三角形內(nèi)角和與發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、研究的精神及方法的關(guān)系在這里，我舉最簡單的例子試加以說明。一般的幾何書中，都載有“三角形內(nèi)角和”的內(nèi)容，但都是先給出定理：“三角形內(nèi)角和為二直角”，然后才給出證明。像這樣處理，就只能讓學(xué)生知道：（1）三角形內(nèi)角和為二直角；（2）這個命題確實是正確的。可是卻全然不能使學(xué)生學(xué)到對事物的研究的態(tài)度，研究的方法，發(fā)明、發(fā)現(xiàn)的方法等等。我學(xué)習(xí)幾何時，就是按這樣的方式學(xué)的。這樣，縱然是學(xué)得了幾何學(xué)的知識，但卻完全不能知道研究的方法、發(fā)現(xiàn)的方法等，就更談不上啟發(fā)培養(yǎng)能勝任研究、發(fā)現(xiàn)的內(nèi)在素質(zhì)了。1.講授法則的發(fā)現(xiàn)方法的例子（1）指出目的三角形的內(nèi)角和定理，只是研究、發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，所以，一開始不要急于抬出這個結(jié)論來，而只是指出，“我們現(xiàn)在要考察三角形內(nèi)角和是多少的問題”，點明我們的目的。（2）教示發(fā)現(xiàn)的方法首先，讓學(xué)生們各自畫一個三角形，并用量角器量出各個角的度數(shù)，然后求出它們的和。這時，教師應(yīng)詳細(xì)地告訴學(xué)生具體的作法以及注意之點，即要用盡可能尖的鉛筆來畫三角形，測量要盡可能精密。粗糙的實驗是不足憑信的，本來，教育的目的就是培養(yǎng)人，而學(xué)校教育是教育的一種手段，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既然可以作試驗，當(dāng)然就應(yīng)對實驗給予重視，做到盡量準(zhǔn)確，而且也必須是這樣。我曾到中等學(xué)校觀摩了幾次數(shù)學(xué)課的教學(xué)，但沒有一個教師是充分重視的，索性采取與此相反的態(tài)度的教師，卻不乏其人。他們叫學(xué)生畫出三角形并求其內(nèi)角和，卻在有的學(xué)生連三角形都未畫好的很短的時間后，就要讓學(xué)生講出自己的結(jié)果，這樣作會使學(xué)生養(yǎng)成粗心大意的壞習(xí)慣。（3）留出實驗所需的適當(dāng)?shù)臅r間，然后再問學(xué)生實驗的結(jié)果這時，回答“為180°”的學(xué)生可能最多，而回答為179°或181°或比179°稍大一點，比181°稍小一點的也會有。這時，教師要綜合各種結(jié)果，并向大家說明：像這樣得到的答案，多少總有一點差別，這是采用實驗的方法的不足之處。粗糙的實驗會使誤差增大，故應(yīng)盡可能精確地做好實驗，實驗越精確，所得的結(jié)果就越接近180°。要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：雖然并未準(zhǔn)確地知道結(jié)果，但由以上實驗，可推測三角形內(nèi)角和可能為二直角。在我所觀摩的教學(xué)中，有的教師，在多數(shù)學(xué)生回答“為180°7′時，就立即說“是的，三角形內(nèi)角和為180°，現(xiàn)在我們就證明這一點”，于是就動手證起來，這種作法是根本錯誤的，即是說，若僅由上面的實驗就能發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和為180°的話，那就沒有必要證明它了。教師如果采用這種錯誤的作法，學(xué)生就會產(chǎn)生疑問：既然憑借實驗就知道了三角形內(nèi)角和為180°，還有什么必要進(jìn)一步證明這個結(jié)論呢？同時，也容易使學(xué)生造成數(shù)學(xué)是一門奇怪的學(xué)科的印象。