培優(yōu)課,§2.4函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

題型一函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

例1(1)設(shè)式X)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)QO時，y(x)=lnx+e*.若a=A—兀)，b=∕(log23),

C=人2-°?2),則4,b,C的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>b>cD.a>c>b

答案C

解析當(dāng)x>0時，"r)=1nx+e?v為增函數(shù)，

.?√U)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，“=穴一兀)

=fiπ),

又π>3>log23>l>2o?2>O,

，歡)/10g23)42-°2),

.,.a>h>c.

(2)(2020?新高考全國I)若定義在R上的奇函數(shù)7U)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且式2)=0,則滿

足狀X—1)20的X的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+∞)

B.[-3,-1]UIO,1J

C.[-l,0]U[l,+∞)

D.[-1,0]U[1,3]

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)段)為定義在R上的奇函數(shù)，

則|O)=(I

又兀V)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且式2)=0,

畫出函數(shù)人x)的大致圖象如圖(1)所示，

則函數(shù)Kt—1)的大致圖象如圖(2)所示.

(2)

當(dāng)x≤0時，要滿足狀x—1))0,

則式X-I)W0,得一IWXW0.

當(dāng)x>0時，要滿足求x—1)20,

則yu—i)>o,得IWXW3.

故滿足求X-1)20的X的取值范圍是［-1,0］U［1,3］.

思維升華(I)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為y(g(x))次∕z(x)),利用單調(diào)性把不等式的

函數(shù)符號“『脫掉，得到具體的不等式(組).

(2)求比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一

單調(diào)區(qū)間上，進(jìn)而利用其單調(diào)性比較大小.

跟蹤訓(xùn)練1(2022?南京質(zhì)檢)已知函數(shù)40=-X-X3,XI，X2,X3∈R-且X1+X2>O,x2+x3>O,

Λ?+χι>o,貝IJy(XI)+y(χ2)+y(χ3)的值()

A.一定大于零

B.一定小于零

C.等于零

D.正負(fù)都有可能

答案B

解析函數(shù)T(X)的定義域?yàn)镽,

又—X)=—^(_X)―(_x)3=x+x3

=-fi,x')<

所以函數(shù)凡r)是R上的奇函數(shù)，

由單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)可知，函數(shù)y(x)是R上的減函數(shù)，

因?yàn)閄1+X2>O,X2+X3>O,Λ?+X1>O,

即Xl>—X2,X2>-X3,X3>-Xl,

所以TO)勺(―X2),危2)q—X3),

式X3)<√(-XI)，

即Λ?X∣)<一段2),於2)<—/(X3),

T(X3)<—/U1),

所以“Tl)+加2)<0,於2)+%3)<0,

Xx3)+Xxι)<O,

三式相加可得加1)+%2)+ΛX3)<O.

題型二函數(shù)的奇偶性與周期性

例2(I)定義在R上的偶函數(shù)y(x)滿足yu+2)=-∕U),且在［—2,0］上單調(diào)遞減，下面關(guān)于40

的判斷不正確的是()

A..大0)是函數(shù)的最小值

B.KX)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

C.府)在［2,4］上單調(diào)遞增

D.段)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

答案C

解析A項(xiàng)，??7U+2)=-AX)=-Λ-x),

'-fix+4)=-Ax+2)=/(X)=K-X),

??√(x)是周期為4的周期函數(shù)，

又y(x)在［—2,OJ上單調(diào)遞減，在R上是偶函數(shù)，.?.在［0,2］上單調(diào)遞增，

.?A0)是函數(shù)的最小值,正確；

B項(xiàng)，由ytx+2)+X-X)=0,

??√(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，正確；

C項(xiàng)，又兀V)在［—2,0］上單調(diào)遞減，在R上是偶函數(shù)，人X)是周期為4的周期函數(shù)，

.?出口在⑵陽上單調(diào)遞減,錯誤;

D項(xiàng)，?.√(x+4)=Λ—x),火x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，正確.

(2)(2021?全國甲卷)設(shè)兀t)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且yU+x)=A-X).若/(一3)=；，則/(D

等于()

?-^3B-^3c-3D-3

答案C

解析因?yàn)?0是定義在R上的奇函數(shù)，

所以y(-x)=-√U)?

