有限單元法讀書報告摘要：有限單元法以變分原理和加權(quán)余量法為根底，其根本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些適宜的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。關(guān)鍵詞：有限單元法；插值函數(shù)；網(wǎng)格劃分；實(shí)例分析1有限單元法概述1.1有限單元法的簡介有限單元法[1]是應(yīng)用局部的近似解來建立整個定義域的解的一種方法。先把注意力集中在單個單元上，進(jìn)行上述所謂的單元分析。根本前提是每一單元要盡可能小，以致其邊界值在整個邊界上的變化也是小的。這樣，邊界條件就能取某一在結(jié)點(diǎn)間插值的光滑函數(shù)來近似，在單元內(nèi)也容易建立簡單的近似解。因此，比起經(jīng)典的近似法，有限元法具有明顯的優(yōu)越性。比方經(jīng)典的Ritz法，要求選取一個函數(shù)來近似描述整個求解區(qū)域中的位移，并同時滿足邊界條件，這是相當(dāng)困難的。而有限元法采用分塊近似，只需對一個單元選擇一個近似位移函數(shù)，且不必考慮位移邊界條件，只須考慮單元之間位移的連續(xù)性即可。對于具有復(fù)雜幾何形狀或材料、荷載有突變的實(shí)際結(jié)構(gòu)，不僅處理簡單，而且合理適宜。1.2有限單元法的根本方法簡介有限單元法，是一種有效解決數(shù)學(xué)問題的解題方法。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，那么整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中[2]，常見的有限元計算方法是由變分法和加權(quán)余量法開展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計算格式。對于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值那么為對代求系數(shù)的平方誤差最??；在配置法中，先在計算域內(nèi)選取N個配置點(diǎn)。令近似解在選定的N個配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。1.3有限單元法的應(yīng)用在工程計算過程中，對于許多力學(xué)問題，人們可以給出他們的數(shù)學(xué)模型，即根本方程和定解條件。但能用解析方法求出精確解的只是少數(shù)方程性質(zhì)比擬簡單，并且?guī)缀涡螤钜浅Ｒ?guī)那么。對于大多數(shù)的問題，由于幾何形狀的不規(guī)那么等原因，只能采用數(shù)值分析的方法。隨著計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，有限單元法已經(jīng)成為求解復(fù)雜問題的一條很適用的方法。已經(jīng)開展的偏微分方程數(shù)值分析方法可以分為兩類。一類以有限差分法為代表，主要應(yīng)用在流體問題的分析。而另一類即是有限單元法。有限單元法區(qū)別與傳統(tǒng)的加權(quán)余量法和求解泛函駐值法，該法不是在整個求解域上假設(shè)近似函數(shù)，而是在各個單元上分片假設(shè)近似函數(shù)。這樣就克服了在全域上假設(shè)近似函數(shù)所遇到的困難，是近代工程仿真分析方法領(lǐng)域的重大突破。1.4有限單元法的原理概述有限單元法一開始就對一個連續(xù)體用有限個〔然而是大量的〕坐標(biāo)或自由度來近似地〔然而是系統(tǒng)的〕加以描繪。一個離散化的結(jié)構(gòu)可由許多結(jié)構(gòu)單元組成，這些單元僅在有限個結(jié)點(diǎn)上彼此鉸結(jié)。每一單元所受的體力和面力都按靜力等效原那么移置到結(jié)點(diǎn)上，成為結(jié)點(diǎn)荷載。計算通常采用位移法，取結(jié)點(diǎn)的未知位移分量{δ}e為根本未知量。為了在求得結(jié)點(diǎn)位移后可求得應(yīng)力，必須建立單元中應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，由應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣[S]表達(dá)。