人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)易錯(cuò)題講解及答案

初一數(shù)學(xué)易錯(cuò)題匯總

第一章有理數(shù)易錯(cuò)題練習(xí)

一.判斷

⑴a與-a必有一個(gè)是負(fù)數(shù).

⑵在數(shù)軸上，與原點(diǎn)0相距5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)是

5.

⑶在數(shù)軸上，A點(diǎn)表示+1,與A點(diǎn)距離3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)

所表示的數(shù)是4.

⑷在數(shù)軸的原點(diǎn)左側(cè)且到原點(diǎn)的距離等于6個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)

所表示的數(shù)的絕對(duì)值是-6.⑸絕對(duì)值小于4.5而大于3的

整數(shù)是3、4.(7)如果-x=-(-11),那么x=-11.

(8)如果四個(gè)有理數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)，那么負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是1

個(gè).⑼若0,a二則

0a

b

三⑩絕對(duì)值等于本身的數(shù)是1.二.填空題

⑴若la-=a-1,則a的取值范圍是：.

⑵式子3-5|x|的最值是.

⑶在數(shù)軸上的A、B兩點(diǎn)分別表示的數(shù)為-1和-15,則線段

AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是.⑷水平數(shù)軸上的一個(gè)數(shù)表示的點(diǎn)

向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到它的相反數(shù)，這個(gè)數(shù)是.

⑸在數(shù)軸上的A、B兩點(diǎn)分別表示的數(shù)為5和7,將A、B兩

點(diǎn)同時(shí)向左平移相同的單位長(zhǎng)度，得到的兩個(gè)新的點(diǎn)表示的

數(shù)互為相反數(shù)，則需向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.

(6)已知|a|=5,|b|=3,|a+b|=a+b,則a—b的

值為；如果|a+b|=-a-b,則a-b的值為.

⑺化簡(jiǎn)-IJi-3|=.⑻如果a<b<0,那么

lalb

.⑼在數(shù)軸上表示數(shù)-113的點(diǎn)和表示152

-的點(diǎn)之間的距離為：.

⑩1

lab?

=-,則a、b的關(guān)系是.(11)若ab<0,b

c

<0,則ac0.

?一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的絕對(duì)值等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，這個(gè)數(shù)是.

三.解答題

⑴已知a、b互為倒數(shù)，-c與

2

d

互為相反數(shù)，且|x|=4,求2ab-2c+d+3x的值.

⑵數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，化簡(jiǎn)：|a-b|+|b-a

I+IbI-Ia-|a||.

⑶已知Ia+5|=1,|b-2|=3,求a-b的值.⑷若|a|=4,

Ib|=2,且|a+b|=a+b,求a-b的值.

⑸把下列各式先改寫(xiě)成省略括號(hào)的和的形式，再求出各式的

值.①(一7)-(-4)-(+9)+(+2)-(-5)；②(-5)-(+

7)-(-6)+4.

⑹改錯(cuò)(用紅筆，只改動(dòng)橫線上的部分)：⑺比較4a和-4a

的大小

①已知5.0362=25.36,那么50.362=253.6,

0.050362=0.02536；②已知7.4273=409.7,那么

74.273=4097,0.074273=0.04097；③已知3.412=11.63,

那么(34.1)2=116300；④近似數(shù)2.40X104精確到百分位,

它的有效數(shù)字是2,4；⑤已知5.4953=165.9,x3=0.0001659,

則x=0.5495.⑻在交換季節(jié)之際，商家將兩種商品同時(shí)售

出，甲商品售價(jià)1500元，盈利25%,乙商品售價(jià)1500元，

但虧損25%,問(wèn)：商家是盈利還是虧本？盈利，盈了多少？虧本，

虧了多少元？⑼若x、y是有理數(shù)，且|xx=0,|y|+y=0,

IyI>|x|,化簡(jiǎn)|x|-|y|-|x+y⑩已知abedWO,試

說(shuō)明ac、-ad、be、bd中至少有一個(gè)取正值，并且至少

有一個(gè)取負(fù)值.(11)已知a四.計(jì)算下列各題：

⑴(-42.75)X(-27.36)-(-72.64)X(+42.75)⑵

12133344??-—+—???(3)7

7(35)9

(4)523120001999400016342????-+-++-??????⑸

221.430.57()33?-?-(6)6

(5)(6)()5

??

⑺91n8

X18(8)-15X124-6X5(9)242

21(10.5)2(3)37?--?+-—??⑩-24-(-2)4

(11)33(32)32-?+?

有理數(shù)?易錯(cuò)題練習(xí)

一.多種情況的問(wèn)題(考慮問(wèn)題要全面)

(1)已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是3,這個(gè)數(shù)為；此題用

符號(hào)表示：已知

,3=x貝4x=；,5=-x貝Ix=；

(2)絕對(duì)值不大于4的負(fù)整數(shù)是；(3)絕對(duì)值小于

4.5而大于3的整數(shù)是

⑷在數(shù)軸上，與原點(diǎn)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)是

(5)在數(shù)軸上，A點(diǎn)表示+1,與A點(diǎn)距離3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)

所表示的數(shù)是;

(6)平方得4

1

2的數(shù)是；此題用符號(hào)表示：已知,4

1

22=

x則x=；(7)若|a|二|b|,則a,b的關(guān)系是;

(8)若|a|二4,|b|=2,且|a+b|=a+b,求a—b的值.

