教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期秋季課題等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）教科書書名：數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)教材出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合等差數(shù)列的特征，探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法.會(huì)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單問題.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法.教學(xué)難點(diǎn)：為了避免對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶討論，從“首尾相加”到“倒序相加”的轉(zhuǎn)化.教學(xué)過程新課引入高斯小故事：很多同學(xué)都聽說過這樣一個(gè)故事，二百多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐個(gè)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：這是個(gè)等差數(shù)列求前100項(xiàng)和的問題.思考：1.高斯的求和方法，利用了等差數(shù)列怎樣的性質(zhì)？2.我們能參考高斯求數(shù)列和的方法，推導(dǎo)等差數(shù)列中的公式嗎？設(shè)數(shù)列，那么高斯在計(jì)算中利用了高斯的計(jì)算方法可以表示為等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，使不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)的求和，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算.將上述方法推廣到一般，可以得到：當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，有于是有當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有所以，對(duì)任意正整數(shù)都有思考：我們發(fā)現(xiàn)，在求前個(gè)正整數(shù)的和時(shí)，要對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，比較麻煩.能否設(shè)法避免分類討論？如果對(duì)公式做變形，可得相當(dāng)于兩個(gè)相加，結(jié)果變成個(gè)相加.受此啟發(fā)，我們得到下面的方法：將上述兩式相加，可得所以.探究：上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列的前項(xiàng)和嗎？公式推導(dǎo)對(duì)于等差數(shù)列，因?yàn)?，由上述方法得到啟示，我們用兩種方式表示：兩式相加，得由此得到等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式（1）把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，可得（2）思考：不從公式（1）出發(fā)，你能用其他方法得到公式（2）嗎？公式應(yīng)用已知數(shù)列是等差數(shù)列.若求；若求；若求.設(shè)計(jì)意圖：熟悉等差數(shù)列前項(xiàng)和公式；熟練等差等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與等差數(shù)列基本量之間的關(guān)系.已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是以為變量的函數(shù)關(guān)系，從函數(shù)視角看等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，公式中含有和兩個(gè)參數(shù).給定兩個(gè)相互獨(dú)立的條件，這個(gè)數(shù)列就完全確定.逆向探究將等差數(shù)列前項(xiàng)和公式變形，可以得到即，的形式.探究1.若數(shù)列的前項(xiàng)和公式，則數(shù)列是不是等差數(shù)列？探究2.若數(shù)列的前項(xiàng)和公式，則數(shù)列是不是等差數(shù)列？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解等差數(shù)列前項(xiàng)和也是關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，并能夠進(jìn)一步明確其函數(shù)關(guān)系的性質(zhì)特征.應(yīng)用練習(xí)在等差數(shù)列中.已知，，求.已知，，求.已知，，求.已知，，，求和.解：（1）.（2）.（3）設(shè)，由，可得解得所以.（4）由解得.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟悉等差數(shù)列前項(xiàng)和的多種公式形式，并從函數(shù)視角理解等差數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式與各基本量之間的關(guān)系.小結(jié)倒序相加法求和的適用情境等差數(shù)列的前項(xiàng)和的各種形式等差數(shù)列的前項(xiàng)和的各種不同形式所強(qiáng)調(diào)的等差數(shù)列的基本量或函數(shù)特布置作業(yè)完成作業(yè)練習(xí).備注：教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)至少含教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程等三個(gè)部分，如有其它內(nèi)容，可自行補(bǔ)充增加。

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期秋季課題等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第二課時(shí)）教科書書名：數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)教材出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學(xué)目標(biāo)1. 應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求解實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單問題.2. 會(huì)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式研究等差數(shù)列的一些性質(zhì).教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式探究等差數(shù)列的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)求解相關(guān)問題.教學(xué)過程復(fù)習(xí)回顧等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式典例解析某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位.問第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位.解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)構(gòu)成數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.根據(jù)題意，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，且.由公式可得因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位.設(shè)計(jì)說明：結(jié)合實(shí)際問題，抽象出等差數(shù)列中的基本量，恰當(dāng)選擇等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求解等差數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)而解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).例2.（1）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則____________.（2）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，公差，則是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，思考：你能由此得到等差數(shù)列中的一般性結(jié)論嗎？（2）解法1：因?yàn)樗?，?dāng)n取最接近的整數(shù)即5或6時(shí)，最大，最大值為30.解法2：由，得，所以是單調(diào)遞減數(shù)列.又由，可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.也就是說，當(dāng)或時(shí)，最大，最大值為30.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)，在不同情境下，對(duì)公式應(yīng)用的不同選擇.從不同視角看等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.應(yīng)用練習(xí)練習(xí)1.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100，則它的前項(xiàng)和為多少？分析：已知，求變量太多，不利于運(yùn)算求解；已知，求利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以求得.思考：你能由此得到等差數(shù)列中的一般性結(jié)論嗎？是等差數(shù)列.已知，求聯(lián)立方程，解得，進(jìn)而求得.思考：你能由此