有限單元法根本方程的推導(dǎo)有很多途徑，被廣泛接受的是變分法，即結(jié)合最小勢能原理推導(dǎo)有限單元法的過程。由最小勢能原理可以推導(dǎo)以下方程式：故可得利用彈性力學(xué)的幾何方程寫出單元應(yīng)變與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系矩陣，稱應(yīng)變矩陣[B]，即再由材料的本構(gòu)關(guān)系〔即物理方程〕，得到單元彈性矩陣[D]，從而推出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力表達(dá)式其中，[S]=[D][B]。然后考慮結(jié)點(diǎn)平衡求得單元結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，由矩陣[k]e表示，稱單元剛度矩陣。根據(jù)虛功原理或最小勢能原理〔平衡條件〕，也可導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示結(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式其中，單元剛度矩陣?yán)锰摴υ怼不蜃兎衷怼晨赏瑫r導(dǎo)出單元等效結(jié)點(diǎn)力{F}e。在經(jīng)逐個單元〔逐個結(jié)點(diǎn)〕疊加其奉獻(xiàn)予以集合〔整體分析〕后，生成結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]〔也稱總剛〕、荷載列陣{F}和結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移列陣{δ}，并利用平衡條件建立表達(dá)結(jié)構(gòu)的力-位移的關(guān)系式，即所謂結(jié)構(gòu)剛度方程：考慮幾何邊界條件作適當(dāng)修改后，求解上式所示的高階線性代數(shù)方程組，得到結(jié)構(gòu)所有的未知結(jié)點(diǎn)位移〔同矩陣位移法〕。最后利用已求出的結(jié)點(diǎn)位移計算各個單元的應(yīng)力，并經(jīng)后處理軟件整理、顯示計算結(jié)果。從上面的理論推導(dǎo)過程可以總結(jié)出有限單元法分析問題的步驟的幾個局部：對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散、生成單元的剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)荷載矩陣、集成結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣、引入強(qiáng)制的邊界條件、求解有限元求解方程，得到節(jié)點(diǎn)位移、計算單元應(yīng)變和應(yīng)力。有限元中要解決的問題也就是在這幾個方面。2復(fù)雜結(jié)構(gòu)的離散〔網(wǎng)格的劃分〕2.1網(wǎng)格劃分根底與劃分原那么復(fù)雜結(jié)構(gòu)的離散是有限元分析的根底，也決定著計算結(jié)果的精確度。一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)總可以離散為一維、二維、三維的小單元。當(dāng)然對二維和三維單元，其離散后的形狀可以為任意的，但是為了計算的方便性和精確性的結(jié)合，二維單元一般采用三角形和四邊形，而三維單元那么采用四面體和六面體。簡單的說，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的離散就是網(wǎng)格的劃分。有限元網(wǎng)格[3]的劃分有很多原那么，一是網(wǎng)格數(shù)量，網(wǎng)格數(shù)量直接影響計算精度和計算時耗,網(wǎng)格數(shù)量增加會提高計算精度,但同時計算時耗也會增加。當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量較少時增加網(wǎng)格計算精度可明顯提高,但計算時耗不會有明顯增加;當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量增加到一定程度后,再繼續(xù)增加網(wǎng)格時精度提高就很小,而計算時耗卻大幅度增加。