2023屆北京市順義區(qū)第一中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合M=,N={X*44},那么MCN=()

A.[-2,-3)B.(-1,2]

C.[2,3)D.[-2,3)

【答案】B

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合N,再由集合交集的定義求解即可.

【詳解】因為集合用=何一1<%<3},/V={X|X2<4}={X|-2<X<2},

所以McN={x[-1<X42}.

故選:B.

2.復(fù)數(shù)棄1=()

4-31

A12.「12.112.c112.

A.----1B.—I—1C.-------1D.1—1

55552525255

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)運算法則直接求解即可.

【詳解,當-=丁=「尸

故選：B.

3.己知{4}是公差為d的等差數(shù)列，S“為其前〃項和.若邑=34+3,則”=()

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】C

【解析】根據(jù){%}是公差為d的等差數(shù)列，且53=3《+3,利用等差數(shù)列的前"項和公式求解.

【詳解】因為{4}是公差為4的等差數(shù)列，且$3=34+3,

所以3。]+3d=3al+3,

解得d=l,

故選：C

4.已知向量。=(2/)，6=(—2/)且。，(2。一項則實數(shù)上=()

A.-14B.-6C.6D.14

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)條件求得2a-6的坐標，再根據(jù)。_1（2。-可，得到關(guān)于女的方程，解之即可.

【詳解】???:=（2,1）,6=（-2,&）,

2々-。=（6,2-左）,

又：Q_L（2〃一彼），

工2x6+1x（2—&）=0,解得攵=14.

故選：D.

5.設(shè)a,b是實數(shù)，則“a>b”是〈尹的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】通過列舉反例即可說明充分性和必要性.

【詳解】當時，有a>b,19-=1>7=-1,

ah

故不能推出!</,

當=1時，有,<4，但a=—l<b=l,

ab

故!〈:不能推出

故“a>〃”是的既不充分也不必要條件

故選：D.

6.將函數(shù)y=2cosx的圖象向右平移TT］個單位長度，再將所得圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來

的!（縱坐標不變），得到的函數(shù)解析式為（）

A.j=2cos2xB.^=-2cos2xC.y=-2sin2xD.y=2sin2x

【答案】D

【分析】利用誘導(dǎo)公式以及函數(shù)丫=4411（3+0）的圖象變換規(guī)律，可以求得變換后的函數(shù)的解析式.

【詳解】將函數(shù)y=2cosx的圖象向右平移］個單位長度，

可得函數(shù)>=2（：0$0-9=2367）=2$出》的圖象；

再將所得圖象的所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變），

可得到的函數(shù)y=2sin2x的圖象,

故選：D.

7.設(shè)函數(shù)/(x)=xe",則()

A.戶-1為了⑶的極大值點且曲線y=f(x)在點(OJ(O))處的切線的斜率為1

B.x=l為/(x)的極小值點且曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線的斜率為2e

C.戶-1為f(x)的極小值點且曲線y=f(x)在點(O,/(O))處的切線的斜率為1

D.4-1為/(x)的極小值點且曲線y=/(x)在點(0，/⑼)處的切線的斜率為2e

【答案】C

【分析】對函數(shù)/5)求導(dǎo)，求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進而可得出其極值點，由/(0)=1,可得到在

點(OJ(O))處的切線斜率.

【詳解】解：因為f(x)=x",所以尸(x)=e*+xe*=(x+l)e",

令廣(幻>0,解得x>—l,令/'(x)<0,解得x<—1,

/(%)在(f,-1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

,x=—1是函數(shù)/(A)的極小值點,

又/(0)=1,則曲線y=f(x)在點(0,7(0))處的切線斜率為1,

故選：C.

8.若函數(shù)/(x)=1-2x-a,當時，/(x)40恒成立，則。的取值范圍()

x3

A.(-oo,3]B.[3,+oo)C.bg'gD.g'+8)

【答案】D

【分析】依題意，當:時，a2±-2x恒成立，令g(x)=l-2x,則a?g(x)111ax,利用

3xx3

導(dǎo)數(shù)求出g(x)的單調(diào)性，進而求得最值得解.

【詳解】解：依題意，當時，恒成立，

3

令g(x)=J-2x，x>|,則又8'(幻=￡-2=-2(9+1]<0,

???g(X)在!，+8)上單調(diào)遞減，

(M?2525

???a*g(x)1rax=g(jJ=9-§=不，即此三

故選：D.

