湖北省部分省級(jí)示范高中2022-2023學(xué)年上學(xué)期期末測(cè)試

高一數(shù)學(xué)試卷

命題人：武漢市第二十三中學(xué)劉逸啃審題人：汪國(guó)紅

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共0分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

22

匕+土=1

1.橢圓1612的焦距是（）

A.16B.8C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓方程求出的值，即可得焦距2c.

22

【詳解】由匕+土=1可得〃=16,加=12，

1612

所以，=/一〃=16—12=4,可得c=2,

所以焦距2c=4,

故選：D.

2.在等差數(shù)列｛《,｝中，4=7,4=25,則4=（）

A.14B.16C.18D.28

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列等差中項(xiàng)求解即可.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝中，4=7,4=25,

a.=一%——+4-=1i6z-,

2

故選：B.

22

3.已知雙曲線二一與=1（。＞0,。＞0）的離心率e=&，則其漸近線的方程為（）

Q~b~

A.y=±2xB.y=±y/3xC.y=±^-xD.y=±—x

32

【答案】A

【解析】

【分析】利用雙曲線的離心率和性質(zhì)求解即可.

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線與―方=1(。＞0/＞0)的離心率6=6，

所以由得5。2=后+凡

c2=4+b2

所以2=2,即漸近線方程為丁=±2》，

a

故選：A

4.已知圓*2+y2-6x=0,過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)(1,2)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.

【詳解】圓丁+〉2-6'=0化為(X-3)2+V=9,所以圓心。坐標(biāo)為C(3,0),半徑為3,

設(shè)P(l,2),當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線和直線CP垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)P的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)

ICP|=V(3-l)2+(-2)2=2V2

根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為2d9-]CPf=279-8=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)〃?，“是空間中兩條不同的直線，夕是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是()

人.若加＜=。，nu/3,a//p,^\\m//n

B.若〃〃_L分，mA.n,則aJ_￡

C.若機(jī)〃a,n//[3,cr_L,則加_L〃

D.若加ua,〃u尸，m///3,n//a,則a〃尸

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)面面平行性質(zhì)可說(shuō)明〃可能異面可能平行，判斷A;利用平面的法向量的關(guān)系可判斷B;根

據(jù)根〃a,n//p,aA.fi,可判斷可能平行，不一定垂直，判斷C;根據(jù)面面平行的判定可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若加ua,?<=/?,a//p,則八〃可能異面可能平行，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若〃?_La,則可在直線機(jī)上取向量wi作為平面a的法向量，

可在直線〃上取向量〃作為平面/的法向量，

因?yàn)闄C(jī)_1_〃，故機(jī)_1_=0,所以_耳，B正確；

對(duì)于C,若加〃a,〃〃￡,aL/3,則租,"可能平行，不一定垂直，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若機(jī)ua,nu(3,m///3,n//a,由于機(jī)，〃可能是平行直線，

此時(shí)％/可能相交，D錯(cuò)誤，

故選：B.

6.在長(zhǎng)方體ABC。-A4G。中，已知A8=l，AT>=2，44t=3,M為BC的中點(diǎn)，則AM的長(zhǎng)等

于()

A.VTTB.MC.3D.幣

【答案】A

【解析】

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算可求得|AM|.

【詳解】以A坐標(biāo)原點(diǎn)，4民4),胡正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

z

則A（0,0,0）,4（1,0,3）,q（1,2,3）,/.AM=（1,1,3）.

.-.|AM|=V12+12+32,即AM的長(zhǎng)為而.

故選：A.

7.已知橢圓C:￡+￡=l（a>8〉0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，行，過(guò)點(diǎn)月且斜率為半的直線/與c在X

軸上方的交點(diǎn)為A.若|翅|=忻6|，則C的離心率是（）

A.-B.'-C.2--Ji,D.3—5/2

32

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)NA￡鳥(niǎo)的正切值，求出乙的余弦值，在△4月用用余弦定理求出用c表示，再求

解.

