2023-2024學(xué)年湖南師大附中高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(二)

一、單選題(本大題共7小題，共35.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合A={x\y=lg(x4-1)},B={y\y=-2x,xGR},則4nB=()

A.(—1,0)B.(-l,+oo)C.RD.(—8,0)

2.下列條件中，使a〉b成立的充分不必要條件是()

A.a2>b2B.a3>b3C.ac2>be2D.-<

ab

3.已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm?)為2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)

是()

A.2B.1C.D.1

4.若{時}為等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且Su=竽，{bn}為等比數(shù)列，b5-b7=則tan(a6+b6)的值為

()

A"B.士「C?D.土？

5.已知雙曲線圣一看=19>0/>0)的右焦點為凡以尸為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線的兩

個交點為4,B.若乙4FB=60。，則該雙曲線的離心率為()

A.gB.小C.JD口

6.將函數(shù)f(x)=sin(3X-以3>0)在［05］上單調(diào)遞增，則3的最大值為()

A.6B.5C.4D.1

7.設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(xGR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-I)=0,當(dāng)X>0時，xf'(x)-/(x)<0,則使得/(x)<0

成立的x的取值范圍是()

A.(—8,—1)U(0,1)B.(—1,0)U(1,+8)

C.(-00,-1)u(TO)D.(04)u(1,+8)

二、多選題(本大題共5小題，共25.0分。在每小題有多項符合題目要求)

8.AABC中，。為AC上一點且滿足而=若P為BC上一點，且滿足?=4荏+〃而，2,4為正實數(shù)，

則下列結(jié)論正確的是()

A.加的最小值為16B.川的最大值為白

1O

11

C.；+看的最大值為16D.力+詬的最小值為4

9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是()

A.若復(fù)數(shù)Z=罟，貝收3。=-1

1-1

B.若復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=\z-i\,則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z在一條直線上

C.若一1)+(%2+3%+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x=±1

D.復(fù)數(shù)z=2-i的虛部為T

10.已知過點4(a,0)作曲線C：y=卷的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的值可以是()

A.-2B.4C.0D.6

11.已知F是拋物線C：y2=x的焦點，AQi，yj,8(小，、2)是C上的兩點，。為原點，則()

A.若BB'垂直C的準(zhǔn)線于點B',且|BB'|=2|OF|,則四邊形。FBB'的周長為過?

B.若［4尸|=|,則△40F的面積為W

C.若直線AB過點F,貝屹與+冷的最小值為好

D.若次而=則直線43恒過定點4,0)

4Z

12.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E為邊4B的中點，沿DE將△4DE

折起，點4折至公處⑷C平面力BCD),P,Q分別在線段CE和側(cè)面&DE上

運動，且PQ=2,若M、N分別為線段&C、PQ的中點，則在△力DE折起

過程中，下列說法正確的是()

A.AAiEC面積的最大值為

B.存在某個位置，使得8M1A.D

C.三棱錐&-EDC體積最大時，三棱錐①-EDC的外接球的表面積為167r

D.三棱錐4-EDC體積最大時，點N到平面&DC的距離的最小值為亨-1

三、填空題(本大題共4小題，共20.()分)

13.△4BC的三個頂點分別是做1,一1,2),5(5,-6,2),C(l,3,-1),貝邊上的高BO長為.

2

14.已知函數(shù)/Xx)=sinxcosx—cos%+1(xGR).若/(珀=^^,x0e與藺,則cos2x0=

15.已知函數(shù)f(x)［一1),若a<b,〃a)=/(b),則實數(shù)a-2b的取值范圍為_______

(eV%S—1)

16.在如圖所示的三角形數(shù)陣中，用心,。2/)表示第“亍第/個數(shù)(ijCN*),己知%,i=1一號(i€N*),且

當(dāng)i>3時，除第i行中的第1個數(shù)和第i個數(shù)外，每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和，即=

at-ij-i+a—j(2<j<i-1).若。皿2>2023,則正整數(shù)a的最小值為.

0

22

21

3.3

414

772Z

8448

_152[72[J5

正至50正

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列5｝的前n項和為及，%=y/~2,an>0,an+1-(Sn+1+Sn)=2.

