2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若集合/={T,0,l},8={0,2},則集合475中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】D

求得由此判斷出中元素的個(gè)數(shù).

【詳解】依題意/=3={-1,0,1,2},有4個(gè)元素.

故選：D

本小題主要考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.與角-330°終邊相同的最小正角是（）

A.-30'B.330°C.30°D.60°

【正確答案】C

利用終邊相同的角的關(guān)系，求得與角-330。終邊相同的最小正角.

【詳解】與角-330°終邊相同的最小正角為-330°+360"=30°.

故選：C

本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.

3.若/（4+l）=x+l,則”3）的值為（）

A.4B.5C.9D.10

【正確答案】B

由4+1=3計(jì)算出x的值，由此求得/（3）的值.

【詳解】由6+1=3由解得x=4,所以/⑶=4+1=5.

故選：B

本小題主要考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知幕函數(shù)/（x）=（〃?2-3）x-'"在（0,+8）為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃?的值為（）

A.V3B.±2C.2D.-2

【正確答案】D

根據(jù)/(X)為基函數(shù)，求得〃，的可能取值，再由/(X)在(0,+8)上的單調(diào)性，求得優(yōu)的值.

【詳解】由于/(X)為幕函數(shù),所以機(jī)2-3=1,m=±2,當(dāng)加=2時(shí)，〃X)=/在(0,+功上

遞減，不符合題意，當(dāng)加=-2時(shí)/(x)=x2在(0,+功上遞增，符合題意.

故選：D

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)為幕函數(shù)求解析式，考查幕函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5.若/(x)=tan(ox)(o>0)的最小正周期為1,貝的值為()

A.B.--C.&D.百

33

【正確答案】D

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期求出從而可得出答案.

【詳解】?.?/(%)=tan(ox)(o>0)的周期為二=1,

CO

G)=Tlt即f{x)=tan^x,

則嗚=5

故選：D.

6.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x=4°,y=log53,z=sin].+2),則()

A.z<x<yB."z<xC.z<y<xD.x<z<y

【正確答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】x=4°=l，

y=logs3<log；5=1,

z=sin]；+2)=cos2,而^■<2<兀，所以zvO,

所以Z<"X.

故選：C

TT

7.己知弧長(zhǎng)為萬(wàn)cm的弧所對(duì)的圓心角為:，則這條弧所在的扇形面積為()co?

4

71_

A.—B.4C.2乃D.4乃

2

【正確答案】C

先求得扇形的半徑，由此求得扇形面積.

——4I

【詳解】依題意，扇形的半徑為2,所以扇形面積為:?兀-4=2五.

42

故選：C

本小題主要考查扇形半徑、面積有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知函數(shù)/（X）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于%,x2e[0,+oo）,且王聲匕，都有

x"（；）：：/（々）＜0成立,若實(shí)數(shù)用滿足的（機(jī)）+（1-2機(jī)）/（1-2加）＞0,則機(jī)的取值范圍

是（）

A.（-00,-1）B.C.D.（-1,4-00）

【正確答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸（x）=M"（x），根據(jù)F（X）的單調(diào)性和奇偶性化簡(jiǎn)不等式

/?/?+（1-2?1）/（1-2/?）＞0,進(jìn)而求得切的取值范圍.

【詳解】依題意，函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，/（-x）=〃x）,

構(gòu)造函數(shù)F（x）=#。）,則尸（-X）=W（-x）=H（x）=-F（x）,

所以F（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

由于V西,x,e[0,+8）,且七工七，都有工“.卜."々）＜0成立,

王一々

即"?所以尸（x）在[°，+"）上遞減，

所以尸（X）在R上遞減.

由＞0,

即尸（加）+尸（1-2旭）＞0,F（/n）＞-F（l-2w）,

即尸（加）＞尸（2機(jī)-1）,

所以〃？＜2m-\,m＞1,

所以〃?的取值范圍是（1,+8）.

故選：C

二、多選題

9.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A./(。=巴g(x)=fB.〃x)=cosx,g(x)=sin，+

C./(x)=(?)~,g(x)D./(x)=log4x,g(x)=k?g24

II人、I

【正確答案】ABD

【分析】先判斷定義域是否相同，然后對(duì)解析式化簡(jiǎn)后判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系可得.

【詳解】g(x)=1對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域顯然相同，故A正確;

B選項(xiàng)中，因?yàn)?(》)=$布1+')=(:(^,所以B正確；

C選項(xiàng)中，/卜)=(4『的定義域?yàn)椋?,+8),g(x)的定義域?yàn)镽,故C不正確；

D選項(xiàng)中，顯然/(x),g(x)的定義域都為(0,+8),又/(x)=log4X=log22x=；k)g2X,

g(x)=log2Vx=log2x==^log2x,故D正確.