［詳解】設(shè)=a,則tana=巫,cosa=Z，

78

又|A周=忻閭=2c,在中,由余弦定理得：|A招『=4C2+4C2—2-2C?2C-Z=C2

8

c7

IA居卜c2cl—\AF}I+|I=3ce=—=—

故選：A

8.17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在著作中證明，方程/一％2=?2伏>0乂工］,。力0）表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是

橢圓的重要性質(zhì)若從橢圓上任意一點(diǎn)P（異于4,B兩點(diǎn)）向長(zhǎng)軸AB引垂線，垂足為。，記用=念言—，

IAQI」6Q|

則（）

A.方程〃一%2=@2（%＞0,人聲1,。聲0）表示的橢圓的焦點(diǎn)落在X軸上

B.e=y/M-l

C.M的值與尸點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)

D.M越來(lái)越小，橢圓的離心率越來(lái)越小

【答案】C

【解析】

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)橢圓的定義即可判斷A錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)題意得到e=JjV，故B錯(cuò)誤,

對(duì)選項(xiàng)C,分別討論焦點(diǎn)在x軸和）’軸的情況，即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D,根據(jù)e=F77,即可判斷

D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,方程f=/2/＞o/工1,。/0）,

f2

山的斗，二—r=1(火>0,4n1,a*0)

化I旬為礦CT

T

當(dāng)0＜攵＜1時(shí)，則幺＞/,方程儲(chǔ)+標(biāo)表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，故A錯(cuò)誤.

kT

對(duì)選項(xiàng)C,設(shè)P（x,y）,橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，

|PQ『=V，同@.忸0=（%+“）（〃-力=/一兀2,M=_2_=1,

ci—xk

因?yàn)镸=,為常數(shù)，所以M的值與尸點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān).

k

設(shè)p（x,y）,橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，

\PQf^x2,\AQ\-\BQ\=y+R［行-y=,/，

因?yàn)镸=&為常數(shù)，所以M的值與P點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)，故C正確.

22

S2Li1

對(duì)選項(xiàng)B,當(dāng)橢圓/+/=的焦點(diǎn)在x軸時(shí)，M=-,

Tk

綜上e=Jl-M，故B錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)閑=Ji-M,所以M越來(lái)越小，橢圓的離心率越來(lái)越大，故D錯(cuò)誤.

故選：c

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)列1,6,右,、），，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是=』2〃-1

B.3石是它的第23項(xiàng)

C.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是凡=J箱

D.是它的第25項(xiàng)

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】數(shù)列1,6,后,77,,

所以%=J2〃-1,A選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

%=J2X23-1=A=3后,B選項(xiàng)正確，

45=72x25-1=7,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB

10.已知圓G：%?+A—6x+6y+14=()和圓C2:廠+一2y—15=0,貝ij()

A.|CG|=5B.圓C半徑是4C.兩圓相交D.兩圓外離

【答案】AC

【解析】

【分析】先根據(jù)配方法確定兩個(gè)圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系即可判斷兩圓的位置.

【詳解】對(duì)于B,因?yàn)閳AG：x2+y2-6x+6y+\4=o,

所以圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+3)2=4,圓心為G(3,—3),半徑為=2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于A,因?yàn)閳A。2：尤2+y2-2y-15=0,

所以圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y+(yT)2=i6,圓心為G(01)，半徑為2=4,

所以|CG|=132+(-3-1)2=5,故A正確；

對(duì)于CD,因?yàn)?一4<|0。2|<彳+乃，所以兩圓相交，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.已知拋物線。：丁=22犬5>0)的準(zhǔn)線產(chǎn)一1與》軸相交于點(diǎn)長(zhǎng)，過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)F的直線/與拋物

線C相交于P、。兩點(diǎn)，且只。兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影點(diǎn)分別為M、N,則下列結(jié)論正確的是()

A.p=2B.歸。|的最小值為4

C瑞費(fèi)為定值3D.NPKF=/QKF

【答案】ABD

【解析】

【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得。的值，進(jìn)而求出拋物線的方程，可判斷A正確；設(shè)直線MN的方程與

拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質(zhì)可得弦長(zhǎng)|PQ|的表達(dá)式，再由參數(shù)的范圍

