一次方程（組）及其應(yīng)用

知識點1

等式的性質(zhì)性質(zhì)1等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.即若a＝b，則a±c＝①

b±c

?應(yīng)用：解方程中的移項性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù)或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即若a＝b，則ac＝bc，＝②

?

?（d≠0）應(yīng)用：解方程中的去分母或系數(shù)化為1b±c

1.下列說法錯誤的是（

D

）A.若a＝b，則2a2＝2b2B.若mn＝m（m≠0），則n＝1C.若＝，則y＝mD.若ab＝ac，則b＝cD【提分小練】知識點2

一元一次方程及其解法概念只含有③

一

?個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是④

1

?的整式方程一般形式ax＋b＝0（a，b是常數(shù)，且a≠0）一般步驟（1）去分母：方程中未知數(shù)的系數(shù)含有分母時，在方程的兩邊都

乘各分母的最小公倍數(shù)；（2）去括號：a.不要漏乘括號內(nèi)的任何項；b.括號前是負(fù)號時，去括號后括號內(nèi)的每一項都要變號；（3）移項：注意要變號；（4）合并同類項：把方程化為ax＝b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的

形式；（5）系數(shù)化為1：等號兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)一1

3（4x－3）－15＝5（2x－2）12x－9－15＝10x－1012x－10x＝－10＋9＋152x＝14x＝7知識點3

二元一次方程（組）的解法相關(guān)概念（1）二元一次方程：含有⑤

兩個

?未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的

次數(shù)都是⑥

1

?的整式方程；（2）二元一次方程組：由兩個二元一次方程組成的方程組.方程組

中同一個字母代表同一個量，一般形式為（x，y

為未知數(shù)）基本思想消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程兩個1解法代入消元法：將方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，再代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，化為一元一次方程；適用類型：（1）方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)是1或－1；（2）某一個方程的常數(shù)項為0加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當(dāng)變形后再相加（或相減），消去其中一個未知數(shù)，化為一元一次方程；適用類型：方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)或成整數(shù)倍

x－2（1＋x）＝8解：①×2＋②，得7x＝14，解得x＝2.把x＝2代入①，得2×2＋y＝3，

知識點4

一次方程（組）的實際應(yīng)用1.列方程（組）解決實際問題的步驟審審清題意，分清題中的已知量、未知量設(shè)設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)，一般求什么，就設(shè)什么，也可設(shè)間接未知數(shù)列找出適當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系，列出方程（組）解解方程（組）驗檢驗所求答案是否正確且符合題意答寫出答案，注意單位名稱2.常見應(yīng)用類型及等量關(guān)系購買問題總價＝單價×數(shù)量打折銷售問題售價＝標(biāo)價×折扣（如：打8折，即售價＝標(biāo)價×0.8）銷售額＝售價×銷量利潤＝售價－進(jìn)價工程問題工作總量＝工作時間×工作效率行程問題路程＝速度×?xí)r間【提分小練】5.甲、乙兩人相距50km，若同向而行，乙10h可追上甲；若相向而行，2h兩人相遇.設(shè)甲、乙兩人每小時分別走xkm，ykm，則可列出方程組是（

C

）A.B.C.D.C6.某商品標(biāo)價300元，按標(biāo)價的8折銷售，仍然可獲利20%，則該商品的進(jìn)價為

200

?元.7.有大、小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次共可運貨15.5t，5輛大貨車與6輛小貨車一次共可運貨35t，則每輛小貨車一次可運貨

2.5

?t.2002.5命題點1

一次方程（組）的解法

解：方程兩邊同乘6，得3（x＋1）－1＝2（x－2）.①去括號，得3x＋3－1＝2x－2.②移項，得3x－2x＝－2－3＋1.③合并同類項，得x＝－4.④以上解題步驟中，開始出錯的一步是（

