第07講2.4.1圓的標準方程課程標準學習目標①理解圓的定義及確定圓的幾何要素。②理解與掌握平面直角坐標系中圓的標準方程.。③會根據(jù)相關條件寫出圓的標準方程及圓的圓心，半徑。通過本節(jié)課的學習，了解與掌握確定圓的位置，大小的幾何要素，能根據(jù)相關條件求出圓的標準方程，并能解決與圓有關的問題.知識點01：圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標系中，的圓心的坐標為,半徑為,為圓上任意一點，可用集合表示為：知識點02：圓的標準方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標準方程.【即學即練1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，圓心的橫坐標為，縱坐標為，即點，圓的半徑為，因此，圓的標準方程為.故選：A.知識點03：點與圓的位置關系判斷點與：位置關系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設到圓心的距離為，則①則點在外②則點在上③則點在內(nèi)（2）代數(shù)法將點帶入：方程內(nèi)①點在外②點在上③點在內(nèi)【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫出圓心為,半徑為5的圓的標準方程,并判斷點是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)？【答案】答案見解析【詳解】圓心為,半徑為5的圓的標準方程是．把點的坐標代入方程的左邊,得,左右兩邊相等,點的坐標滿足圓的方程,所以點在這個圓上．把點的坐標代入方程的左邊,得,左右兩邊不相等,點的坐標不滿足圓的方程,所以點不在這個圓上．又因為點到圓心A的距離．故點在圓內(nèi)．知識點04：圓上的點到定點的最大、最小距離設的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;①若點在外，則;②若點在上，則;③若點在內(nèi)，則;【即學即練3】（2021秋·高二課時練習）已知圓，則圓上的點到點距離的最大值為_____.【答案】6【詳解】因為圓的方程為，所以圓心坐標為，半徑,又圓心到點的距離為，所以圓上的點到點的距離的最大值為，故答案為：6題型01求圓的標準方程【典例1】（2023·高二課時練習）已知圓C：，O為原點，則以為直徑的圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由圓C：可知圓心，，故以為直徑的圓的圓心為，半徑為，故所求圓的方程為：.故選：D【典例2】（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知兩點、，則以PQ為直徑的圓的方程是______.【答案】【詳解】、,的中點坐標為，即為圓心坐標，又圓的半徑為則所求圓的方程為.故答案為：.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓心在軸上，半徑為5，且過點，則圓的標準方程為_______．【答案】或.【詳解】由題意，設圓的方程為，因為點在圓上，可得，解得b＝0或b＝－8，所以所求圓的方程為或.故答案為：或.【變式2】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）過三點、、的圓的圓心坐標為___________.【答案】【詳解】設圓的方程為：，代入點的坐標有：，所以，所以圓的方程為：.故答案為：.題型02由圓的方程求圓心或半徑【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說法錯誤的是（

）A．圓的圓心為，半徑為5B．圓的圓心為，半徑為C．圓的圓心為，半徑為D．圓的圓心為，半徑為【答案】ABD【詳解】對于A：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項A錯誤；對于B：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項B錯誤，對于C：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項C正確；對于D：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項D錯誤，故選：ABD.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，∴，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為9.故選：B.【變式1】（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學?？既＃┮阎本€經(jīng)過圓的圓心，其中，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】D【詳解】因為直線經(jīng)過圓的圓心，故，所以，當且僅當，即時，等號成立.故選：D【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過圓的圓心，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】由題意得圓心為（1,1），因為直線過圓心，所以，即，所以，所以當時，的最小值為.故選：A題型03點與圓的位置關系【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑為，由得，則兩直線與的交點為，依題意得，解得.故選：B【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）點與圓的位置關系是（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑，，故點在圓內(nèi).故選：B【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）（多選）點在圓的內(nèi)部，則的取值不可能是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】由已知條件可得，即，解得.故選：AD.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若點在圓內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為____________.【答案】【詳解】解：由題意得點在圓內(nèi)，解得所以實數(shù)的取值范圍為故答案為：題型04與圓有關的最值問題【典例1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知圓：，過點的兩條直線，互相垂直，圓心到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【詳解】過圓心C分別作直線，的垂線，垂足分別為，．，互相垂直，所以四邊形為矩形．由圓C：，可得，又，，所以，當且僅當時取等號，即的最大值為1，故選：B.【典例2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）已知圓C過點，當圓到原點的距離最小時，圓的標準方程為______．【答案】【詳解】由可得線段中點坐標為，又，所以垂直平分線的方程為，所以圓心C在線段垂直平分線上，當圓C到原點O的距離最小時，則,所以直線方程為，聯(lián)立，所以圓心,又半徑,故圓的方程為：故答案為：【變式1】（2023春·廣西·高一校聯(lián)考階段練習）若復數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C．7 D．【答案】C【詳解】復數(shù)滿足，所以復數(shù)對應的點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，的幾何意義為圓上的點與的距離，所以的最大值為．故選：C.【變式2】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）點在圓上，點，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】圓的圓心，半徑為，由于在圓外，．故選：D.題型05與圓有關的對稱問題【典例1】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知圓和直線.若圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑為，關于直線的對稱點是，所以圓的圓心是，半徑是，所以圓的方程為.故選：B【典例2】（2023春·四川涼山·高二?？茧A段練習）若圓和圓關于直線對稱，則直線的方程是___________【答案】【詳解】解：圓的圓心為，圓的圓心為，則線段的中點為，因為圓和圓關于直線對稱，所以，所以直線的方程是，即，故答案為：【變式1】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知圓和直線.若圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓與圓關于直線對稱，則圓心與圓關于對稱可得，化簡得，解得又兩圓半徑相等，故圓的方程為故選：B【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心坐標為，半徑為2，圓與圓關于軸對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為圓與圓關于軸對稱，所以圓的圓心與點關于軸對稱，所以的坐標為，又圓的半徑為2，所以圓半徑為2，所以圓的方程為，故選：C.題型06軌跡方程【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知定點，是圓上的一動點，是的中點，則點的軌跡方程是_______________.【答案】【詳解】如圖所示，

