第01講7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系。②掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念。③.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法。1..理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系；2.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念；3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法；知識點(diǎn)01：實(shí)數(shù)系（1）實(shí)數(shù)系的分類(2)實(shí)數(shù)的性質(zhì)①實(shí)數(shù)對四則運(yùn)算是封閉的,即兩個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；②加法與乘法滿足交換律、結(jié)合律,乘法對加法滿足分配律；③實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.知識點(diǎn)02：復(fù)數(shù)的概念（1）復(fù)數(shù)的引入為了解決這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無解的問題,設(shè)想引入一個(gè)新數(shù),使得是方程的解,即使得,并且可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算,且原有的加法與乘法的運(yùn)算律仍成立.所以實(shí)數(shù)系經(jīng)過擴(kuò)充后得到的新數(shù)集是.（2）復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.（3）復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.【即學(xué)即練1】（2023下·陜西西安·高一階段練習(xí)）（1）若，則實(shí)數(shù)的值為多少？（2）若，且，則實(shí)數(shù)的值分別為多少？【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）由已知得，解得；（2）由已知得，解得或.知識點(diǎn)03：復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一課堂例題）實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是：(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)且，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．題型01虛數(shù)單位及其性質(zhì)【典例1】（2023下·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）.【答案】0【詳解】，故答案為：0.【典例2】（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）．【答案】/【詳解】∵，∴，則，故原式．故答案為：.【變式1】（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】，故選：A【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)0【詳解】（1）原式；（2）原式，.題型02復(fù)數(shù)的基本概念【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）寫出復(fù)數(shù)4，，0，，，6i的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)．【答案】答案見解析【詳解】4，，0，，，6i的實(shí)部分別是4，2，0，，5，0，虛部分別是0，，0，，，6．4，0是實(shí)數(shù)；，，，6i是虛數(shù)，其中6i是純虛數(shù)．【典例2】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，則a的值為（

）A．0 B．－1C． D．【答案】A【詳解】由，可知兩個(gè)復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù)，即其虛部為零，故，即，解得a＝0.故選：A.【變式1】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下列四種說法正確的是（

）A．如果實(shí)數(shù)，那么是純虛數(shù)．B．實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)．C．如果，那么是純虛數(shù)．D．任何數(shù)的偶數(shù)次冪都不小于零．【答案】B【詳解】對于A中，若，那么，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由復(fù)數(shù)的概念，可得實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)，所以B正確；對于C中，若且時(shí)，復(fù)數(shù)，所以C不正確；對于D中，由虛數(shù)單位，可得D錯(cuò)誤.故選：B.【變式2】（多選）（2023下·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法一定正確的是（

）A．存在x使得小于0 B．存在x使得C．不是實(shí)數(shù) D．實(shí)部和虛部均為1【答案】AB【詳解】由復(fù)數(shù)x＋i，取x＝－2－i，可知A正確；當(dāng)x＝時(shí)，，故B正確；當(dāng)x＝－i時(shí)，x＋i＝0為實(shí)數(shù)，故C不正確；由于x的取值未知，故D錯(cuò)誤．故選：.題型03求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部【典例1】（2024上·廣東·高二學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．5 B．-5 C．5 D．-5【答案】B【詳解】的虛部為-5.故選：B【典例2】（多選）（2023下·福建福州·高一福州黎明中學(xué)?？计谥校┑膶?shí)部與虛部互為相反數(shù)，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】由題意得：，，解得：或，，或或，故選：ACD.【變式1】（2023下·河北衡水·高一衡水市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故虛部為.故選：B【變式2】（2023上·云南·高二校聯(lián)考期中）已知，，若，則z的虛部是（

