第五章控制系統(tǒng)的頻域分析5.1頻率特性的定義及表示形式5.2典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性5.3典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性5.4開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線繪制5.5開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線繪制5.6奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.7對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)5.8頻域穩(wěn)定裕度5.9用頻率特性分析系統(tǒng)品質(zhì)5.10系統(tǒng)傳遞函數(shù)的實驗法習(xí)題五

用時域分析法分析和研究系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)誤差最為直觀和準(zhǔn)確，

但是，

求解高階系統(tǒng)的微分方程往往十分困難。此外，

由于高階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)與系統(tǒng)動態(tài)性能之間沒有明確的函數(shù)關(guān)系，

因此不易看出系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

頻域分析法作為研究控制系統(tǒng)的另一種經(jīng)典方法，

是在頻域內(nèi)應(yīng)用圖解分析法評價系統(tǒng)性能的一種工程方法。頻域分析法不必直接求解系統(tǒng)的微分方程，

而是間接地揭示系統(tǒng)的時域性能，

它能方便地顯示出系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，

并可以進(jìn)一步指明如何設(shè)計校正系統(tǒng)。頻率特性可以由微分方程或傳遞函數(shù)求得，

還可以用實驗方法測定。

與其他方法相比較，

頻率分析法還具有如下特點:

(1)頻率特性具有明確的物理意義，

它可以用實驗的方法來確定，

這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，

具有重要的實際意義。

(2)頻率分析法主要通過開環(huán)頻率特性圖形對系統(tǒng)進(jìn)行分析，

形象直觀。

(3)頻率分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，

而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理分式的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。

5.1頻率特性的定義及表示形式

以圖5－1所示RC電路為例，說明頻率特性的基本概念。圖5－1的網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為其中T=RC。圖5－1RC電路

若輸入為正弦電壓，即r(t)=Bsinωt，代入上式，用拉普拉斯反變換求出輸出可得：

這里，可見網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是與輸入同頻率的正弦電壓，幅值是輸入的

倍，相角比輸入滯后arctanωT，兩者都是ω

的函數(shù)，稱

為RC

網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性，φ(ω)=∠G(jω)=-arctanωT為RC

網(wǎng)絡(luò)的相頻特性，則

稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。

頻率特性：系統(tǒng)輸出信號的傅里葉變換與輸入信號的傅里葉變換之比稱為系統(tǒng)的頻率特性，即

其物理意義反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力:同頻、變幅、移相。

G(jω)也可以用直角坐標(biāo)的形式表示

實部R(ω)=ReG(jω)[]稱為實頻特性，虛部I(ω)=ImG(jω)[]為虛頻特性。

5.2典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性

5.2.1基本概念由于頻率特性G(jω)是復(fù)數(shù)，故可把它看成是復(fù)平面中的矢量。當(dāng)頻率ω為某一定值ω1

時，頻率特性G(jω1

)可以用極坐標(biāo)形式表示為相角為∠G(jω1

)(定義為從正實軸開始，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù))，幅值為的矢量如圖5－2所示。與矢量

對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖5－2頻率特性G

(jω)的極坐標(biāo)圖示法

工程上用頻率法研究控制系統(tǒng)時，主要采用圖解法。每一種圖解法都是基于某一形式的坐標(biāo)圖表示法。頻率特性圖示方法是描述頻率ω

從0→∞

變化時頻率響應(yīng)的幅值、相位

與頻率之間關(guān)系的一組曲線，由于采用的坐標(biāo)系不同可分為兩類圖示法或常用的三種曲線，即極坐標(biāo)圖示法和對數(shù)坐標(biāo)圖示法;幅相頻率特性曲線(奈奎斯特圖Nyquist)、對數(shù)頻

率特性曲線(伯德圖Bode)和對數(shù)幅相頻率特性曲線(尼柯爾斯圖Nichols)。本章只介紹幅相頻率特性曲線和對數(shù)頻率特性曲線。

1.比例環(huán)節(jié)K

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

頻率特性為

其幅相頻率特性曲線如圖5－3所示，幅值A(chǔ)

(ω)=K

，相位移φ(ω)=0°，表示輸出為輸入的K倍，且相位相同。圖5－3比例環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線

幅相頻率特性曲線如圖5－4所示，是整個負(fù)虛軸。幅值變化與ω

成反比，φ(ω

)=-90°。顯然積分環(huán)節(jié)是一個相位滯后環(huán)節(jié)，每當(dāng)信號通過一個積分環(huán)節(jié)，相位將滯后90°。圖5－4積分環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線

其幅相頻率特性曲線如圖5－5所示，是整個正虛軸，恰好與積分環(huán)節(jié)的特性相反。其幅值變化與ω

成正比，

φ(ω)=90°。可見微分環(huán)節(jié)是一個相位超前環(huán)節(jié)，系統(tǒng)中每增加一個微分環(huán)節(jié)將使相位超前90°圖5－5微分環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

當(dāng)ω

從0→∞

時，幅值A(chǔ)(ω)從1→0;相角φ(ω)從0°→-90°。因此，一階慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性位于直角坐標(biāo)圖的第四象限，且為一半圓，如圖5－6所示。

一階慣性環(huán)節(jié)是一個相位滯后環(huán)節(jié)，最大滯后相角為90°。一階慣性環(huán)節(jié)可視為一個低通濾波器，因為頻率越高，幅值越小，當(dāng)ω>5T時，幅值A(chǔ)

(ω

)已趨近于零。圖5－6慣性環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線

5.一階微分環(huán)節(jié)Ts+1

一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

當(dāng)ω

從0→∞

時，幅值A(chǔ)(ω)從1→∞

；相角φ(ω)從0°→90°。因此，一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線位于直角坐標(biāo)圖的第一象限，如圖5－7所示?？梢姡浑A微分環(huán)節(jié)是一個相位超前環(huán)節(jié)，最大超前相角為90°。圖5－7一階微分環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線

圖5－8為0<ζ<1情況下的幅相頻率特性曲線，可見，二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性與阻尼比ζ有關(guān)，ζ

大時，幅值

A(ω)變化??；

ζ小時，

A(ω)變化大。此外，對于不同ζ值的特性曲線都有一個最大幅值Mr

存在，這個

Mr

被稱為諧振峰值，對應(yīng)的頻率ωr

稱為諧振頻率。

當(dāng)