可得其最小值，判斷B正確;分別表示出,|/明,|。尸|可判斷C不正確;表示出2七,%=，

由kPK+kKQ=0可判斷D正確.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閽佄锞€。：丫2=2.宜0>0)的準(zhǔn)線尸-1,

所以5=1,則。=2,故A正確；

x=my+1

對(duì)于B，拋物線C：V=4x,過(guò)焦點(diǎn)的直線為x=my+l,則＜

y2=4x

2

整理可得y-4my-4=0,設(shè)尸(司，y),Q(x2,y2),

可得乂+必=4根，yry2=-4,

22

2

%+W=m(y1+%)+2=4/n+2,x1x2='%=]

16

所以歸。=玉+赴+2=4〃/+4,當(dāng)加=0時(shí)取等號(hào)，

IPQI最小值為4,所以B正確；

22

對(duì)于C,|MN\=\y}-y2|=J(y+)2丫-町.%=V16ra+16=4y/m+1,

|P尸〈尸|=巧+1,

所以|尸斗|。耳二(玉+1)(無(wú)2+1)=玉W+玉+/+1=4>+4,

IMNI216(m24-l)

所以；《=4,所以C不正確；

\PF\\QF\4(m2+l)

對(duì)于D,尸(公乂),。(J月)，以一1,0),即、=白，％=匕，

-

A|T1Ao-t"1

/、/、/迂+】W況+i]

,+*.二y1必_%(芻+1)+%(9+1)-I41一14J

PKKQ

X)+1x2+l(X1+l)(x2+l)(X)+l)(x2+l)

22]

~~+>2*+X+%：X%(X+必)++%-(-4)-4m+4M

=―4-------4-------------=4---------------------------=4、_________=0

2

(xj+l)(x2+l)(%)+l)(x2+l)4m+4

所以NPKF=NQKF,故D正確.

12.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,

半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24,棱長(zhǎng)為20

的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體

所得的.下列結(jié)論正確的有（）

A.該半正多面體的表面積為48+B.AG_L平面8COG

C.點(diǎn)B到平面ACD的距離為逑D.若E為線段3C的中點(diǎn)，則異面直線DE與轉(zhuǎn)所

3

成角的余弦值為a包R

10

【答案】BCD

【解析】

【分析】將該半正多面體補(bǔ)成正方體，即可求出正方體的棱長(zhǎng)，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法

計(jì)算可得.

【詳解】解：將該半正多面體補(bǔ)成正方體，因?yàn)樵摪胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為2及，所以正方體的棱長(zhǎng)為4，

所以該幾何體的表面積為6'（2血丁+8*3*2后*20、*=48+166，故人錯(cuò)誤；

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則4（4,2,0）,3（2,0,4）,。（0,2,4）,。（2,4,4）,6（4,2,4）,尸（4,4,2）,

所以AG=（O,O,4）,BC=（-2,2,0）,8G=（2,2,0）,

所以AGBC=0，AGBG^O'即AGL8C,AG±BG,BCBG=B,BC,BGu平面8cOG,

所以AG_L平面BCOG,故B正確；

AC=（T,0,4）,AO=（-2,2,4）,AB=（-2,-2,4）,

設(shè)平面ACD的法向量為n=（x,y,z）,

n?AC-0-4x+4z=0

所以《即〈所以〃=（1,一1,1）,

n-AD=O-2x+2y+4z=0

則點(diǎn)3到平面ACO的距離d=故c正確;

hl3

若E為線段BC的中點(diǎn)，則￡（1』,4）,

所以。￡=（—1,—3,0）,AF=（0,2,2）,

、\DE-AF\3也

則異面直線OE與AF所成角的余弦值cos（。民AF）==一門(mén).=殺,故D正確;

'/DE-AFW

y

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若直線2x+6y-l=0與直線7nx-2y+7=0垂直，貝i」〃?=

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)直線4：Ax+gy+G=。/2：AX+B2J+C2=O垂直滿足44+用芻=0求解.

【詳解】因?yàn)橹本€2%+6），-1=0與直線皿一2丁+7=0垂直

所以2-，〃+6x（-2）=0;./〃=6

故答案為：6

14.記S,,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若§3=%，4-4=2,則％=

【答案】9

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出4=1，再根據(jù)其通項(xiàng)即可得出生.

