2023屆河北省邯鄲市部分學(xué)校高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合4=何0<入<1},8={鄧082彳<1},則（）

A.A8=4B.AB=R

C.AB=BD.AryB=0

【答案】A

【分析】解出集合8,分別求出AB,AB,即可判斷.

【詳解】因為B={x|kgx<l},所以3={x[O<x<2}.

因為A={x[O<x<l},所以AB=A,A\B=B.

對照四個選項，只有A正確.

故選A.

2.已知空間四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】一條直線和直線外一點確定一個平面，由此可驗證充分性成立；”這四個點在同一平面內(nèi)”

時，可能有“兩點分別在兩條相交或平行直線上”，從而必要性不成立.

【詳解】“這四個點中有三點在同一直線上“，則第四點不在共線三點所在的直線上，

因為一條直線和直線外一點確定一個平面，一定能推出“這四點在同一個平面內(nèi)”，從而充分性成立;

“這四個點在同一平面內(nèi)”時，可能有“兩點分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點在同一直

線上，從而必要性不成立，

所以“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內(nèi)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.若雙曲線/-〃/），2=42*0）的兩條漸近線互相垂直，則加=（）

A.—1B.±1C.2D.±2

【答案】B

【分析】由題知漸近線方程為y=±'x,再根據(jù)-_Lx,=-i求解即可.

mtnm

【詳解】解：當2>0時，雙曲線焦點在X軸上，a2=A,b2=A，

nT

故(二乙，漸近線方程為y=±^x,

a~m~m

當/<0時，雙曲線焦點在y軸上，b2=-A,a2=-^,

nr

2?t

故；=」，漸近線方程為y=±'x,

b~nrm

所以，其漸近線方程為y=±'x

m

又因為雙曲線/-=2(2/0)的兩條新近線互相垂直,

所以--X—=-1,解得機=±1.

mm

故選：B.

cos(兀-2a)_

4.己知sina=—+cosa,則.(兀、

2sinIa+-I

B近「V14D.叵

222

【答案】D

cos(兀-2a)

=-A/2(cosa-sina)=

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，倍角公式和正弦和角公式化簡得到—7—62.

sin[a+4)

【詳解】因為sina='+cosa,即sina-cosa=，

22

cos(兀-2a)-cos2a5/2(cosa+sina)(cosa-sina)

所以sina+cosa

:y(sina+cosa)

故選：D.

5.己知復(fù)數(shù)z的實部和虛部均為整數(shù)，則滿足|z-l|wg的復(fù)數(shù)z的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】設(shè)z=a+陽a,beZ),由卜-1歸1，可得(a-l)?+匕241,則/勺，討論兩種情況即可得

答案.

【詳解】設(shè)z=a+砥。,/?eZ),則彳=“-仇|z-H=?a-D2+H,

因為|z-l區(qū)目，所以(a-l)2+〃vi

因為(。一1尸20,所以加工1,EP-1<Z?<1.

a=la=1

當6=±1時，Q—1=0,即。=1,有兩組滿足條件

b=-lb=\

a=la=2a=0

當乃=0時，。一1二0或。一1=±1,所以

b=0'h=0h=0

但a=0,Z?=0時z=0，不符合題意，

故個數(shù)為4,

故選：C.

6.函數(shù)〃x)=xsin27ixT在區(qū)間［-3,3］上的零點個數(shù)為()

A.10B.8C.6D.4

【答案】B

【分析】把方程xsin2a-1=0的解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)妝x)=sin與g(x)=：的圖像在

［-3,3］〃(x)=sin2?與g(x)W的圖像，利用交點個數(shù)即可判斷.

【詳解】因為40)=-1-0,所以0不是的零點.

當xwO時，方程xsin27tr-l=O的解的個數(shù)為函數(shù)/7(x)=sin27tr與g(x)、的圖像在［-3,3］上交點的

個數(shù)，在同一坐標系中作出M》)=sin2心:與g(x)=g在(0,3］上的圖像(注意到當0<xQ時，g(x)

單調(diào)遞減，g(x)*l，〃(x)<l，g⑴=l，〃(l)=0，g0=,

如圖所示，由圖可知在區(qū)間(0,3］上，兩函數(shù)圖像有4個交點.