ζ>1時，幅相頻率特性將近似為一個半圓。這是因為在過阻尼系統(tǒng)中，特征根全部為負(fù)實數(shù)，且其中一個根比另一個根小得多，這種現(xiàn)象隨著ζ值的增大而更加明顯。所以當(dāng)ζ值足夠大時，數(shù)值大的特征根對動態(tài)響應(yīng)的影響很小，此時二階振蕩環(huán)節(jié)可以近似為一階慣性環(huán)節(jié)。圖5－8二階振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線(0<ζ<1)

當(dāng)ω從0→∞時，

A(ω)從1→∞；φ(ω)從0°→180°。因此，二階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線位于直角坐標(biāo)圖的第Ⅰ、Ⅱ象限，如圖5－9所示。圖5－9二階微分環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線

當(dāng)頻率ω

從0→∞

變化時，延遲環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線如圖5－10所示，它是一個以原點為圓心，半徑為1的圓。也即ω

從0→∞

變化時，幅值A(chǔ)

(ω

)總是等于1，相角φ(ω)與ω

成比例變化，當(dāng)ω→∞

時，

φ(ω)→-∞

。圖5－10延遲環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線

5.3典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性

5.3.1半對數(shù)坐標(biāo)

為了方便地繪制對數(shù)頻率特性圖，我們使用十倍頻程(

decade，簡寫dec)，以及對數(shù)幅頻特性的“斜率”概念。

所謂“十倍頻程”，是指在ω

軸上對應(yīng)于頻率ω

每增大十倍的頻帶寬度，如圖5－11所示。由于圖中的橫坐標(biāo)按對數(shù)分度，于是ω每變化10倍，橫坐標(biāo)就增加一個單位長度，例如ω從0.1到1或ω從1到10等頻帶寬度，都是十倍頻程，可見，橫坐標(biāo)對ω

而言是不均勻的，但對lgω

來講卻是均勻的。每個十倍頻程中，

ω

與lgω

的對應(yīng)關(guān)系如表5－1所列。所有十倍頻程在ω

軸上對應(yīng)的長度都相等。圖5-11對數(shù)坐標(biāo)

對數(shù)幅頻特性的“斜率”是指頻率ω改變十倍頻時L(

ω)分貝數(shù)的改變量，單位是dB/dec(分貝/十倍頻)。圖5－11中縱坐標(biāo)L(ω)=20lgA(ω)，稱為增益。A(ω)每變化10倍，

L(ω)就變化20分貝(dB)?！靶甭省钡母拍钤诰唧w繪制伯德圖時很有用。

使用對數(shù)頻率特性的第一個優(yōu)點是在研究頻率范圍很寬的頻率特性時，縮小了比例尺，即在一張圖上，不僅畫出了頻率特性的中、高頻段，還清楚地畫出其低頻段，而在設(shè)計和分析系統(tǒng)時，低頻段特性相當(dāng)重要。

使用對數(shù)頻率特性的第二個優(yōu)點是可以大大簡化繪制系統(tǒng)頻率特性的工作。由于系統(tǒng)往往是許多環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成，設(shè)各個環(huán)節(jié)的頻率特性為

則串聯(lián)后的開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為

由于L(ω)=20lgA(ω)=20lgA1(ω)+20lgA2(ω)+…+20lgAn(ω

)，可見利用半對數(shù)坐標(biāo)圖繪制開環(huán)幅相頻率特性十分方便，它可以將幅值的相乘轉(zhuǎn)化為幅值的相加，并且可以用漸近直線來繪制近似的對數(shù)幅值L(ω)曲線。如果需要精確的曲線，則可在漸近直線的基礎(chǔ)上加以修正。

5.3.2對數(shù)頻率特性

1.比例環(huán)節(jié)(K)

比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別是

當(dāng)K>1時，

L(ω)>0，

L(ω)曲線是一條位于ω軸上方的平行直線;當(dāng)K=1時，

L(ω)=20lg1=0，故L(ω)曲線就是ω軸線。由于φ(ω)=0°，所以φ(ω)曲線就是ω軸線。綜上所述，比例環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線(伯德圖)如圖5－12所示。圖5－12比例環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線

由于對數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)按lgω

刻度劃分，故式(5－26)可視為自變量為lgω

，因變量為

L(ω)的關(guān)系式，該式在半對數(shù)坐標(biāo)圖上是一個斜率為-20dB/dec的直線方程式。由式(5－26)可知，ω=1時，—20lgω=0，故有L(1)=0，即該直線與ω軸相交于ω=1的點，如圖5－13(a)上斜率為-20dB/dec的直線即為積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖。積分環(huán)節(jié)的相頻特性是φ(ω)=-90°。相應(yīng)的對數(shù)相頻特性是一條平行于ω軸，并處于其下方的直線，如圖5－13(b)所示。圖5－13積分環(huán)節(jié)1/s()和微分環(huán)節(jié)(s)的對數(shù)頻率特性曲線

微分環(huán)節(jié)s是積分環(huán)節(jié)1/s的倒數(shù)，所以很容易求出它的對數(shù)幅頻特性和相頻特性。它們分別是

從式(5－27)可以看出，微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖都只與積分環(huán)節(jié)相差一個“負(fù)”號。因而微分環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的伯德圖對稱于ω

軸，如圖5－13中斜率為20dB/dec的斜線(幅頻特性曲線)和90°的平行于ω

軸的直線(相頻特性曲線)。

繪制一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖，不需要將不同的ω值代人式(5－28)逐點計算L(ω

)，可用漸近線的方法先畫出曲線的大致圖形，再加以精確化。

(1)當(dāng)ωT?1時(低頻時)，由式(5－28)可得

上式表明，一階慣性環(huán)節(jié)的低頻段是一條零分貝的直線，它與ω

軸重合，如圖5－14(a)所示。

(2)當(dāng)ωT?1時(高頻時)，則由式(5－28)可得

當(dāng)ωT=1時

式(5－30)為一條斜率是-20dB/dec的直線。這表明，一階慣性環(huán)節(jié)在高頻段范圍內(nèi)是一條斜率為-20dB/dec，且與ω軸相交于的漸近線(見圖5－14)，它與低頻段漸近線的交點為，這時的ω稱為轉(zhuǎn)角頻率，其中，