【詳解】解：等差數(shù)列｛4｝中，S3=a5,%-卬=2,

所以3/=%，且d=2,

即3q+3d=q+4d,

所以2q=d,

解得4=gd=；x2=l,

所以%=4+41=1+4x2=9,

故答案為：9.

15.已知A,B是平面上的兩定點(diǎn)，|AB|=2,動(dòng)點(diǎn)M滿足黑=J5,NC48=12O。，動(dòng)點(diǎn)N在直線AC

上，則MN距離的最小值為.

【答案】2號(hào)2叵

【解析】

【分析】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)定義可得點(diǎn)M的軌跡是以（4,0）為圓心，

2夜為半徑的圓，則MN距離的最小值為圓心（4,0）到直線的距離減去半徑.

【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0,0）,B（2,0）,

設(shè)動(dòng)點(diǎn)則由拒可得,（,丁=及，整理可得（x-4）2+V=8,

故點(diǎn)M的軌跡是以（4,0）為圓心，2枝為半徑的圓，

易得直線AC的方程為y=-瓜,

則由圖可知MN距離的最小值為圓心（4,0）到直線的距離減去半徑，

4百）用

則圓心到直線的距離為—,

所以MN距離的最小值為-2JL

16.已知P是橢圓￡:+方=1（4＞偽＞0）和雙曲線—方=1（%＞0也＞0）的交點(diǎn),小居是

Azi

*?11

G，。2的公共焦點(diǎn)，e,,02分別為G，C2的離心率，若/耳「馬=」，則——的取值范圍為

【答案】（0,1）

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義把|P6|,歸入|用《,。2來(lái)表示，然后在中用余弦定理求出4,02的

關(guān)系，然后再用函數(shù)求解.

【詳解】設(shè)|尸耳|=聞尸閭="

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以加+〃=2%①

又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以根-〃=2%②

則①+②得根=q+"2；①一②〃=6-。2

在△PGM中由余弦定理得：怩用2=/+〃2-2加〃cos4

22（n

即4c~=（q+a,）+（q—a、）—2（。［+。,）（4—a,）——J

.,,3a2.31

即4c2=3a：+a；,即4=旦+"即4=f+）

“八2八2p~七

,141.3

所以1＜「"＜彳，='=4--,

e｝3e2e]

14iii(3、

令l＜f=二＜4，則7--^=-^4一下|=一3產(chǎn)+4fe(0,l)

所以“e(O，l).

G%

故答案：(。,1).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5“,。5+。9=-2,5?=57.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為：

⑵求S“，并求S”的最大值.

【答案】(1)?！?27-4〃

⑵78

【解析】

【分析1⑴%+困=-2,§3=57化成4,d的方程組解決.

(2)求出S“，判斷單調(diào)性，求最值.

【小問(wèn)I詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,則

%+/=G+4d+q+8d—2at+12d——2,S3—二——2a2=3。,=3(q+d)=57

6Z|=23,d-—4,cifJ=q+(〃一1)d=23-4,-1)=27一4/t

【小問(wèn)2詳解】

/.Sn=na｝H■―--d-23〃-2〃(〃-1)=25n-2n~

S"+「S”=25(〃+1)-2(〃+1)2-25/J+2*=21-4”

當(dāng)〃W5時(shí)，S〃+]—S〃＞。，當(dāng)〃之6時(shí)，S“+]—S“v0

所以(S”)3=§6=25x6-2x62=78

18.已知拋物線。r2=2〃尤過(guò)點(diǎn)人(-2,-4).

(1)求拋物線。的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

(2)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A8兩點(diǎn)，求線段A8的長(zhǎng)度.

【答案】(Dy?=-8x,x=2.

32

⑵不

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線過(guò)得點(diǎn)可求得P值，即可求得答案；

(2)寫(xiě)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合拋物線定義可求得拋物線弦長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

拋物線C:丁=2℃過(guò)點(diǎn)A(-2,-4),則(-4>=-4p,p=-4,

故拋物線。的方程為V=-8x,其準(zhǔn)線方程為x=2.

