河北省保定市競秀區(qū)樂凱中學2023-2024學年九年級數學第一學期期末考試模擬試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在RtAABC中NC=90。，AC=6,BC=8,則sinNA的值（）

335

D.

5543

2.一元二次方程f—x—i=o的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根D.無法判斷

3.二次函數y=ax2+"+c的部分對應值如表，利用二次的數的圖象可知，當函數值y>0時，x的取值范圍是（）

X-3-2-1012

y-12-50343

A.0<x<2B.xVO或x>2C.-l<x<3D.x<-l^x>3

4.如果△ABCs/XOER且對應邊的AB與OE的長分別為2、3,則△ABC與厶力七廠的面積之比為（）

A.4:9B.2:3C.3:2D.9:4

5,二次函數y=—/+2x在下列（）范圍內，y隨著工的增大而增大.

A.x<2B.x>2C.x<0D.x>0

6.已知二次函數y=ax2+bx+c（a/0）圖象的一部分如圖所示，給出以下結論：①abc>0；②當x=—l時，函

數有最大值；③方程ax2+bx+c=0的解是\=1,X2=-3;④4a+2b+c>0,其中結論錯誤的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

7.點A、B、C是平面內不在同一條直線上的三點，點D是平面內任意一點，若A、B、C、D四點恰能構成一個平

行四邊形，則在平面內符合這樣條件的點D有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.把兩個大小相同的正方形拼成如圖所示的圖案.如果可以隨意在圖中取點.則這個點取在陰影部分的概率是（）

9.由于受豬瘟的影響，今年9月份豬肉的價格兩次大幅上漲，瘦肉價格由原來每千克23元，連續(xù)兩次上漲"％后，

售價上升到每千克40元，則下列方程中正確的是（）

A.23（1+a%）2=40B.23（1—a%y=40

C.23（1+2a%）2=40D.23（1-2a%）2=40

10.方程x2-9=0的解是（）

A.3B.±3C.4.5D.±4.5

11.兩個全等的等腰直角三角形，斜邊長為2,按如圖放置，其中一個三角形45。角的項點與另一個三角形的直角頂點

A重合，若三角形ABC固定，當另一個三角形繞點A旋轉時，它的角邊和斜邊所在的直線分別與邊BC交于點E、F,

設BF=x，CE=V則>關于X的函數圖象大致是（）

k

12.己知關于x的函數y=k(x+1)和丫=--(k^O)它們在同一坐標系中的大致圖象是()

x

A+B/小

c+，D丿

二、填空題(每題4分，共24分)

13.如圖，正方形45co內接于。0,。。的半徑為6,則AB的長為__________

◎

三14.如圖，OO的直徑43與弦CD相交于點'AB=5,AC=3,則tanZADC=______.

15.如圖，平行四邊形ABCD0分別切于點E,F,G,連接CO并延長交于點H,連接AG,AG

與HC剛好平行，若AB=4,AO=5,貝!|。的直徑為______.

AHF_________n

冃G

16.分解因式：cr-9=_________.

17.如圖，在HAABC中，NC=90°,AC=8,8C=6,點尸是A3上的任意一點，作PD丄AC于點。，PE1CB

于點E,連結OE,則。E的最小值為_______

18.在平面直角坐標系中，點尸（2,-3）關于原點對稱點P的坐標是.

三、解答題（共78分）

19.（8分）在AABC中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于點D,BD：DC=2；1,BC=7.8cm,求點D到AB的

距離.

20.（8分）五一期間，小紅和爸爸媽媽去開元寺參觀，對東西塔這對中國現存最高也是最大的石塔贊嘆不已，也對石

塔的高度產生了濃厚的興趣.小紅進行了以下的測量：她到與西塔距離27米的一棟大樓處，在樓底A處測得塔頂B

的仰角為60。，再到樓頂C處測得塔頂B的仰角為30。.那么你能幫小紅計算西塔BD和大樓AC的高度嗎？

21.（8分）已知，四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE=EC,以AE為直徑的。0與邊CD相切于點D,點B在。0

上，連接0B.