而力(x)=sin2也與g(x)=g均為奇函數(shù)，故在［-3,3］上兩圖像交點個數(shù)為8,即=xsin2a-1在

區(qū)間［-3,3］上的零點個數(shù)為8.

故選:B.

7.將函數(shù)/(用的圖象向右平移1個單位長度后，再向上平移4個單位長度，所得函數(shù)圖象與曲線

y=4"關(guān)于直線x=l對稱，則()

A.-4B.-3C.-2D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)y=45的圖象與函數(shù)y=4'的圖象關(guān)于直線x=l對稱，再利用函數(shù)平移變換法則

求出函數(shù)f(x)的解析式，進而可得答案.

【詳解】函數(shù))"42T的圖象與函數(shù)y=4'的圖象關(guān)于直線x=1對稱,

將y=42r的圖象向下平移4個單位長度得到y(tǒng)=42-，-4的圖象,

再將y=42-，-4的圖象向左平移1個單位長度得到＞=42-(，旬-4=41-4的圖如

即/(x)=4i-4,故/卜?=4，-4=4.

故選:D.

9

8.已知。是^ABC的外心，且滿足2A。=48+AC,若BA在BC上的投影向量為而BC,則cosZAOC=

()

A.3B.叵C.1D.也

510510

【答案】C

【分析】根據(jù)2A0=AB+AC得到。點位置，進而得到.ABC是以A為直角頂點的直角三角形，過A向

9

8c作垂線，垂足為N,連接AN,根據(jù)剛在8c上的投影向量為而BC,找出BM8c之間等量關(guān)系，進

而得到ON,BC之間關(guān)系,根據(jù)直角三角形得到\OA\=^\8C|,在直角三角形AON中，即可求得

cosZ.AOC.

【詳解】解:由題知,240=AB+AC,

所以2A0=AO+O3+AO+OC,

即08=-0C,所以8,。，C三點共線，且。是BC的中點,

因為。是A5C的外心，所以8c是圓的直徑，

故一45c是以A為直角頂點的直角三角形，

過A向8c作垂線，垂足為N，連接AN,如圖所示：

因為8A在3c上的投影向量為BN=3BC,

所以。4在8c上的投影向量為：

912

ON=BN-BO=—BC——BC=—BC,

1025

而|OA|=g|8C|,

BC

ON|4

則cosZAOC=——=v——=--

OA1|BC|5

故選:C.

二、多選題

9.若函數(shù)/（犬）=$訪（8+三）0>0）的最小正周期為兀，則（）

B.Ax）的圖象與函數(shù)y=cos[2x-4]的圖象重合

7TQ

D.存在唯一的七€0,-,使得〃與）弋

【答案】BC

【分析】由最小正周期求出。=2,得到函數(shù)解析式，A選項，法一：計算出f（g-x）=sin2x,

小+1]=_sin2x,故/仁—卜小+￡|；法二：將x=；代入計算出了周=0，即三不是函

數(shù)的對稱軸，故方一"）*/1+5），A錯誤；B選項，整體法利用誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出B正確；C選

項，計算出=得到C正確；D選項，整體法求出自42》+：4竺，結(jié)合函數(shù)單

IzIIfSI22N

調(diào)性及函數(shù)取值范圍得到在[o旬上，/（X）琉有兩解，D錯誤.

【詳解】因為函數(shù)fM=sin（0X+方）（。>0）的最小正周期為兀，2兀

所以」=兀，則。=2,

co

所以f（x）=sin[2x+1].

