2.4拋物線第2章

圓錐曲線教師xxx滬教版（2020）選擇性必修第一冊拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的性質(zhì)

0102CONTANTS目錄拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程01情景導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線，今天我們類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法，研究另一類圓錐曲線——拋物線．(2)雙曲線的離心率的范圍是e＞1;(3)當(dāng)e=1時，它的軌跡是什么？(1)橢圓的離心率范圍為0<e<1;拋物線拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程作圖1：

作定點F，定直線l(l不經(jīng)過定點F)，B為定直線上一個動點，過B作l2⊥l，線段BF的垂直平分線交l2于D點.拖動B點，點D隨之運動。思考：D點滿足什么條件？它的軌跡是什么形狀？思考：D點滿足什么條件？它的軌跡是什么形狀？在運動過程中，始終有|BD|=|DF|，即點D與定點F的距離等于它到定直線的距離，點D的軌跡形狀與二次函數(shù)的圖象相似。如圖，我們在黑板上畫一條直線EF，然后取一個三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動三角板，粉筆會畫出一條曲線．作圖2：問題1：|DA|是點D到直線EF的距離嗎？為什么？提示：是．AB是直角三角形的一條直角邊．問題2：點D在移動過程中，滿足什么條件？提示：|DA|＝|DC|.問題3：畫出的曲線是什么形狀？提示：拋物線．平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.拋物線定義定點F叫做拋物線的焦點.定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.··FPlC集合表示：P＝{M||MF|＝d}，d為點M到準(zhǔn)線l的距離對拋物線定義的認(rèn)識(1)定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”；一個動點，設(shè)為M；一個定點F叫做拋物線的焦點；一條定直線l，叫做拋物線的準(zhǔn)線；一個定值，即點M與點F的距離和它到直線l的距離之比等于1.(2)注意定點F不在直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線.求軌跡方程★如何建立直角坐標(biāo)系？想一想？使方程形式足夠簡潔！··FPlC

從上述過程可以看到,拋物線上任意一點的坐標(biāo)(x,y)都是方程①的解,以方程①的解為坐標(biāo)的點(x,y)與拋物線的焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離相等,即以方程①的解為坐標(biāo)的點都在拋物線上,我們把方程①叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它表示焦點在x軸正半軸上,焦點是，準(zhǔn)線是的拋物線.

在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時,選擇不同的坐標(biāo)系我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式?請?zhí)骄恐筇顚懴卤?圖像

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程1．標(biāo)準(zhǔn)方程特征：等號一邊是某個變量的完全平方，等號的另一邊是另一變量的一次項；2．標(biāo)準(zhǔn)方程中p表示焦點到準(zhǔn)線的距離，p的值永遠(yuǎn)大于零；3．四個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分：焦點在一次項變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定．當(dāng)系數(shù)為正時，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向.方法總結(jié)題型探究實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距離與點線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題解決最值問題在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題拋物線的性質(zhì)02

你認(rèn)為應(yīng)該研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？利用數(shù)形結(jié)合思想方法，從圖形、方程兩個角度．橢圓雙曲線類比拋物線1.范圍（代數(shù)法、幾何法兩種方法研究）

以

為例研究拋物線的幾何性質(zhì)

拋物線

y2=2px(p＞0)在

y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(biāo)(x,y)，橫坐標(biāo)滿足不等式

x≥0；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．范圍拋物線上的點

，

，

．

幾何法代數(shù)法2.對稱性——關(guān)于

軸對稱P1(x,-y)

軸所以拋物線關(guān)于

軸對稱.

觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)，拋物線

關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．

拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.

拋物線的頂點坐標(biāo)是坐標(biāo)原點(0,0)．

3.頂點

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

，拋物線關(guān)于

軸對稱，當(dāng)

時，

．拋物線的頂點就是原點．4.離心率

拋物線上的點M與焦點F的距離和點M到準(zhǔn)線的距離

的比

，叫做拋物線的離心率.用

e

表示，由拋物線的定義可知e=1．(1)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；(2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;(3)拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線；(4)拋物線的離心率e是確定的，為１;【總結(jié)歸納】直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,當(dāng)Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當(dāng)Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個切點;當(dāng)Δ<0時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若k=0,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.探究點一拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例1】

已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對稱軸、自變量x的范圍.(2)以坐標(biāo)原點O為頂點,作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦點F是△OAB的重心,求△OAB的周長.思路分析(1)利用拋物線的對應(yīng)性質(zhì)求解;(2)利用拋物線的對稱性及重心的性質(zhì)求解.解

(1)拋物線y2=8x的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對稱軸、自變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),直線x=-2,x軸,[0,+∞).題型探究(2)如圖所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,設(shè)垂足為點M.因為焦點F是△OAB的重心,規(guī)律方法

拋物線的幾何性質(zhì)在解與拋物線有關(guān)的問題時具有廣泛的應(yīng)用,但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含的條件.其中應(yīng)用最廣泛的是范圍、對稱性、頂點坐標(biāo).在解題時,應(yīng)先注意開口方向、焦點位置,選準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程形式,然后利用條件求解.要注意運用數(shù)形結(jié)合思想,根據(jù)拋物線的定義,將拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練1已知拋物線的焦點F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點,坐標(biāo)原點O為拋物線的頂點,若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究點二直線與拋物線的位置關(guān)系【例2】

已知拋物線y2=2x,過點Q(2,1)作一條直線交拋物線于A,B兩點,試求弦AB的中點的軌跡方程.規(guī)律方法

1.解決中點弦問題的基本方法是點差法,因為用點差法求軌跡方程時用到了斜率,所以必須驗證斜率不存在的情況.2.直線與拋物線相交于兩點,隱含著條件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是為利用中點坐標(biāo)公式做準(zhǔn)備.3.設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當(dāng)Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點;當(dāng)Δ<0時,直線與拋物線相離,無交點.變式訓(xùn)練2設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是(

)答案

C解析

由題知Q(-2,0),若直線l的斜率不存在,顯然不合題意.故直線l的斜率存在,設(shè)為k,則l的方程為y=k(x+2).當(dāng)k=0時顯然符合題意;當(dāng)k≠0時,需Δ≥0,即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.故直線l斜率的取值范圍是[-1,1].探究點三拋物線的焦點弦問題【例3】

設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.(1)求直線l的方程;(2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解

(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).(2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.規(guī)律方法

AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點F的一條弦,稱為焦點弦,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點為M(x0,y0),過A,M,B分別向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,拋物線的焦點弦有以下結(jié)論:答案

C探究點四與拋物線有關(guān)的定點、定值問題【例4】

已知動圓經(jīng)過定點D(1,0),且與直線x=-1相切,設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)設(shè)過點P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于A,B兩點,直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補.證明:直線AB的斜率為定值.(1)解

∵動圓經(jīng)過定點D(1,0),且與直線x=-1相切,∴E到點D(1,0)的距離等于E到直線x=-1的距離,∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點,以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.∴曲線C的方程為y2=4x.(2)證明

設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)+2.∵直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補,∴l(xiāng)2的方程為y=-k(x-1)+2.規(guī)律方法