9.若雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的0倍，且一個頂點的坐標為（2,0）,則雙曲線的標

準方程為（）

A.—-^-=1B.=1C.x2-^-=l

D.=1

444444

【答案】A

【分析】根據(jù)條件列關(guān)于“，b,c的方程組求解即可.

■>2

【詳解】設(shè)雙曲線的標準方程為=-口=1,

b~

'la+2b=2y/2c

a=2

由已知得a=2,解得

b=2'

a2+b2=c2

所以雙曲線的標準方程為t-《=1

44

故選：A.

10.過點的直線/與圓C:-2=4交于A、B兩點，C為圓心，當NACE最小時，直線

/的方程為（）

A.2x+y+2=0B.2x+y-2=0C.2x-4y+3=0D.2x+4y-3=0

【答案】c

C（l,0）,R=2.

取A8的中點為M,連接CM,則CMdJ且|CW|?|CH，

而8s4用當且僅當即,時等號成立,

故NACB最小時，CPU,此時"”二「=-2,故直線/的斜率為;,

-----12

2

故直線/的方程為：丫=3口-￡|+1,即2x-4y+3=0,

故選：C.

二、填空題

11.在/BC中，A,B,C分別是三邊“，％,c所對的角，a=15,〃=10,A=（,sinB=.

【答案】走##

33

【分析】利用正弦定理可求sin8.

10=15廠廠

【詳解】由正弦定理可得二=三，故而萬=一^,故sin8=2=',

sin8sin4sin-153

故答案為：且.

3

12.設(shè)函數(shù)/。）=以3+法+4在x=2處取得極小值，曲線y=/（x）在點（3J（3））處的切線與直線

y=-卜互相垂直，則函數(shù)產(chǎn)fW在（3,0］上的最大值為.

【答案】y

【分析】對f（x）求導(dǎo)，根據(jù)題意建立關(guān)于。，匕的方程組，解出。，匕的值，進而利用導(dǎo)數(shù)可得到答

案.

/,（2）=12a+Z?=01

【詳解】解」（…也，依題意，;⑵"居"d——

解得3,經(jīng)檢驗，符合題意,

b=-A

/（x）=^x3-4x+4,f\x）=x2-4=（x+2）（x-2）,

易知，當尢?-,-2）時，ru）＞（）,/⑴單調(diào)遞增，當工?—2,0］時，ru）＜（）,/⑴單調(diào)遞減,

128

???函數(shù)y=JU）在（YO,0］上的最大值為f（-2）=-x（-8）+8+4=—.

OQ

故答案為：—.

13.設(shè)〃，。，c是單位向量，且〃.力=0，則（。-°），色-。）的最小值為.

【答案】1-V2.

【分析】設(shè)“與c的夾角為。，根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積的運算將（a-c）?伍-c）化為關(guān)于。的

三角函數(shù)表達式，進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.

【詳解】ab=O>且a,b,c均為單位向量,

|a+Z>|=yj(^a+bj=\la2+b2+2a-b=Vl2+12+2x0=V2>

mi=i,c2=1,

'.^a-cy^b-c^=a-b-[a+b^c+c'=\-(a+byc.

設(shè)a+。與c的夾角為0,

則(a_c).._c)=[_|a+Mc|cose=l_0cose.

故(a-4).僅一c)的最小值為i一夜.

故答案為：1-夜.

三、雙空題

14.數(shù)列｛6,｝是公差為-2的等差數(shù)列，記■“｝的前〃項和為靠,且一雙,七成等比數(shù)列，則

ai~;S“=-

【答案】8-n2+9n

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得解出q的值，再結(jié)合等差數(shù)列的前"項和公式可得結(jié)果.

【詳解】因為數(shù)列｛““｝是公差為-2的等差數(shù)列，4gM成等比數(shù)列，

所以4；=44，即（4-4）2=4（4-6）,解得4=8；

所以S“=Sn+^—~—x（-2）=-n2+9〃,

故答案為：8,-n2+9n.

2*—1,x<〃

15.設(shè)函數(shù)/（x）=J2°八，貝IJ當a=l時，求/⑶的最小值為________;若?。┣∮?/p>

4（x-3x4-2Lx>?

兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】-1（―,0]51，2]

【分析】當”=1時，分別求解兩段函數(shù)的最小值，取最小值中的最小者可得了（X）的最小值：分別求

丫=2*-1與丫=412―3尢+2）的零點，再對。分類討論得答案.