對于A,法一：/=sinit-2x+-^j=sin（7i-2x）=sin2x

/（x+T）=sin（2x+g+：）=sin（2x+7r）=-sin2x,j（x+智，則A錯誤；

法二：/仔-意味著的圖象關(guān)于直線v對稱,將x=f代入/（x）=sin（2x+g],

37k3)1J

得了用=0J。)的圖象關(guān)于點序。]對稱

則A錯誤；

對于B,y=cos(2x-￡)=cos(2x+1一=sin12x+g),則B正確；

對于C,7'(x+E)=sin(2x+]+g)=sin,W

=sinf-7r-2x+^=-sin^2x+-：)=-/卜+仁)，則C正確；

TTTTTT4兀兀

對于D,0<x<-,-<2x+-<—,當巴《2x+-<—,即04x4—?時，<f(x)<1,

2333332122

玉0*使得fa)=sin(2xi+5)q；

當￡<2x+烏4竺，即時，.遮

</(x)<B

2331222

叫e(參與使得〃石)="2%+1)=卷.

「Ttl9

所以在［O，］上，/5)=■^有兩解，則D錯誤.

故選：BC.

10.設(shè)4,B是兩個隨機事件，且O<P(A)<1,O<P(8)<1,若8發(fā)生時4必定發(fā)生，則下列結(jié)論錯

誤的是()

A.P(A+B)=P(B)B.P(8|A)=黑

C.P(A|3)=1D.P(AB)=P(A)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)8發(fā)生時A必定發(fā)生，得到故4+3=AA3=3,從而得到

P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),AD錯誤；結(jié)合條件概率判斷出B錯誤，C正確.

【詳解】由題意，BqA,所以A+B=A,4?=8,所以尸(A+8)=P(A),P(AB)=尸(8),則A,D

錯誤；

…=需嘿，則B錯誤;

「⑷所需二篇”則。正確?

故選：ABD.

11.已知切若6"'>〃域+|-猶"',則()

A.《VB.

mn+\UJ(2J

C.2"++2-”>等D.Iog3(/M+?)>1

【答案】ACD

【分析】將式子em>屐"“-ne”化為\>息,即可得選項A的正誤;構(gòu)造/(x)=^(x>l)，求導(dǎo)求單

調(diào)性,即可得加>〃+1,再根據(jù)y=(g)的單調(diào)性，即可得選項B的正誤;根據(jù)m>n+\,2"'^>2'一,再用

基本不等式即可判斷選項C正誤;根據(jù)可得利+〃>2〃+1>3,即可判斷選項D正誤.

【詳解】解:由題知,膜向-〃

陽n+l

所以(〃+l)e,N>,就向，即J>二,

mn+］

則選項A正確;

令〃x)=F(x>l),則r(x)=」［)e'>0,

所以f(x)在。，內(nèi))上單調(diào)遞增；

mM+1

由選項A結(jié)論:—>---,

mn+1

得/(〃?)>75+1),所以加>〃+L

即〃7—1>〃因為y=單調(diào)遞減,

所以呆?

，故選項B錯誤;

由選項B中結(jié)論〃?>"+1,

所以2吁4+2-”>2"7+2-"

22&"7.2〃=2舊=叵,

2

所以2加一42~n>—，故選項C正確；

+2

因為〃2+7?>〃+1+〃=2〃+1>3,

所以log?(〃?+")>1,

則選項D正確.

故選:ACD.

12.已知曲線C的方程為Ji二7.Ji-4y2=2肛,點P在C上，。為坐標原點，則()

A.曲線C關(guān)于原點對稱

B.1<|OP|<1

C.設(shè)C與坐標軸所圍成圖形的面積為S,則］<S<2

D.若M是直線y=-gx+血上的一點，則半

【答案】ABD

【分析】化簡方程為V+4y2=l(中訓(xùn)，對A：用-羽一丁分別代替x,y,看方程的變化即可求解；對

B：設(shè)尸(x,y),由|OPf=x2+y2=(l-4y2)+y2=i_3y2及y的取值范圍即可求解；對c：曲線C表

示橢圓/+4)，2=1在第一象限和第三象限內(nèi)的部分及坐標軸上的點，將曲線C在一、三象限與坐標軸

所圍成的圖形放大為矩形即可判斷求解；對D：設(shè)直線y=-Jx+力與橢圓C相切，聯(lián)立/+4/=1,

根據(jù)△=()求出力的值，然后根據(jù)兩平行直線間的距離公式即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，T20且1-4/20,即,顯然當“<0時，不滿足