又式l+x)=A—X),

所以42+x)=∕u+(1+x))=y(—(1+x))=—/u+X)=—?—x)=y(x),

所以函數(shù)y(x)是以2為周期的周期函數(shù).

思維升華周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，

將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

跟蹤訓(xùn)練2已知定義在R上的奇函數(shù)y(x)滿足式x+2)=一火X),當(dāng)OWXWl時，y(x)=x2,則

為2023)等于()

A.20192B.1C.0D.-1

答案D

解析根據(jù)題意，函數(shù)式x)滿足√(x+2)=—/(x),

則有yu+4)=—yu+2)=AX),

即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，

則|2023)=式-1+2024)=/(—1),

又函數(shù)y=7(x)為奇函數(shù)，且χW［0,l］時，fix)=X2,

則式一D=FD=-1，故42023)=-l.

題型三函數(shù)的奇偶性與對稱性

例3(1)已知火X)是定義在R上的偶函數(shù)，則以下函數(shù)中圖象一定關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對稱

的是()

A.>'=(χ-l)∕(χ-l)

B.y=(x+l)Λx+l)

C.y=xj[x}+?

D.y=xJ(x)-?

答案B

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=求x),該函數(shù)的定義域?yàn)镽,所以g(—x)=-狀一X)=—狀X)=-g(X),

函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

故函數(shù)g(x)的圖象的對稱中心為原點(diǎn).

函數(shù)y=(x+l)∕U+l)的圖象可在函數(shù)g(x)的圖象上向左平移1個單位長度，

故函數(shù)y=(x+l^x+l)圖象的對稱中心為(一1,0).

(2)(2022-高郵模擬)寫出一個滿足兀0=五2—x)的偶函數(shù)KO=.

答案cos心(常數(shù)函數(shù)也可，答案不唯一)

解析取兀T)=COSTLT,證明過程如下：

"r)=cosπx的定義域?yàn)镽,

由八-x)=COS(-Ttr)=cosTtr=KX),

故火X)為偶函數(shù)，

又fi2-χ)=coslπ(2—x)J=cos(2π—TLV)=cosπx=fix).

思維升華由函數(shù)的奇偶性與對稱性可求函數(shù)的周期，常用于化簡求值、比較大小等.

跟蹤訓(xùn)練3定義在R上的奇函數(shù)lX),其圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,0)對稱，且犬X)在[0,2)上單調(diào)遞增,

則()

A.Λ∣1)<√(12)<A21)

B.Λ21)<∕(12)<∕(ll)

C.川1)勺(21)勺∏2)

D.Λ21)<∕(ll)<∕(12)

答案A

解析函數(shù)4X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,0)對稱，

.?∕(χ-4)=—χ-Λ),

又y(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

；?一人一X)=Aχ),

...而-4)=Λx),

即函數(shù)凡r)的周期是4,

則yUD=Λ-D,火12)=/(0),

Λ21)=ΛD,

?.√(x)為奇函數(shù)，且在［0,2)上單調(diào)遞增，

則7U)在(-2,2)上單調(diào)遞增，

.?Λ-1)<AO)<Λ1).

即川1)勺(12)521).

題型四函數(shù)的周期性與對稱性

例4(1)(2022.重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校月考)已知函數(shù)兀0滿足：4r+2)的圖象關(guān)于直線x=-2

對稱，且人工+2)=裾，當(dāng)2WxW3時，/U)=log2(x+?)，則/(誓)的值為()

A.2B.3C.4D.6

答案B

解析因?yàn)槭絰+2)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，所以兀V)的圖象關(guān)于直線x=0對稱，即函

數(shù)兀0為偶函數(shù)，因?yàn)樨+2)==,所以函數(shù)段)是周期函數(shù)，且7=4,

所以/(乎)=旭。8+號=/(I)=/(-1)

=∕H+4)=≠(I)=ι°g2(l+?)=3?

(2)已知y(x)的定義域?yàn)镽,其函數(shù)圖象關(guān)于直線X=-3對稱,且yu+3)=Ax-3),若當(dāng)x∈［0,3］

時，yω=2'+ι,則下列結(jié)論正確的是.(填序號)

①/U)為偶函數(shù)；

②AX)在［-6,—3］上單調(diào)遞減；

③/U)關(guān)于直線x=3對稱；

刨IOo)=5.

