＝20（m），∴AE＝AC﹣CE＝24﹣20＝4（m），∴梯子的頂端A沿墻垂直也下滑了4m．【變式5】某實(shí)踐探究小組在放風(fēng)箏時(shí)想測(cè)量風(fēng)箏離地面的垂直高度，通過(guò)勘測(cè)，得到如下記錄表：測(cè)量示意圖測(cè)量數(shù)據(jù)邊的長(zhǎng)度①測(cè)得水平距離BC的長(zhǎng)為15米．②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線AB的長(zhǎng)為17米．③小明牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.7米．?dāng)?shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析，他們發(fā)現(xiàn)根據(jù)勘測(cè)組的全部數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出風(fēng)箏離地面的垂直高度AD．請(qǐng)完成以下任務(wù)．（1）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求線段AD的長(zhǎng)．（2）如果小明想要風(fēng)箏沿DA方向再上升12米，BC長(zhǎng)度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC，進(jìn)而求出AD；（2）先根據(jù)勾股定理求出風(fēng)箏線的長(zhǎng)，再根據(jù)題意計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，由勾股定理得：AC＝＝＝8，則AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7；（2）風(fēng)箏沿DA方向再上升12米后，風(fēng)箏的高度為20米，則此時(shí)風(fēng)箏線的長(zhǎng)為：＝25（米），25﹣17＝8（米），答：他應(yīng)該再放出8米線．1．下列線段能組成直角三角形的一組是（）A．1，2，2 B．3，4，5 C．，2， D．5，6，7【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形．【解答】解：A、∵12+22≠22，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能組成直角三角形；B、∵32+42＝52，∴該三角形符合勾股定理的逆定理，故能組成直角三角形；C、∵（）2+22≠（）2，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能組成直角三角形；D、∵52+62≠72，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能組成直角三角形．故選：B．2．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4 C．6，8，10 D．32，42，52【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解答】解：A、32+42≠72，不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；B、0.5，1.2，1.4都不是正整數(shù)，不合題意；C、62+82＝102，符合勾股數(shù)的定義，符合題意；D、32+42≠52，不能構(gòu)成直角三角形，不合題意．故選：C．3．下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C C．AB：BC：AC＝1：2： D．AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、根據(jù)∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝×180°＝75°，△ABC是銳角三角形，符合題意；B、∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，能夠判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；C、∵AB：BC：AC＝1：2：，12+（）2＝4＝22，符合勾股定理的逆定理，能夠判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；D、由AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5得，AB2+BC2＝AC2，符合勾股定理的逆定理，能夠判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；故選：A．4．若3、4、a為勾股數(shù)，則a的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或 D．5或【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)求解即可．【解答】解：∵3、4、a為勾股數(shù)，∴當(dāng)a最大時(shí)，此時(shí)a＝＝5，當(dāng)4時(shí)最大時(shí)，a＝＝，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故選：B．5．如圖1，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹(shù)頂落在離樹(shù)根12米處，圖2是這棵大樹(shù)折斷的示意圖，則這棵大樹(shù)在折斷之前的高是（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【分析】利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)大樹(shù)在折斷之前的高是xm，由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，解得：x＝18或x＝﹣8（不符合題意，舍去），∴大樹(shù)在折斷之前的高是18m；故選：B．6．如圖，在四邊形ABCD中，，BC＝2，CD＝1，，且∠BCD＝90°，則四邊形ABCD的面積為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠ABD＝90°，根據(jù)三角形的面積公式分別求出△ABD和△BCD的面積，即可得出答案．【解答】解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝＝，∵，BD＝，，∴AB2+BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，∴四邊形ABCD的面積：S＝S△ABD+S△BCD＝AB?BD+BC?CD＝××+×2×1＝+1．故選：A．7．如圖，將一根長(zhǎng)24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度是為hcm，則h的取值范圍是（）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖所示：AB＝＝＝13cm，故h＝24﹣13＝11cm．故h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：C．8．如圖，為了測(cè)量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A，B，C三點(diǎn)，且A，D，E，C四點(diǎn)在同一條直線上，∠C＝90°，已測(cè)得AB＝100m，BC＝60m，AD＝20m，EC＝10m，則池塘的寬度DE是（）A．80m B．60m C．50m D．40m【分析】根據(jù)已知條件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，用AC減去AD、CE求得DE即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝100m，BC＝60m，∴AC＝＝＝80（m），∴DE＝AC﹣AD﹣EC＝80﹣20﹣10＝50（m），∴池塘的寬度DE為50米．故選：C．9．山西地形較為復(fù)雜，境內(nèi)有山地、丘陵、高原、盆地、臺(tái)地等多種地貌類型，整個(gè)地貌是被黃土廣泛覆蓋的山地型高原．如圖，在A村與B村之間有一座大山，原來(lái)從A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）繞過(guò)村莊間的大山，打通A，B間的隧道后，就可直接從A村到B村．已知AC＝9km，BC＝12km，那么打通隧道后從A村到B村比原來(lái)減少的路程為（）A．7km B．6km C．5km D．2km【分析】由勾股定理求出AB＝＝15（km），因此AC+BC﹣AB＝6（km），即可得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝9km，BC＝12km，∴AB＝＝15（km），∴AC+BC﹣AB＝9+12﹣15＝6（km），∴從A村到B村比原來(lái)減少的路程為6km．故選：B．10．邊長(zhǎng)為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）A．90° B．150° C．135° D．120°【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝5﹣x，由勾股定理得72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，得出CD＝4，則CD＝AC，再證∠CAD＝30°，則∠C＝60°，然后由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：如圖，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝5﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，故選：D．11．若△ABC的三邊a，b，c滿足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，則△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形．【分析】因?yàn)閍，b，c為三邊，根據(jù)（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，可找到這三邊的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2．當(dāng)只有a＝b成立時(shí)，是等腰三角形．當(dāng)只有第二個(gè)條件成立時(shí)：是直角三角形．當(dāng)兩個(gè)條件都成立時(shí)：是等腰直角三角形．綜上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形．12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，AB＝17，AD平分∠CAB，則△ABD的面積為40.8．【分析】過(guò)D作DP⊥AB于P，證明△ABC為直角三角形，再利用角平分線的性質(zhì)定理得出CD＝DP，然后利用等面積法求出DP，即可求得△ABD的面積．【解答】解：如圖，作DP⊥AB于P．∵AC＝8，BC＝15，AB＝17，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，即DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DP⊥AB，∴DC＝DP，設(shè)DC＝DP＝x，∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，∴，即AC?BC＝AC?DC+AB?DP，∴15×8＝8x+17x，∴x＝4.8，∴．故答案為：40.8．13．如圖，長(zhǎng)方體盒內(nèi)長(zhǎng)、寬、高分別是8cm、6cm、，盒內(nèi)可放木棒最長(zhǎng)的長(zhǎng)度是11cm．【分析】?jī)纱芜\(yùn)用勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可解決．【解答】解：長(zhǎng)和寬組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為．這根最長(zhǎng)的棍子和矩形的高，以及長(zhǎng)和寬組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線組成了直角三角形．盒內(nèi)可放木棒最長(zhǎng)的長(zhǎng)度是．故答案為：11cm．14．如圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)25米，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為7米，梯子滑動(dòng)后停在DE上的位置上，如圖，測(cè)得AE的長(zhǎng)4米，則梯子底端B向右滑動(dòng)了8米．【分析】由勾得到股定理求出AC