設，，則，①因為Q為AP的中點，所以，②所以由①②得：，即：，所以點Q的軌跡方程為：.故答案為：.【典例2】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是______．【答案】【詳解】

如圖所示，取OA中點D，連接DQ，則DQ為的一條中位線，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為.故答案為：.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，線段，且兩個端點、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；【答案】【詳解】設，線段的中點，因為為線段的中點，，，，即，得.所以點的軌跡方程是．【變式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學?？茧A段練習）已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是__________．【答案】【詳解】設，，則由已知可得.又是線段的中點，所以有，所以，所以有，整理可得.所以的軌跡方程是.故答案為：.【變式2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)設為圓上的一個動點，為坐標原點，求的中點的軌跡方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設圓心C的坐標為，半徑為r，∵圓心C在直線上，∴，∵圓C經(jīng)過，兩點，∴，即，化簡得：，又，所以，∴圓心C的坐標為，，所以圓C的標準方程為：；（2）設，，∵M為OP的中點，∴，∴，∵P在圓C上，∴，即，∴OP的中點M的軌跡方程為.A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023春·上海徐匯·高二上海中學?？计谥校┮阎粋€圓的方程滿足：圓心在點，且過原點，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設圓的半徑為，因為圓心是，且過點，所以，所以半圓的方程為，故選：D.2．（2023·北京海淀·?？既＃┤糁本€是圓的一條對稱軸，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】圓的圓心為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以圓心在直線上，所以，解得.故選：A3．（2023春·四川南充·高二?？茧A段練習）圓的圓心、半徑是（）A．，4 B．，2 C．，4 D．，2【答案】D【詳解】圓的圓心為半徑故選：D4．（2023春·新疆省直轄縣級單位·高二?？奸_學考試）已知點（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}【答案】A【詳解】由于（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內(nèi)部，所以點（1，1）到圓心（a，﹣a）的距離d＜2，即：，整理得：﹣1＜a＜1.故選：A.5．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）圓關于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設圓的圓心關于直線對稱的點為，則有整理得解得，因為關于直線對稱的兩個圓半徑相等，所以所求圓的半徑為2，所以所求圓方程為，故選:C.6．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開學考試）在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結論，甲：該圓的半徑為；乙：該圓經(jīng)過點；丙：該圓的圓心為；?。涸搱A經(jīng)過點．如果只有一位同學的結論是錯誤的，那么這位同學是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【詳解】設.假設甲錯誤，乙丙丁正確，，，矛盾，所以甲正確.假設乙錯誤，甲丙丁正確，由甲、丙正確可知圓的方程為，不滿足上式，矛盾，所以乙正確.假設丙錯誤，甲乙丁正確.由乙丁得，與半徑為矛盾，所以丙正確.假設丁錯誤，甲乙丙正確，則由甲丙可知圓的方程為，滿足上式，符合題意.綜上所述，結論錯誤的同學是丁.故選：D7．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知圓，則過點的直線l與圓C交于A，B兩點，則的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．【答案】C【詳解】因為，圓的標準方程為，所以半徑，圓心，當直線l與直線CP垂直時，所截得弦長AB最短．此時，所以．故選：C．8．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）已知復數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【詳解】設，因為，所以，因為，所以相當于圓上的點到點距離，所以的最大值為圓心到點距離與圓的半徑的和，即.故選：C.

二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過點與且半徑為2的圓的方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】因為圓過點與，所以圓心在線段AB的垂直平分線上，其中，設圓心所在的直線為l，則，解得：，又因為與的中點坐標為，所以直線l為，設圓心坐標為，因為半徑為2，所以圓的方程為：，代入得：，解得：，綜上圓的方程為或.故選：BC三、填空題10．（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知直線平分圓且與互相平行，則的距離是__________.【答案】/【詳解】因為直線平分圓，于是直線過圓心，所以的距離.故答案為：四、解答題11．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知點求：(1)過點A，B且周長最小的圓的方程；(2)過點A，B且圓心在直線上的圓的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵點∴過點A，B且周長最小的圓，即以AB為直徑的圓，∵AB的中點，故要求的圓的方程為.（2）∵圓心在直線上，設圓心為∵圓過點A，B，∴DA＝DB，∴求得∴圓心為，半徑故要求的圓的方程為．12．（2023秋·高一單元測試）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設，，由，得，所以，又點在圓上，故，所以，化簡得的軌跡方程為B能力提升1．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學校考階段練習）動直線平分圓的周長，