T是慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。求出轉(zhuǎn)折頻率后，就可方便地做出低頻段和高頻段的漸近線。圖5－14慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線

作一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性圖沒有近似的辦法，但也可定出等點，用曲線把各點連接起來，如圖514(b)所示。它是對點斜對稱的一條曲線。

由于漸近線接近于精確曲線，因此，在一些不需要十分精確的場合，可以用漸近線代替精確曲線加以分析。在要求精確曲線的場合，需要對漸近線進(jìn)行修正。用漸近線代替精確曲線的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)角頻率處，因此可將ω=1/T代入式(5－28)，可得轉(zhuǎn)角頻率處的精確值為

近似值為L

(ω

)=0，所以誤差為-3dB，如圖5－15所示。由圖5－15可以看出，誤差值相對于轉(zhuǎn)角頻率是對稱的。

比例微分環(huán)節(jié)(1+Ts)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為

將式(5－31)與式(5－28)對比可知，比例微分環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性只相差一個“負(fù)”號，因而比例微分環(huán)節(jié)和一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線對稱于ω

軸，如圖5－16所示。圖5－15一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線采用漸近線時的誤差值圖5－16比例微分環(huán)節(jié)(1+Ts)的對數(shù)頻率特性曲線

或兩個一階微分環(huán)節(jié)T1s+1、T2s+1的乘積來表示。如果0<ζ<1，則成為二階振蕩環(huán)節(jié)或二階微分環(huán)節(jié)。由于二階振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)互為倒數(shù)(只相差常數(shù)ω2n)，所以只要討論其中的一個，就可以方便地得到另一個的對數(shù)幅頻特性和相頻特性?，F(xiàn)著重討論常見的二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線的繪制方法。

二階振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為

所以，二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為

依照一階慣性環(huán)節(jié)的分析方法，先求出二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的漸近線。

上式表明，高頻段的漸近線為一條斜率為-40dB/dec且與ω

軸相交于ω=ωn點的直線。

低頻段漸近線和高頻段漸近線相交處頻率為ωn

，稱為二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，兩條漸近線與轉(zhuǎn)角頻率如圖5－17(a)所示。

二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性的計算由式(5－32)可知，它也和阻尼比ζ有關(guān)，這些相頻特性曲線如圖5－17(b)所示。由圖5－17(b)可以看出，它們都是以轉(zhuǎn)角頻率ωn處相角為-90°的點為斜對稱。圖5－17

二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的精確曲線可以按式(5－32)計算并繪制。顯然，精確曲線隨阻尼比ζ的不同而不同。因此，漸近線的誤差也隨ζ的不同而不同。不同ζ值時的精確曲線如圖5－17所示。從圖中可以看出，當(dāng)

ζ值在一定范圍內(nèi)時，其相應(yīng)的精確曲線都有峰值，該值可按求函數(shù)極值的方法由式(5－32)求得。漸近線誤差隨

ζ不同而不同，誤差曲線如圖5－18所示。從圖5－18可以看出，漸近線的誤差在ω=ωn附近為最大，并且ζ值越小，誤差越大。當(dāng)ζ→0時，誤差將趨近于無窮大。

二階微分環(huán)節(jié)s2+2ζ

ωns+ω2n

(0<ζ<1)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性都與二階振蕩環(huán)節(jié)的特性對稱(以ω軸為對稱軸)，這里不再贅述。圖5－18二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的誤差曲線

其對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖5－19所示。從圖5－19可以看出，延遲環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線為L(ω)=0的直線，與ω

軸重合。對數(shù)相頻特性曲線φ(ω)當(dāng)

ω→∞

時，φ(ω

)→-∞

。圖5－19延遲環(huán)節(jié)e-

τs的對數(shù)頻率特性曲線

5.4開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線繪制

采用頻域分析法分析自動控制系統(tǒng)時，一般有兩種方法，一種是直接用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。另一種是根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線和已有的標(biāo)準(zhǔn)線圖求得閉環(huán)頻率特性曲線，再用閉環(huán)頻率特性曲線來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。兩種方法都必須首先繪制開環(huán)頻率特性曲線，而在采用極坐標(biāo)圖進(jìn)行圖解分析時，首先要求繪制極坐標(biāo)圖形式的開環(huán)幅相頻率特性曲線圖。

已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G

(s

)H(s

)，將G(s)H(s)中的s

用

jω來代替，便可求得開環(huán)頻率特性G

(jω)H(jω)，在繪制開環(huán)幅相頻率特性曲線時，可將G(j

ω)H(jω)寫成直角坐標(biāo)(即實部與虛部)形式

或?qū)懗蓸O坐標(biāo)形式

給出不同的ω

，計算出相應(yīng)的R

(ω

)、

I(ω)或者A(ω)和φ(ω)，即可得出極坐標(biāo)圖中相應(yīng)的點，當(dāng)ω

從0→∞

變化時，即可求得系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性圖(奈奎斯特圖，簡稱奈氏圖)，圖中的特性曲線簡稱為奈氏曲線。步驟如下:

(1)根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性;

(2)根據(jù)系統(tǒng)的極坐標(biāo)特性確定開環(huán)幅相特性曲線的起點(ω→0)和終點(ω→∞);

(3)根據(jù)系統(tǒng)的實頻、虛頻特性確定開環(huán)幅相特性曲線和實軸以及虛軸的交點(穿越頻率ωc

);

(4)確定開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍和趨勢。

【例5－2】設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為

試列出實頻和虛頻特性表達(dá)式，并繪制奈氏圖(極坐標(biāo)圖)。圖5－20例5－1的奈奎斯特曲線圖

解

系統(tǒng)的實頻、虛頻特性分別為:

幅頻和相頻特性分別為:

可見，系統(tǒng)的幅頻特性曲線處于第三、四象限，隨著ω的增大，φ(ω)從0°減小到-180°。其奈氏圖如圖5－21所示。圖5－21例5－2的奈氏圖

根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v的不同(

v=0，

1，

2…)，控制系統(tǒng)可以分為0型系統(tǒng)、Ⅰ型系統(tǒng)、Ⅱ型系統(tǒng)、Ⅲ型系統(tǒng)……。下面將分別給出0型系統(tǒng)、Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖。這些典型系統(tǒng)的奈氏曲線圖特性將有助于以后用奈氏曲線圖方法分析和設(shè)計控制系統(tǒng)。