所以，這時數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分地向?qū)W生說明“實驗和證明的關(guān)系”以及“為了發(fā)現(xiàn)某個事物，兩者都是必要的理由”、“只有兩者結(jié)合，才能成為一個完整的發(fā)現(xiàn)的理由”。（4）說明要發(fā)現(xiàn)一個數(shù)學(xué)定理，實驗和證明兩者都需要的理由（a）.僅用實驗來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理，還是不充分的理由：（i）用儀器畫出的直線，無論多么細(xì)總有一定的寬度，因而就不是幾何學(xué)中的直線（只是近似于幾何學(xué)中的直線）；（ii）量角器的刻度和讀出度數(shù)的視力，總有一個限度，無論多么精巧的儀器，即使利用顯微鏡這樣的放大裝置，1/1000秒以下的角就無法測量了。所以，用實驗所得的結(jié)果，無論實驗多么精密，都不是完全準(zhǔn)確的；（iii）即使是實驗的結(jié)果都準(zhǔn)確，但經(jīng)過實測的三角形的數(shù)目，只不過是一個班學(xué)生的人數(shù)，即是這些三角形內(nèi)角和都為180°，但尚未實測的那些三角形內(nèi)角和為多少呢？還是不知道的。因為形狀和大小不同的三角形有無窮多個，所以無論如何也不可能將這無窮多個三角形全部進(jìn)行實測。故要用實驗來決定一切三角形的內(nèi)角和為多少，是不可能的，因而，就有必要給出數(shù)學(xué)證明。（b）.僅用證明不能作出數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)的說明：也許有人會認(rèn)為，“既然數(shù)學(xué)證明能對一切三角形明確地判斷這個結(jié)論是否真，那么，只要用證明就夠了，又何需作實驗?zāi)兀俊边@種觀點是錯誤的，證明是用來判斷問題是否正確，但必須首先提出問題，而提供了問題的，正是實驗。即，根據(jù)實驗，幾十個三角形的內(nèi)角和都各自大約為180°，于是自然會提出這樣的問題：“是否可以說，任意三角形的內(nèi)角和都為180°呢？”證明就是用來確定這個新問題正確與否的，簡言之，實驗使我們能對事物的真象作一個大概的推測，而證明則是判斷該推測是否正確。所以，實驗和證明二者相互結(jié)合，才能完成數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)，在此過程中，二者都不可缺少。（5）證明方法的發(fā)現(xiàn)下面，我們敘述不用量角器也能知道三角形內(nèi)角和大約為180°的實驗方法。此法也是根據(jù)一種很自然的想法而提出的，同時，它還給出了發(fā)現(xiàn)證明方法的提示。該想法的要點如下：因為要求的是三角形的內(nèi)角和，故把角A和角B從三角形上截取下來，且將它們并排在角C所在之處，再求這三個角的和，今在一張紙片上畫出△ABC，并用剪刀把甲、乙剪下來，分別置于甲’、乙’的位置，這樣，三角形的三個內(nèi)角就以C為頂點而并排在一起了?？梢钥闯觯鼈兊暮痛篌w上與通過C的直線重合。而直線上的角（平角）為180°是已知的，于是可知三角形內(nèi)角和大約為180°。根據(jù)這個事實，我們可以設(shè)法嚴(yán)格證明任意三角形內(nèi)角和確為180°。添輔助線的方法顯然，圖23中的∠ACD只不過是將∠BAC的頂點移到C點的角，故兩者相等。這樣，就是直線AB、CD截直線AC，所得的內(nèi)錯角相等。于是，讓學(xué)生考慮，這時直線AB和CD的位置有什么關(guān)系。要認(rèn)真回憶迄今學(xué)過的定理，多數(shù)學(xué)生都會注意到“兩直線平行”的事實。像這樣做，能使學(xué)生理解引輔助線的思想，只要能抓住引這條輔助線的思想，就能立即得出本定理的證明了。本定理的證明，證明方法的構(gòu)想只要把前述的實驗方法與添輔助線的設(shè)想綜合起來，就能立即得到本定理的證明。證明延長任一△ABC的一邊BC，由C點作AB的平行線CD，于是，∠A=∠ACD（由平行線定理），∠B=∠DCE（出平行線定理），∴∠A+∠B+∠C=∠ACD+∠DCE+∠BCA=平角BCE=2∠R（6）應(yīng)用精神的培養(yǎng)問題1利用三角形內(nèi)角和定理求四邊形（凸四邊形）的內(nèi)角和（這時，要告訴學(xué)生凸四邊形的含義）。