2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題27.7相似三角形的證明與計(jì)算專項(xiàng)訓(xùn)練（60道）【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共60題，針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相似三角形的證明與計(jì)算的理解！一．解答題（共30小題）1．（2022·遼寧·大連市第三十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，點(diǎn)D在AB邊上，∠ABC=∠ACD.（1）求證：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的長(zhǎng).2．（2022·廣西賀州·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，CF⊥BE于點(diǎn)F，求FC的長(zhǎng)．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求證：△ACD∽△ABC．4．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)△BEG的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）5．（2022·湖南省岳陽(yáng)開發(fā)區(qū)長(zhǎng)嶺中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠1=∠2，ABAE8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB于點(diǎn)E，PN交邊AD于點(diǎn)F，當(dāng)PE旋轉(zhuǎn)至PA處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，PN也經(jīng)過點(diǎn)D，求證：△ABP∽△PCD（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，PEPF（3）設(shè)AE=m，連結(jié)EF，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)m為何值時(shí)，△BPE與△PEF相似.9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=30°，求證：△ABD∽△DCE．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，連接BD，CE，求CEBD11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，且滿足∠ADE=∠B．(1)證明：ΔADB～(2)若AE=3，AD=5，求AB的長(zhǎng)．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC與△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）證明：△ABC∽△ADE．（2）請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使△ABC≌△ADE．你補(bǔ)充的條件為：．13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，BD、CE是△ABC的高．（1）求證：△ACE∽△ABD；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的長(zhǎng)．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB//EF//CD，E為AD與BC的交點(diǎn)，F(xiàn)在15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長(zhǎng)．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長(zhǎng)為．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因?yàn)锳CB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠APD=∠B．①求證：△ABP∽②當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB．18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一線，連接AE，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，DC與BE相交于點(diǎn)O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求證：△DOE∽△COB．20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于點(diǎn)F，ME交BC于點(diǎn)G.寫出圖中的所有相似三角形，并選擇一對(duì)加以證明．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)．求證：△DEF∽△ABC．22．（2022·福建·廈門市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線l對(duì)稱，且直線l經(jīng)過點(diǎn)F．（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．23．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．24．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個(gè)直角三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．25．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CF，BE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)G，求證：△BGF∽△DCF．26．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，F(xiàn)為四邊形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠D=∠DCE．（1）求證：△ADF∽△ECF；（2）若ABCD為平行四邊形，AB=6，EF=2AF，求FD的長(zhǎng)度．27．（2022·安徽安慶·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)CEEB=1（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=12

28．（2022·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E、F在邊BC上，滿足∠EAF=∠C求證：（1）BF?CE=AB2（2）AE29．（2022·山東泰安·中考真題）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC=∠CDE=90°，連接BD，AB=BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）若AB=6,CE=9，求AD的長(zhǎng)．30．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，ED延長(zhǎng)后交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：△AEF∽△ABC．31．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．點(diǎn)M，N分別是BD，CE的中點(diǎn)，連接AM，AN，MN．（1）求證：△CAE≌△BAD；（2）求證：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的長(zhǎng)．32．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在①DP?PB=CP?PA，②∠BAP=∠CDP，③DP?AB=CD?PB這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，使命題正確，并證明．問題：如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線交于P點(diǎn)，若（填序號(hào)）求證：△ABP～△DCP．33．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中項(xiàng)，求證：BD⊥AC．34．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，過點(diǎn)C作CD(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形．(2)若GB=3，BC=6，35．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．(1)求證：AFBE(2)已知AB=8,BC=12，求AF的長(zhǎng)．36．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，連接MC交BD于點(diǎn)N，ON＝1．(1)求證：△DMN∽△BCN；(2)求BD的長(zhǎng)；(3)若△DCN的面積為2，直接寫出四邊形ABNM的面積．37．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上兩點(diǎn)，滿足AE=DF，BF與DE相交于點(diǎn)G．（1）如圖1，連接BD．求證：△DAE≌△BDF；（2）如圖2，連接CG．①求證：BG+DG=CG；②若FG=m，GC=n，求線段DG的長(zhǎng)（用含m、n的代數(shù)式表示）．38．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角尺如圖1放置，其中AD為Rt△ABC中BC邊上的高，DE，DF分別交AB，AC于點(diǎn)M和N．(1)求證：△AMD∽△CND；(2)如圖2，將Rt△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，此時(shí)EF∥BC，且E，A，F(xiàn)共線，判斷AEAD39．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PD⊥AD．（1）證明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長(zhǎng)．40．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，（1）若BK＝73KC，求CD（2）聯(lián)結(jié)BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE＝12AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD（3）試探究：當(dāng)BE平分∠ABC，且AE＝1nAD（n＞2）時(shí)，線段AB、BC，CD41．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖,在△ABC中,AB=AC，點(diǎn)P在BC上．(1)求作:△PCD,使點(diǎn)D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的條件下,若∠APC=2∠ABC，求證:PD//AB．42．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG43．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設(shè)AFFC①若BC＝12，求線段BE的長(zhǎng)；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．44．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為正方形，且E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BF⊥DE于F點(diǎn)，交AC于H點(diǎn)，交CD于G點(diǎn)．(1)求證：△BGC∽△DGF；(2)求證：GD?AB=DF?BG；(3)若點(diǎn)G是DC中點(diǎn)，求GFCE45．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD＝3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（t＞0）．(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代數(shù)式表示）(2)連接PQ，在運(yùn)動(dòng)過程中，不論t取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行，為什么？46．（2022·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，BD=13BC將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形CEF