）A．-2 B．1 C．-2i D．2i【答案】A【詳解】由，可得，所以，所以的虛部是．故選：A．題型04復(fù)數(shù)相等的充要條件【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求適合下列方程的實(shí)數(shù)x，y的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，解得.（2）由題意得，解得.【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知，求實(shí)數(shù)，的值．【答案】【詳解】解根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得整理得解得【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，，則復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，則，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得，解得，故．故選：B．【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)，，若復(fù)數(shù)，求，．【答案】【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得，解得.題型05復(fù)數(shù)的分類【典例1】（2022下·山東青島·高一統(tǒng)考期末）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．－2 C． D．4【答案】A【詳解】解：由是純虛數(shù)，得，解得．故選：A.【典例2】（2023下·上海奉賢·高一?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù).【答案】【詳解】復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則有，解得.故答案為：.【典例3】（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期中）當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).【答案】(1)或(2)且(3)【詳解】（1）由題意復(fù)數(shù)，當(dāng)，即或時(shí)，所給復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).（2）當(dāng)，即且時(shí)，所給復(fù)數(shù)是虛數(shù).（3）當(dāng)，即時(shí)，所給復(fù)數(shù)是純虛數(shù).【變式1】（2022下·天津和平·高一校聯(lián)考期末）若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A．0或2 B．2或 C． D．2【答案】C【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得；故選：C.【變式2】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，寫出關(guān)于復(fù)數(shù)的一個(gè)正確結(jié)論：.【答案】【詳解】由，解得，故.故答案為：【變式3】（2021下·河南新鄉(xiāng)·高二輝縣市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(其中)．（1）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值.【答案】（1）或4；（2）.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，所以，所以或4．（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，所以.題型06復(fù)數(shù)中的比較大小【典例1】2．（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則.【答案】或/或【詳解】因?yàn)?，所以，由②解得或，?dāng)時(shí)，，解得，又因，所以或，當(dāng)時(shí)，，解得，又，所以不存在這樣的，綜上所述，或.故答案為：或.【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，且，若，則．【答案】1【詳解】由于，，所以且．所以，解得，此時(shí)，，滿足．故答案為：1．【變式1】（2022下·河南洛陽·高二校考階段練習(xí)）已知，．若，則的值為（

）A．2 B．3 C．2或3 D．不存在【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，解得或．故選：C【變式2】（2022上·貴州黔東南·高二校聯(lián)考期中）已知，，且，則實(shí)數(shù)．【答案】－2【詳解】由題意知，均為實(shí)數(shù)，則，即或．又，則，則，故．故答案為：－2A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·北京海淀·高三中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是.故選：D.2．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考期中）若，則“”是復(fù)數(shù)“”為純虛數(shù)的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】若，則為純虛數(shù)；若為純虛數(shù)，，則有，解得.所以，當(dāng)時(shí)，“”是復(fù)數(shù)“”為純虛數(shù)的充要條件.故選：C3．（2023下·河南商丘·高一?？茧A段練習(xí)）適合的實(shí)數(shù)x、y的值為（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得，，解得.故選：A．4．（2021下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù),.故選:A.5．（2023上·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，是虛數(shù)單位，則（

）A．且 B．C． D．或【答案】B【詳解】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得.故選：B6．（2022下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？计谀┮阎兲摂?shù)，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，故，則，解得.故選：B7．（2022上·陜西寶雞·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，其中，是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意得，所以，得.故選：B8．（2023下·山西陽泉·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】復(fù)數(shù)，且，所以，則因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的取值范圍是.故選：B.二、多選題9．（2023下·陜西西安·高一階段練習(xí)）對于復(fù)數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則為純虛數(shù)B．若，則C．若，則為實(shí)數(shù)D．【答案】AB【詳解】對于A：當(dāng)，，當(dāng)時(shí)為實(shí)數(shù)，A錯(cuò)誤；對于B：若，則，B錯(cuò)誤；對于C：若，則為實(shí)數(shù)，C正確；對于D：，D正確.故選：AB.10．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．復(fù)數(shù)不可能是純虛數(shù)B．若，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)C．若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)D．若復(fù)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為虛數(shù)【答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A中，當(dāng)，時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，時(shí)，為純虛數(shù)，正確；選項(xiàng)C中，若是純虛數(shù)，則，即，所以，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，沒有給出是實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，也是虛數(shù)，錯(cuò)誤.故選：ACD三、填空題11．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，若為純虛數(shù)，則.【答案】【詳解】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可知，，得.故答案為：12．（2023下·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【詳解】，，令，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，，所以的范圍為.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求適合下列各方程的實(shí)數(shù)，的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)或(2)或或或(3)【詳解】（1）因?yàn)?，為?shí)數(shù)，且，則，解得或；（2）因?yàn)榍?，為?shí)數(shù)，所以，解得或，解得或，所以或或或；（3）因?yàn)榍?，為?shí)數(shù)，所以，解得.14．（2023·全國·高一課堂例題）當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)分別是：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)：(4)0？【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)；（3）當(dāng)且，即時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（4）當(dāng)且，即時(shí)，復(fù)數(shù)．B能力提升1．（2023下·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知a，b均為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)：，其中i為虛數(shù)單位，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題，所以為實(shí)數(shù)，即，則有，解得，即a的取值范圍為.故選：A2．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)和，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】，復(fù)數(shù)和是實(shí)數(shù)，成立，當(dāng)時(shí)，例如，