所以在確定網(wǎng)格數(shù)量時應(yīng)權(quán)衡這兩個因素綜合考慮。二是網(wǎng)格密度，為了適應(yīng)應(yīng)力等計算數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn),在結(jié)構(gòu)不同部位需要采用大小不同的網(wǎng)格。如在孔的附近有集中應(yīng)力，因此網(wǎng)格需要加密，周邊應(yīng)力梯度相對較小，網(wǎng)格劃分較稀。該網(wǎng)格反映了疏密不同的網(wǎng)格劃分原那么：在計算數(shù)據(jù)變化梯度較大的部位。為了較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律，需要采用比擬密集的網(wǎng)格；而在計算數(shù)據(jù)變化梯度較小的部位，為減小模型規(guī)模，網(wǎng)格那么應(yīng)相對稀疏。三是單元階次，單元階次與有限元的計算精度有著密切的關(guān)聯(lián)，單元一般具有線性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的單元稱為高階單元。高階單元的曲線或曲面邊界能夠更好地逼近結(jié)構(gòu)的曲線和曲面邊界，且高次插值函數(shù)可更高精度地逼近復(fù)雜場函數(shù)，所以增加單元階次可提高計算精度。但增加單元階次的同時網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)也會隨之增加，在網(wǎng)格數(shù)量相同的情況下由高階單元組成的模型規(guī)模相對較大,，因此在使用時應(yīng)權(quán)衡考慮計算精度和時耗。四是網(wǎng)格形狀，網(wǎng)格單元形狀的好壞對計算精度有著很大的影響，單元形狀太差的網(wǎng)格甚至?xí)兄褂嬎?。在網(wǎng)格劃分時應(yīng)保證合理的單元形狀，即使只有一個單元形狀很差或畸形時,也可能給計算結(jié)果帶來很大的誤差，甚至使得計算無法進(jìn)行下去。2.2對網(wǎng)格的評價單元形狀評價一般有以下幾個指標(biāo)：(1)單元的邊長比、面積比或體積比以正三角形、正四面體、正六面體為參考基準(zhǔn)，理想單元的邊長比為一,線性單元可接受的邊長比小于三,二次單元小于十。(2)扭曲度:單元面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)和面外的翹曲程度。(3)節(jié)點(diǎn)編號:節(jié)點(diǎn)編號對于求解過程中總剛矩陣的帶寬和波前因數(shù)有較大的影響,從而影響計算時耗和存儲容量的大小。因此合理的節(jié)點(diǎn)編號有利于剛度矩陣對稱、帶狀分布等求解效率,從而提高計算速度。2.3不同維數(shù)模型劃分介紹我們對各維模型的單元劃分做簡要的介紹。一維單元可分為兩種。一類是單元的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中只包含場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值C0型，另一類是單元的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中，除場函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值外，還包含場函數(shù)導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值的C1型單元。這分別是拉格朗日單元和Hermite單元。也就是說拉格朗日是一次插值單元，而后者是二次插值，這樣就能保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，也就是能保證在連接處除了位移連續(xù)，連接的交點(diǎn)也是光滑的。對二維單元，可以采用三角形和四邊形單元。對三角形單元，如同一維單元的情形，可以利用總體笛卡爾坐標(biāo)，也可以利用無量綱的局部自然坐標(biāo)以構(gòu)造三角形單元的插值函數(shù)。