二.特值法幫你解決含字母的問(wèn)題(此方法只適用于選擇、

填空)

有理數(shù)中的字母表示，從三類(lèi)數(shù)中各取1——2個(gè)特值代入

檢驗(yàn)，

做出正確的選擇

(1)若a是負(fù)數(shù)，貝1a_a；a一是一個(gè)

數(shù)；

(2)已知

,XX-二貝|X滿足；若,XX=則X滿足；

若X=-X,

x滿足;若=一,2aa化簡(jiǎn)；

⑶有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的位置如圖所示：則()

A.a+b<0

B.a+b>0；

C.a—b=0

D.a—b>0(4)如果a、b互為倒數(shù)，c、d互為相

反數(shù)，且，

3=m,則代數(shù)式2ab-(c+d)

+m2=o(5)若abWO,則

b

b

aa+

的值為;(注意0沒(méi)有倒數(shù)，不能做除數(shù))在有理

數(shù)的乘除乘方中字母帶入的數(shù)多為1,0,-1,進(jìn)行檢驗(yàn)(6)

一個(gè)數(shù)的平方是1,則這個(gè)數(shù)為;用符號(hào)表示為：

若,12

=x貝］

x=;

一個(gè)數(shù)的立方是-1,則這個(gè)數(shù)為;倒數(shù)等于它自身

的數(shù)為;三.一些易錯(cuò)的概念

-1

1

a

b

正數(shù)0

負(fù)數(shù)

(1)在有理數(shù)集合里，最大的負(fù)數(shù)，最

小的正數(shù)，絕對(duì)值最小的有理數(shù).

⑵在數(shù)軸的原點(diǎn)左側(cè)且到原點(diǎn)的距離等于6個(gè)單位長(zhǎng)度的

點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值是.

(3)|a-11+|b+2|=0,貝Ua=;b=;(屬于

“0+0=0”型)(4)下列代數(shù)式中，值一定是正數(shù)的是()

A.x2B.|—x+11C.(—x)2+2D.—x2+1

(5)現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算“*”：a*b=ba,如3*2=23=9,

則(21

)*3=()

⑹判斷：(注意0的問(wèn)題)①0除以任何數(shù)都得0；()②

任何一個(gè)數(shù)的平方都是正數(shù)，()③a的倒數(shù)是

a

1

.()④兩個(gè)相反的數(shù)相除商為T(mén).()⑤0除以任何數(shù)都

得0.()⑥有理數(shù)a的平方與它的立方相等，那么a=l；

四.比較大小

3--(-4)-3.14-

兀65-

8

7-五.易錯(cuò)計(jì)算①6

1

)3161(12?-+-②

75.04.34

3

53.075.053.1?-?+?-

③-22-(1-51X0.2)4-(-2)3@(6

7

12743-+)X(-60)

⑤()8

1

4203

3

-4--⑥()()2010201111—-⑦

()25332301-4-???

??+—

六.應(yīng)用題

1.某人用400元購(gòu)買(mǎi)了8套兒童服裝，準(zhǔn)備以一定價(jià)格出

售，如果以每套兒童

服裝55元的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的記作正數(shù)，不足的記作負(fù)

數(shù)，記錄如下：+2,-3,+2,+1,-2,-1,0,-2.(單位:

元)

(1)當(dāng)他賣(mài)完這八套兒童服裝后是盈利還是虧損？

(2)盈利(或虧損)了多少錢(qián)？

2.某食品廠從生產(chǎn)的袋裝食品中抽出樣品20袋，檢測(cè)每袋

的質(zhì)量是否符合標(biāo)準(zhǔn)，

為450克，則抽樣檢測(cè)的總質(zhì)量是多少？

有理數(shù)-易錯(cuò)題整理

1.填空：

(1)當(dāng)a時(shí)，a與一a必有一個(gè)是負(fù)數(shù)；

⑵在數(shù)軸上，與原點(diǎn)0相距5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)

是;

(3)在數(shù)軸上，A點(diǎn)表示+1,與A點(diǎn)距離3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)

所表示的數(shù)是;

⑷在數(shù)軸的原點(diǎn)左側(cè)且到原點(diǎn)的距離等于6個(gè)單位長(zhǎng)度的

點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值是

2.用“有"、“沒(méi)有”填空：

在有理數(shù)集合里，最大的負(fù)數(shù)，最小的正

數(shù)，絕對(duì)值最小的有理數(shù).

3.用“都是”、“都不是”、“不都是”填空：

(1)所有的整數(shù)負(fù)整數(shù)；

(2)小學(xué)里學(xué)過(guò)的數(shù)正數(shù)；

(3)帶有“+”號(hào)的數(shù)正數(shù)；

(4)有理數(shù)的絕對(duì)值正數(shù)；

⑸若|a|+|b|=0,貝Ua,b零；

(6)比負(fù)數(shù)大的數(shù)正數(shù).

