2023年3月河北省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試（三）

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共30小題，每題3分，共90分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的）

1.若復(fù)數(shù)z滿足"（2+i）l=W,其中i是虛數(shù)單位，則z；的值為（）

A.72B.2C.GD.3

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得目=J5,設(shè)z=a+〃（a,beR）,化簡(jiǎn)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?（2+可=用2+1卜兩z|=屈，所以忖=及,故設(shè)z=a+/?i卜/,eR）,貝ij

yIcr+b2=V2）所以z-N=（a+Z?i）（a-bi）=a2+82=|ZF=2.

故選:B.

2.下面四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是（）.

①集合N*中最小的數(shù)是1；

②若-aeN*，貝iJawN*；

③若aeN*,Z?eN",則a+Z?的最小值是2；

④x2+9=6x的解集是{3,3}.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由N*是正整數(shù)集可判斷①②③，根據(jù)集合中元素的互異性知④錯(cuò)誤.

【詳解】N*是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1，故①正確；

當(dāng)a<0時(shí)，-aeN*，但aeN*，故②錯(cuò)誤；

若acN*，則。的最小值為1.又heN*，則6的最小值為1，當(dāng)a和6都取最小值時(shí)，a+匕取最小值

2,故③正確；

由集合中元素的互異性知④錯(cuò)誤.

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查常用數(shù)集、集合中元素的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知命題。：3xeR,X+2K0,則命題P的否定是()

A.3XGR,X+2〉0B.VxeR,x+2<0

C.VxeR,x+2>0D.HXGR,X+2>0

【答案】C

【解析】

【分析】由特稱命題的否定改寫規(guī)則可得答案.

【詳解】因命題，：HxeR,x+2<0,則其否定為：VxeR,x+2>0.

故選：C

4.已知函數(shù)〃x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=/的定義域是()

【答案】C

【解析】

【分析】由原函數(shù)的定義域[0,2],分別求+/(x—g)的定義域，它們的交集即為g(x)的定

義域

【詳解】???函數(shù)I(x)的定義域是[0,2]

0<x+-<2

「?<:解之得：—^x<—

122

0<x--<2

12

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了求抽象函數(shù)的定義域，利用原函數(shù)的定義域求復(fù)合函數(shù)的定義域，屬于簡(jiǎn)單題

5.若z(l+『)=2i,貝ijz=()

A.iB.1+iC.-1+iD.-2+2i

【答案】c

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可

…z222(1+),.

【詳解】z=；^=-=\-<=-1+1

1+r1-172

故選：C

6.某市場(chǎng)監(jiān)管局從所管轄的某超市在售的40種冷凍飲品中抽取了20種冷凍飲品，對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行了檢

查，則()

A.該市場(chǎng)監(jiān)管局的調(diào)查方法是普查B.樣本容量是該超市的20種冷凍飲品

C.總體是超市在售的40種冷凍飲品D.樣本的個(gè)體是20種冷凍飲品中每種冷凍飲品的

質(zhì)量

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)隨機(jī)抽樣概念求解即可.

【詳解】該市場(chǎng)監(jiān)管局的調(diào)查方法是隨機(jī)抽樣，總體是超市在售的40種冷凍飲品的質(zhì)量，

樣本的個(gè)體是20種冷凍飲品中每種冷凍飲品的質(zhì)量，樣本容量是20.

故選：D

7.已知正方體ABC。-A4GA的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若正方體的棱長(zhǎng)是2,則該球的表面積是

()

A.6兀B.127tC.18兀D.24兀

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出外接球的半徑，進(jìn)一步求出球的表面積.

【詳解】解：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，

若正方體的棱長(zhǎng)是2,

設(shè)外接球的半徑為/?,

則(2ry=22+22+22=12,解得「=百，

故球的直徑為26.

球的表面積為S=4x；rx(=12萬(wàn).

故選：B.

8.下表為隨機(jī)數(shù)表的一部分：

080151772745318223742111578253

772147740243236002104552164237

已知甲班有6()位同學(xué)，編號(hào)為00?59號(hào)，規(guī)定：利用上面的隨機(jī)數(shù)表，從第1行第4列的數(shù)開始，從左

向右依次讀取2個(gè)數(shù)，則抽到的第8位同學(xué)的編號(hào)是()

A.11B.15C.25D.37

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取出前8位同學(xué)的編號(hào)，由此可得出結(jié)果.

【詳解】從第1行第4列的數(shù)開始，從左向右依次讀取2個(gè)數(shù)，讀取前8位同學(xué)的有效編號(hào)為15、17、

53、18、22、37、42、11，

因此，抽到的第8位同學(xué)的編號(hào)是11.

故選：A.