答案①③④

解析段)的圖象關(guān)于直線X=-3對稱，

則八一X)=Z(X—6),

又火x+3)=/(x—3),則加)的周期7=6,

.?.八一X)=ΛX—6)=AX),

.?Λχ)為偶函數(shù),故①正確；

當(dāng)x∈［0,3］時，fl.x)=2x+1單調(diào)遞增，

?.?7=6,故火x)在［―6,—3］上也單調(diào)遞增，故②不正確；

y(x)關(guān)于直線X=-3對稱且T=6,

.?J(x)關(guān)于直線x=3對稱，故③正確；

y(100)=∕(16×6+4)=Λ4)=y(-2)=Λ2)=5,故④正確.

思維升華函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它

們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區(qū)間

上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.

跟蹤訓(xùn)練4已知定義在R上的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)X有兀v+4)=-∕U),若函數(shù)y(χ-l)

的圖象關(guān)于直線x=l對稱，八-1)=2,則|2025)=.

答案2

解析由函數(shù)y=Λχ-l)的圖象關(guān)于直線X=I對稱可知，函數(shù)7U)的圖象關(guān)于y軸對稱，故

J(X)為偶函數(shù).又由y(x+4)=—/(x),

得負(fù)x+4+4)=-∕U+4)=Λx),

??√(x)是周期為8的偶函數(shù).

?,?Λ2025)=∕U+253X8)=∕∏)=/(—1)

=2.

課時精練

I.(2022.荊門模擬)已知函數(shù)次只是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且八尤)的周期為2,在［-1,0］上單

調(diào)遞增，那么兀0在［1,引上()

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減

C.先增后減D.先減后增

答案C

解析函數(shù)凡*)的周期為2,

且./U)在［-1,0］上單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，

.?.函數(shù)在［0,1］上單調(diào)遞減，

.?.函數(shù)火x)在［1,3］上先增后減.

2.已知偶函數(shù)y(x)對于任意XeR都有火χ+D=-Xx),且兀V)在區(qū)間［0,1］上是單調(diào)遞增的，

則五一6.5),火一1),犬0)的大小關(guān)系是()

A.ΛO)<A-6.5)<A-1)

B.Λ-6.5)<7(0)<∕(-l)

C.Λ-1)<A-6.5)√(O)

D.人—1)勺(0)勺(一6.5)

答案A

解析由∣x+l)=-∕U),

得y(x+2)=-∕(x+l)=∕(x),

???函數(shù)凡r)的周期是2.

?；函數(shù)式x)為偶函數(shù)，

Λ√(-6.5)=y(-0.5)=Λ0.5),

Λ-1)=ΛD?

???加)在區(qū)間［0,1］上是單調(diào)遞增的，

,?A0)<A0.5)<∕(i),

即火0)勺(一6.5)勺(一1).

3.已知函數(shù)兀V)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)α滿足y∏og3”)

+Λloglα)^2/1),則α的取值范圍是()

3

A.(0,3］B(O,I

C.［1,3D.［1,3］

答案C

解析函數(shù)40是定義在R上的偶函數(shù)，

且在［0,+8)上單調(diào)遞減，

故兀V)在(-8,0］上單調(diào)遞增.

因?yàn)閥uog30)+y∏og∣4)》紈U，

3

所以∕log3a)+Λ-log3a)=賀bg3q)>2/(1),

即Λlog3a)宓1)=如一D=H0g3α∣≤1，

所以一1Wl0g3αWl,

解得WWaW3.

4.(2022?重慶西南大學(xué)附中月考)已知定義在R上的函數(shù)y(x)滿足八一X)=-AX),y(l+x)=∕U

一X),當(dāng)x∈［一1,1］時，y(x)=x3-3x,則犬2023)等于()

A.1B.-2C.-1D.2

答案D

解析由題意知，函數(shù)犬χ)滿足yo+χ)=ΛI(xiàn)-X),可得y(x)的圖象關(guān)于直線X=I對稱，

又由大一X)=-J(X),可得兀0的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，

所以函數(shù)應(yīng)r)是周期為4的函數(shù)，

所以023)=Λ-l)>

因?yàn)楫?dāng)x∈［—1,1］時,7U)=X3-3X,

則人2023)=Λ-l)=2.