利用總體笛卡爾坐標(biāo)構(gòu)造三結(jié)點(diǎn)三角形單元的差值函數(shù)較復(fù)雜，更普遍采用的是局部自然坐標(biāo)來直接構(gòu)造一般三角行單元的差值函數(shù)，這時運(yùn)算比擬簡單。三角形單元的插值一般采用面積坐標(biāo)，把一個三角形用線段分成等分塊，由插值函數(shù)的性質(zhì)等可以推導(dǎo)出差值函數(shù)。通常情況下，采用矩形單元比三角形單元更為方便而有效。其差值函數(shù)的推導(dǎo)和一維情況也很相似，也可以構(gòu)造二維的拉格朗日矩形單元和Hermite矩形單元。此時后者的精度同樣比拉格朗日單元的精度要高。由于有時四邊形單元的節(jié)點(diǎn)在矩形內(nèi)部，所以一個偶然的發(fā)現(xiàn)，Serendipity四邊形單元被發(fā)現(xiàn)，這個單元有很多優(yōu)勢，一方面由于在實(shí)際用用中優(yōu)勢希望統(tǒng)一單元的不同邊界有不同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)，這樣可以實(shí)現(xiàn)不同階次單元之間的過渡，從而可能在求解的不同區(qū)域采用不同精度的單元，另一方面通過它闡述構(gòu)造單元插值函數(shù)的一般方法。三維單元可能有的幾何形狀要比二維單元多得多，在應(yīng)用中只討論幾種常用的形狀，又因?yàn)闃?gòu)造其插值函數(shù)的方法只是二維的推廣，所以其形式是很容易構(gòu)造出來的。其四面體單元也可以用體積坐標(biāo)，同時也存在Serendipity單元。3生成單元剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)荷載矩陣并集成總體單元剛度矩陣的一般表達(dá)式為其中，B是應(yīng)變矩陣，D是材料彈性矩陣，V是單元體積?？紤]單元存在的初應(yīng)力和初應(yīng)變情況，單元等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣的一般表達(dá)式為其中，等式后面的四項(xiàng)分別是和作用與單元的體積力f，邊界分布力T，單元內(nèi)的初應(yīng)力、出應(yīng)變等效的節(jié)點(diǎn)荷載列陣。在形成單元矩陣和等效荷載矩陣的過程中，由于劃分后的單元形狀并不規(guī)那么，所以要用到等參元的概念，即單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。需要注意，由于等參元的位移場是以斜角或曲線坐標(biāo)表達(dá)的，而母單元的位移場是以正那么坐標(biāo)表達(dá)的。因此，等參元的位移分布與母單元的位移分布即使在位移相同的情況下也可能是不同的。由于單元位移是在局部坐標(biāo)系〔ξ,η〕下描述的，而以位移求應(yīng)變所用的公式是以整體坐標(biāo)系〔x,y〕表達(dá)的。要將形函數(shù)利用坐標(biāo)變換式寫成整體坐標(biāo)的顯式一般十分困難，需要將對直角坐標(biāo)的求導(dǎo)運(yùn)算變換成對斜角或曲線坐標(biāo)的求導(dǎo)運(yùn)算，因此引入雅可比變換矩陣J〔Jacobimatrix〕。等參元當(dāng)=0時將失效，離散時要注意防止。建立了單元位移場后，可按統(tǒng)一的單元分析步驟推導(dǎo)出單元剛度矩陣。在等參元的單元剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)荷載的計算公式中，被積函數(shù)十分復(fù)雜，很難精確積分得到解析結(jié)果，要采用數(shù)值積分方法，有限元分析中通常采用高斯積分法，只用較少的積分點(diǎn)就能到達(dá)較高的精度，從而節(jié)省計算時間。等參元的過程可以通過可以通過四邊形的變換來了解：首先建立規(guī)整形狀的母單元，如取邊長為2的正方形單元〔如圖5.3.4a所示〕，其形心處設(shè)局部坐標(biāo)ξOη(a)母單元(b)等參元圖1四結(jié)點(diǎn)平面等參元使得圖5.3.4a中的ξη平面上的4個角點(diǎn)分別映射成圖1b中xy平面上的4個點(diǎn)，其坐標(biāo)為xi，yi〔i=1，2，3，4〕。