C的方程；當?shù)?0時，兩邊平方化簡，得/+4丁=|,曲線C表示橢圓爐+4V=1在第一象限和第三

象限內(nèi)的部分及坐標軸上的點，如下圖所示：

對A：用T，-y分別代替x,y,C的方程不變，所以曲線C關(guān)于原點對稱，故選項A正確：

對B：設(shè)P(x,y),則|。2|2=/+/=([-4/)+9=1—3/，由0<丁<!，得!41-3丁41,所以

^<|OP|<1,故選項B正確；

對c：曲線c與坐標軸所圍成的圖形如下圖陰影部分所示(A，a，%約是曲線與坐標軸交點)，

以。4，。用為鄰邊作矩形0AM4,則陰影部分的面積S<2S矩形%M8,=2xlxg=l,故選項C錯誤；

對D：易知直線y=在曲線Cy=-gx+b,與X、4y2=1聯(lián)立消去得2f-4"+46_1=0,

若直線y=-gx+〃與橢圓C相切，則A=16〃—8(4^-l)=0,解得6=士日；

當匕=孝時，切點在第一象限，所以直線)>=-]+乎與直線y=間的距離即為IPMI的最

也

小值，所以|PML,=^=?，即但亞，故選項D正確.

75,5

~T

故選：ABD.

三、填空題

13.若直線/：or-y+2-a=0(a€R)與圓C:(x—3)2+(y-l>=9相交于A,8兩點，當|AB|取得最

小值時，直線/的斜率為.

【答案】2

【分析】由分析知，直線/過定點尸(1,2),所以當PC_L/時，|A8|取得最小值，求解即可.

【詳解】由題意，得圓C的圓心C(3,l),半徑r=3,直線/過定點尸(L2),

因為|CH="TT=K<3,所以點尸在圓C內(nèi).

所以當PC，/時，|AB|取得最小值，此時PC的斜率上=緊=-《，故/的斜率為2.

3-12

故答案為：2.

14.9月19日，航天科技集團五院發(fā)布消息稱，近日在法國巴黎召開的第73屆國際宇航大會上，

我國首次火星探測天間一號任務(wù)團隊獲得國際宇航聯(lián)合會2022年度世界航天獎.為科普航天知識，

某校組織學(xué)生參與航天知識競答活動，某班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?,6,8,9,8,7,10,m.若去

掉相，該組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)保持不變，則整數(shù)〃？(1<^<10)的值可以是(寫出一個

滿足條件的加值即可）.

【答案】7（或8或9或10）

【分析】根據(jù)下四分位數(shù)的定義結(jié)合題意分析求解即可.

【詳解】因為八個數(shù)字，下四分位數(shù)就是第二個數(shù)和第三個數(shù)的平均值，

而七個數(shù)的下四分位數(shù)就是第二位的數(shù)，

去掉，〃后，從小往大排列分別是6,7......也就是說，第2個數(shù)和第3個數(shù)都是七，

所以只要加力，就是排在第四個數(shù)往后，不管是8,9,10都不會影響.

所以整數(shù)，〃的值可以是7,或8,或9,或10,

故答案為：7（或8或9或10）

15.（也+亡）的展開式中，有理項是.（用關(guān)于x的式子表示）

【答案】28x和尸

【分析】先寫出（次+展開式的通項，使x的幕次為整數(shù)，解得項數(shù),代入通項即可求得有理項.

【詳解】解:由題知，記（哄展開式的通項為晨

16-5。

則=C；?xk(0<r<8),

由竺三名eZ,得r=2或8,

6

16-1016-40

所以匕產(chǎn)C；?xk=28x,nT=C；?尤丁=X-4

故有理項是28x和X”

故答案為：28x和h（

16.如圖，某正方體的頂點A在平面a內(nèi)，三條棱人優(yōu)4。,/1￡＞都在平面。8,C,。到平面a的距離

分別為近，G，2,則該正方體外接球的表面積為

【答案】27兀

【分析】取空間的一個基底｛48,AC,A。｝,設(shè)正方體的棱長為a,〃是平面a的一個方向向上的單位

法向量.由題得在”方向上的投影向量的長度分別為62得

〃=±（&A8+KAC+2A￡＞）,由得。=3,得正方體外接球表面積.

a

【詳解】設(shè)正方體的棱長為“，取空間的一個基底｛AAAUA。｝,設(shè)〃是平面。的一個方向向上的單

位法向量.