（1）求證:DE=0E；

（2）若CD〃AB,求證：BC是。。的切線；

22.（10分）如圖，AABC是等邊三角形，順時針方向旋轉后能與ACBD重合.

A

(1)旋轉中心是,旋轉角度是___________度，

(2)連接OD,證明：為等邊三角形.

23.(10分)如圖，某高速公路建設中需要確定隧道AB的長度.已知在離地面1500m高度C

處的飛機上，測量人員測得正前方A、B兩點處的俯角分別為60。和45。.求隧道AB的長

（導1.73）.

24.(10分)如圖，點C在。。上，聯結C0并延長交弦AB于點D,AC=BC＞聯結AC、0B,若CD=40,AC=206.

(1)求弦AB的長；

(2)求sin/ABO的值.

25.(12分)若關于x的一元二次方程(1)f-4x+1=0方有兩個不相等的實數根.

⑴求”?的取值范圍.

⑵若加為小于10的整數，且該方程的根都是有理數，求加的值.

26.某校為響應全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學校圖書館.據統計，第一個月進館128人次，進館人次逐月

增加，到第三個月進館達到288人次，若進館人次的月平均增長率相同.

(1)求進館人次的月平均增長率；

(2)因條件限制，學校圖書館每月接納能力不得超過500人次，在進館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館

能否接待第四個月的進館人次，并說明理由.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、B

【分析】由勾股定理可求得AB的長度，再根據銳角三角函數的定義式求得sinNA的值.

【詳解】???AC=6,BC=8,/.AB=AC2+BC2=A/62+82=10?

BC84

.??sinNA=-----=—=—

AB105

故選B.

【點睛】

本題考查勾股定理和銳角三角函數的綜合應用，根據求得的直角三角形的邊長利用銳角三角函數的定義求值是解題關

鍵.

2、A

【分析】把a=l,b=1,c=-l,代入△=〃_4ac，然后計算』，最后根據計算結果判斷方程根的情況.

【詳解】

A/?2-4ac=l+4=5

???方程有兩個不相等的實數根.

故選A.

【點睛】

本題考査根的判別式，把a=l,b=-l,c=-l,代入△=〃一4收計算是解題的突破口.

3、C

【分析】利用表中數據和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線戶1,則拋物線的頂點坐標為(1,4),所以拋物

線開口向下，則拋物線與x軸的一個交點坐標為(3,1),然后寫出拋物線在x軸上方所對應的自變量的范圍即可.

【詳解】???拋物線經過點(1,3),(2,3),

.?.拋物線的對稱軸為直線X=-=1,

2

???拋物線的頂點坐標為(1,4),拋物線開口向下，

?.?拋物線與X軸的一個交點坐標為（-1,1）,

...拋物線與X軸的一個交點坐標為（3,1）,

.,.當-1<XV3時，J>1.

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次函數與x軸的交點、二次函數的性質等知識，解題的關鍵是要認真觀察，利用表格中的信息解決問題.

4、A

【分析】根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方進行計算.

【詳解】

AR24

...△A3C與AOEF的面積之比等于（——）2=（一）2=一.

DE39

故選：A.

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形的對應線段（對應中線、對

應角平分線、對應邊上的高）的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

5、C

【分析】先求函數的對稱軸，再根據開口方向確定x的取值范圍.

【詳解】y=-x2+2x=-（x-l）2+l，

?.?圖像的對稱軸為x=l,a=-l<0,

...當x<l時，y隨著x的增大而增大，

故選：C.

【點睛】

此題考査二次函數的性質，當a<0時，對稱軸左增右減，當a>0時，對稱軸左減右增.

6、A

【解析】由拋物線開口方向得到aVl,根據拋物線的對稱軸為直線x=-=b=-1得bVl,由拋物線與y軸的交點位置

2a

得到c>L則abc>l；觀察函數圖象得到x=-l時，函數有最大值；

利用拋物線的對稱性可確定拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-3,1）,則當x=l或x=-3時，函數y的值等于1；觀察

函數圖象得到x=2時，y<l,即4a+2b+cVl.