(1)如圖1，當(dāng)α＝180°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接AE，判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．47．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC上的點(diǎn)連接AE.作BF⊥AE垂足為H，交CD于F作CG//AE，交BF于G.求證：(1)CG=BH；(2)FC48．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）如圖1，已知矩形ABCD對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，CE與BD相交于點(diǎn)F，連結(jié)OE．(1)若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，求OFFB(2)如圖2，若點(diǎn)F為OB中點(diǎn)，求證：AE＝2BE．(3)如圖2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，請(qǐng)用k的代數(shù)式表示AC2．49．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連結(jié)AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連結(jié)AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長(zhǎng)．

50．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊上動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合)．連接AE,過點(diǎn)E作EF⊥AE,交DC于點(diǎn)F．(1)求證：△ABE～△ECF；(2)連接AF，試探究當(dāng)點(diǎn)E在BC什么位置時(shí)，∠BAE=∠EAF，請(qǐng)證明你的結(jié)論．51．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)AC=BC時(shí)，把線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE，BE．①∠CBE的度數(shù)為______；②探究發(fā)現(xiàn)AD和BE有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的探究過程；(2)探究證明：如圖2，當(dāng)BC=2AC時(shí)，把線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后并延長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍，記為線段CE．①在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)判斷AD與BE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；②若AC=2，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△CBE的形狀為等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)△CBE的面積．52．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的中線，EF垂直平分CD，分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DE，DF．(1)求證：△OCE∽△OFD．(2)當(dāng)AE=7，BF=24時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．53．（2022·河南駐馬店·九年級(jí)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AD＝DE＝12AB，連接DE．將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ（1）[問題發(fā)現(xiàn)]①當(dāng)θ＝0°時(shí)，BECD＝；②當(dāng)θ＝180°時(shí)，BECD＝（2）[拓展研究]試判斷：當(dāng)0°≤θ＜360°時(shí)，BECD（3）[問題解決]在旋轉(zhuǎn)過程中，BE的最大值為．54．（2022·福建泉州·九年級(jí)期中）如圖1，設(shè)D為銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ADB=∠ACB+90°．（1）求證：∠CAD+∠CBD=90°；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥BD，BE=BD，連接EC，若AC?BD=AD?BC，①求證：△ACD∽△BCE；②求AB?CDAC?BD55．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中較長(zhǎng)部分對(duì)于全部之比，等于較短部分對(duì)于該部分之比，其比值是5-1(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝36°，AB=AC，∠ACB的平分線CD交腰AB于點(diǎn)D．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)證明：點(diǎn)D為腰AB的黃金分割點(diǎn)：(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的高，AD>BD，AB=5+1，若點(diǎn)D是AB56．（2022·山東·淄博市臨淄區(qū)教學(xué)研究室八年級(jí)期末）在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)．（1）若BP平分∠ABD，交AE于點(diǎn)G，PF⊥BD，如圖（1），證明四邊形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如圖（2），求證：AE?AB=DE?AP．57．（2022·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在ΔABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點(diǎn)，且BE=BD．（1）求證：ΔABE∽ΔACD；（2）若BD=1，CD=2，求AEAD58．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）[教材呈現(xiàn)]下面是華師大九年級(jí)上最數(shù)學(xué)教材第76頁(yè)的部分內(nèi)容．如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，AB=3，AD=2，CE=1，證明△AFD∽△DCE，并計(jì)算點(diǎn)A到直線DE的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．結(jié)合圖①，完成解答過程．[拓展]（1）在圖①的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)線段AF交邊CD于點(diǎn)G，如圖②，則FG的長(zhǎng)為；（2）如圖③，E、F是矩形ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，連接EF，將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A'．若AB=4，AD=3，則EF的長(zhǎng)為．59．（2022·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí)）(定義：長(zhǎng)寬比為n∶1（n為正整數(shù)）的矩形稱為n矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個(gè)2矩形，如圖a所示．操作1：將正方形ABEF沿過點(diǎn)A的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)B落在對(duì)角線AE上的點(diǎn)G處，折痕為AH．操作2：將FE沿過點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)F、點(diǎn)E分別落在邊AF，BE上，折痕為CD．則四邊形ABCD為2矩形．(1)證明：四邊形ABCD為2矩形；(2)點(diǎn)M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖b，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求ON：OM的值；②若AM＝AD，點(diǎn)N在邊BC上，當(dāng)△DMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求NB：CN的值；③連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB＝22，則DR的最小值＝60．（2022·四川廣元·二模）（1）如圖1，正方形ABCD與調(diào)研直角△AEF有公共頂點(diǎn)A，∠EAF＝90°，連接BE、DF，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線BE、DF相交所成的角為β，則BEDF＝________；β（2）如圖2，矩形ABCD與Rt△AEF有公共頂點(diǎn)A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，連接BE、DF，將Rt△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線BE、DF相交所成的角為β，請(qǐng)求出BEDF的值及β（3）若平行四邊形ABCD與△AEF有公共項(xiàng)點(diǎn)A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線BE、DF相交所成的銳角的度數(shù)為β，則：①BEDF②請(qǐng)直接寫出α和β之間的關(guān)系式．專題27.7相似三角形的證明與計(jì)算專項(xiàng)訓(xùn)練（60道）【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共60題，針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相似三角形的證明與計(jì)算的理解！一．解答題（共60小題）1．（2021·遼寧·大連市第三十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，點(diǎn)D在AB邊上，∠ABC=∠ACD.（1）求證：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的長(zhǎng).【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：（1）證明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=AB解得：AC=6.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，屬于基礎(chǔ)題型．2．（2022·廣西賀州·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，CF⊥BE于點(diǎn)F，求FC的長(zhǎng)．【答案】2.4【分析】根據(jù)已知可證明△ABE~?FCB，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，

∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB

∴ABFC∵BC=3，E是AD的中點(diǎn)，∴AE=1.5，∴BE=2.5，∴2FC=∴FC=2.4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求證：△ACD∽△ABC．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明即可．【詳解】證明：∵CD⊥AB于D．∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準(zhǔn)確運(yùn)用進(jìn)行推理證明．4．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)△BEG的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）7a【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD//BC，根據(jù)相似三角形的判定得△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，由BE=EF=FD可得出BEED（2）由BE=EF可得△BEG與△EFG的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得S△AED與S△DFH的值，S△AED【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴AD//BC，∴△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，∴BEED=BG∵BE=EF=FD，∴BEED=1∴BG=12AD=4，HD=1∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴S△BEG∴S△BFG∵△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，BEED=1∴S△AED=4a，∴四邊形AEFH的面積=S△AED-S△DFH=【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·湖南省岳陽(yáng)開發(fā)區(qū)長(zhǎng)嶺中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．【答案】4【分析】由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C可證明△ADB∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)可知ADAB=AB【詳解】解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，∴△ADB∽△ABC．∴ADAB=AB解得：AB＝4（負(fù)值已舍去）．∴AB＝4．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，由相似三角形的性質(zhì)得到2AB6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．【答案】見解析；【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知ABCB=BDBA，再由∠ABD＝∠CBA可得△【詳解】證明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴ABCB又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠1=∠2，ABAE【答案】見解析【分析】根據(jù)∠1=∠2得到∠BAC=∠EAD，結(jié)合ABAE【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，∴∠BAC=∠EAD，且ABAE∴△ABC∽△AED，由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可知：∴∠C=∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．8．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB于點(diǎn)E，PN交邊AD于點(diǎn)F，當(dāng)PE旋轉(zhuǎn)至PA處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，PN也經(jīng)過點(diǎn)D，求證：△ABP∽△PCD（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，PEPF（3）設(shè)AE=m，連結(jié)EF，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)m為何值時(shí)，△BPE與△PEF相似.【答案】（1）見解析；（2）PEPF的值是定值，該定值為12；（3）當(dāng)m=0或【分析】（1）因?yàn)樵诰匦沃校灾灰僮C明∠BAP=∠CPD即可；（2）證明邊比為定值，考慮相似三角形，過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，創(chuàng)造△PGF并證明其與△EBP相似；（3）使△BPE∽△PFE，那么BEPE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=90°