由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得"=xA8+yAC+z4O.

由題意，48,AC,AO在〃方向上的投影向量的長度分別為應(yīng)，G，2.

于是〃-AB=-s/2,即(xAB+yAC+zAD)-AB=y/2)即xa~=>/2>即x=■

a-

同理，y=g,z=4.

aa

從而“=」(及A8+GAC+2A。)，由得二72/+3/+4/=1,

a"

即-V-3a=l,解得a=3,

a-

所以正方體的外接球半徑為挈，外接球的表面積為4萬(挈)=27乃.

故答案為：27萬

【點睛】考慮到可以利用空間向量表示條件中的點到平面的距離，所以選擇基底，設(shè)單位法向量解

決問題，得n-AB=6,即(xAB+yAC+zA3)-A8=亞，即刈2=/，即》=今.同理可得，

a

y=中,z=馬，即可得至I」n=4(0AB+MAC+2AD).

a2a2a2

四、解答題

17.若數(shù)列｛%｝滿足。向=24+2"+1q=根，山為常數(shù).

⑴求證：住｝是等差數(shù)列；

⑵若對任意〃wN,,都有求實數(shù)〃，的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵(-4,+8)

【分析】(1)等式兩邊同除以2"“，用等差數(shù)列的定義證明；

(2)將條件轉(zhuǎn)化為〃?>-2〃-2對”eN?恒成立，求-2〃-2的最大值即可.

【詳解】(1)證明：因為*=24+2"”，

等式兩邊同除以2向，得相=黑+1，即招-*=1，

乙乙乙乙

所以數(shù)列｛?｝是首項為葭，公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)得余瑤+(〃-1),因此"“=力2"T+(〃-l).2".

n+,

由%>a?對neN*恒成立，得“2"+小2>m-2"^+(〃-1)?2"對〃eN,均成立.

因為2自>0,不等式兩邊同除以2"T，^2m+4n>m+2n-2,

即加〉一2〃一2對〃eN*恒成立，

當附=1時，-2〃-2取最大值T,所以加>-4,

所以實數(shù)機的取值范圍為(-4,+8).

18.如圖，在四邊形ABCO中,E為上一點，若AO=3AE,AB=6,BE=1,A=3

6

TT

(1)求證:ZAB。〉,；

(2)若BD=6AE,CD=l,NC=2NC8力，求四邊形A3C。的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)—

4

【分析】⑴在-ABE中，由余弦定理解得AE=1或2,分兩種情況分別考慮，在△A8O中，根據(jù)NA的余

弦定理解得BD,在△相￡)中，再由余弦定理判斷cosZABD的正負即可證明；

(2)先根據(jù)BD=KAE,結(jié)合⑴中結(jié)論確定BD,AE長度，在&BCD中，根據(jù)正弦定理求得N7用C,進而

求得N8DC,則可求得△O8C的面積，則S=S/+SABCD，根據(jù)面積公式計算結(jié)果即可.

【詳解】(1)證明:在ABE中，由余弦定理得：

BE2=AE2+AB2-2AExABxcosA,

即1=A￡+3_3AE,解得AE=1或2.

當AE=1時，由A￡)=3AE,得。E=2,A￡>=3.

在△ABD中，由余弦定理得：

=9+3-2x3x>^x—=3,

2

解得8。=6,

此時BD=AB,所以NBDA=ZBAD=-,

6

即NABZ)=等成立；

當A5=2時，由AO=3AE7號OE=4,AO=6.

在△A8D中，由余弦定理得:

=36+3-2x6x>/3x—=21,

2

解得BD=y/21,

4加+BD?-A。?3+21-36

所以cos/A5。=<0,

2xABxBD-2>G>?

又NAB。w(0,兀)，所以NABO>；.