A

）A.①B.②C.③D.④A考點訓(xùn)練

12.（2022·安順）若a＋2b＝8，3a＋4b＝18，則a＋b的值為

5

?.5命題點2

一次方程（組）的應(yīng)用4.（2023·貴州）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有剩余，將剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設(shè)有x戶人家，則下列方程正確的是（

C

）A.x＋＝100B.3x＋1＝100C.x＋x＝100D.＝100C5.（2022·畢節(jié)）我國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一道題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（兩：我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩.問馬、牛各價幾何？”設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（

C

）A.B.C.D.C6.（2022·銅仁）為了增強(qiáng)學(xué)生的安全防范意識，某校九年級（1）班班委舉行了一次安全知識搶答賽，搶答題一共20道，記分規(guī)則如下：每答對一題得5分，每答錯或不答一題扣1分.若小紅一共得70分，則小紅答對的題數(shù)為（

B

）A.14道B.15道C.16道D.17道B7.（2022·貴陽）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”.如：?

?從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，即可表示方程x＋4y＝23，則?

?表示的方程是

x＋2y＝32

?.8.某品牌旗艦店平日將某商品按進(jìn)價提高40%后標(biāo)價，在某次電商購物節(jié)中，為促銷該商品，按標(biāo)價的8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進(jìn)價是

2000

?元.x＋2y＝3220009.某校計劃組織240名師生到紅色教育基地開展革命傳統(tǒng)教育活動.旅游公司有A，B兩種客車可供租用，A型客車每輛載客量為45人，B型客車每輛載客量為30人.若租用4輛A型客車和3輛B型客車，共需費用10700元；若租用3輛A型客車和4輛B型客車，共需費用10300元.求租用A，B兩種客車每輛的費用分別是多少元.

答：租用A型客車每輛的費用是1700元，租用B型客車每輛的費用是1300元.10.第33個國際禁毒日到來之際，貴陽市策劃了以“健康人生，綠色無毒”為主題的禁毒宣傳月活動，某班開展了此項活動的知識競賽.學(xué)習(xí)委員為班級購買獎品后與生活委員對話如下：（1）請用方程的知識幫助學(xué)習(xí)委員計算一下，為什么說學(xué)習(xí)委員搞錯了；解：（1）設(shè)單價為6元的鋼筆買了x支，則單價為10元的鋼筆買了（100－x）支.根據(jù)題意，得6x＋10（100－x）＝1300－378，解得x＝19.5.∵鋼筆的數(shù)量不可能是小數(shù)，∴學(xué)習(xí)委員搞錯了.

（2）學(xué)習(xí)委員連忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確錯了，因為他還買了一本筆記本，但筆記

本的單價已模糊不清，只能辨認(rèn)出單價是小于10元的整數(shù)，那么筆記本的單

價可能是多少元？

?

?隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具.某汽車銷售公司計劃購進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售，據(jù)了解1輛A型新能源汽車、3輛B型新能源汽車的進(jìn)價共計65萬元；3輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的進(jìn)價共計90萬元.（1）求A，B兩種型號的新能源汽車每輛進(jìn)價分別為多少萬元；（2）若該公司計劃正好用100萬元購進(jìn)以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽

車均購買），問A，B兩種型號的新能源汽車各購買多少輛？【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)A型新能源汽車每輛進(jìn)價為x萬元，B型新能源汽車每輛進(jìn)價為y萬元.根據(jù)“1輛A型新能源汽車、3輛B型新能源汽車的進(jìn)價共計65萬元；3輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的進(jìn)價共計90萬元”列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)A型新能源汽車購買m輛，B型新能源汽車購買n輛.根據(jù)“該公司計劃正好用100萬元購進(jìn)以上兩種型號的新能源汽車”列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可.【自主解答】

答：A型新能源汽車每輛進(jìn)價為20萬元，B型新能源汽車每輛進(jìn)價為15萬元.