∴∠BAP+∠BPA=90°∵∠MPN=90°

∴∠CPD+∠BPA=90°

∴∠BAP=∠CPD∴△ABP∽△PCD

（2）過點(diǎn)F作FG⊥BC于G

∴∠FGP=90°

∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°易知四邊形ABGF是矩形，∴FG=AB=2∵∠MPN=90°

∴∠EPB+∠FPG=90°

∴∠EPB=∠FPG∴△EBP∽△PGF

∴PE∴PEPF的值是定值，該定值為1（3）∵AE=m

∴BE=2-m①當(dāng)BEPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PFE∴BEBP∴2-m1∴m=②當(dāng)BPPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PEF∴BPBE∴12-m∴m=0

綜上，當(dāng)m=0或32【點(diǎn)睛】本題考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等；三邊對(duì)應(yīng)成比例；兩角對(duì)應(yīng)相等以及性質(zhì)定理：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=30°，求證：△ABD∽△DCE．【答案】見解析【分析】利用三角形的外角性質(zhì)證明∠EDC=∠DAB，即可證明△ABD∽△DCE．【詳解】證明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，利用三角形的外角性質(zhì)證明∠EDC=∠DAB是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，連接BD，CE，求CEBD【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可推出∠DAE=∠BAC=45°，AE=2AD,AC=2AB，從而可得出∠EAC=∠DAB，AEAD【詳解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠BAC=45°，AE=2AD，∴∠EAC=∠DAB，AEAD∴△DAB～△EAC，∴CEBD【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握三角形相似的判定條件是解題關(guān)鍵．11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，且滿足∠ADE=∠B．(1)證明：ΔADB～(2)若AE=3，AD=5，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）證出∠BAD=∠EAD．根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出ADAE（1）∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADE=∠B，∴△ADB∽△AED．（2）∵△ADB∽△AED，∴ADAE∵AE=3，AD=5，∴53∴AB=25【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC與△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）證明：△ABC∽△ADE．（2）請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使△ABC≌△ADE．你補(bǔ)充的條件為：．【答案】(1)證明見解析；(2)見解析.【分析】(1)由∠1=∠2,證出∠BAC=∠DAE.再由∠C=∠E,即可得出結(jié)論;(2)由AAS證明△ABC≌△ADE即可.【詳解】(1)∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE．