7T

綜上,ZAB￡>>,;

(2)由(1)可得：AE=\,BD=yf3^AE=2,BD=y/2i,

因為BQ=GAE,所以8。=6,4￡：=1滿足題意，

設(shè)“比)=夕,則NC=2a,

「力RD

在△58中，由正弦定理，得J=—

sinasin2a

即一!—="，即sin2a=y/3sina,

sinasin2a

所以2sinacosa=Vasina,

Tl

由0<2a+a〈7T,可得0<a<“

所以cosa=3，得a==,

26

TTTT

則NC=—,NCD3=—,

32

所以四邊形A3C￡>的面積：

S=SAlin+SRe=—x>/3x3xsin—+—x>/3xl=.

ABDKD2624

19.如圖1,已知A8CD是上下底邊長分別為2和6,高為百的等腰梯形，將它沿對稱軸。。1折起,

并連接AB,CD得到如圖2所示的幾何體.

(1)判斷幾何體OA8C。。是哪種簡單幾何體，并證明；

(2)在幾何體OA8C〃O|中，若二面角A-。0I-8為直二面角，求二面角。-AC-01的余弦值.

【答案】(1)幾何體0A8C。。是三棱臺，證明見解析

⑵且

4

【分析】(1)利用線線平行證明線面平行，進而證明面面平行，再利用邊與邊的比值關(guān)系，判斷幾

何體OA8C￡>O|是三棱臺.

(2)根據(jù)題意，以。為原點，。4。a。g所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

利用向量法，計算出所求二面角的余弦值即可.

【詳解】(1)幾何體0ABe￡>01是三棱臺，證明如下:

由條件知。01〃4。，又AOu平面AO8,OO10平面A08,

所以。OJ/平面403,同理，COJ/平面AOB.

因為。OiCO,=(9,,￡>01,C?u平面。C。，所以平面QC。"/平面AOB.

另一方面，延長AO,OO1交于點M,如圖，

因為。O"AO且=；A。，

O.MO.MDO.11

所以而上=加=/=”解得。附=5。?！?/p>

同理，延長BC,OO1交于點M，，也可得。加，=(。0],

故點M和點M'重合，即ANBCOOi延長后交于同一點M,

從而幾何體OABCPOi是三棱臺.

(2)因為OAJ,Oq,O3J.OO1,

所以ZAOB是直二面角A-OO.-B的一個平面角,

從而。4LOB.

以。為原點，。4。氏。。1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則0(0,0,0),A(3,0,0),5(0,3,0),C(0,l,g)，a(0,0,6)?

所以AC=(_3,1,G),3a=(0,-3,V3),ACB<9,=-3+6XG=0,

所以BO1，AC,又因為=—3+6x6=。，所以BQJ.OC.

而AC,OCu平面AOC,ACOC=C,

所以BQ_L平面OAC,3Q1是平面。4c的一個法向量.

設(shè)〃=(x,y,z)是平面QAC的一個法向量,

n-AC=O,-3x+y+>/3z=0,

由OC=(0,1,0)及，得，

n-OtC=0,y=0,

取z=K，得"=(1,0,6).

設(shè)二面角。-AC-。的大小為夕，由圖可知，8為銳角,

聯(lián)網(wǎng)=6

所以COS。=|cos<n,80［〉卜

|〃小?！?

即二面角O-AC-Oi的余弦值是也.

4

20.2022年11月21日，我國迄今水下考古發(fā)現(xiàn)的體量最大的木質(zhì)沉船長江口二號古船，在長江口

橫沙水域成功整體打撈出水，上海市文物局會同交通運輸部上海打撈局，集成先進的打撈工藝、技

術(shù)路線、設(shè)備制造，最終研究并形成了世界首創(chuàng)的“弧形梁非接觸文物整體遷移技術(shù)”來打撈這艘古

船.這是全新的打撈解決方案，創(chuàng)造性地融合了核電弧形梁加工工藝、隧道盾構(gòu)掘進工藝、沉管隧道

對接工藝，并運用液壓同步提升技術(shù)，綜合監(jiān)控系統(tǒng)等先進的高新技術(shù).這些技術(shù)也是首次應(yīng)用于文

物保護和考古領(lǐng)域.近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，越來越多的古跡具備了發(fā)掘的條件，然而相關(guān)考