⑴求％;

(2)求后豆+S2+S3+…+Sn+S.+/

18.(本小題12.0分)

在△力BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,^+-=4cosC.

(1)求”的值；

c乙

(2)若*]*]4+JX求C0S4.

tanBtanAtanC

19.(本小題12.0分)

為加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計劃用若干年時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一

輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動力型車，今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力

型公交車400輛；計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%,混合動車型車每年比上一年多投入a輛.

(1)求經(jīng)過?i年，該市被更換的公交車總數(shù)S(n)；

(2)若該市計劃7年內(nèi)完成全部更換，求a的最小值.

20.(本小題12.0分)

在三棱柱力BC-AiBiG中，四邊形力/當(dāng)夕是菱形，AB1AC,平面44當(dāng)&J"平面ABC,平面與平

面AB1c的交線為，.

(1)證明:4B1B1C；

(2)已知4/lBBi=60°,AB=AC=2〃上是否存在點P,使與平面4BP所成角為30。？若存在，求81P的

長度；若不存在，說明理由.

21.(本小題12.0分)

設(shè)橢圓C：圣+，=19>6>0)的離心率6=3,橢圓上的點到左焦點Fi的距離的最大值為3.

(I)求橢圓C的方程；

(II)求橢圓C的外切矩形4BCD的面積S的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=x—alnx(aeR).

(1)當(dāng)a<e時，討論函數(shù)/'(x)零點的個數(shù);

(2)當(dāng)xG(1,+8)時,f(x)>axRnx-xe*恒成立，求a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：依題意，A={x\x+1>0}={x\x>-1}=(-1,+oo),B-(y\y<0]=(-℃,0),

所以4nB=(-1,0).

故選：A.

由題意，先求出函數(shù)的定義域和值域分別化簡集合4B,再利用交集的定義求解即可.

本題主要考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求兩個集合的交集，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由a?>爐=|a|>聞；a3>b3a>b；ac2>be2na>b,反之不成立；；<:與a>b相

互推不出.

可知：a>b成立的充分不必要條件是ac?>be2.

故選：C.

利用不等式的基本性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.

本題考查了充要條件的判定方法、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】【分析】

利用扇形的面積公式以及弧長公式，結(jié)合圓錐側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長，半徑等于圓錐的母線長，

求解即可.

本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長，半

徑等于圓錐的母線長，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：設(shè)圓錐的母線長為ac/n,

因為圓錐的側(cè)面積為2兀cm2

則:"a27r=2TT>

解得a=2cm,

所以側(cè)面展開扇形的弧長為2兀cm,

設(shè)圓錐的底面半徑為rem,

則2TTT=2n,解得r=1cm,

所以這個圓錐的底面半徑是1cm.

故選:B.

4.【答案】C

【解析】解：｛時｝為等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且工1=竽，Su=lla6,.??&6=學(xué)

｛為｝為等比數(shù)列，憶力=。則壇=±今

tan(a6+b6)=tan+y)=tan=?.

□ZOD

或tan96+①)=tan(亭—^)=tan：=—

□ZoS

故選：c.

利用等差數(shù)列的和求出。6,等比數(shù)列的性質(zhì)求出優(yōu)，然后求解即可.

本題考查數(shù)列求和，三角函數(shù)的化簡求值，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查計算能力.

5.【答案】D

【解析】解：因為〃FB=60。，F(xiàn)B=F4=a，所以三角形AFB為正三\

角形，\

所以F(c,0)到直線bx-ay=0的距離為FH=3，所以丁，\~,-------

2Ja2+b^

因為a2+b2=c2,所以/,=年，所以c2=*a2,所以e=(=1Z.//

故選：D.

結(jié)合圓的垂徑定理及點到直線距離公式求出焦點到準(zhǔn)線的距離，求出離心率即可.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

6.【答案】B

［解析］解：/(x)=sinQx-，)=—cosa)xf

???函數(shù)在(01)上單調(diào)遞增，

.1?<n,即3<5,

故選:B.

整理函數(shù)f(x),結(jié)合余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)得到不等式，進(jìn)而可求得3的最大值.