1.0型系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線

0型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其幅頻頻率特性為

式中

由式(5－37)可知，當(dāng)ω=0時，

A(0)=K，

φ(0)=0°。當(dāng)ω→∞時，由于m<n，所以A(∞)=0，為坐標(biāo)原點，

φ(∞)=m·90°-n·90°=(m-n)90°=(n-m)(-90°)，可知，奈氏曲線是從(n-m)(-90°)的角度進(jìn)入坐標(biāo)原點的。

例如，設(shè)0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

式中，

n=2，

m=0，所以，φ

(∞)=(2-0)(-90°)=-180°，即奈氏曲線將從-180°進(jìn)入坐標(biāo)原點，也即奈氏曲線在原點處與負(fù)實軸相切，如圖5－22的曲線a

所示。

設(shè)0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

式中，

n=3，

m=0，所以，φ(∞)=(3-0)(-90°)=-270°，即奈氏曲線將從-270°進(jìn)入坐標(biāo)原點，也即奈氏曲線在原點處與正虛軸相切。如圖5－22的曲線b所示。圖5－220型系統(tǒng)的奈氏圖

2.Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線

Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

式中

由式(540)可知，當(dāng)ω=0時，

A(ω)=∞

，

φ(0)=-90°，故Ⅰ

型系統(tǒng)的奈氏曲線的起點是在相角為-90°的無限遠(yuǎn)處。當(dāng)ω→∞

時，因m<n

，所以A(∞)=0，也為坐標(biāo)原點，φ(ω)=(n-m)(-90°)。與0型系統(tǒng)類似，奈氏曲線是從(n-m)(-90°)的角度進(jìn)入坐標(biāo)原點的，如圖5－23所示，當(dāng)n-m=2時，為曲線a

，當(dāng)n-m=3時，為曲線b。

3.Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線

Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

式中

由式(5－43)可知，當(dāng)ω=0時，

A(ω)=∞，φ(ω)=-180°，故Ⅱ型系統(tǒng)的奈氏曲線的起點在相角為-180°的無限遠(yuǎn)處，如圖5－24所示。當(dāng)ω→∞時，因m<n，所以A(∞)=0，即坐標(biāo)原點，φ(∞)=(n-m)(-90°)，與0型、Ⅰ型系統(tǒng)相類

似，奈氏曲線是從(n-m)(-90°)的角度進(jìn)入坐標(biāo)原點的。圖5－23Ⅰ型系統(tǒng)的奈氏圖圖5－24Ⅱ型系統(tǒng)的奈氏圖

例如，設(shè)Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

上式中，

m=1，

n=3，所以φ(∞)=(3-1)(-90°)=-180°，即奈氏曲線在原點處與負(fù)實軸相切，如圖5－24的曲線a所示。

若Ⅱ型系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為

這時n-m=3，所以φ(∞)=-270°，所以奈氏曲線在原點處與正虛軸相切，如圖5－24的曲線b所示。

綜上所述，為了繪制系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線，可用如下方法確定特性的幾個關(guān)鍵部分。

1)奈氏曲線的低頻段

開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的一般形式為

式中

當(dāng)ω→0時，可以確定特性的低頻部分，

ω=0+時，式(5－45)為

其特點由系統(tǒng)的型別v近似確定，如圖5－25(a)所示。

對于0型系統(tǒng)，當(dāng)ω=0時，特性起點為(K，j0)。對于Ⅰ型系統(tǒng)，當(dāng)ω=0時，特性趨于一條與負(fù)虛軸平行的漸近線。對于Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)ω=0時，特性趨于一條與負(fù)實軸平行的漸近線。

2)奈氏曲線的高頻段

將開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的一般形式(5－44)中的分子、分母各因子展開表示，則有

一般，有m<n，故當(dāng)ω→∞時，式(5－46)可近似表示為

式中

即特性總是按式(5－48)的角度終止于原點，如圖5－25(b)所示。

對于n-m=1系統(tǒng)，當(dāng)ω→∞時，特性從負(fù)虛軸角度終止于原點。對于n-m=2系統(tǒng)，當(dāng)ω→∞時，特性從負(fù)實軸角度終止于原點。對于n-m=3系統(tǒng)，當(dāng)ω→∞時，特性從正虛軸角度終止于原點。圖5－25奈氏曲線高、低頻段形狀圖

3)奈氏曲線與實軸和虛軸的交點

奈氏曲線與實軸的交點頻率由下式求出，令開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的虛部等于0，即

奈氏曲線與虛軸的交點的頻率由下式求出，令開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的實部等于0，即

令lmGK

(jω)[]=0.5-ω2=0，求得ω2x

=0.5，代入求得幅相曲線與實軸的交點為ReGK(jωx)[]=-2.67k，粗略畫出幅相曲線如圖5－26所示。圖5－26例5－3的幅相曲線

5.5開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線繪制

5.5.1對數(shù)頻率特性曲線繪制方法根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性繪制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線具體步驟如下:

(1)將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表示為時間常數(shù)表達(dá)形式:

式中:m1+2m2=m，ν+n1+2n2=n。

(2)求20lgK的值，并明確積分環(huán)節(jié)的個數(shù)ν。

(3)確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率

并按從小到大的順序在橫坐標(biāo)軸上標(biāo)出。

(4)確定低頻段漸近線。

低頻段是指第一個轉(zhuǎn)折頻率之前的頻段范圍。

上述表明:

①低頻段的對數(shù)幅頻特性直線的斜率為-20νdB/dec，相角為ν×(-90°);

②由于故當(dāng)ω=1時，低頻段直線或其延長線(在ω<1的范圍內(nèi)有轉(zhuǎn)折頻率)的分貝值為20lgK，如圖5－27所示。

③當(dāng)?shù)皖l段與橫軸相交時，由于L(ω)=20lgK-20νlgω=0dB，

20lgK

=20νlgω=20lgων

，則ων=K?