【詳解】解：???拋物線開口向下，

h

???拋物線的對稱軸為直線X=--=-1,

2a

:.b=2a<l,

?.?拋物線與y軸的交點在x軸上方，

Aoi,

.,.abc>L所以①正確；

?.?拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-l,

.?.當x=-l時，函數有最大值，所以②正確；

???拋物線與X軸的一個交點坐標為(1,1),而對稱軸為直線x=-l,

...拋物線與x軸的另一個交點坐標為(-3,1),

...當x=l或x=-3時，函數y的值都等于1,

二方程ax?+bx+c=l的解是：xi=l,X2=-3,所以③正確；

Vx=2時,y<l,

*'?4a+2b+c<l,所以④錯誤.

故選A.

【點睛】

解此題的關鍵是能正確觀察圖形和靈活運用二次函數的性質，能根據圖象確定a、b、c的符號，并能根據圖象看出當

x取特殊值時y的符號.

7、C

【解析】試題分析：由題意畫出圖形，在一個平面內，不在同一條直線上的三點，與D點恰能構成一個平行四邊形，

符合這樣條件的點D有3個.

故選C.

考點：平行四邊形的判定

8、C

【分析】先設圖中陰影部分小正方形的面積為x,則整個陰影部分的面積為3x,而整個圖形的面積為7x.再根據幾何概

率的求法即可得出答案.

【詳解】解：設圖中陰影部分小正方形的面積為x,,則整個陰影部分的面積為3x,而整個圖形的面積為7x,

3r3

...這個點取在陰影部分的慨率是—

7x7

故答案為：c.

【點睛】

本題考查的知識點是事件的概率問題，解題的關鍵是根據已給圖形找出圖中陰影部分的面積與整個圖形的面積.

9、A

【分析】根據增長率a%求出第一次提價后的售價，然后再求第二次提價后的售價，即可得出答案.

【詳解】根據題意可得：23(l+a%)2=40,故答案選擇A.

【點睛】

本題考查的是一元二次方程在實際生活中的應用，比較簡單，記住公式“增長后的量=增長前的量X(l+增長率)”.

10、B

【解析】根據直接開方法即可求出答案.

【詳解】解：Tx2-9=0,

/?X—

故選:B.

【點睛】

本題考察了直接開方法解方程，注意開方時有兩個根，別丟根

11,C

【分析】由題意得NB=NC=45°,NG=NEAF=45°,推出△ACEs^ABF,得到NAEC=NBAF,根據相似三角形

的性質得到——=J,于是得到結論.

BFAC

【詳解】解：如圖：

由題意得NB=NC=45。，NG=NEAF=45。，

VZAFE=ZC+ZCAF=45°+ZCAF,ZCAE=45°+ZCAF,

/.ZAFB=ZCAE,

.?.△ACEs^ABF,

/.ZAEC=ZBAF,

/.△ABF^ACAE,

.ABCE

"~BF~~AC

又???△ABC是等腰直角三角形，且BC=2,

.,.AB=AC=V2?又BF=x,CE=y,

._y

,丁五'

即xy=2,(l<x<2).

故選：C.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應邊比例相等的性質，本題中求證△ABFsaACE是解題的關鍵.

12、A

【分析】先根據反比例函數的性質判斷出k的取值，再根據一次函數的性質判斷出k取值，二者一致的即為正確答案.

【詳解】解：當k>0時，反比例函數的系數-k<0,反比例函數過二、四象限，一次函數過一、二、三象限，原題沒

有滿足的圖形；

當kVO時，反比例函數的系數-k>0,所以反比例函數過一、三象限，一次函數過二、三、四象限.

故選：A.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、37

【分析】同圓或等圓中，兩弦相等，所對的優(yōu)弧或劣弧也對應相等，據此求解即可.