故選：ABD

10.下列說法正確的是()

A.uac2>-2”是“。>叱的充分不必要條件

B.“9>0”是"x+y>0”的必要不充分條件

C.“對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)x,也是無(wú)理數(shù)”是真命題

D.命題FxeR,*2+1=0”的否定是“VxeR,x2+1^0,,

【正確答案】AD

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合特殊值法以及充分條件、必要條件的定義可判斷A選

項(xiàng)；利用特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷C

選項(xiàng)；利用存在量詞命題的否定可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若收？〉加,2,則,2>0，由不等式的性質(zhì)可得“>b,即

iiac2>hc2,,^ita>b",

若a>b,取C=0,則分=加2,即“改2>加2，，e"a>b',,

故“雙2>人2”是“a>b”的充分不必要條件,A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，若孫>0,不妨取x=-l,y=-l,貝！|x+，<0,即“xy>0"R"x+y>?！?，

若x+y>0,取x=_l,y=2,則9<°，即>0”位“x+y>0”，

所以，“9>0”是“x+y>0”的既不充分也不必要條件，B錯(cuò)：

對(duì)于C選項(xiàng)，取苫=逐為無(wú)理數(shù)，則犬=2為有理數(shù)，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，命題“HxeR,》2+1=0”的否定是“VxeR,x2+1^0,\D對(duì).

故選：AD.

11.已知函數(shù)〃x)=2sin1函-已)3>0)的最小正周期為兀，若〃z,ne[-2n,2n],且

/(〃?)./(〃)=4,則下列結(jié)論正確的是()

A.。的值為1B./⑹=/(〃)=-2

C.是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.的最大值為3兀

【正確答案】ACD

【分析】化簡(jiǎn)/(x)的解析式，根據(jù)/(x)的最小正周期求得。，再結(jié)合/(x)的最值、對(duì)稱

中心對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

71

【詳解】/(x)=2sin2COX--=---1-cos2cax--

12I6,

由于/(x)的最小正周期為兀,

所以7=&?=兀,。=1,A選項(xiàng)正確.

2。

(由于-(一71(71

所以〃x)=l—cos2x-￡J,1WCOS2YeJ<1,-1<-cos2xq<1,

66

所以041—85(21一看卜2,

當(dāng)見〃￡卜2兀,2兀]時(shí)，要使/(加),/(")=4,則/(加)=/(〃)=2,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

fT5兀71=cos巫=0,/隹］=1,

cos2x--------

I66,216J

得,1)是函數(shù)/(X)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C選項(xiàng)正確.

所以

當(dāng)/(%)=2時(shí)，cos(2x-玄］=._7C,7717rz

-1,2x——=2左兀+n,x=KTi+—k€Z,

612

由—-泉2兀，解得后“黨,

所以左=—2,-1,0,1,

所以〃?一〃的最大值為兀+石7?！?，卜2兀十7兀瓦、卜3兀，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

12.已知函數(shù)/(x)=cos(5[x]],其中卜]表示不超過x的最大整數(shù)，下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x+；)為偶函數(shù)

B./(X)的值域?yàn)閧-1,0,1}

C./(x)為周期函數(shù)，且最小正周期7=4

D.〃x)與夕=bgjx-l|的圖像恰有一個(gè)公共點(diǎn)

【正確答案】BCD

【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，證明可能正確的選項(xiàng)正確.

【詳解】對(duì)于A,由于dj=/(0)=cos0=l,

/(；+；)=/P)=cos5=0所以所以》=/'1+；)不是偶函數(shù)，故

A錯(cuò)；

對(duì)于B,由于區(qū)為整數(shù)，曰k]=七3%€2”5訪卜3的值有0,-1,1三種情況，所以/(x)

的值域?yàn)閧0,-1』故B正確；

對(duì)于C,由于[x+4]=[x]+4,所以

/(x+4)=cos(T|x+4])=cos卜卜2,=co{/Fj=/(),故C正確；

對(duì)于D,由B得/(x)s{0,-l,l},令k>g7|x-l|=0,得x=2或x=0,而

X2)=cos7r=TJ(0)=cosO=l不是公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).^log7|x-l|=0,得x=8或x=-6,

W7(8)=COS47T=1,/(-6)=COS(-3TT)=cosTT=-1,所以(8,1)是兩個(gè)函數(shù)圖像的一個(gè)公共點(diǎn).

令k>g7|x-l|=-l,得x=T或x=g,而/0=cos5=()H=cosO=l,所以不是兩個(gè)函

數(shù)圖像的一個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，兩個(gè)函數(shù)圖像有一個(gè)公共點(diǎn)(8,1),故D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.已知”0,則關(guān)于x的不等式"+（5+2“卜+5”0的解集是.