本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)g(x)=與，則g'(x)=也要魚,

,?,當(dāng)%>0時，總有%/'(%)<f(%)成立,

即當(dāng)%>0時，g'(%)恒小于0,

當(dāng)x>。時，函數(shù)g(x)=竽為減函數(shù)，

又??.g(-x)=生?=皆=竽=g(x),

???函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù)，

又5(-1)=粵=0-

???函數(shù)g(X)的圖象性質(zhì)類似如圖：

數(shù)形結(jié)合可得，不等式/(%)<0o%?g(x)<0

0|(gX(<x)0>0或_^(|Xg(>x)0<OQ-1y<%<八。一或其,YL

故選：B.

由已知：當(dāng)x>0時，總有xf'(x)—/(x)<0成立，可判斷函數(shù)g(x)=竽為減函數(shù)，由已知f(x)是定義在R

上的奇函數(shù)，可證明g(x)為(―8,0)u(0,+8)上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g(x)在(0,+8)上的單調(diào)性和奇偶性，

模擬g(x)的圖象，而不等式f(x)<。等價于久?g(x)<0,數(shù)形結(jié)合解不等式組即可.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題.

8.【答案】BD

【解析】解：因為。為AC上一點且滿足而=：DC,

所以石=4而，因為存=4與+〃近，則屈=，四+4〃同，

又P為BC上一點，所以B,P,D三點共線，則有;1+4〃=1,

由基本不等式可得，1=2+=解得備當(dāng)且僅當(dāng);1=4〃=，時取等號，

故加的最大值為白，故選項A錯誤，選項8正確；

io

2

由公式可得，；+；之智-=4,當(dāng)且僅當(dāng)4=4〃=：時取等號，

A4〃A+4/z2

故:+表的最小值為4,故選項C錯誤，選項。正確.

故選：BD.

利用三點共線的結(jié)論得到有4+4/z=l,然后利用基本不等式求出;的最值，即可判斷選項A,B,由公式

可求得H盍的最值，即可判斷選項C，D.

本題考查了平面向量與不等式的綜合應(yīng)用，主要考查了三點共線結(jié)論的應(yīng)用以及基本不等式的運用，考查

了邏輯推理與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題.

9.【答案】AB

1+t_(l+i，

【解析】解：對于4

IM_(l-O(l+i)

則z3。=戶°=。4)7.=—],故A正確,

對于B,設(shè)2=(1+兒，a,beR,

v\z-1\-\z-i\,

??[a—l)2+b2=a2+(b—l)2,化簡整理可得，a=b,

故復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z在y=x直線上，故8正確，

對于C,v(x2-1)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),

2

(x—1=0解得x=l,故C錯誤,

lx2+3x+20

對于D,復(fù)數(shù)z=2-i的虛部為—1,故。錯誤.

故選：AB.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則，復(fù)數(shù)的幾何意義，純虛數(shù)的定義，以及虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，復(fù)數(shù)的幾何意義，純虛數(shù)的定義，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解:設(shè)切點為(打,宙),則y'|*=x0=M，

???在切點處的切線方程為y-需=與表(x-X。)，

把點4(a,0)代入，得一,=3端(a—Xo),

2

即方程以-ax0+a=0有兩解，則4=a-4a>0,

解得a<0或a>4.

結(jié)合選項可知，a的值可以是-2,6.

故選：AD.

設(shè)出切點坐標(biāo)，得到曲線在切點處的切線方程，把4點的坐標(biāo)代入，整理可得關(guān)于孫的一元二次方程，再由

判別式大于0求解a的范圍，結(jié)合選項得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，是中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于選項4,由題意知|OF|=/且8/垂直于x軸,

根據(jù)拋物線的定義可知|BF|=\BB'\=1,

設(shè)BB，與y軸的交點為D,易知|。。|=|BF|弓，|B'D|=%故|0刈=J?)2+(；)2=?,

所以四邊形。FBB'的周長為。+④+/+華=昨，選項A錯誤；

42244

對于選項B,由題意得|4用=匕+；=；,解得與=1,所以yi=±l,

111

從=XX1=

o4-8-

1

-+

對于選項C,若2直線4B過點F,設(shè)直線4B：X-my

聯(lián)立直線4B與拋物線方程得好一小y一不=0,4-

則y/2=-%與刀2=9所以2X1+彳2，2J2%1型=叫,選項c正確；

對于選項。，設(shè)直線4B：x=my+t,聯(lián)立直線4B與拋物線方程得y?一my一，=

1

則yi%=一如所以與犯=yfy/=產(chǎn)，由。力?麗=4-

可得+y，2=一；，即/—=解得t=g,

故直線AB的方程為％=01了+/即直線4B恒過定點G，0),選項。正確.