答：A型新能源汽車購買2輛，B型新能源汽車購買4輛.【奪分寶典】用方程解決利潤問題的基本關(guān)系式：利潤＝售價－進(jìn)價；銷售額＝售價×數(shù)量；基本步驟：第一步：審題，設(shè)出未知數(shù)含有兩個未知量的應(yīng)用題，一般設(shè)兩個未知數(shù)，列二元一次方程較容易些；也可以設(shè)一個未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系表示出另一個量，列一元一次方程.第二步：轉(zhuǎn)化題干信息根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程（組）.第三步：解方程作答求解未知數(shù)的值，并檢驗作答.【對點訓(xùn)練】1.《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個、小容器1個，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容量單位）；大容器1個、小容器5個，總?cè)萘繛?斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛？設(shè)大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（

B

）A.B.C.D.B2.根據(jù)經(jīng)營情況，公司對某商品在甲、乙兩地的銷售單價進(jìn)行了如下調(diào)整：甲地上漲10%，乙地降價5元.已知銷售單價調(diào)整前甲地比乙地少10元，調(diào)整后甲地比乙地少1元，求調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價.

答：調(diào)整前甲地該商品的銷售單價為40元，乙地該商品的銷售單價為50元.3.某物流公司在運貨時有A，B兩種車型，用3輛A型車和2輛B型車載滿貨物，一次可運17t；用2輛A型車和3輛B型車載滿貨物，一次可運18t.現(xiàn)需要運輸貨物32t，計劃同時租用A型車和B型車若干輛，一次運完，且每輛車都載滿貨物.（1）1輛A型車和1輛B型車都載滿貨物，一次可分別運輸貨物多少噸？

（2）若A型車每輛需租金200元/次，B型車每輛需租金240元/次.請幫物流公司設(shè)計

租車方案，并選出最省錢的方案及最少租金.方案2：租用8輛A型車和2輛B型車，所需租車費用為200×8＋240×2＝2080（元）.∵2000＜2080，∴當(dāng)租用4輛A型車和5輛B型車時，租金最少，最少租金為2000元.

1.（2023·遵義匯川區(qū)期末）若代數(shù)式x＋1的值為6，則x等于（

A

）A.5B.－5C.7D.－72.（2023·銅仁期末）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（

A

）A.若＝，則a＝bB.若ac＝bc，則a＝bC.若a2＝b2，則a＝bD.若－x＝6，則x＝－2AA鞏固訓(xùn)練3.（2023·貴陽期末）關(guān)于x的一元一次方程2x＋m＝5的解為

x＝1，則m的值為（

A

）A.3B.－3C.7D.－74.（2023·六盤水模擬）一瓶牛奶的營養(yǎng)成分中，碳水化合物的含量是蛋白質(zhì)的1.5倍，碳水化合物、蛋白質(zhì)與脂肪的含量共30g.設(shè)蛋白質(zhì)、脂肪的含量分別為xg，yg，可列出方程為（

A

）A.x＋y＝30B.x＋y＝30C.x＋y＝30D.x＋y＝30AA5.（2023·遵義模擬）“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”是《孫子算經(jīng)》卷中著名的數(shù)學(xué)問題.意思是：雞兔同籠，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿.問雞、兔各有多少只？若設(shè)雞有x只，兔有y只，則所列方程組正確的是（

B

）A.B.C.D.B6.（2023·黔南州模擬）《算學(xué)啟蒙》是我國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（

D

）A.240x＋150x＝150×12B.240x－150x＝240×12C.240x＋150x＝240×12D.240x－150x＝150×12D

9.暑假期間，某眼鏡店開展學(xué)生配鏡優(yōu)惠活動.某款式眼鏡的廣告如下，請你為廣告牌填上原價.原價：

200

?元暑假八折優(yōu)惠，現(xiàn)價：160元

20010.有大、小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5t，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35t，則3輛大貨車與2輛小貨車一次可以運貨

17

?t.11.2022年12月