【小問(wèn)2詳解】

拋物線C的方程為V=—8x,焦點(diǎn)為b(—2,0),

則直線AB的方程為y-tan60(x+2)=百(x+2),

聯(lián)立V=-8x,可得3X2+20X+12=0，A=256>(),

20

設(shè)A(X[,x),B(X2,%)，則%+%=—I，

由拋物線定義可得IAB\=\AF\+\BF|=2-X,+(2-X2)=4-(X,+X2),

2032

故|48|=4—(玉+々)=4+石=可.

19.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC?！狝旦G2中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段8月的中點(diǎn).

(1)求直線FC,與直線B】E的所成角的余弦值;

⑵求點(diǎn)尸到平面AB#的距離.

【答案】⑴號(hào)

1

（2）3

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線尸G與直線瓦后的所成角的余弦值.

（2）利用向量法求得點(diǎn)F到平面AB]E的距離.

【小問(wèn)1詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)直線FG與直線與后的所成角為。，

1-1r-

rrpi^-FC\.B】E__4_N5

所以cC°OSs『阿盟『用3一5?

22

【小問(wèn)2詳解】

W)，4(U,I)/4=(O,O,￡|,

A(1,O,O),￡^O,O,0AE=^-1,O,0A5,=(0,1,1),

設(shè)平面AB{E的法向量為n=(x,y,z),

nAE=-x-^--z=0

,2，故可設(shè)〃=0，-2,2).

n?AB1=y+z=0

設(shè)尸到平面ABE的距離為"，

n-FB[

則d

H3

20.如圖，某海面上有0、A、B三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì))，A島在。島的北偏東45°方向距。島40&

千米處，8島在O島的正東方向距。島20千米處以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米

為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系圓C經(jīng)過(guò)0、A、B三點(diǎn).

(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船。在O島的南偏西3()。方向距O島40千米處，正沿著北偏東60。行

駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？

【答案】(1)/+'2-20彳-60丫=0

(2)該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)

【解析】

【分析】(1)由圖中坐標(biāo)系得A3,。坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)求解，然后把一般方程配方

得標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)先求出航行方向所在直線方程，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得.

【小問(wèn)1詳解】

如圖所示，A(40,40)、5(20,0),

設(shè)過(guò)。、A、B三點(diǎn)的圓C的方程為丁+丁+為+或+尸=0,

7=0

得：,4()2+402+400+40E+F=0,解得。=—20,￡=-60,尸=0,

202+20￡>+F=0

故所以圓C的方程為X2+y2-20x-60y=0,

圓心為C(10,30),半徑r=10A/F5，

【小問(wèn)2詳解】

該船初始位置為點(diǎn)D,則0(-20,-205/3),

且該船航線所在直線/的斜率為—,

3

故該船航行方向?yàn)橹本€3y-406=0,

由于圓心C到直線/的距離d=15(百+1)>10后,

故該船沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)

21.如圖，四棱錐P—ABC。的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M為8C的中點(diǎn)，且

PBYAM.

(1)求BC-.

(2)求二面角A——8的余弦值.

【答案】(1)JE

⑵血

14

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用尸-AM=0求得8c.

(2)利用向量法求得二面角A—PM—B的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

9,平面ABC。，AD,CZ)u平面ABC。，所以PD工AD,PDLCD,

四邊形ABC。為矩形，AD±CD,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、OC、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系力-孫z,

設(shè)3c=2a,則0（0,0,0）、P（0,（）,l）、8（2。,1,0）、M（a,l,（））、A（2a,0,0）,

則尸8=（2a,l,—l）,AM=（-a,1,0）,

PB1.AM，貝iJP6-AM=-2a2+l=0，

解得a=1,故BC=2a=歷;

2

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)平面BW的法向量為加=（X，X，zJ,則AM=-^,1,0,AP=（-72,0,1）,

.V2八

JTI?AM=----x+Vi=0i—/i-\

由V2',取不=&,可得m=（，2,1,2b

m.AP=-垃X]+Z]=0

--,o,o\BP

設(shè)平面P8M的法向量為〃=(X2，%，Z2)，BM=^2,—1,lj,

2