【詳解】???四邊形ABCD是正方形，

.*.AB=BC=CD=AD,

-AB=BC=CD=AD^

:.AB的長等于。。周長的四分之一，

的半徑為6,

0。的周長=2x6x兀=12乃,

AAB的長等于3萬，

故答案為：3萬.

【點睛】

本題主要考査了圓中弧與弦之間的關系，熟練掌握相關概念是解題關鍵.

【解析】分析：

由已知條件易得△ACB中，ZACB=90°,AC=3,AB=5,由此可得BC=4,結合NADC=NABC,即可由

AC

tanNADC=tanNABC=-----求得所求的值了.

BC

詳解：

TAB是的直徑，

.,.ZACB=90°,

又,.,AC=3,AB=5,

BC=J52-3Z=4，

AC3

tanNABC=-----=—，

BC4

XVZADC=ZABC,

3

.".tanZADC=—.

4

,3

故答案為：一.

4

點睛：熟記“圓的相關性質和正切函數的定義''解得本題的關鍵.

15、2G

（分析］先證得四邊形AGCH是平行四邊形，則AH=CG,再證得DH=。。，求得AH=1,DE=3，證得DOA.HC,

根據用.OCE?用,即可求得半徑，從而求得結論.

【詳解】?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

'：AG//HC,

四邊形AGCH是平行四邊形，

:.AH=CG,

,:CG、CE是。。的切線，且切點為G、E,

:.CG=CE=AH,NGCH=NHCD,

'：AD//BC,

：.NDHC=NGCH,

二NDHC=NHCD,

...三角形DHC為等腰三角形，

:.DH=DC=AB=4,

AH=AD-DH=5-4=\,

：.CE=AH=\,DE=DC—CE=4—T=3,

連接OD、OE,如圖，

VDE.OE是。。的切線，且切點為E、F,

...DO是/尸0E的平分線，

又DH=DC,

:.DO丄HC,

:.NDOC=90。,

VCO切。。于E，

：.OE±CD,

■:ZOCE+ZCOE=9()°,NDOE+NCOE=90°,

:.NOCE=NDOE,

**?Rt/OCE~Rt?DOE9

.OECEOE1

??=---即nn---=----9

DEOE93OE

???OE=5

???G)。的直徑為：2百

故答案為：2百.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定和性質，切線長定理,相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，證得*DHC

為等腰三角形是解題的關鍵.

16、(a+3)(a-3)

【解析】試題分析：本題考查實數范圍內的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.在實數范圍內進

行因式分解的式子的結果一般要分到出現無理數為止.先把式子寫成a2-32,符合平方差公式的特點，再利用平方差公

式分解因式.

a2-9=a2-32=(a+3)(a-3).

故答案為(a+3)(a-3).

考點：因式分解-運用公式法.

17、4.8

【分析】連接CP,根據矩形的性質可知：DE=CP,當OE最小時，則CP最小，根據垂線段最短可知當CP丄A3

時，則CP最小，再根據三角形的面積為定值即可求出CP的長.

【詳解】RAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,

二AB=10,

連接CP,

尸。丄4c于點。，PE丄CB于點,E，

二四邊形。PEC是矩形，

:.DE=CP,

當OE最小時，則CP最小，根據垂線段最短可知當CP丄AB時，則CP最小，

.?.￡)￡=CP=—=4.8.

10

故答案為：4.8.

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用、矩形的判定和性質以及直角三角形的面積的不同求法，題目難度不大，設計很新穎，解

題的關鍵是求DE的最小值轉化為其相等線段CP的最小值.

18、(-2,3).

【解析】根據坐標軸的對稱性即可寫出.

【詳解】解：根據中心對稱的性質，得點尸(2,-3)關于原點的對稱點P，的坐標是(-2,3).

故答案為：(-2,3).

【點睛】

此題主要考査直角坐標系內的坐標變換，解題的關鍵是熟知直角坐標系的特點.

三、解答題(共78分)

19、2.6cm

【分析】先要過D作出垂線段DE,根據角平分線的性質求出CD=DE,再根據已知即可求得D到AB的距離的大小.

【詳解】解：過點D作DE丄AB于E.