這時，如果直接說“試求四邊形內(nèi)角和”，那么，可能許多學(xué)生都會感到茫然而不知所措，但若提示學(xué)生利用三角形內(nèi)角和定理，可能大多數(shù)學(xué)生都會想到把四邊形分成一些三角形來求。這樣，就會想到用對角線把四邊形分成兩個三角形，由此立即得到“四邊形內(nèi)角和等于180°的兩倍，即360°或4倍直角”的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)定理的兩大方法由前面的定理和問題，我們得到了發(fā)現(xiàn)定理的兩大方法。（i）用實驗的方法；（ii）不用實驗，而是應(yīng)用已知的定理，通過推理而發(fā)現(xiàn)定理的方法。一種思考的法則問題2試求凸五邊形的內(nèi)角和。這次，恐怕不需要任何提示，學(xué)生都會根據(jù)問題1的思考方法，將五邊形分成幾個三角形，或者將五邊形分成四邊形和三角形，總之，大概大家都已領(lǐng)會了應(yīng)用已知的事實去解決新的問題這樣一種思想方法。由此看來，“為了解決復(fù)雜的新問題，只要設(shè)法把它歸結(jié)為已知的簡單情形就可以了”，這是解決問題的一種重要方法，在初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中，許多地方屢次用到這個方法。此外，在解決數(shù)學(xué)以外的問題時，在籌劃發(fā)明發(fā)現(xiàn)新事物時，也再三用到這個方法，并且常常是很見效的，故應(yīng)使學(xué)生牢銘記這個極其重要的方法。（i）用兩條對角線，把五邊形分成三個三角形。這個五邊形的內(nèi)角和=三個三角形的內(nèi)角和=180°的3倍=6直角。（ii）用一條對角線把五邊形分成四邊形和三角形。這個五邊形的內(nèi)角和=四邊形的內(nèi)角和十三角形的內(nèi)角和=4直角+2直角=6直角問題3作為練習(xí)，試求凸六邊形的內(nèi)角和。同時，這也可以作為“區(qū)分場合”的練習(xí)。（i）用三條對角線，把六邊形分成4個三角形。這個六邊形的內(nèi)角和=4個三角形的內(nèi)角和=2直角的4倍=8直角。（ii）用兩條對角線把六邊形分為1個四邊形和2個三角形這個六邊形的內(nèi)角和=2個三角形的內(nèi)角和+1個四邊形的內(nèi)角和=2直角的2倍+4直角=8直角。（iii）用一條對角線把六邊形分為1個五邊形和1個三角形。這個六邊形的內(nèi)角和=1個五邊形的內(nèi)角和+1個三角形的內(nèi)角和=6直角+2直角=8直角。（iv）用一條對角線，把六邊形分為2個四邊形。這個六邊形的內(nèi)角和=2個四邊形的內(nèi)角和=4直角的2倍=8直角。區(qū)分場合時的注意事項因為這時包含了多種場合，故可利用這個機(jī)會，作為區(qū)分出全部場合的練習(xí)，而為了要區(qū)分出一切場合，就要根據(jù)問題而確定一個區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)，按照這個標(biāo)準(zhǔn)，必須做到無一遺漏地包含一切場合。上面例子中，是以對角線的條數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的，分為有一條對角線、二條對角線、三條對角線的場合，并且進(jìn)一步，對每種場合，還區(qū)分出了可能出現(xiàn)的一切情形。應(yīng)養(yǎng)成一種好的習(xí)慣，在解決某個問題有種種不同的方法時，要考慮各種方法的優(yōu)劣、利弊。如上面所述，要解決問題3，用（i）、（ii）、（iii）、（iv）均可，但要適用于一般情形，似乎（i）的方法最好，因為這種場合只需要用到三角形內(nèi)角和為180°這一條就行了。問題4根據(jù)上面的解法，求凸1000邊形的內(nèi)角和。一般地，求凸n邊形的內(nèi)角和。這時，按（i）的方法，從凸四邊形、凸五邊形……的一個頂點出發(fā)引對角線，再考察這樣得到的三角形有多少個，并且考察三角形的個數(shù)比邊數(shù)少幾。