【正確答案】｛x|-|<x<-a）

【分析】將不等式的左邊進(jìn)行因式分解，然后比較-。和-g的大小，再利用一元二次不等

式的解法即可求解.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式2x2+（5+2“）x+5a<0可化為:

(2x+5)(x+a)<0,又因?yàn)閍<0,所以

2

所以不等式(2x+5)(%+。)<0的解集為{x|-|<x<-a),

則關(guān)于x的不等式2x2+（5+2。）x+5。<0的解集是｛x|-1<x<-?｝,

故答案為.{x|――<x<-a]

14.的值為______

cos80°cos10°

【正確答案】4

【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求得正確答案.

1

【詳解】

cos80°cos10°

cos10。-8cos80。

cos80°cosl00

sin800-ecos80°

cos80°cosl0°

23in80°-立cos80°

22

cos80°cos10°

25出(80。-60。)

cos80°cos10°

2sin20。

cos80°cos10°

2x2xsinl0coslO.

---------------------------=4.

sm10°cos10°

故4

（的圖像向左平移機(jī)（加）個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,

15.將函數(shù)f(x)=sin2x+]J>0y

則m的最小值是.

【正確答案】已##《兀

【分析】求得平移后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)對(duì)稱性求得"?的取值范圍，進(jìn)而求得加的最

小值.

【詳解】函數(shù)〃x)=sin(2x+；)的圖像向左平移機(jī)(〃?>0)個(gè)單位后，

得到y(tǒng)=sin2(x+m)+1=sin12x+2加+,其圖像關(guān)于歹軸對(duì)稱，

LL,、1c兀1兀kjt7C._

所以2mH——kuH—,in—1，女￡Z,

32212

TT

由于加>0,所以俄的最小值為

故正

16.已知函數(shù)/(x)=|2"l|,g(x)=F°；L：：2，當(dāng)。<加<1時(shí)，關(guān)于x的方程

g[/(x)]=m解的個(gè)數(shù)為.

【正確答案】4

由g(X)=[忖『’°2的圖象得到根t的分布，再

【分析】令f=/(x),得到g(f)=w

3-x,x>2

由

/口)="-1|的圖象，得到f=/(x)的根的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：令f=/(x),貝雅[/(切=用，化為g(r)=m,

g(x)=［嗎2M'°2的圖象如圖所示:

3-x,x>2

因?yàn)?<〃？<1,

所以g(f)=%有三個(gè)不同的根”2出，其中4G(0,1)由?1，2"?2,3),

函數(shù)〃》)=|2一、-1]的圖象如圖所示:

由圖象知：4=/(x)有2個(gè)不同的根，f2=/(x)有1個(gè)根，，3=/(x)有I個(gè)根,

所以當(dāng)0<加<1時(shí)，關(guān)于x的方程g[/(x)]=〃?解的個(gè)數(shù)為4,

故4

四、解答題

17.已知集合/={x[a<x<2a},B=^\x2+x-12>0}.

(1)當(dāng)”=2時(shí)，求

(2)若求。的取值范圍.

【正確答案】(1)43%8)=卜|-4Vx<4}

⑵[-8,|

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合B,由補(bǔ)集和并集的定義可運(yùn)算求得結(jié)果;

(2)分別在/=0和/W0兩種情況下，根據(jù)交集為空集可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意得/={x|2<x<4},5={x|x4T或xN3},

3RB=1x|-4<x<3j,

Au=|x|-4<x<4}.

(2)止砧,

當(dāng)aWO時(shí)，A=0,符合題意,

3

當(dāng)〃〉0時(shí)，由2aK3,得0<〃W—,

2

故々的取值范圍為1-8,g.

八心sin2a—4sina?(八兀、

18.已知一-——--------=3,0,-.

cos2tz-4costz+1v2)

⑴求tana和sin2a的值;

(2)若sin〃=2sin[]+/?J,夕求a+'的大小.

、3

【正確答案】(l)tana=3,sin2a=-；

喏

【分析】(1)結(jié)合二倍角公式，商數(shù)關(guān)系即可化簡(jiǎn)求得tana=3,以及sin2ah2匕一求

tana+1

值；

(2)條件等式由誘導(dǎo)公式可得sin尸=2cos夕=tan/?=2,即可由和差公式求得tan(a+〃)，

結(jié)合a+夕范圍即可.