由于形函數(shù)Ni是雙線性的，ξη平面上的正方形被映射到xy平面上以xi、yi為角點(diǎn)的四邊形。所以上面的坐標(biāo)變換式起了把xy平面上的所有四邊形單元〔稱子單元〕都映射到ξη平面上的正方形單元〔稱母單元〕的作用。同時，還可以把ξOη坐標(biāo)看成為子單元的局部坐標(biāo),該局部坐標(biāo)系是用一組不超過1的無量綱數(shù)來定出單元中的點(diǎn)，單元各邊的方程分別是ξ=±1和η=±假設(shè)四邊形單元〔子單元〕的位移模式也采用別的形函數(shù)，即(〕可以證明,收斂準(zhǔn)那么中的完備性和協(xié)調(diào)性要求能夠得到滿足。由于上述單元的位移模式和坐標(biāo)變換式采用相同的形函數(shù)〔即母單元形函數(shù)Ni〕，故稱之為等參數(shù)單元〔或等參元〕。通過等參元的變換，任何形狀的單元剛度都可以計算出來，對于六面體單元原來的剛度計算式如下：此時應(yīng)該變化為：在生成單元的剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)等效荷載矩陣后，應(yīng)集成結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣和總體荷載矩陣，以方便方程的求解。其集成方程式如下：其中是直接作用于結(jié)點(diǎn)的集中力。4強(qiáng)制引入邊界條件一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法那么對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。在實(shí)際建模過程中,合理地劃分單元網(wǎng)格很重要,合理地從計算對象中提取出各類邊界條件同樣重要。如果認(rèn)為有限元建模的主要技術(shù)在于如何把握單元質(zhì)量,而無視邊界條件的處理技術(shù),其有限元模型不僅有可能成為“殘次品”,還有可能帶來不易發(fā)現(xiàn)的危險。在建立的方程中，如果不引入邊界條件，將無法求解，也就是說將有無數(shù)的結(jié)果，引入邊界條件就使方程有唯一解，也就讓問題的求解成為可能。5求解有限元方程得到位移5.1方程求解有限元方程是一組方程組，方程在經(jīng)歷平衡問題中就是以節(jié)點(diǎn)位移為根本未知量的系統(tǒng)結(jié)點(diǎn)平衡方程。有限元求解的效率及計算結(jié)果的精確很大成都上取決于線性代數(shù)方程組的解法。特別是隨著研究對象的更加復(fù)雜，有限元分析需要采用更多單元的離散模型來近似實(shí)際結(jié)構(gòu)或力學(xué)問題的幾何構(gòu)形時，線性代數(shù)方程租的階數(shù)就愈來愈高。因而，線性方程組采用何種有限的方法求解，以保證求解的效率和精度就稱為更加重要的問題。不僅在線性靜力分析中，求解代數(shù)方程組的時間在整個解題時間中站友很大比重，而且在動力分析和非線性分析中這局部比重也是相當(dāng)大的。假設(shè)不采用適當(dāng)?shù)那蠼夥椒?，不僅計算費(fèi)用大量增加，嚴(yán)重時可能導(dǎo)致求解過程的不穩(wěn)定和求解的失敗。線性代數(shù)方程組的解法可以分為兩大類，即直接解法和迭代解法。直接解法的特點(diǎn)是，選定某種形式的直接解法以后，對于一個給定的線性代數(shù)方程組，事先可以按規(guī)定的算法步驟計算出它所需要的算數(shù)運(yùn)算操作數(shù)，直接給出最后的結(jié)果。迭代解法的特點(diǎn)是，對于一個給定的線性代數(shù)方程租，首先假設(shè)一個初始解，然后按一定的算法共識進(jìn)行迭代。在每次迭代過程中對解的誤差進(jìn)行檢查，并通過增加迭代次數(shù)不斷降低解的誤差，直至滿足解的精度要求，并輸出最后的解答。迭代解法的優(yōu)點(diǎn)之一是，它不要求保存洗漱矩陣中高度輪廓線以下的零元素，并且不對它們進(jìn)行運(yùn)算，即它們保持為零不變。這樣一來，計算機(jī)只需存儲洗漱矩陣的非零元素以及記錄它們位置的輔助數(shù)組。這不僅可以最大限度地節(jié)約了存儲空間，而且提高了計算效率。另一方面，迭代解法在計算過程中可以對解的誤差進(jìn)行檢查，并通過增加迭代次數(shù)來降低誤差，直至滿足解的精度要求。