四邊形時2個三角形比邊數(shù)4少2五邊形時3個三角形比邊數(shù)5少2六邊形時4個三角形比邊數(shù)6少2............一般地，從凸多邊形的一個頂點A，向所有頂點引對角線，則除與A點相鄰接的兩邊外，其余每邊都對應(yīng)著一個三角形。因此，三角形的個數(shù)總比邊數(shù)少2。于是在凸1000邊形的情形，三角形個數(shù)為1000-2=998，一般地，在凸n邊形的情形，三角形的個數(shù)為（n-2）。從而，凸1000邊形內(nèi)角和為2直角×（1000-2）；一般地凸n邊形內(nèi)角和為2直角×（n-2）。然而，由代數(shù)運算法則，2×（n-2）=2n-4，故凸n邊形內(nèi)角和為（2n-4）直角。將它寫成定理的形式如下。定理凸n邊形的內(nèi)角和，與它的形狀、大小無關(guān)，恒為一常數(shù)，等于（2n-4）個直角。這樣，我們應(yīng)用“三角形內(nèi)角和定理”，不是用實驗方法，而是用推理，發(fā)現(xiàn)了一個包括一般情形的新定理。定理的另證不是從多邊形的頂點A向其它頂點B，C，….引直線，而是在多邊形內(nèi)任取一點O，然后將它與各頂點連結(jié)起來，這樣，得到的三角形個數(shù)等于多邊形的邊數(shù)。所有這些三角形的內(nèi)角和為2直角×n=2n直角，但這個和比多邊形的內(nèi)角和大，多出的部分，就是繞O的周角，而一個周角為4直角，故2n直角=多邊形內(nèi)角和+4直角，∴多邊形內(nèi)角和=（2n-4）直角。證明方法的回顧第一種證明方法，是將所給n邊形的任一頂點作為新三角形的公共頂點，連結(jié)此點與多邊形的每個頂點，把所給多邊形分為（n-2）個三角形，然后應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理。第二種證明方法，是將所給n邊形內(nèi)任一點作為新三角形的公共頂點，連結(jié)此點與多邊形的每個頂點，把所給多邊形分為n個三角形，然后應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理。第三種證明方法。于是產(chǎn)生了這樣的問題：“在所給多邊形的任一邊上任取一點，將此點作為新三角形的公共頂點，連結(jié)此點與多邊形的各個頂點，將多邊形分為（n-1）個三角形（第33圖），然后應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理。像這樣，是否也可以證明本定理呢？”事實上，這與前面兩者一樣，也能容易地證明本定理。結(jié)論由上述內(nèi)容，我們可以學(xué)到：1.兩個重要定理的發(fā)現(xiàn)及其發(fā)現(xiàn)的方針、方法。（a）三角形內(nèi)角和定理，通過實驗而得到啟示的發(fā)現(xiàn)方法；（b）一般的多邊形內(nèi)角和定理，通過推理的發(fā)現(xiàn)方法。2.探究引輔助線的方法。3.籌劃發(fā)明發(fā)現(xiàn)的一大思考原則。4.在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，實驗和證明兩者都需要的理由。5.應(yīng)用精神的活動及由此而得到的新定理。6.發(fā)現(xiàn)證明方法的途徑。7.區(qū)分場合時的方針，等等。與此相反，若只是按教科書上的內(nèi)容照本宣科，只是把數(shù)學(xué)上的定理當(dāng)作單純的知識來講授，則大多數(shù)學(xué)生在以后的生涯中沒有機(jī)會使用它，并且在學(xué)后不到一年就忘掉了。菊地寬曾感慨地說：“在中學(xué)所學(xué)的課程中，再沒有比數(shù)學(xué)更無用的了。”另一位女學(xué)生也曾詛咒道：“數(shù)學(xué)是最難懂也是最沒用處的，想出數(shù)學(xué)這樣?xùn)|西的家伙真該死?！彼麄冎赃@樣不喜歡數(shù)學(xué)，也是不無道理的。數(shù)學(xué)教師們聽到這兩位的這些話，不知作何感想。反過來，若