故選：BCD.

根據(jù)焦半徑公式和三角形額的面積公式即可判斷4根據(jù)拋物線的定義和兩點之間的距離公式可得周長，即

可判斷B：聯(lián)立直線與拋物線方程可得y/2=-$/%2=2，進(jìn)而可求2%+型的最小值，即可判斷C;設(shè)

直線AB：x=my+t,根據(jù)韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積，即可判斷D.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線利拋物線的位置關(guān)系，考查了運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔

題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對于4,由4iE=AiO=2,EC=2，1,

則SAAEC=xECxsinAiEC=2y/~2sinA1EC,

所以當(dāng)乙4iEC=1時，S-iEc最大，且最大值為2C，故A正確;

對于B,取4D的中點G,連接EG,MG,顯然MG〃CD,且MG=；CC,

又BE〃CO,BE=\CD,所以四邊形MGEB為平行四邊形，

所以BM〃EG,又4E=2,且DE=2/克，G為&C的中點，

則EG與&D不垂直，所以BM與a。不垂直，故B錯；

對于C,易知三棱錐必-EDC體積最大時，平面&DE1平面DEC,交線為DE,

作&F_LOE,因為4/u平面&0E,則&F_L平面DCBE,

取DC中點H,連接口4，HF,HE,則AFIHF,

由勾股定理可得=J4/2+FW=2,又HE=HC=HD=2,

故點H為三棱錐&-EDC的外接球的球心，

所以其外接球的半徑為R=2,表面積為16兀，故C正確；

對于。，由選項C可知PE1EQ,EN=1,.?.點N在以E為球心，1為半徑的球面上,

設(shè)點E到平面4]。。的距禺為d,因為%=^C-AiDE'

所以gsAACD-d=gs”iOE-2。，易知&C=2「，CD=4,AtD=2,

SAACD=2V_3>SA4[E°=2,：.d=，，

所以點N到平面々DC的距離的最小值為亨-l,選項。正確.

故選：ACD.

力選項，利用三角形面積公式S.EC=g&ExECxsinA^C=2csim4送。，當(dāng)乙41EC=5時,SAA[EC最

大，且最大值為2，至，故A正確；B選項，取&。的中點G,易證BM〃EG,易判斷8錯誤；C選項，三棱

錐4-EDC體積最大時，ArF1平面DCBE,HE=HC=HD=HAt=2,找到球心H求出半徑得解；0選項，

由PEJ.EQ,得EN=1,所以點N在以E為球心，1為半徑的球面上，求出點E到平面410c的距離得解.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間幾何體的外

接球的表面積，考查運算求解能力，考查點到面的距離的最小值，屬中檔題.

13.【答案】5

【解析】解：v>1(1,-1,2),8(5,—6,2),C(l,3,-1),

AB=(4,-5,0).AC=(0,4,-3).

???點。在直線4c上，

:?設(shè)初=AAC=(0,42,-32).

由此可得前=同一荏=(0,4Z,-31)-(4,-5,0)=(-4,44+5,-34)，

又~BD1AC>

.?.麗?尼=-4x0+(42+5)x4+(-3A)x(-3)=0.解得4=一也

因此前=(-4,41+5,-32)=(-4,|,y),

可得|前I=J(一4)2+號)2+q)2=5

故答案為：5

根據(jù)4、C、。三點共線，設(shè)力=4前，利用向量垂直的充要條件建立關(guān)于;I的方程，解出4的值.由此得到

向量前的坐標(biāo)，再利用向量模的坐標(biāo)公式即可求出4C邊上的高BO的長.

本題給出空間的點4、B、C的坐標(biāo)，求點B到直線4c的垂線段的8。的長.著重考查了向量的坐標(biāo)運算、向

量共線與垂直的充要條件、向量的模長公式等知識，屬于中檔題.