∵∠C=∠E，∴△ABC∽△ADE．

(2)補(bǔ)充的條件為：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：由(1)得：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠C=∠E∴△ABC≌△ADE；故答案為AB=AD（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，BD、CE是△ABC的高．（1）求證：△ACE∽△ABD；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）BC＝253【分析】（1）BD、CE是△ABC的高，可得∠ADB=∠AEC=90°，進(jìn)而可以證明△ACE∽△ABD；（2）在Rt△ABD中，BD=8，AD=6，根據(jù)勾股定理可得AB=10，結(jié)合（1）△ACE∽△ABD，對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而證明△AED∽△ACB，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出【詳解】解：（1）證明：∵BD、CE是ΔABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵∠A=∠A，∴△ACE∽△ABD；（2）在Rt△ABD中，BD=8，根據(jù)勾股定理，得AB=A∵△ACE∽△ABD，∴ACAB∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴DEBC∵DE=5，∴BC=5×10【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB//EF//CD，E為AD與BC的交點(diǎn)，F(xiàn)在【答案】見解析【分析】根據(jù)已知條件可得△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，即可證明結(jié)論【詳解】∵AB∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD∴∴∴∴1【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，將線段比轉(zhuǎn)化為AB,CD,EF之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長(zhǎng)．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長(zhǎng)為．【答案】（1）＝；（2）①1，②2【分析】（1）先證明△ADP≌△CDQ，即可求解；（2）①先證明△ADP∽△CDQ，可得APCQ＝ADCD＝24＝12，設(shè)AP＝x，則再由勾股定理，即可求解；②過點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，根據(jù)△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝12，從而得到∠BPE=∠Q，再由角平分線的性質(zhì)定理可得BE=BF，進(jìn)而證得△BEP≌△BFQ，得到BP=【詳解】解∶（1）在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，∵∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠ADC=90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP=∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ；故答案為∶=（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．又∵∠A＝∠DCQ＝90°．∴△ADP∽△CDQ，∴APCQ＝ADCD＝24設(shè)AP＝x，則CQ＝2x，∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，解得x＝1，即AP＝1．∴AP的長(zhǎng)為1．②如圖，過點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，由①得：△ADP∽△CDQ，∴∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24∴CQ=2AP，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠Q，∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，∴BE=BF，∵∠E=∠BFQ=90°，∴△BEP≌△BFQ，∴BP=BQ，設(shè)AP=m，則BQ=BP=4-m，CQ=2m，∴2+2m=4-m，解得：m=2即AP=2∴DP=【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因?yàn)锳CB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯牵鐖D2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠APD=∠B．①求證：△ABP∽②當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．【答案】感知：（1）AEDE；應(yīng)用：（2）①見解析；②3.6；拓展：（3）2或【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAP=∠CPD，即可求證；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BCAE∴BCAC故答案為：AEDE應(yīng)用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴ABPC=BP解得：CD=3.6；拓展：（3）當(dāng)PA=PD時(shí)，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；當(dāng)AP=AD時(shí)，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合題意，∴AP≠AD；當(dāng)DA=DP時(shí)，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP，∴BCAC=AC解得：CP=25∴BP=BC-CP=12-25綜上所述，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，BP的長(zhǎng)為2或113【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及三角形的外角性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB．【答案】見解析【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠B＝∠C＝60°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根據(jù)∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可證∠1＝∠2即可．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠2＋60°，∴∠1＝∠2，∴△ADC∽△DEB．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形相似判定，掌握等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形相似判定是解題關(guān)鍵．18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一線，連接AE，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；【答案】見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，進(jìn)而可證△ADF∽△DEC．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，在△ADF與△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，DC與BE相交于點(diǎn)O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求證：△DOE∽△COB．【答案】答案見解析【分析】利用比例線段來(lái)證明相似三角形即可．【詳解】解：∵DO=2，DC=6，∴OC=CD-DO=6-2=4，∴ODOC=∴OD∵∠DOE=∠BOC，∴Δ【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于點(diǎn)F，ME交BC于點(diǎn)G.寫出圖中的所有相似三角形，并選擇一對(duì)加以證明．【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，證明見解析.【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可以直接寫出圖中有3對(duì)相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)證明△AMF∽△BGM．【詳解】圖中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM．以下證明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定．解答此題，要找出對(duì)應(yīng)角相等來(lái)證明三角形相似．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)．求證：△DEF∽△ABC．【答案】證明見解析【分析】首先可判斷EF、FD、DE為ΔABC的中位線，根據(jù)平行線分線段成比例的知識(shí)，可判斷ΔDEF與ΔABC的對(duì)應(yīng)邊成比例，繼而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，∴EF、FD、DE為ΔABC的中位線，∴EF∴ΔDEF∽ΔABC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，本題用到的是三邊法．22．（2021·福建·廈門市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線l對(duì)稱，且直線l經(jīng)過點(diǎn)F．（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【答案】（1）見解析（2）①a=b+1②見解析【分析】（1）作AD的垂直平分線，交AC于F點(diǎn)即可；（2）①根據(jù)題意得到a=2c，聯(lián)立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②證明△ABE∽△CBA，得到AECA【詳解】（1）如圖，點(diǎn)F為所求；（2）①∵△ABC是“和諧三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．聯(lián)立化簡(jiǎn)得到a=b+1；②∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)∴BE=1由①得到AB=1∴AB又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴AB故△ACE是“和諧三角形”．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法．23．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）由BC2=BF?BA，∠ABC=∠CBF可判斷△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判斷△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）作AH∥BC交CF的延長(zhǎng)線于H，如圖，易得AH∥DE，由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定△AHF∽△DGF，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得AHDG【詳解】證明：（1）∵BC2=BF?BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴△BAC∽△BCF，∵DE∥BC，∴△BCF∽△DGF，∴∴△DGF∽△BAC，∴DF：BC=DG：BA，∴DF?AB=BC?DG；（2）作AH∥BC交CF的延長(zhǎng)線于H，如圖，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴EG為△CAH的中位線，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴∴△AHF∽△DGF，∴AHDG∴2EGDG即2DF?EG=AF?DG．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要通過相似比得到線段之間的關(guān)系．24．（2020·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個(gè)直角三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．【答案】（1）12cm；（2）300【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面積即可得出答案；（2）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，證出△AEH∽△ABC，得出比例式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝202+15∵12BC×AD＝12AB×∴AD＝AB×ACBC＝20×15即BC邊上的高為12cm；（2）設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為xcm，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴AOAD＝EHBC，即12-x12解得：x＝30037即正方形EFGH的邊長(zhǎng)為30037cm【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似比對(duì)于高的比，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．25．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CF，BE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)G，求證：△BGF∽△DCF．【答案】見解析．【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DC=BC，∠DCB=∠DCF=90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根據(jù)∠F為公共角即可得出結(jié)論．【詳解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90°，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF=∠CBE∵∠CDF＋∠F=90°∴∠CBE＋∠F=90°∴∠BGF=90°=∠DCF∴△BGF∽△DCF【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．26．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，F(xiàn)為四邊形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠D=∠DCE．（1）求證：△ADF∽△ECF；（2）若ABCD為平行四邊形，AB=6，EF=2AF，求FD的長(zhǎng)度．【答案】（1）見詳解；（2）4【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）先證明AD∥BE，利用平行線分線段成比例，列出比例式，即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠D=∠DCE，∠AFD=∠EFC，∴△ADF∽△ECF；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BE，AB＝CD＝6，∴AF：EF＝DF：CF，又∵EF＝2AF，∴DF：CF＝1：2，即DF＝13【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊、對(duì)頂角等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．27．（2020·安徽安慶·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)CEEB=1（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=12