ω=

圖5－27低頻漸近線特性

(5)繪制中頻段。

(6)繪制高頻段。

分段直線的最后一段是開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的高頻漸近線，其斜率為-20(n-m)dB/dec，n為極點數(shù)，

m為零點數(shù)。

(7)如果需要，可對漸近線進(jìn)行修正，以獲得較精確的對數(shù)幅頻特性曲線。

(8)相頻特性的繪制:根據(jù)系統(tǒng)相頻特性表達(dá)式計算描點，通常計算特征點(0、∞、轉(zhuǎn)折頻率)的值，然后用光滑曲線連接。

(4)因第一個轉(zhuǎn)折頻率ω

1=1，所以過(1，

20dB)點向左做-20dB/dec斜率的直線，再向右做-40dB/dec

斜率的直線交至頻率ω

2=2時轉(zhuǎn)為-20dB/dec

，當(dāng)交至ω3=20時再轉(zhuǎn)斜率為-40dB/dec

的直線，即得開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線，如圖5－28所示。

(5)系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性:

對于相頻特性，除了解它的大致趨向外，最感興趣的是剪切頻率ωc(當(dāng)L(ω)=0時，

ω=ωc，稱ωc為剪切頻率)時的相角，而不是整個相頻曲線，本例中ωc=5，這時的相角為圖5－28例5－4系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率漸近線圖

【例5－5】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試畫該系統(tǒng)的Bode圖。圖5－29例5－5系統(tǒng)對數(shù)頻率特性漸近線圖

5.5.2最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)

如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的右半平面上沒有極點和零點，而且沒有延遲環(huán)節(jié)，則稱為最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。例如，具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)

若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的右半平面上有一個(或多個)極點和零點，稱為非最小相位傳遞函數(shù)(若開環(huán)傳遞函數(shù)有一個或多個極點位于右半s平面，這意味著開環(huán)不穩(wěn)

定)。具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。例如，具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)

G1(s)和G2(s)都具有相同的幅頻特性，即幅頻特性都是

但它們的相頻特性卻大大不同。設(shè)G1(s)和G2(s)的相頻特性分別為φ1

(ω)和φ2

(ω)，則

顯然，最小相位系統(tǒng)的相角變化為最小。在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)(系統(tǒng))的相角范圍是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)(系統(tǒng))的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)(系統(tǒng))的相角范圍。

對于最小相位系統(tǒng)，傳遞函數(shù)由單一的幅值曲線唯一確定。而對于非最小相位系統(tǒng)則不是這種情況。對于最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相角特性之間具有唯一的對應(yīng)關(guān)系。這意

味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定，反之亦然。這個結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。

對于最小相位系統(tǒng)，相角在ω=∞時變?yōu)?90°(n-m)dB/dec，

n為極點數(shù)，

m為零點數(shù)。兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅值曲線在ω=∞時的斜率都等于-20(n-m)dB/dec。因此，為了確定系統(tǒng)是不是最小相位系統(tǒng)，既需要檢查對數(shù)幅值曲線高頻漸近線的斜率，又需要檢查在ω=∞時的相角。如果ω=∞時對數(shù)幅值曲線的斜率為-20(n-m)dB/dec，且相角等-90°(n-m)dB/dec，那么該系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。

自動控制系統(tǒng)中延遲環(huán)節(jié)是最常見的非最小相位傳遞函數(shù)。例如上述的G3

(s)包含了延遲環(huán)節(jié)e-τs。當(dāng)延遲時間τ比較小的時候，e-τs可近似為

因此，對G3(s)而言，延遲環(huán)節(jié)若按式(5－51)近似，則

對控制系統(tǒng)來說，相位純滯后越大，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性越不利，因此要盡量減小延遲環(huán)節(jié)的影響，盡可能避免有非最小相位特性的元件。

5.6奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是利用系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個判別準(zhǔn)則，簡稱奈氏判據(jù)。

奈氏判據(jù)不僅能判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且還能夠指出閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，并可進(jìn)一步提出改善閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的方法。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，奈氏判據(jù)還能像勞

斯判據(jù)一樣，確切地回答出系統(tǒng)有多少個不穩(wěn)定的根(即閉環(huán)極點)。因此，奈氏穩(wěn)定性判據(jù)在經(jīng)典控制理論中占有十分重要的地位，在控制工程中得到了廣泛的應(yīng)用。奈氏判據(jù)的理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的幅角原理，下面介紹基于幅角原理建立起來的奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的基本原理。

5.6.1理論基礎(chǔ)

1.特征函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)和F平面

設(shè)負(fù)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

將1+G(s)H(s)定義為特征函數(shù)F(s)，即F(s)=1+G(s)H(s)。并令

上式即為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。G(s)H(s)是反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。設(shè)

式中，

A(s)為s的n階多項式，

B(s)為s的m階多項式。則特征函數(shù)F(s)可以寫成

式中，

-pj為F(s)的極點(j=1，

2，…，

n)，

-zi為F(s)的零點(i=1，

2，…，

n)。

由式(5－55)可知，

F(s)的分母和分子均為s的n階多項式，也就是說，特征函數(shù)F(s)的零點和極點的個數(shù)是相等的。

從式(5－52)、式(5－54)和式(5－55)可以看出，特征函數(shù)F(s)的極點就是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，特征函數(shù)F(s)的零點則是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。因此根據(jù)前述閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，要使閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，特征函數(shù)F(s)的全部零點都必須位于s平面的左半部分。

不同的s值對應(yīng)不同的特征函數(shù)F(s)的值。特征函數(shù)F(s)的值是一個復(fù)數(shù)，可以用復(fù)平面上的點來表示。用來表示特征函數(shù)F(s)的復(fù)平面稱為F平面，如圖5－30(b)所示。從圖5－30可以看出，在s平面上的點或曲線，只要不是或不通過F(s)的極點(如是，則F(s)為∞)，就可以根據(jù)式(5－55)求出對應(yīng)的F(s)，并映射到F平面上去，所得的圖形也是點或曲線。圖5－30從s平面到F平面的映射關(guān)系(保角變換)