14.【答案】Q

【解析】解：依題意，f(x)=gsin2x一cosjx+l+g=子sin(2x—力，

由?sin(2x()=今"，得sin(2x()—=I，又x()e由落，即2和€[0,g，則cos(2x()—$

所以cos2&=cos[(2x0-；)+?=cos(2x0一5cos^-sin(2x0-力sin；=N苧一|*亨=普?

故答案為：￡2.

利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)/(")，再利用已知及和角的余弦公式求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.

15.【答案】(一8,一彳一2]

【解析】解:作出函數(shù)/(x)的圖象如圖：

設(shè)/(a)=/(b)=3

則0<tS工，

e

a<b,Aa<1,b>—1,

則/⑷=e。=3f(b)=2b-l=t,

則a=2n3b=+1),

則Q-2b=Int—t—1,

設(shè)g(t)=bit—t—1,

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'(t)=：—l=P，

則當(dāng)0<tw；時g(t)>o,

此時函數(shù)g(t)為增函數(shù)，

4g(；)=1=_92,

即實數(shù)a-2b的取值范圍為(一8,-；一2],

故答案為：(一8,-：一2].

作出函數(shù)“X)的圖象，設(shè)f(a)=/(b)=3根據(jù)否定，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍即可.

本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).

16.【答案】2026

【解析】解：因為anjul-gL，所以。凡1=1一號，522),

下面求數(shù)列｛斯,2｝的通項，

由題意知，&1,2=^n-1,1+^n-1,29(九—3),

]

所以an,2—an_lt2=an_14=1-產(chǎn)，(n>3),

所以an,2=(即,2-an-l,2)+(an-l,2-斯-2,2)+…+(。3,2-a2,2)+a2,2~“一|，

所以數(shù)列｛斯之｝是遞增數(shù)列，且。2025,2<2023<。2。26,2，

所以正整數(shù)m的最小值為2026.

故答案為：2026.

根據(jù)條件求出數(shù)列｛斯,2｝的通項，利用累加法進(jìn)行求解即可得出答案.

本題考查了歸納推理的應(yīng)用問題，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列｛%?,2｝的通項是解題的關(guān)鍵，是難題.

17.【答案】解：(l)a[=a7t>0,an+i,(S"+i+Sn)=2,

uj得(Sn+1—Sn)(Sn+i+Sn)=2,

可得%+i-S^=2,

即數(shù)列｛S哥為首項為2,公差為2的等差數(shù)列，

可得夠=2+2(n—1)=2n,

由斯>0,可得無=，"而：

11

(------------2)

一Sn+Sn+1<c2,nc+----7--=2(rn+l--)----1=

=號Qn+1)=?an+1-O，

即有q:q+c1c_*---1■7T7一

yj~~2

=—^―(y[~2—1+y[~3—V~~2+2—34-…+Vn+1—y/~n)

yT2,------

【解析】(1)由數(shù)列遞推式可得(Sn+1—S九)(S九+1+Sn)=2,可得麋+1—S￡=2,運用等差數(shù)列的定義和通

項公式可得所求Sn；

(2)化簡=/…%4、=?(/…)=—?),再由數(shù)列的求和方法：裂項相消

7v

\Sn+Sn+1V2n+V2(n+l)2Vn4-V九+12/

求和，化簡整理可得所求和.

本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查

運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(l)AABC中，因為f+2=4cosC,

結(jié)合余弦定理，得必應(yīng)=4x史直衛(wèi)，化簡可得&2+從=202,

ab2ab

所以吆/=2.

11,1cosA.cosC_sinCcosA+cosCsinAsinBcosB

(z)IB------=---------1--------=---------1-------

'JtanBtanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB

2Q,即必+/一廬_攻

可得cosB=sinF

sinAsinCac2acac

nPa2+c2=3b2,又。2+卜2=2c?

所以b=?C，a=

廬+〈2_02_|c2+C2-1c2<3

所以cos4

2bc―2c*~6~

【解析】(1)利用余弦定理角化邊即可求解.

(2)根據(jù)弦化切將原等式變?yōu)閏osB=電幺，角化邊即可得到Q2+c2=3b2,再結(jié)合小+b2=2c2可得b=

sinAsinC

?c，a=?c，利用余弦定理即可求解.