9.已知集合A={x|0<xW2},B={x\-\<x<a\,若AcB={x|()<x<1},則A金8=()

A.{x|l<x<2}B.{^|1<^<2}

C.{x|-l<x<0}D.{x|-l<x<0}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)AcB={x[0<x<l}可求得。=1,再求AcaB即可.

【詳解】因?yàn)榧螦={x|0<xW2},3={x[—l<x<a},

且AcB={x[0<x<l},則有a=l,

6R3={I[X<-1或,

則AcaB={x[l2}.

故選：B.

10.出華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐(底面是正方形，側(cè)樓長(zhǎng)都

相等的四棱錐)，四個(gè)側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為

()

A.8092m3B.4046m3C.2427m3D.12138m3

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可得正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高，代入棱錐的體積公式即可求解.

如圖正四棱錐產(chǎn)一ABC。中，PO1底面ABC。，PO=21,AB=34,

底面正方形的面積為S=34x34=1156m2,

則正四棱錐P-ABCD的體積為』xSxPO='x1156x21=8092〃，，

33

故選：A

11.已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1),Z是I的共軌復(fù)數(shù)，則三=()

Z

A34.34.「34.

A.-----1—1B.---------1C.—I—1

555555

【答案】D

【解析】

【分析】依題意z=2+i，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算可得；

z2-i_（2-i）（2-i）（2-i）2_34

【詳解】解:由題知z=2+i，則N=2—i,所以一=----------------------------------------]

z2+i（2+i）（2-i）555

故選：D.

12.已知向量a，人滿足卜|=1，1|=2,a-b=（瓜亞）,則心一0等于（）

A.272B.V17C.V15D.275

【答案】A

【解析】

【分析】通過(guò)平方的方法，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】由“一匕=（6,3）得卜一0="花=石，

22

兩邊平方得"-2。為+。~=5-2。力=5,。力=0，

所以12?！猶=J（2a—6）=>/4a-4a.b+=，4+4=2>/2.

故選：A

13.設(shè)向量a，8的模分別為2和3,且?jiàn)A角為120。，則H+可等于（）

A.V13B.13C.7D."

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長(zhǎng).

【詳解】?+0=a+2a-b+b=a+21a||&|cos<ab>+b=4-6+9=7.

所以等于J7.

故選：D

14.若命題“切€[-L2],—x；+2..a”是假命題，則實(shí)數(shù)。的范圍是（）

A.a>2B.a..2C.a>-2D.a,,-2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)命題的否定為真命題可求.

（詳解】若命題“訓(xùn)G[-1,2],-其+2..a”是假命題，

則命題“Vxe[一1,2],—/+2<a”是真命題，

當(dāng)x=0時(shí)，（一d+2）=2,所以。>2.

\/max

故選：A.

15.從2022年北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)志愿者的30000人中隨機(jī)抽取10人，測(cè)得他們的身高分別為（單

位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150,根據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布的原

理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm—170.5cm之間的人數(shù)約為（）

A.18000B.15000C,12000D.10000

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給出的數(shù)據(jù)算出事件發(fā)生的概率，再乘以總數(shù)即可.

【詳解】在隨機(jī)抽取10人中，身高在155.5cm-170.5cm之間的人數(shù)為4人，

所以從所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm-170.5cm的概率為

42

一=一，所以從2022年北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)志愿者的30000人中隨

105

2

機(jī)抽取一人身高在155.5cm—170.5cm之間的人數(shù)約為30000x1=12000人.

故A,B,D錯(cuò)誤.

故選：C.

4

16.已知x>2,則函數(shù)y=——+x的最小值是（）

x-2

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式可求得最小值.

44I~~4-

【詳解】x>2,：.y=----+x=-----+x-2+2>2.-----x（x-2）+2=4+2=6,

x-2x—2yx—2

4

當(dāng)且僅當(dāng)——=x—2,即x=4時(shí)等號(hào)成立....y的最小值是6.

x-2

故選：B.

17.已知函數(shù)/。-1）=/一3,則/⑵值為（）.

A.-2B.6C.1D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

令x—1=2,求出X,代入后可得答案

【詳解】由x—1=2得x=3,所以/(2)=32-3=6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)值，解題方法是整體思想，即把1-1作為一個(gè)整體，令1=2求解.

1」！

18.已知a3,c=（2j,則a,6,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)轅函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】b=（|[3=（|），因?yàn)楹瘮?shù)）=）是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，

所以嗚>]>^可得：（4〉（斗〉（2）3,gpc<a<b,

故選：C

19.已知向量a=（l,—1）,8=（2,x）,若a_L（2a+可，則x的值為（）

A.2B.-2C.6D.-6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得2“+人=（4,X-2）,結(jié)合向量垂直的條件和數(shù)量積的運(yùn)算公式，列

出方程，即可求解.