【答案】（1）S△CEFS【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得EFDF=1（2）由AD∥CB，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵CEEB∴CEBC=1∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴EFDF=CE∴EFDF=CEBC=∴S△CEFS△CDF（2）∵AD∥CB，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴△EFC∽△DFA．∴CF：AF=EC：AD=1：2，∵FG⊥BC，∴FG//AB，∴CG：BG=CF：AF=1：2，∴CG=12【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵．28．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E、F在邊BC上，滿足∠EAF=∠C求證：（1）BF?CE=AB2（2）AE【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）證明△ABF∽△ECA，得到ABCE（2）證明△AEF∽△BAF，得到AFBF=EFAF，即AF2=BF×EF，同理△AEF【詳解】（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠EAF=∠C∴∠B=∠EAF，∠AEC=∠B+∠BAE=∠EAF+∠BAE=∠BAF∴△ABF∽△ECA∴AB∴BF·CE=AB·AC=A即結(jié)論成立．（2）∵∠B=∠EAF，∠AFE=∠BFA∴△AEF∽△BAF∴AF即A同理：△AEF∽△CEA∴AE即A∴AE【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)；證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．29．（2020·山東泰安·中考真題）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC=∠CDE=90°，連接BD，AB=BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）若AB=6,CE=9，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）是；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）24【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通過AB=BD求出∠A=∠ADB，緊接著根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，據(jù)此進(jìn)一步得出∠ADB=∠FDE，最終通過證明∠ADB+∠EDC=90°證明結(jié)論成立即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可以得出∠BDC+∠CDF=90°，∠EDF+∠CDF=90°，從而可得∠BDC=∠EDF，接著證明出∠A=∠EDF，利用∠A=∠E可知∠E=∠EDF，從而推出EF=FD，最后通過證明∠ECD=∠CDF得出CF=DF，據(jù)此加以分析即可證明結(jié)論；（3）如圖，設(shè)G為EC的中點(diǎn)，連接GD，由（1）得DG⊥BD，故而GD=GC=92，在Rt△GDB中，利用勾股定理求出GB=152，由此得出CB=152-92【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，∵∠ACB=∠ECD，∴∠A=∠E，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，在Rt△ECD中，∵F是斜邊CE的中點(diǎn)，∴FD=FE=FC，∴∠E=∠FDE，∵∠A=∠E，∴∠ADB=∠FDE，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD⊥DF，結(jié)論成立，故答案為：是；（2）結(jié)論成立，理由如下：∵BD⊥DF，ED⊥AD∴∠BDC+∠CDF=90°，∠EDF+∠CDF=90°，∴∠BDC=∠EDF，∵AB=BD，∴∠A=∠BDC．∴∠A=∠EDF．又∵∠A=∠E，∴∠E=∠EDF．∴EF=FD．又∠E+∠ECD=90°，∠EDF+∠FDC=90°，∠E=∠EDF，∴∠ECD=∠CDF，∴CF=DF．∴CF=EF．∴F為CE的中點(diǎn)；（3）如圖，設(shè)G為EC的中點(diǎn)，連接GD，由（1）可知DG⊥BD，∴GD=1又∵BD=AB=6，在Rt△GDB中，GB=6∴CB=15在Rt△ABC中，AC=6在△ABC與△EDC中，∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC～△EDC，∴35∴CD=9∴AD=AC+CD=35【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.30．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，ED延長(zhǎng)后交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：△AEF∽△ABC．【答案】證明見解析．【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到ED＝EC，則∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性質(zhì)可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，則根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△AEF∽△ABC．【詳解】證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴ED＝EC，∴△ECD是等腰三角形，∴∠EDC＝∠C，∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．點(diǎn)M，N分別是BD，CE的中點(diǎn)，連接AM，AN，MN．（1）求證：△CAE≌△BAD；（2）求證：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）19【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可求出答案．（2）根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．（3）取AC的中點(diǎn)F，連接FN，過點(diǎn)N作NG⊥AC于點(diǎn)G，由于點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，易證得∠GFN=∠EAC=60°，所以∠FNG=30°，從而求出AG=4，NG=3，在Rt△ANG中，根據(jù)勾股定理即可求出AN=19．