古專業(yè)人才卻嚴重不足.某調(diào)查機構(gòu)為了解高三學(xué)生在志愿填報時對考古專業(yè)的態(tài)度，在某中學(xué)高三

年級的1200名男生和800名女生中按比例分配的分層，隨機抽取20名學(xué)生進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果

如下表：

填報

不填報

非第一志愿填報第一志愿填報

男生X52

女生y10

(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值。=0.05的獨立性檢驗判斷是否可以認為該校學(xué)生填報志愿時“是否

填報考古專業(yè)”與性別有關(guān)聯(lián)？

男生女生總計

不填報

填報

總計20

(2)從抽出的男生中再隨機抽取3人進一步了解情況，記X為抽取的這3名男生中“第一志愿填報考古

專業(yè)''和"非第一志愿填報考古專業(yè)”人數(shù)差的絕對值，求X的數(shù)學(xué)期望.

2

2(a+b+c+d){ad-be)

附：X'=------T~.---------------------■

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，是

47

⑵夙刈=五

【分析】（1）根據(jù)抽取比例計算樣本中男女生填報人數(shù)，完成列聯(lián)表，代入公式計算與3.841

比較，下結(jié)論;

（2）由題得X的可能取值為0,1,2,3,分別計算其概率，列出分布列，計算期望.

20x1200…

n,-----------=12

2000

【詳解】（1）設(shè)抽取的20人中，男、女生人數(shù)分別為則

20x800

-----------=oo

2000

所以x=12_5_2=5,y=8_l_0=7.

列聯(lián)表如下:

男生女牛總計

不填報5712

填報718

總計12820

零假設(shè)為："是否填報考古專業(yè)“與性別無關(guān)聯(lián).

20x(5xl-7x7)2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到/=?4.201>3.841=x

12x8x8x12005

根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷小不成立，即認為“是否填報考古專業(yè)”與性別有關(guān)

聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

（2）X的可能取值為0,1,2,3,

C；+C；CC60

P(X=O)=

220

C?+C；C；+C；C；+C；C_95

P(X=1)=

C：2220

C；C；+C；C；_55

p(x=2)=

220

“7…、八60?9555)1047

所以E(X)=0x------1-1x-----1-2x-------1-3x-----=—

22022022022044

21.設(shè)函數(shù)/(x)=ae'*-(2x+l)e*,aeR.

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(0"(0))處的切線方程；

(2)若。<0,且Ax)在區(qū)間(-2,+co)上有極值，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴x+y=o

【分析】(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出〃o)、人0),再利用點斜式求出切線方程；

(2)求導(dǎo)，利用零點存在性定理可得使得xw(-2,天)時，/*)>0"(x)單調(diào)遞

增；當xe卜。,-|卜寸，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減，在而處取得極大值，為《-2,-￡|,再構(gòu)造函

數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可得答案.

【詳解】(1)當。=1時,/(x)=e2j-(2x+l)ex,

則/(0)=e°-e°=0,切點為(0,0).

f\x)=ev(2et-2x-3),尸(0)=e°(2e°-3)=T,切線斜率為T,

所以所求切線方程為》-0=-。-0),即x+y=0.

(2)r(x)=e"(2ae'-2x-3),

令h(x)=2ae'-2x-3,

因為。<0,所以〃。)在R上單調(diào)遞減；

又當xv0時，er<1,2aex>2a,

所以/?H^|>2a-(2a-3)-3=0,

又/z(0)=2a-3<0,

所以孫,e(今口，。)，使得h(x0)=2ae*-2為一3=0.

LL-上2x+3八2x+3

明以e*>=^n—>o,a=^4n-,

2aZe%

3

因為4<0,所以2x0+3<0,X。<-5,由題意%>-2.

故當xe(-2,%)時，h(x)>0J'(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

當時，/i(x)<0J'(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

/3)在七處取得極大值，x()

令加(x)=^^,xe[-2,一。]，則加(x)=—?：l>0,

2e*I2)