【詳解】由題意，向量a=（L—1）,b=（2,x）,可得加+人=（4,x—2）,

因?yàn)閍_L（2a+0）,則a-（2a+0）=4+2-x=0,解得％=6.

故選：C.

20.復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則|z—1—i|最大值為（）

A.V2-1B.1

C.V2D.-^2+1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】復(fù)數(shù)Z滿足|z|=l,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)，

復(fù)數(shù)|z-l-4幾何意義是復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)8（1,1）的距離，

所以的最大值為|。8|+1=五+1，

故選：D.

21.底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為5,它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15,則這個(gè)棱柱

的側(cè)面積為（）

A160B.80C.100D.120

【答案】A

【解析】

【分析】由已知條件求得底面菱形的兩條對(duì)稱線長(zhǎng)，從而求得菱形的邊長(zhǎng)，由側(cè)面積公式可得側(cè)面積.

【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)是底面的兩條對(duì)角線分別為h11,

所以/；=152—52,4=92—52.

又I；+/；=4a2,

即152-52+92-52=4a2,所以。=8,

所以S?I=C7?=4X8X5=160

22.某校對(duì)高一新生進(jìn)行體能測(cè)試（滿分100分），高一（1）班有40名同學(xué)成績(jī)恰在［60,90］內(nèi)，繪成頻

率分布直方圖（如圖所示），從［60,70）中任抽2人的測(cè)試成績(jī)，恰有一人的成績(jī)?cè)冢?0,65）內(nèi)的概率是

()

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖得到［60,65）內(nèi)有2人，［65,70）內(nèi)有4人，然后列舉出所有的基本事件，用

古典概型求概率的公式求概率即可.

【詳解】由頻率分布直方圖知［60,65）內(nèi)有2人，不妨記為“，b；在［65,70）內(nèi)有4人，不妨記為1,2,

3,4.從6人中任取2人的基本事件為

{a,加,{a4},{a,2},{a,3},{。,4},他1},他2},仍,3},他4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共15個(gè)，事件“恰

Q

有一人的成績(jī)?cè)冢?0,65）內(nèi)”的基本事件有8個(gè)，所以所求的概率為5.

故選：B.

23.定義在R上的偶函數(shù)在（0,+°。）上是減函數(shù)，則下列判斷正確的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義，將自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間（。,+8）上，利用單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】因?yàn)橐唬╔）為偶函數(shù)，所以/（—；）=/（；），/（-|）=/（|）,又;<g<g，且f（x）在（0，+°。）上

是減函數(shù)，所以/住mm

故選：A

24.“玉沙村”是“x：>￡”()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】由不等式性質(zhì)由石>同得考，充分性滿足，但占=1，々=-2時(shí)，滿足x：〉W，

但不滿足%>|馬|，不必要.應(yīng)為充分不必要條件.

故選：A.

[-0%<

25.已知函數(shù)/(x)=Jx,g(x)=f(x)+x-a,若g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

x2-7x,?v>0

()

A.(-4,0]B.(-<?,-9)

C.(-oo,-9)u(-4,0]D.(-9,01

【答案】C

【解析】

【分析】

-4

—1_x?x6

令g(x)=/(x)+x-a=。，將g。)存在兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=〃,y=jx有兩個(gè)交

x2-6x,?r>0

點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】令g(x)=/(x)+x-o=0,

4

—十了,?%e

得。=<x

x2-6x,>0

4

一+x,?x€

令y=〃,y=JX

x2-6x,>0

在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示:

因?yàn)間（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，

由圖象可得：4<-9或-4<任0,

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題：若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不

可解，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀、筒

單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

26.下列不等式：

ab

②'---->0）；

b+mb

其中恒成立的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解析】

__a+mam（b-a\

【分析】對(duì)于①，利用不等式的性質(zhì)可得解；對(duì)于②，利用作差法可知T--------7=7^——只—

b+mbb[b+m）

時(shí)，竺”>￡成立；對(duì)于③，利用作差法知《±藝一/巴也丫=擔(dān)二也NO即可判斷；對(duì)于④，利

b+mb2I2J4

用③的結(jié)論結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷；

11cC

【詳解】對(duì)于①，???a>6>0,?,?!<上，又c>0,?,.一<：,故①恒成立；

abab

a+ma_m[b-a)m_

對(duì)于②,Qa,.>°'.??衍鏟’但?符號(hào)不確定,當(dāng)八時(shí),

b+mb/?(/?+zn)

-----^(a,h,m>0),故②不恒成“；

b+mb

㈢工小a2+b2(a+b^2a2+2b2-a2-b2-2aba2+b2-2ab(a-bY

對(duì)于③，------------------------------------------=---------------------<->0

212；444

a2+b2(a+b]

故③恒成立;

對(duì)于④，由③知，舊二之（"2./+萬(wàn)之（。+/?）2,...2（/+。2”（4+嫌，兩邊同時(shí)開方,

可得出（/+從"a+匕,故④恒成立;

故恒成立的結(jié)論是①③④

故選:B.