2.幅角原理和公式R=P-Z

在圖5－30(a)的s

平面上任取一條封閉曲線C

，并規(guī)定封閉曲線C不通過F

(s

)的任何零點和極點，但包圍了F

(s)的Z

個零點和P

個極點，如圖530(a)的-zΙi

(i=1，

2，

…，

Z

，

I

表示被曲線C包圍的零、極點)和-pj

Ι(j=1，

2，…，

P)。圖5－30(a)中的-zΠi和-pΠj是不被封閉曲線C

包圍的F

(s

)的n-Z個零點和n-P個極點(

Π表示不被曲線包圍的零、極點)，則曲線C在F

平面上的映射是一條不通過坐標(biāo)原點的封閉曲線，我們用C′來表示，如圖5－30(b)所示。

當(dāng)s平面上的變點s(見圖5－30(a))從封閉曲線C上的任一點(設(shè)為A點)出發(fā)，沿曲線按順時針方向移動一圈時，矢量

的幅值和相角都要發(fā)生變化。F平面上對應(yīng)的映射點F(s)也將從某一B點出發(fā)(見圖5－30(b))按某種方向沿封閉曲線C'移動并最終又回到B點。下面分析F平面上的映射曲線———封閉曲線C'按什么方向(順時針還是逆時針)包圍坐標(biāo)原點，以及包圍原點的次數(shù)。

在F平面上，從原點到曲線C‘上的點B作矢量F(s)，如圖5－30(b)所示，則上述問題可根據(jù)幅角原理對下列F(s)的表達(dá)式進(jìn)行計算而得到解答

由式(5－56)可求得矢量F(s)的幅角是

當(dāng)變點s在s

平面上沿封閉曲線C

順時針方向移動一圈時，被曲線C包圍的每個零點-zIi和每個極點-pΙj

到變點s的矢量的幅角改變量均為360°(順時針改變的角度為正)，而所有其他不被曲線C包圍的零點-zΠi和極點-pΠj的矢量的幅角改變量均為0°，所以矢量的幅角改變量為

式中，

P為被封閉曲線C包圍的特征函數(shù)F(s)的極點數(shù);Z為被封閉曲線C包圍的特征函數(shù)F(s)的零點數(shù)。

矢量F(s)的幅角每改變360°(或-360°)，表示矢量F(s)的端點沿封閉曲線C‘按順時針方向(或逆時針方向)環(huán)繞坐標(biāo)原點一圈。而式(5－58)表明，當(dāng)s平面上的變點s沿符合前述條件的封閉曲線C按順時針方向繞行一圈時，

F平面上對應(yīng)的封閉曲線C'將按順時針方向包圍原點(Z-P)次，也即按逆時針方向包圍原點(P-Z)次。這一重要性質(zhì)可概括

為如下的公式

式中，

R為F平面上封閉曲線C‘包圍原點的次數(shù);P為s平面上被封閉曲線C包圍的F(s)的極點數(shù);Z為s平面上被封閉曲線C包圍的F(s)的零點數(shù)。

當(dāng)R>0時，表示F(s)端點的軌跡逆時針方向包圍坐標(biāo)原點;

當(dāng)R<0時，表示F(s)端點的軌跡順時針方向包圍坐標(biāo)原點;

當(dāng)R=0時，表示F(s)端點的軌跡不包圍坐標(biāo)原點。

圖5－31表示了F平面上的一些封閉曲線。其中圖5－31(a)中R=2，即F(s)的端點軌跡逆時針包圍了原點兩次。圖5－31(b)和圖5－31(c)的R都是零，表示F(s)的端點軌跡沒有包圍坐標(biāo)原點。圖5－31F平面上F(s)端點形成的封閉曲線

式(5－59)也可改寫成

式(5－60)表明，當(dāng)已知特征函數(shù)F(s)的極點(也即已知開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點)在s平面上被封閉曲線C包圍的個數(shù)P及已知矢量F(s)在F平面上包圍坐標(biāo)原點的次數(shù)R，即可求得特征函數(shù)F(s)的零點(也即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點)在s平面被封閉曲線C包圍的個數(shù)。式(5－78)是奈氏判據(jù)的重要理論基礎(chǔ)。

3.奈氏軌跡及其映射

為了使特征函數(shù)F(s)在s平面上的零、極點分布及在F平面上的映射情況與控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析聯(lián)系起來，必須適當(dāng)選擇s平面上的封閉曲線C。為此，我們選擇這樣的封閉曲線C:使封閉曲線C包圍整個右半s平面。因此式(560)中的P值就是位于右半s平面上的開環(huán)傳遞函數(shù)的極點個數(shù)，而由式(560)計算得到的Z值就是位于右半s平面上的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點個數(shù)，對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)來說，顯然Z值應(yīng)等于零。

包圍整個右半s平面的封閉曲線如圖5－32所示，它是由整個虛軸和半徑為∞的右半圓組成。變點s按順時針方向移動一圈，這樣的封閉曲線稱為奈奎斯特軌跡。

奈奎斯特軌跡在F平面上的映射也是一條封閉曲線，如圖5－33所示。對應(yīng)于圖5－32的整個虛軸，因為s=j

ω

，所以變點在整個虛軸上的移動相當(dāng)于頻率ω從-∞變化到+∞，它在F平面上的映射就是曲線F(jω)(ω從-→+∞)。對于不同的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)及其開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω

)，對應(yīng)不同的F(jω)曲線(F(jω)=1+G(jω)H(jω))。在圖5－33中，對應(yīng)ω(0→+∞)的曲線用實線表示，對應(yīng)于ω(-∞→0)的曲線以虛線表示，它們關(guān)于實軸對稱。對于圖5－32平面上半徑為∞的右半圓，映射到F平面上的特征函數(shù)F(s)為圖5－32s平面的奈奎斯特軌跡圖5－33F平面的奈奎斯特曲線

一般開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的分子階數(shù)m小于等于分母階數(shù)n(即m≤n)，所以G(∞)H(∞)常為零或常數(shù)，

F(∞)=1或常數(shù)。這表明，

s平面上半徑為∞的右半圓，包括虛軸上坐標(biāo)為j∞和-j∞的點，它們在F平面上的映射都是同一個點，如圖5－33上的點D。

綜上所述，判別閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法可以這樣來描述:s平面上的奈氏軌跡在F平面上的映射F(jω)，當(dāng)ω從-∞變到+∞時，若逆時針包圍坐標(biāo)原點的次數(shù)R(R>0)等于位于右半s平面上的開環(huán)極點個數(shù)P，即Z=P-R=0(見式(5－60))，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因為Z=0意味著閉環(huán)系統(tǒng)的極點沒有被封閉曲線(奈氏軌跡)包圍，也即在右半s平面沒有閉環(huán)極點，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