【詳解】（1）∵∠BAC=∠AE，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠EAC=∠DAB，在△CAE與△BAD中，AB=∴△CAE≌△BAD（SAS）；（2）由（1）得△CAE≌△BAD，∴∠ACE=∠ABD，CE=BD，∵M(jìn)、N分別是BD，CE的中點(diǎn)，∴CN=BM，在△CAN與△BAM中，AC=∴△CAN≌△BAM（SAS），∴AN=AM，∠CAN=∠BAM，∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN，即∠CAB=∠NAM，∵AC=AB，AN=AM，∴ANAC∴△AMN∽△ABC；（3）取AC的中點(diǎn)F，連接FN，過點(diǎn)點(diǎn)N作NG⊥AC于點(diǎn)G，∵點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，∴NF∥AE，NF=12∴∠GFN=∠EAC=60°，∴∠FNG=30°，∴FG=12∴AG=1+3=4，NG=22-1在Rt△ANG中，根據(jù)勾股定理可知：AN=19．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合問題，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，以及勾股定理，本題屬于中等題型．32．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在①DP?PB=CP?PA，②∠BAP=∠CDP，③DP?AB=CD?PB這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，使命題正確，并證明．問題：如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線交于P點(diǎn)，若（填序號(hào)）求證：△ABP～△DCP．【答案】①，證明見解析或②，證明見解析．【分析】若選擇條件①，可利用兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；若選擇條件②，可利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似．【詳解】解：選擇條件①的證明為：∵DP?PB=CP?PA，∴PADP又∵∠APB=∠DPC，∴△ABP∽△DCP；選擇條件②的證明為：∵∠APB=∠DPC，∠BAP=∠CDP∴△ABP∽△DCP．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，能熟記相似三角形的判定定理，并正確識(shí)圖是解題關(guān)鍵．33．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中項(xiàng)，求證：BD⊥AC．【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD=90°，再證明△ABC∽△DAB得到∠ABD=∠ACB，則∠ACB+∠DBC=90°，所以∠BEC=90°，從而得到結(jié)論．【詳解】∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∵AB是AD，BC的比例中項(xiàng)，即AB2=AD?BC，∴AB而∠ABC=∠DAB，∴△ABC∽△DAB，∴∠ABD=∠ACB，∵∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ACB+∠DBC=90°，∴∠BEC=90°，∴BD⊥AC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．34．（2018·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，過點(diǎn)C作CD(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形．(2)若GB=3，BC=6，【答案】1證明見解析；(2)AB【分析】(1)由E是AC的中點(diǎn)知AE=CE，由AB//CD知∠AFE=∠CDE，據(jù)此根據(jù)“AAS”即可證△AEF(2)證△GBF∽△GCD得GBGC=BFCD，據(jù)此求得【詳解】(1)∵E∴AE∵AB∴∠AFE在△AEF和△∵∠AFE=∠CDE∴△AEF≌△∴AF又AB//CD，即∴四邊形AFCD是平行四邊形；(2)∵AB∴△GBF∽△∴GBGC=解得：CD=∵四邊形AFCD是平行四邊形，∴AF∴AB【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.35．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．(1)求證：AFBE(2)已知AB=8,BC=12，求AF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)AF=7.2【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠B=∠AFD=90°，根據(jù)等角的余角相等可得∠BAE=∠ADF，即可證明△ADF∽△EAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）勾股定理求得AE=10，由（1）的比例式即可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠AFD=90°,∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF，∴△ADF∽△EAB，∴AFBE（2）∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=1∴AE=A∵AFBE∴AF6∴AF=7.2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．36．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，連接MC交BD于點(diǎn)N，ON＝1．(1)求證：△DMN∽△BCN；(2)求BD的長(zhǎng)；(3)若△DCN的面積為2，直接寫出四邊形ABNM的面積．【答案】(1)見解析(2)6(3)5【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，從而證明8字模型相似三角形△DMN∽△BCN；（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，設(shè)OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長(zhǎng)；（3）根據(jù)△MND∽△CNB且相似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△CNB的面積，從而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四邊形ABNM=S△ABD-S△MND求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△DMN∽△BCN；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，OB=OD＝12BD∵△DMN∽△BCN，∴DMBC∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴AD=2DM，∴BC=2DM，∴BN=2DN，設(shè)OB=OD=x，∴BD=2x，∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，∴x+1=2（x-1），解得：x=3，∴BD=2x=6，∴BD的長(zhǎng)為6；（3）解：∵△MND∽△CNB，∴DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，∵△DCN的面積為2，∴S△MND=12S△CND=1，S△BNC=2S△CND∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6，∴S四邊形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5，∴四邊形ABNM的面積為5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，等高三角形面積的比等于其對(duì)應(yīng)底的比是解題的關(guān)鍵．