2"—?

5.(2022?湖北鄂南聯(lián)考)己知函數(shù)次X)=FPj^,且貝。)+大力<0，貝M)

A.a+h<0B.a+h>0

C.a—∕>+1>0D.α+?+2<0

答案A

2t-1

解析函數(shù)兀O=行Y的定義域?yàn)镽,

_2^j-l2Λ(2^Λ~1)

式一X)=2^v+1=2Λ(2^V+I)

1一2,

=］+2X=-負(fù)㈤'

所以函數(shù),/(X)為奇函數(shù)，

0〃._(y+D-2_2

旦八X1—2Λ+］12v+1,

顯然函數(shù)火X)為R上的增函數(shù)，

由.大4)+大勿<0可得

Λα)<-Λ?)=Λ-?),

所以a<-b,即a+b<Q.

6.(2022?遼陽模擬)定義在R上的奇函數(shù)y(x)滿足犬χ-4)=-√(x),且在。2］上單調(diào)遞增，若

方程y(x)=,"(,">0)在區(qū)間［-8,8］上有四個不同的根汨,、2，工3/4,則Xl+Λ^2+x3+x4的值為()

A.8B.-8C.0D.-4

答案B

解析因?yàn)槭絏—4)=—fix),

所以兀v)=—兀v+4),

所以J(X+8)=∕(x),

所以函數(shù)7U)的周期為8,

又因?yàn)榇骕)是奇函數(shù)，在［0,2］上單調(diào)遞增，

作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

由圖象可知,/(￡)=〃?(〃?>0)在區(qū)間［-8,8］上的四個不同的根.，及，X3,X4,兩個關(guān)于直線X=

—6對稱，兩個關(guān)于直線x=2對稱，

所以Xi+x2+x3+M=—6X2+2X2=-8.

都有/

7.(2022?沈陽質(zhì)檢)定義在R上的奇函數(shù)兀r),對于VxCR,且滿足

負(fù)4)>一2,.八2)=根一總，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是()

A.—1<nι<0或〃?>3

B.m<-1

C.加<—1或0<m<3

D.0<m<3

答案C

解析定義在R上的奇函數(shù)兀0對于?X∈R,都有/?+X)=/(}—￡),

則/(∣+x)=∕(-X)=-")，

故人3+x)=-/(x+∣)=fi,x),

函數(shù)周期為7=3,

故y(2)=Λ-4)=-Λ4),.穴4)>一2,

3

故式2)=相一才2,

,(w-3)(???+1)

h即lri----￡---------<o,

m

解得m<—1或0<m<3.

8.(2022.運(yùn)城模擬)已知偶函數(shù)段)滿足“γ)+y(2-χ)=0,下列說法不正確的是()

A.函數(shù)兀r)是以4為周期的周期函數(shù)

B.函數(shù)式外的圖象關(guān)于x=4對稱

C.函數(shù)於+2)為偶函數(shù)

D.函數(shù)Kr—3)為偶函數(shù)

答案D

解析依題意知y(x)是偶函數(shù)，

且人》)+人2—x)=0,

T(X)=-/(χ-2)=-[-Λχ-2-2)]

=Xx-4),

所以周期為4,

所以A,B正確.

於+2)=段—2+4)=凡L2)

=1一(χ-2))=A-χ+2),

所以函數(shù)負(fù)x+2)為偶函數(shù)，C正確.

若yu—3)是偶函數(shù)，

則yu-3)=A-x-3)=∕5+3),

則函數(shù)T(X)是周期為6的周期函數(shù)，這與上述分析矛盾，

所以人尤一3)不是偶函數(shù).D錯誤.

9.寫出一個同時滿足以下三個條件①定義域不是R，值域是R：②奇函數(shù)；③周期函數(shù)的函

數(shù)解析式.

JT

答案Xx)=tanX,x≠5+?π∕eZ)(答案不唯一)

解析滿足題意的函數(shù)為7U)=lanX,

X/+E(X∈Z)(答案不唯一).

10.(2022?內(nèi)江模擬)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)於)滿足:

①圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

物x)='(Ir)；

③當(dāng)XW(0，J時，y(x)=log2(x+l)+∕w.

若式2020)=log23,貝IJm