TAD平分NBAC,DE丄AB,DC±AC

/.CD=DE

又BD：DC=2：1,BC=7.8cm

.,.DC=7.8-r(2+1)=7.84-3=2.6cm.

.'.DE=DC=2.6cm.

:,點D到AB的距離為2.6cm.

【點睛】

本題考査了角平分線的性質定理，屬于簡單題，正確作出輔助線是解題關鍵.

20、西塔BD的高度為276米，大樓AC的高度為18百米.

【分析】作CE丄BD于E,根據正切的定義求出BD,根據正切的定義求出BE,計算求出DE,得到AC的長.

【詳解】解：作CE丄BD于E,

則四邊形ACED為矩形，

.?.CE=AD=27,AC=DE,

亠八亠BD

在RtZ\BAD中，tanNBAD=——，

AD

貝！JBD=AD?tanZBAD=2773，

在RtZkBCE中，tanZBCE=—

貝！JBE=CE?tanZBCE=9>/3，

:.AC=DE=BD-BE=18百，

答：西塔BD的高度為27百米，大樓AC的高度為18百米.

D

【點睛】

本題考查的是解直角三角形的應用?仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

21、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）先判斷出N2+N3=90。，再判斷出N1=N2即可得出結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到N3=NCOD=NDEO=60。，根據平行線的性質得到N4=NL根據全等三角形的

性質得到NCBO=NCDO=90。，于是得到結論；

（3）先判斷出AABOg^CDE得出AB=CD,即可判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，最后判斷出CD=AD即可.

〈CD是。O的切線，

AODXCD,

:.Z2+Z3=Z1+ZCOD=90°,

VDE=EC,

AZ1=Z2,

AZ3=ZCOD,

ADE=OE；

(2)VOD=OE,

AOD=DE=OE,

:.N3=ZCOD=ZDEO=60°,

AZ2=Z1=3O°,

VAB/7CD,

AZ4=ZL

.e.Zl=Z2=Z4=ZOBA=30°,

.,.ZBOC=ZDOC=60°,

OD=OB

在ACDO與ACBO中，(NDOC=NBOC,

OC=OC

.,.△CDO^ACBO(SAS),

:.ZCBO=ZCDO=90°,

.,.OB丄BC,

；.BC是。O的切線；

(3)VOA=OB=OE,OE=DE=EC,

/.OA=OB=DE=EC,

VAB/7CD,

.,.Z4=ZL

.,.Z1=Z2=Z4=ZOBA=30°,

/.△ABO^ACDE(AAS),

，AB=CD,

...四邊形ABCD是平行四邊形，

1

二ZDAE=-NDOE=30°,

2

.,.Z1=ZDAE,

；.CD=AD,

.”ABCD是菱形.

【點睛】

此題主要考査了切線的性質，同角的余角相等，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，判斷出

△ABO^ACDE是解本題的關鍵.

22、(1)B,60；(2)見解析

【分析】(1)根據三角形三個頂點中沒有變動的點就是旋轉中心來判斷，再根據旋轉的性質判斷出旋轉的角度即可；

(2)先根據旋轉的性質得出ZDBD=60°和BD=BD'即可證明.

【詳解】解：(1)旋轉中心是8,

旋轉角度是60度；

(2)證明：AABC是等邊三角形，

ZABC=60°,

二旋轉角是60。

:.NDBD'=60。,

又BD=BU,

.?.Aszxy是等邊三角形.

【點睛】

本題主要考察正三角形的判定及性質、圖形的旋轉性質，熟練掌握性質是關鍵.

23、隧道AB的長約為635m.

【分析】首先過點C作CO1AB,根據RtAAOC求出OA的長度，根據RtACBO求出OB的長度，然后進行計算.

【詳解】如圖，過點C作CO丄直線AB,垂足為O,則CO=150()m

.?.ZDCA=ZCAO=60°,ZDCB=ZCBO=45°

宀亠1500J3r

：.在RtACAO中，OA=----------=1500xJ=500J3m

tan60