上述判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法可以進(jìn)一步簡化。由于特征函數(shù)F(s)定義為

上式表明，

F平面上的曲線F(jω

)如果整個地向左平移1個單位，便可得到GH平面上的G(jω)H(jω

)曲線，這就是系統(tǒng)的奈氏曲線圖，如圖5－34所示。

由于F(jω)的F平面坐標(biāo)中的原點在GH平面的坐標(biāo)中平移到了(-1，j0)點，所以判別穩(wěn)定性方法中的矢量F(

jω

)包圍坐標(biāo)原點次數(shù)R，應(yīng)改為矢量G(jω

)H(jω

)包圍(-1，j0)點的次數(shù)R，因此式(560)中的R就是GH平面中矢量G(jω)H(jω

)對(-1，j0)點的包圍次數(shù)。

已知為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，特征函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)的零點都應(yīng)位于s平面的左半部分，也就是說，式(560)中的Z應(yīng)等于零，因此式(5－60)應(yīng)變?yōu)?/p>

這就是奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的基本出發(fā)點。圖5－34GH平面的奈氏曲線

5.6.2穩(wěn)定判據(jù)

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點及虛軸上沒有極點時(例如0型系統(tǒng))，奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)(簡稱奈氏判據(jù)，或奈氏判據(jù)一)可表述為:閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分

必要條件是，

G(j

ω)H(jω)平面上的開環(huán)頻率特性按逆時針方向包圍(-1，j0)點的周數(shù)R(R>0)等于P。其中，

P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)。此時Z=P-R。

可解釋如下:

(1)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，表示開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)H(s)沒有極點位于右半s平面，所以式(5－60)中的P=0，如果相應(yīng)于ω從-∞→+∞變化時的奈氏曲線G(jω)H(jω)不包圍(-1，j0)點，即式(5－60)中的R也等于零，則由式(5－60)可得Z=0，因此閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。

(2)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，說明系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有一個或一個以上的極點位于s平面的右半部分，所以式(560)中的P≠0，如果相應(yīng)于ω從-∞→+∞變化時的奈氏曲線G(jω)H(jω)逆時針包圍(-1，j0)點的次數(shù)R，等于開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)位于右半s平面上的極點數(shù)P(即P=R)，則由式(5－60)或式(5－62)可知，閉環(huán)系統(tǒng)也是穩(wěn)定的，否則(即R≠P)，閉環(huán)系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。

如果奈奎斯特曲線正好通過(-1，j0)點，這表明特征函數(shù)F(jω)=1+G(jω

)H(jω

)在s平面的虛軸上有零點，也即閉環(huán)系統(tǒng)有極點在s平面的虛軸上，則閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的邊界，這種情況一般也認(rèn)為是不穩(wěn)定的。

為簡單起見，奈氏曲線G(jω

)H(jω

)通常只畫ω從0→+∞變化的曲線的正半部分，另外一半曲線以實軸為對稱軸。這時，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)又可表述如下:

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)ω由0變化到+∞時，

G(jω

)H(jω)曲線在(-1，j0)點以左的負(fù)實軸上的正、負(fù)穿越次數(shù)之和N為P/2次，此時

若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點分布在s右半平面(即P=0)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是正、副穿越次數(shù)之和N=0。

所謂“穿越”是指奈氏軌跡穿過(-1，

-∞)段。

正穿越:從上而下穿過(-1，

-∞)段(相角增加)，用N+表示。

負(fù)穿越:由下而上穿過(-1，

-∞)段(相角減少)，用N-表示。

若G(jω

)H(jω

)軌跡起始或終止于(-1，

j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和-1/2次穿越。如圖5－35所示。圖5－35奈氏軌跡穿越次數(shù)

應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般步驟如下：

(1)繪制開環(huán)頻率特性G(jω

)H(jω

)的奈氏圖，作圖時可先繪出對應(yīng)于ω從0→+∞的—段曲線，然后以實軸為對稱軸，畫出對應(yīng)于-∞→0的另外一半。

(2)計算奈氏曲線

G(jω

)H(jω

)對點(-1，j0)的包圍次數(shù)R。為此可從(-1，j0)點向奈氏曲線G(jω

)H(jω

)上的點作一矢量，并計算ω從-∞→0→+∞時該矢量轉(zhuǎn)過的凈角度，并按每轉(zhuǎn)過360°為一次的方法計算R

值。

(3)由給定的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)確定位于s

平面右半部分的開環(huán)極點數(shù)P

。

(4)應(yīng)用奈奎斯特判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【例5－6】設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

G(jω

)H(jω

)的奈氏曲線圖如圖5－36所示，由圖

可以看出，當(dāng)ω從-∞→0→+∞變化時，

G(jω

)H(jω

)曲

線不包圍(-1，j0)點，即R=0。所謂不包圍(-1，j0)點，指行進(jìn)方向(即圖5－36中箭頭方向)的右側(cè)不包圍它(行進(jìn)方向為順時針方向)。如行進(jìn)方向是逆時針方向，則看箭頭方

向的左側(cè)是否包圍(-1，j0)點。開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點為-0.5，

-1，

-2，都位于s平面的左半部分，所以

P=0。故Z=P-R=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖5－36例5－6的奈氏圖

【例5－7】設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

G(j

ω

)H(jω

)的奈氏圖如圖5－37所示。由圖可以看出，當(dāng)ω從—∞→0→+∞變化時，

G(j

ω

)H(jω

)曲線(即奈氏曲線)順時針方向包圍(-1，j0)點兩次，即

R=-2。而開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為-1，

-2，

-3，沒有位于右半s平面的極點，所以P=0，

Z=P-R=2。因此，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有兩個位于右半平面的極點。圖5－37例5－7的奈氏曲線

【例5－8】設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

G(jω

)H(jω

)的奈氏圖如圖5－38所示，由圖可以看出，當(dāng)ω從-∞→0→+∞變化時，

G(jω

)H(jω

)曲線逆時針方向包圍(-1，

j0)點兩次，即R=2，但系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有兩個極點位于右半s平面上，即P=2，所以Z=P-R=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖5－38例5－8的奈氏曲線