27.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球2次

時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為工，乙每次投籃投中的概率為;，且各次投籃互不影響.則投

籃結(jié)束時(shí)，乙只投了1個(gè)球的概率為（）

1452

A.-B.—C.—D.一

3993

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，乙只投了1個(gè)球包括甲未投進(jìn)乙投進(jìn)結(jié)束，甲未投進(jìn)乙未投進(jìn)甲再投投進(jìn)結(jié)束兩個(gè)

互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求解.

【詳解】設(shè)4，4分別表示甲、乙在第％次投籃時(shí)投中，則尸（a）=；,尸（Bj=g,（k=i,2）,記

“投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了1個(gè)球”為事件D

則P（D）=P（ZBJ+p（4瓦&）=尸（4）尸（耳）+尸（%）P（瓦）P（4）

4

21211-

=-X——|——x—x—9-

32323

故選：B

28.直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)8（2,-2）可用集合表示為（）

A.{（x,y）|xHl,yHl,x#2,yx—2}

X。1xw2

B{(x,y)卜,或VyH—2)

.["1

c.{(x,y)|[(x-l)2+(j-l)2][(x_2)2+(y+2)2]x0}

D.{(x,y)|[(x-+(y-1y]+[(x-2)2+(y+2)2]H0}

【答案】C

【解析】

【分析】

直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)A(LD、8(2,-2),其余的點(diǎn)全部在集合中，逐一排除法.

【詳解】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)A(l,l)、5(2,-2),其余的點(diǎn)全部在集合中，

A選項(xiàng)中除去的是四條線x=l,y=l,x=2,y=-2；

8選項(xiàng)中除去的是A(l,l)或除去5(2,-2)或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意：

C選項(xiàng){(x,y)|[(x—l)2+(y—l)2]Kx—2)2+(y+2)2]H0},則(x—l)?+(y_1尸*0且

(x-2)2+(y+2)2*0,即除去兩點(diǎn)8(2,—2),符合題意；

。選項(xiàng){(x,y)IKx-Ip+(y-Ip]+?-2)2+(y+2)2]/0},則任意點(diǎn)(x,y)都不能

[(x-1)2+(J-1)2]+[(x-2)2+(>>+2)2]=0,即不能同時(shí)排除A,B兩點(diǎn).

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本概念，考查學(xué)生對(duì)集合的識(shí)別，屬于中檔題.

29.已知函數(shù).f(x)=log3X+3x,g(x)=3*+3x,〃(x)=1+3x的零點(diǎn)分別占，x2,x3,則玉，x2,x3

的大小關(guān)系為()

A.x2<x3<xiB.Xj<x2<C.x2<xt<x3D.x3<x2<xi

【答案】A

【解析】

【分析】先判斷出三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再分別判斷三個(gè)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)情況，得出零點(diǎn)的值或范圍，

即可得到答案.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)解)x=log3X+3x,g(x)=3'+3x,h(x)=x3+3x,

所以函數(shù)/(x),g(x),〃(x)均為增函數(shù),

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=3"+3x>0恒成立，故g(x)的零點(diǎn)小于0,即工2<0，

當(dāng)X>1時(shí)，/(x)=bg3X+3x>0恒成立，當(dāng)x=；時(shí)，f(x)=0,所以再=；,

當(dāng)x=()時(shí)，h(x)=O,故毛=0，

故工2<工3<玉.

故選：A.

30.已知四棱錐S-A8s的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，底面ABCO是正方形且和球心。在同一平面

內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于4+4百，則球。的體積等于()

.32&R1672「80n472

A.-----nB.----7tC.---7rD.----Jt

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由條件可得球心。為正方形A3CD的中心，當(dāng)此四棱錐的高為球的半徑時(shí)，此四棱錐體積取得

最大值.設(shè)球。的半徑為A,則MM=與|AC|=&R，可得△SBC為等邊三角形，根據(jù)條件可得

R=C，從而得出答案.

【詳解】四棱錐5-"8的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，

底面ABC。是正方形且和球心。在同一平面內(nèi)，

所以球心。為正方形ABC。的中心，

當(dāng)此四棱錐的高為球的半徑時(shí)，此四棱錐體積取得最大值.

此時(shí)四棱錐為正四棱錐.

設(shè)球。的半徑為/?，則卜理=曰|4。|=血火，

\SB\=yj\OBf+\SOf=6R

△SBC為等邊三角形，則SSBC=g|S8『sin60=當(dāng)片

所以此四棱錐的表面積為4SSBC+SABCD=2GH2+2爐=4+4G

所以R=及，因此球。的體積丫=芻