其缺乏之處是，每一種迭代算法可能只適合某一類問題，常缺乏通用的有效性，如使用不當(dāng)，可能會出現(xiàn)迭代收斂很慢，甚至不收斂的情況。5.2存儲方式在求解過程中，計算機(jī)數(shù)據(jù)的存儲方法也是很重要的，在有限單元法中，線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是對稱的，因此可以只存儲一個上三角矩陣。但是由于矩陣的稀疏性，仍然會發(fā)生零元素占絕大多數(shù)的情況。考慮到非零元素的分布呈帶狀特點(diǎn)，在計算機(jī)中系數(shù)矩陣的存儲一般采用二維等帶寬存儲或一維變帶寬存儲。對于n階的系數(shù)矩陣，假設(shè)取最大的半帶寬D為帶寬，那么上三角陣中的全部非零元素都將包括在這條以主對角為一邊的一條等帶寬中。二維等帶寬存儲就是將這樣一條帶中的元素，以二維數(shù)組形式存儲在計算機(jī)中。采用二維等帶寬存儲，消除了最大帶寬以外的全部零元素，較之于存全部上三角陣大大節(jié)省了內(nèi)存。但是由于取最大帶寬為存儲范圍，因此它不能排除在帶寬范圍內(nèi)的零元素。當(dāng)系數(shù)矩陣的帶寬變化不大時，采用二維等帶寬存儲是適宜的，求解也是方便的。但當(dāng)出現(xiàn)局部帶寬特別大的情況時，采用二維等帶寬存儲時將由于帶寬過大而使整個系數(shù)矩陣的存儲大大增加，此時可以采取一維變帶寬存儲。一維變帶寬存儲就是將變化的帶寬內(nèi)的元素按一定的順序存儲在一維數(shù)組中。由于它不按最大帶寬存儲，因此較二維等帶寬存儲更能節(jié)省內(nèi)存。按照解法可分為按行一維變帶寬存儲及按列一維變帶寬存儲。一維變帶寬存儲是比二維等帶寬存儲更節(jié)省內(nèi)存的一種存儲方法，但由于尋找元素較二維等帶寬存儲復(fù)雜，因而編寫程序亦較麻煩，并且計算機(jī)耗時可能也比二維等帶寬存儲時要多。因此在選用存儲方式上要權(quán)衡兩者的利弊，統(tǒng)盤考慮。通常，當(dāng)帶寬變化不大而計算機(jī)內(nèi)存又允許時，采用二維等帶寬存儲是適宜的。6計算應(yīng)力和應(yīng)變方程的解最終得到的是結(jié)點(diǎn)位移，而在實(shí)際工程中人們還關(guān)心著應(yīng)變和應(yīng)力，這些值都可以用彈性力學(xué)[4]的方法從位移中推導(dǎo)出來。其方程式如下：得到應(yīng)力與應(yīng)變后，有限元的求解也就進(jìn)入末段。7有限元的開展趨勢有限單元法已經(jīng)成為現(xiàn)代力學(xué)領(lǐng)域分析問題的一個最重要的途徑，為了方便用戶的使用和適應(yīng)問題復(fù)雜性的要求，目前有限單元法開展方向主要集中在以下幾個方面：與圖形軟件如CAD軟件的無縫集成當(dāng)今有限元分析軟件的一個開展趨勢是與通用CAD軟件的集成使用，即在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計后，能直接將模型傳送到CAE軟件中進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分并進(jìn)行分析計算，如果分析的結(jié)果不滿足設(shè)計要求那么重新進(jìn)行設(shè)計和分析，直到滿意為止，從而極大地提高了設(shè)計水平和效率。為了滿足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問題的要求，許多商業(yè)化有限元分析軟件都開發(fā)了和著名的CAD軟件的接口。更為強(qiáng)大的網(wǎng)格處理能力有限元法求解問題的根本過程主要包括：分析對象的離散化、有限元求解、計算結(jié)果的后處理三局部。由于結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響到求解時間及求解結(jié)果的正確性與否，近年來各軟件開發(fā)商都加大了其在網(wǎng)格處理方面的投入，使網(wǎng)格生成的質(zhì)量和效率都有了很大的提高，但在有些方面卻一直沒有得到改良，如對三維實(shí)體模型進(jìn)行自動六面體網(wǎng)格劃分和根據(jù)求解結(jié)果對模型進(jìn)行自適應(yīng)網(wǎng)格劃分，除了個別商業(yè)軟件做得較好外，大多數(shù)分析軟件仍然沒有此功能。