5.6.3開環(huán)傳遞函數(shù)中含有積分環(huán)節(jié)和等幅振蕩環(huán)節(jié)時的奈氏穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用

實際控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)往往有極點位于s平面的虛軸上，尤其是位于原點上的極點(例如Ⅰ型系統(tǒng)、Ⅱ型系統(tǒng)…)，這時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)將表述為

式中，

v

是開環(huán)傳遞函數(shù)中位于原點的極點個數(shù)。

這樣，由圖5－32描述的奈氏軌跡將通過開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，即s平面中的原點。在前面的討論中，奈氏軌跡是不能通過開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點和零點的，所以如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有極點或零點位于原點或者虛軸上，則s平面上的封閉曲線形狀必須加以改變，方法是將封閉曲線繞過原點上的極點，把這些點排除在封閉曲線之外，但封閉曲線仍包圍右半s平面內(nèi)的所有零點和極點。

為此，以原點為圓心，做一半徑為無限小ε的右半圓，使奈氏軌跡沿著這個無限小的半圓繞過原點，如圖5－39所示，由圖可以看出，修改后的奈氏軌跡，將由負(fù)虛軸、原點附近的無限小半徑的右半圓，正虛軸和無限大半圓組成，位于無限小半圓上的變點s可表示為圖5－39

φ

從-90°經(jīng)0變至90°，將式(5－64)代入式(5－63)，并考慮到s是無限小的矢量，可得

從式(5－65)可知:s平面上原點附近的無限小右半圓在G(s)H(s)平面上的映射為無限大半徑的圓弧，該圓弧從角度為v×90°的點(即j0—的映射點)開始，按順時針方向，經(jīng)0°到-v×90°的點(即j0+的映射點)終止。

現(xiàn)對不同類型的系統(tǒng)(Ⅰ型系統(tǒng)、Ⅱ型系統(tǒng)…)分別討論如下：

1.Ⅰ型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)的v=1，當(dāng)ω從-∞→0—及0

十→+∞變化時，開環(huán)奈氏曲線G

(j

ω)H(jω

)如圖5－40所示的虛線段和實線段所示。而由式(5－65)描述的半徑為∞的圓弧，它是從G(jω)H(jω)曲線上ω=0-(-ε)的點開始，按順時針方向到ω=0+(ε)的點為止。

相應(yīng)的幅角變化為從-vφ=90°到-vφ=-90°(見式(5－65)，

φ:-90°→90°)。這段半徑為∞的圓弧，就是圖5－39(b)所示的原點附近無限小半徑的右半圓在s平面上的映射。這段半徑為∞的圓弧又稱為奈氏曲線的“增補段”，附加增補段后的整個曲線稱為增補開環(huán)奈氏曲線。圖5－40Ⅰ型系統(tǒng)的奈氏曲線

2.Ⅱ型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)的v=2，與上述分析類似，不同的是這時的奈氏曲線的增補段，是從ω=0-(-vφ=180°)按順時針方向到ω=0+(-vφ=—180°)的無限大半徑的圓弧，如圖5－41所示。

如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含有無阻尼振蕩環(huán)節(jié)

則s平面(根平面)的虛軸上有開環(huán)共軛極點可以仿照有開環(huán)極點位于原點的情況來處理。

考慮到s平面虛軸上有開環(huán)極點的更為一般的情況，奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另一種描述是:如果增補開環(huán)奈氏曲線G(jω)H(jω

)，在ω從-∞→+∞變化時，逆時針包圍(-1，j0

)點的次數(shù)R等于位于右半s平面的開環(huán)極點數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。這個描述，我們定義為奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二(簡稱奈氏判據(jù)二)。它與奈氏判據(jù)一比較，只多了“增補”二字。因此，對于Ⅰ型系統(tǒng)、Ⅱ型系統(tǒng)等，只要作出系統(tǒng)的增補開環(huán)奈氏曲線，它的判別穩(wěn)定性的方法與奈氏判據(jù)一相同。

【例5－9】設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)二判別其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，其增補開環(huán)奈氏曲線如圖5－42所示，由圖可以看出，當(dāng)ω從-∞→+∞變化時，

G(jω

)H(jω

)增補奈氏曲線順時針包圍(-1，j0)點兩次，即R=-2。而開環(huán)傳遞函數(shù)沒有位于右半s平面上的極點，即P=0，所以Z=P-R=2≠0，因此，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖5－42例5－9的增補奈氏曲線

【例5－10】設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)二判別其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，其增補奈氏曲線如圖5－43所示。由圖5－43可以看出，當(dāng)ω從-∞→+∞變化時，

G(jω

)H(jω

)曲線不包圍(-1，j0)點，即R=0，開環(huán)傳遞函數(shù)也沒有位于右半s平面上的極點，即P=0，所以Z=P-R=0，因此，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖5－43例5－10的增補奈氏曲線

【例5－11】設(shè)有如圖5－44所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，試用奈氏判據(jù)求出比例控制器的Kp

的取值范圍(Kp>0)，設(shè)受控對象的傳遞函數(shù)為

根據(jù)奈氏判據(jù)可知，當(dāng)

R=0，又因P=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因此Kp

的取值范圍應(yīng)為

5.7對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

5.7.1開環(huán)幅相特性與對數(shù)頻率特性之間的關(guān)系由極坐標(biāo)與對數(shù)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系可知：極坐標(biāo)圖上的單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線；極坐標(biāo)圖上的負(fù)實軸對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的-180°相位線。

由正負(fù)穿越的定義和開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與相應(yīng)的對數(shù)坐標(biāo)圖的對應(yīng)關(guān)系可見，對數(shù)頻率特性圖上的正負(fù)穿越為:在對數(shù)坐標(biāo)圖上L(ω)>0(A(ω)>1)的范圍內(nèi)，當(dāng)ω

增加時，相頻特性曲線φ(ω)從上到下穿過-180°相位線(相位減小)的稱為負(fù)穿越；而相頻特性曲線φ(ω)從下到上穿過-180°相位線(相位增大)的稱為正穿越。如圖5－46所示。圖5－46對數(shù)幅頻特性圖的正、負(fù)穿越定義圖

5.7.2穩(wěn)定判據(jù)

若系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)，在對數(shù)相頻曲線ω為