37．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上兩點(diǎn)，滿足AE=DF，BF與DE相交于點(diǎn)G．（1）如圖1，連接BD．求證：△DAE≌△BDF；（2）如圖2，連接CG．①求證：BG+DG=CG；②若FG=m，GC=n，求線段DG的長(zhǎng)（用含m、n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②DG=【分析】（1）四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，則△ABD是等邊三角形，根據(jù)AB=DB，∠A=∠FDB=60°，AE=DF，即可得到三角形全等；（2）①連接DB，延長(zhǎng)GB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM，求證出△CDG≌△CBMSAS，△CGM②由①中的條件可證△DFG∽△CDG，所以FGDG=DG【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴AD=AB，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=DB，∠A=∠FDB=60°，∵AE=DF∴△DAE≌△BDF．（2）①證明：連接DB，延長(zhǎng)GB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM．由（1）知△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF，∴∠CBM=∠CDG，∵△DBC是等邊三角形，∴CD=CB，DG=BM∴△CDG≌△CBMSAS∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，∴∠GCM=∠DCB=60°∴△CGM是等邊三角形，∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．②由①可知∠CGB=∠DGC=∠DGF=60°，∵AD∥BC，∴∠DFG=∠CBM，又∵∠CDG=∠CBM，∴∠DFG=∠CDG，∴△DFG∽△CDG，∴FGDG=DG∴DG=mn【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)，需要綜合利用初中所學(xué)知識(shí)，結(jié)合題目條件，靈活運(yùn)用才能解決問題；正確作出輔助線是解決這題的關(guān)鍵．38．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角尺如圖1放置，其中AD為Rt△ABC中BC邊上的高，DE，DF分別交AB，AC于點(diǎn)M和N．(1)求證：△AMD∽△CND；(2)如圖2，將Rt△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，此時(shí)EF∥BC，且E，A，F(xiàn)共線，判斷AEAD【答案】(1)見解析(2)成立，證明見解析【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)證出∠CDN=∠ADM，∠MAD=∠ACD，由相似三角形的判定可得出結(jié)論；（2）證明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論AEAD（1）解：證明：∵AD為Rt△ABC中BC邊上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ADN+∠CDN=90°，∵∠ADN+∠ADM=90°，∴∠CDN=∠ADM，又∵∠BAC=90°，∴∠MAD+∠DAC=90°，∵∠DAC+∠ACD=90°，∴∠MAD=∠ACD，∴△AMD∽△CND；（2）解：成立．證明：∵EF∥BC，∴∠EAD=∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠EAM=∠DAN，∵△EDF為等腰直角三角形，∴∠E=45°，∴∠ADE=∠ADF=45°，∴△AEM∽△ADN，∴AEAD【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證明△AEM∽△ADN是解題的關(guān)鍵．39．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PD⊥AD．（1）證明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）2【分析】（1）由三線合一可知AC⊥BD，然后利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；（2）首先過點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，進(jìn)而得出△CPM∽△APD，求出EC的長(zhǎng)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：過點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴CMAD=PC設(shè)CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=32∵AB=AD=AC=1，∴x1=3解得：x=13故AE=1-13=2【點(diǎn)睛】此題主要考查了余角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出△CPM∽△APD是解題關(guān)鍵．40．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，（1）若BK＝73KC，求CD（2）聯(lián)結(jié)BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE＝12AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD（3）試探究：當(dāng)BE平分∠ABC，且AE＝1nAD（n＞2）時(shí)，線段AB、BC，CD【答案】（1）37；（2）AB＝BC+CD；（3）AB＝1n-1BC+1【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)得到KCBK（2）連接BD，取BD的