自動六面體網(wǎng)格劃分是指對三維實(shí)體模型程序能自動的劃分出六面體網(wǎng)格單元，現(xiàn)在大多數(shù)軟件都能采用映射、拖拉、掃略等功能生成六面體單元，但這些功能都只能對簡單規(guī)那么模型適用，對于復(fù)雜的三維模型那么只能采用自動四面體網(wǎng)格劃分技術(shù)生成四面體單元。對于四面體單元，如果不使用中間節(jié)點(diǎn)，在很多問題中將會產(chǎn)生不正確的結(jié)果，如果使用中間節(jié)點(diǎn)將會引起求解時間、收斂速度等方面的一系列問題，因此人們迫切的希望自動六面體網(wǎng)格功能的出現(xiàn)。自適應(yīng)性網(wǎng)格劃分是指在現(xiàn)有網(wǎng)格根底上，根據(jù)有限元計算結(jié)果估計計算誤差、重新劃分網(wǎng)格和再計算的一個循環(huán)過程。對于許多工程實(shí)際問題，在整個求解過程中，模型的某些區(qū)域?qū)a(chǎn)生很大的應(yīng)變，引起單元畸變，從而導(dǎo)致求解不能進(jìn)行下去或求解結(jié)果不正確，因此必須進(jìn)行網(wǎng)格自動重劃分。自適應(yīng)網(wǎng)格往往是許多工程問題如裂紋擴(kuò)展、薄板成形等大應(yīng)變分析的必要條件。由求解線性問題開展到求解非線性問題隨著科學(xué)技術(shù)的開展，線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計的要求，許多工程問題如材料的破壞與失效、裂紋擴(kuò)展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進(jìn)行非線性分析求解，例如薄板成形就要求同時考慮結(jié)構(gòu)的大位移、大應(yīng)變〔幾何非線性〕和塑性〔材料非線性〕；而對塑料、橡膠、陶瓷、混凝土及巖土等材料進(jìn)行分析或需考慮材料的塑性、蠕變效應(yīng)時那么必須考慮材料非線性。眾所周知，非線性問題的求解是很復(fù)雜的，它不僅涉及到很多專門的數(shù)學(xué)問題，還必須掌握一定的理論知識和求解技巧，學(xué)習(xí)起來也較為困難。為此國外一些公司花費(fèi)了大量的人力和物力開發(fā)非線性求解分析軟件，如ADINA、ABAQUS等。它們的共同特點(diǎn)是具有高效的非線性求解器、豐富而實(shí)用的非線性材料庫，ADINA還同時具有隱式和顯式兩種時間積分方法。由單一結(jié)構(gòu)場求解開展到耦合場問題的求解有限元分析方法最早應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，主要用來求解線性結(jié)構(gòu)問題[5]，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。而且從理論上也已經(jīng)證明，只要用于離散求解對象的單元足夠小，所得的解就可足夠逼近于精確值?，F(xiàn)在用于求解結(jié)構(gòu)線性問題的有限元方法和軟件已經(jīng)比擬成熟，開展方向是結(jié)構(gòu)非線性、流體動力學(xué)和耦合場問題的求解。例如由于摩擦接觸而產(chǎn)生的熱問題，金屬成形時由于塑性功而產(chǎn)生的熱問題,需要結(jié)構(gòu)場和溫度場的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即"熱力耦合"的問題。當(dāng)流體在彎管中流動時，流體壓力會使彎管產(chǎn)生變形，而管的變形又反過來影響到流體的流動，這就需要對結(jié)構(gòu)場和流場的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂"流固耦合"的問題。由于有限元的應(yīng)用越來越深入，人們關(guān)注的問題越來越復(fù)雜，耦合場的求解必定成為有限元的開展方向。程序面向用戶的開放性隨著商業(yè)化的提高，各軟件開發(fā)商為了擴(kuò)大自己的市場份額，滿足用戶的需求，在軟件的功能、易用性等方面花費(fèi)了大量的投資，但由于用戶的要求千差萬別，不管他們怎樣努力也不可能滿足所有用戶的要求，因此必須給用戶一個開放的環(huán)境，允許用戶根據(jù)自