本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)斯，垢分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數(shù)量，

依題意，｛斯｝是首項為128,公比為1+50%=|的等比數(shù)列，｛%｝是首項為400,公差為a的等差數(shù)列，｛%｝

371

的前n項和Sn=I28x1空)1=256[(|)n-1].｛勾｝的前n項和〃=400n+磅押a

?1

所以經(jīng)過n年，該市更換的公交車總數(shù)為：5(>1)=571+〃=256[(|)-1]+400?+也#&.(7分)

(2)若計劃7年內(nèi)完成全部更換，

所以S(7)>10000

所以256[(|)7-1]+400*7+竽。210000

即21a23082,所以a2146首

又aeN*,所以a的最小值為147.(13分)

【解析】(1)設(shè)即，垢分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數(shù)量，依題意，｛即｝是首項

為128,公比為1+50%=|的等比數(shù)列，｛3｝是首項為400,公差為a的等差數(shù)列，由此可求出經(jīng)過n年，該

市被更換的公交車總數(shù)S(n).

(2)若計劃7年內(nèi)完成全部更換，所以S(7)>10000所以256Kl1]+400x7+竽a>10000,由此能求

出Q的最小值.

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，挖掘數(shù)量間的相互關(guān)系，合理地建立方程，仔細(xì)求解.

20.【答案】(1)證明：因為四邊形Z&BiB是菱形，所以

平面A&BiB1平面ABC,平面44iB$n平面ABC=AB,ACu平面ABC,ABLAC,

AC1平面441B1B,又u平面44//,二J.AC,

又BiAnAC=A,ArB1平面AB?

又B、Cu平面幽C,：.ArB1B?

(2)解：，上不存在點P,使4道與平面Z8P所成角為30。，理由如下：

取Ai%的中點0,連接4D,???ZTlBBi=60。，.?.乙=60。，

又441=41當(dāng)，.?.△AA/i為等邊三角形，:4D_L4iBi，

■:AB〃A、B[,：.AD1AB,又平面44避/1平面ABC,平面CI平面ABC=AB,ADu平面44避窗,

???AD1平面ABC,

以A為坐標(biāo)原點，以4B,AC,4。所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

4(0,0,0),8(2,0,0).C(0,2,0),4式一1,0,^^),8式1,0,門)，

AC=(0,2,0).AB=(2,0,0)-福=(l,0,C)，

?:AC〃A、C\,4CC平面41&G，u平面4窗住1，AC〃平面4聲停1，

又ACu平面ABiC,平面為BiG0平面ABiC=I,AC//1,

假設(shè)/上存在一點P,使與平面4BP所成角為30。，

設(shè)哥=AAC，(Ae/?),則于=(0,24,0)，.?.而=福+哥=(1,2/1,

設(shè)平面4BP的一個法向量為元=(x,y,z).

則產(chǎn).竺=0,即令y=_口,則z=2/l,x=0,

???平面4BP的一個法向量為元=(0,-V-3,2A)，

-j-g、,_同硒_|2<31|_1

2L

又砧=(3,0,-C)，二sin30°=|cos<n,>\=同.取?一2<3.J3+4A-

.?.3+41=4",此方程無解，

因此I上不存在點P,使與平面4BP所成角為30。.

【解析】(1)由已知可得_1.8通，進(jìn)而可證AC1平面44/iB,進(jìn)而可證4/J?平面48母，從而可證1

BC

(2)取&&的中點。，連接力D,ADAD_L平面ZBC,以4為坐標(biāo)原點，以AB,AC,AC所在直線為

坐標(biāo)軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，平面/BP的一個法向量，的方向向量，利用向量法得4的方程3+

4A2=4A2,此方程無解，可得結(jié)論.

本題考查線面垂直的證明，以及利用線面角判斷是否存在點符合條件，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意可知?=；,a+c=3,解得a=2,c=1.

,,,b2=a2—c2=3,

則橢圓方程為：。+<=1；

43

(H)當(dāng)矩形的ABCD四邊的斜率不存在時，S=2ax2b=2x2x2xyT3=8，馬；

當(dāng)矩形的四邊斜率都存在時，不妨設(shè)AB,CD所在的直線的斜率為限則BC,AD的斜率為-士

k