【詳解】解：若a=1,則當x<l時，/（x）=2'-l<2-l=l；

當時，/（幻=41-|）一1,當》=；時，/（x）的最小值為-1.

???Ax）的最小值為-1；

由2*-1=0,解得x=0；

由4y-3x+2)=0,解得x=l或x=2.

若440,則函數(shù)/(x)恰有2個零點，分別為1,2,符合題意；

若0＜。41,則函數(shù)/(*)有3個零點，分別為0,1,2,不符合題意：

若則函數(shù)/(x)有2個零點，分別為0,2,符合題意；

若。＞2,則函數(shù)/0)有1個零點0,不符合題意.

綜上所述，滿足題意的實數(shù)。的取值范圍是(e,0]u(l,2].

故答案為：-1；(-?,0]u(l,2].

四、解答題

16.已知函數(shù)〃x)=asin2x+2cos2x-l,再從條件①、②、③這三個條件中選擇一個作為已知，求：

(I)f(x)的最小正周期；

(II)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①：/(X)圖像的對稱軸為x=(:條件②：=條件③：a=6.注：如果選擇多個條件

分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(I)答案見解析；(II)答案見解析.

【解析】選①(I)逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用輔助角公式化簡得/(x)=，77isin(2x+*),

根據(jù)對稱軸求得夕的值，進而求得。的值，得到函數(shù)的解析式，求得最小正周期；

(II)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求得/(X)的遞增區(qū)間.

選②(I)逆用余弦的二倍角公式降累得到〃x)=asin2x+cos2x,根據(jù)選擇的條件求得〃的值，得到

函數(shù)的解析式，并利用輔助角公式化簡，然后求得f(x)的最小正周期；

(II)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求得"X)的遞增區(qū)間.

選③逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用輔助角公式化簡得到f(x)=2sin(2x+B)

然后求得/(X)的最小正周期；

(II)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求得/(X)的遞增區(qū)間.

【詳解】選①(/(X)圖像的一條對稱軸為X=?)

O

解：(I)/(x)=asin2x+2cos2x-1

Vo2+lsin(2x+M(其中tan°=一)

因為/(x)圖像的一條對稱軸為X=J

O

所以/(—)=7a2+1sin(-+0)=±>]a2+1

84

艮|]有?+0=A7r+g,Z￡Z

所以9=kr+工,AwZ

所以tane=tan(Z/r+—)=tan—=1=—

44。

故f(x)=①sin(2x+f)

2萬2zr

所以/“)的最小正周期為：T=~~-=—=71

⑷2

JTTT7T

(II)——+2%乃W2x+—W—+2&乃,&eZ

242

所以fM的遞增區(qū)間為［-*+k),g+攵加,keZ

88

選②(叼=1)

解：(I)/(x)=dsin2x+2cos2x-l

2427r

所以/(X)的最小正周期為：T=—=—=^

\co\2

ITTTTT

(II)——+2k/rV2x+—W2k兀，kwZ

242

所以/(X)的遞增區(qū)間為［-『kW+EkeZ

oo

選③(〃=G)

解：(I)/(x)=73sin2X+2COS2X-1

所以/(X)的最小正周期為：T=f=9="

⑷2

7TTTIT

(H)——+2k7V<2x-v—<—+2k7r,keZ

262

所以fM的遞增區(qū)間為［-1+k;r】+k初keZ

36

【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變形和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是逆用余弦的二倍角公式降基后，

并使用輔助角公式化簡.

17.已知他“｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前”項和為S,,,4=2,$3=14.數(shù)列也｝滿足偽=5,

4=3,且｛2-%｝為等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛4｝和｛2｝的通項公式；

(II)求數(shù)列也,｝的前”項和卻

n+l2

【答案】(1)?！?2"，b“=2"-4n+7,,jeN\(ID7；,=2-2n+5?-2,?eN*.

【分析】(I)設(shè)公比為4,公差為d,再利用基本量法求解即可.

(H)由(I)可知勿=2"-4〃+7,再用分組與等差等比數(shù)列求和的方法即可.

【詳解】解：(I)設(shè)等比數(shù)列等J的公比為的等差數(shù)列等,-4｝的公差為的

因為q=2,$3=4+/+%=14,所以°?+4-6=0.

解得4=2或q=-3(舍).

又因為4-4也-%也一生成等差數(shù)列，

所以也-4)=(4-《)+2”.

解得4=-4.

所以4=2"也=2"-4〃+7,〃wN*.

(11)由(I)知也=2"-4”+7.