.、江5.sin2a-4sina2sinacosa-4sina2sina(cosa-2)、

【詳解】(1)------------------------=---------；-----------------=---------7-----------(=tana=3,

cos2a-4cosa+l2cos'a-4cosa2cosa^osa-2)

.c2sinacosa2tana3

sm2a=---------------=——-------=—；

sina+cosatana+15

(2)sin4=2sin[]+/?j=2cos夕=tan尸=2,

tan(a+))=tana+tan￡=_],

1-tanatan°

417r

a+〃w(0,兀)，：.a+P.

19.已知函數(shù)/(x)=cos2x-V3sinx-cosx-.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)〃x)在區(qū)間0,~上的最大值與最小值.

【正確答案】⑴--+kn,-+kjt(AeZ)

63J

(2)最大值為最小值為T

【分析】(1)由三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)為/(x)=cos(2x+(J,由整體法求單調(diào)遞減區(qū)間即

可；

(2)由整體法求得函數(shù)值域，即可得最值.

【詳解】(1)/(x)=!+cos2x_2^sin2r——=—cos2x-^-sin2x=cos(2r+四］,

v722222(3)

令2x+'l［2配兀+2阮］(々fZ),解得xi+A兀,;在兀Z),

TTJT

故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為一工+kykn(k&Z).

o3

,、八兀1ri-?！肛?兀1一“'(?兀、「.1

(2)xG0,—,則2x+1W—,--,故/(x)=cos［2r+5￡I—1,5.

_z」JJ」\3)L，.

故函數(shù)/(X)在區(qū)間0,1上的最大值為最小值為-1.

20.已知函數(shù)/(x)=2、+/(aeR)為定義在［-1,1］上的奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)”的值；

⑵設(shè)g(x)=〃sin2x),當(dāng)(。>卷)時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值為也，求。的取

值范圍.

【正確答案】(1)。=-1

嗚(喈

【分析】(1)由/(0)=0求得。的值.

(2)求得g(x)的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)求得。

的取值范圍.

【詳解】⑴由于函數(shù)〃力=2，+/是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，

所以/(0)=1+a=0,”=-l,/(x)=2'-2',經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

(2)g(x)="sin2x)=2,皿-2Tg,

TTTT

—<x<0-<2x<20

1296f

令，=sin2x,//(r)=2/-2-/,

所以是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增,

當(dāng)/=411四=4時(shí)，//工］=23_2^=0_」=蟲，

62y2）y/22

要使g（x）的最小值為也，貝k=sin2xNg,

所以^42x4三，所以限<64號(hào).

66661212

21.生產(chǎn)/產(chǎn)品需要投入年固定成本5萬(wàn)元，每年生產(chǎn)x萬(wàn)件（xeN*）,需要另外投入流動(dòng)

1_

—X7+4x,0<x<7

成本g（x）萬(wàn)元，且g（x）=2,每件產(chǎn)品售價(jià)為10元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年

llx+--35,x>7

,X

能全部售完.

（1）寫出利潤(rùn)。（X）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量X（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（年利潤(rùn)=年銷售收入-固定

成本-流動(dòng)成本）

（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該產(chǎn)品的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？

--x2+6x-5,（0<x<7,xeN'）

【正確答案】（l）P（X）=（2z、

30-1x+—J,（x27,xeN"）

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為7萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為?萬(wàn)元.

【分析】（1）根據(jù)“年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本''求得P（x）.

（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式求得正確答案.

一；爐+6x-5,(0<x<7,XGN*)

【詳解】（1）依題意,/?(x)=10x-5-g(x)=<

30-fx+—1(X>7,X€N,)

-]x2+6x-5,(0cx<1,XGN,j

（2）由（1）得P（x）=<

30-(x+型)(x>7,xeN')

當(dāng)0cx<7,所以P（x）的最大值為p⑹=13；

當(dāng)x27時(shí)，30-fx+—j<30-x—=30-10/2,

X

當(dāng)且僅當(dāng)"型,x=50時(shí)等號(hào)成立,

x

當(dāng)x=7時(shí)，。（7）=30-17+9111:當(dāng)x=8時(shí)，川8)=30-卜+1]=63

V

,11163-

由T于一>—>13,

74

所以當(dāng)年產(chǎn)量為7萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為?萬(wàn)元.

22.已知函數(shù)/（%）=工2-2（4+1）》一”+1,QWR.

(1)若/(x)在區(qū)間卜1,1］上不單調(diào)，求。的取值范圍;

(2)已知關(guān)于x的方程〃》)+卜2+2》卜0在區(qū)間(-1,2)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

【正確答案】(1)(-2,0)

【分析】(1)結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸及其性質(zhì)即可求解；

(2)令MX)=/(X)+W+2X|,方程/(X)+N+2X|=0在區(qū)間卜1,2)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

解，等價(jià)于函數(shù)〃(x)在(T,2)上存在兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的實(shí)根分布討論即可求解.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=f-2(a+