因此數(shù)歹|J｛"｝的前〃項和為1=(2+2?++2")—4(1+2++〃)+7〃，

所以，數(shù)列也｝的前“項和為騫=2向-2/+5”-2,〃eN*.

【點睛】本題主要考查了基本量求解數(shù)列的方法,同時也考查了等比等差數(shù)列求和的公式等.屬于中檔

題.

18.在［ABC中，角48C的對邊分別為a,h,c,且角AB,C成等差數(shù)列.

(I)若匕=\/?^,。=3,求邊c的值；

(II)設(shè)「=sinAsinC,求f的最大值.

3

【答案】(I)4：(II)—.

4

【詳解】試題分析：(D由AB,C成等差數(shù)列求得B的值，再由余弦定理求得C的值；(II)因為

A+C=T，利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)t的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得

t的最大值.

試題解析：(I)因為角A，B,C成等差數(shù)列，所以28=A+C,

jr

因為A+B+C=乃，所以B=§.........................................2分

因為8=V13?,。=3,b2=a2+C2-2〃ccosB,

所以c2-3c-4=0,

所以c=4或c=T(舍去).

(II)因為A+C=與，

所以r=sinAsinf--4)=sinA—cosA+—sinA

I3JI2-)

6?1(l—cos2A111.(萬)

4212J4216J

因為0<A<多，所以一9<24-9<§,

3666

所以當24.=],即A4時，.有最大值

【解析】三角函數(shù)的基本性質(zhì).

19.已知函數(shù)〃x)=gx2+(a-2)x-2機Inx(/?<0).

⑴當〃?=-1時，求〃x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)當機4-；時，求證：f(x)-〃猶在(0,+8)上是增函數(shù)；

(3)求證:當-Iv/nvO時,對任意xe[l,+8),/(x)>2m(l-ln2)-2.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析;

(3)見解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性；

(2)利用判別式可判斷導(dǎo)數(shù)的符號，從而可證函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù):

(3)結(jié)合(1)的討論可求函數(shù)的最小值，從而可證不等式成立.

【詳解】(1)/,(%)=口佇空72e=(廿〃以上2),

XX

當m=T時，尸(力二(1):,

當Ovxvl或x>2時，元)>0；當lvxv2時，r(x)<0,

故〃力的增區(qū)間為(0,1),(2,+助,減區(qū)間為(1,2).

(2)設(shè)g(x)=/(x)-mr,則g，(x)二廠+(〃L2)X2,/二/旦二網(wǎng)

XX

當時，△=4+8析40,故_?一2;(:-2520恒成立且不恒為零，

故g'(x)20在(0,+功上恒成立且不恒為零，故g(x)在(0,+8)上為增函數(shù).

⑶r(x)=a+?(Tm,

當x>2時，f^x)>o；當l<x<2時，r(x)<0,

故〃x)在(1,2)上為減函數(shù)，在(2,+8)上為增函數(shù)，

故在［1,+oo)上，/(x)n,n=/(2)=2+2(?n-2)-2/?ln2=2w(l-ln2)-2,

故"x)22〃7(l-ln2)-2成立.

22

20.已知橢圓C：￡+￡=1(4>沙>0)的長軸長為4,且離心率為g.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點尸(1,0)且斜率為k的直線/與橢圓C交于A,B兩點，線段A3的垂直平分線交x軸于點

\AB\

D求證：了總為定值.

\DF\

v22

【答案】(I)土+乙v=1

43

(2)證明見解析.

【分析】(1)求出。力后可得橢圓的方程；

(2)設(shè)直線/的方程為y=k(x-l),用斜率七表示|筋|,|?；貄后可證渦為定值.

【詳解】(1)由題設(shè)可得。=2,

設(shè)橢圓的半焦距為C,則￡=故c=l,故方=石，

a2

故橢圓的方程為：—+^=1.

43

(2)當2=0時,l：y=0,此時|AB|=4,而0(0,0),故同=1,故粽=4.

當“H0時，直線/的方程為y=乩?1),A(x，yJ,B(孫％)，

由‘可得(3+4*卜2-85"+4”-12=0，

此時A=64左，一4（3+4人2）（4&2—12）=144+1MA:?>0,

%+x2_4k2一+%二3k

2飛+“2-3+4公'

J144+144及212（1+二）

且|AB|=Jl+rx

3+4公3+4公

14公3k

AB的中垂線的方程為：、=一憶

3+4/

k13（1+用

令y=0,貝！|/=故|DF|=占一1