4.用“一定”、“不一定”、“一定不”填空：

(D-a是負(fù)數(shù)；

⑵當(dāng)a>b時(shí)，有

⑶在數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)，距原點(diǎn)較近的點(diǎn)所表示的數(shù)

大于距原點(diǎn)較遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的數(shù)；

(4)|x|+|y|是正數(shù)；

⑸一個(gè)數(shù)大于它的相反數(shù)；

⑹一個(gè)數(shù)小于或等于它的絕對(duì)值；

5.把下列各數(shù)從小到大，用“V”號(hào)連接：

并用“>”連接起來(lái).

8.填空：

(1)如果一x二—(—n),那么x=；

⑵絕對(duì)值不大于4的負(fù)整數(shù)是；

(3)絕對(duì)值小于4.5而大于3的整數(shù)是.

9.根據(jù)所給的條件列出代數(shù)式：

(Da,b兩數(shù)之和除a,b兩數(shù)絕對(duì)值之和；

(2)a與b的相反數(shù)的和乘以a,b兩數(shù)差的絕對(duì)值；

(3)一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是x,分子比分母的相反數(shù)大6；

(4)x,y兩數(shù)和的相反數(shù)乘以x,y兩數(shù)和的絕對(duì)值.

10.代數(shù)式一|x|的意義是什么？

11.用適當(dāng)?shù)姆?hào)(＞、＜、三、W)填空：

(1)若a是負(fù)數(shù)，則a—a；

⑵若a是負(fù)數(shù)，則一a0；

(3)如果a＞0,且那么ab.

12.寫(xiě)出絕對(duì)值不大于2的整數(shù).

13.由|x|二a能推出x=±a嗎？

14.由|a|二|b|一定能得出a=b嗎?

15.絕對(duì)值小于5的偶數(shù)是幾？

16.用代數(shù)式表示：比a的相反數(shù)大H的數(shù).

17.用語(yǔ)言敘述代數(shù)式：一a—3.

18.算式-3+5—7+2—9如何讀？

19.把下列各式先改寫(xiě)成省略括號(hào)的和的形式，再求出各式

的值.

(1)(—7)—(—4)—(+9)+(+2)—(—5)；

(2)(—5)—(+7)—(—6)+4.

20.判斷下列各題是否計(jì)算正確：如有錯(cuò)誤請(qǐng)加以改正；

(2)5-|-5|=10；

21.用適當(dāng)?shù)姆?hào)(>、<、三、W)填空：

(1)若b為負(fù)數(shù)，貝Ua+ba；

(2)若a>0,b<0,貝Ua—b0；

(3)若a為負(fù)數(shù)，貝13—a3.

22.若a為有理數(shù)，求a的相反數(shù)與a的絕對(duì)值的和.23.若

|a|=4,|b|=2,且|a+b|=a+b,求a—b的值.24.列式并

計(jì)算：一7與一15的絕對(duì)值的和.

25.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

26.用“都”、“不都”、“都不”填空:

(1)如果abWO,那么a,b為零；

(2)如果ab>0,且a+b>0,那么a,b為正數(shù)；

⑶如果abVO,且a+b(O,那么a,b為負(fù)數(shù)；

(4)如果ab=O,且a+b=O,那么a,b為零.

27.填空：

(3)a,b為有理數(shù)，則一ab是;

(4)a,b互為相反數(shù)，則(a+b)a是.

28.填空：

⑴如果四個(gè)有理數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)，那么負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是

29.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

30.比較4a和一4a的大小：

31.計(jì)算下列各題：

(5)-15X124-6X5.

34.下列敘述是否正確？若不正確，改正過(guò)來(lái).

⑴平方等于16的數(shù)是(±4)2；

(2)(—2)3的相反數(shù)是一23；

35.計(jì)算下列各題；

(1)-0.752；(2)2X32.

36.已知n為自然數(shù)，用“一定”、“不一定”或“一定不”

填空：

(1)(―l)n+2是負(fù)數(shù)；

(2)(-l)2n+l是負(fù)數(shù)；

(3)(―l)n+(―l)n+l是零.

37.下列各題中的橫線處所填寫(xiě)的內(nèi)容是否正確？若有誤，

改正過(guò)來(lái).

(1)有理數(shù)a的四次早是正數(shù)，那么a的奇數(shù)次早是負(fù)數(shù)；

⑵有理數(shù)a與它的立方相等，那么a=l；

⑶有理數(shù)a的平方與它的立方相等，那么a=0；

(4)若|a|=3,那么a3=9；

⑸若x2=9,且xVO,那么x3=27.

38.用“一定”、“不一定”或“一定不”填空：

⑴有理數(shù)的平方是正數(shù)；

⑵一個(gè)負(fù)數(shù)的偶次黑大于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；

⑶小于1的數(shù)的平方小于原數(shù)；(4)一個(gè)數(shù)的立

方小于它的平方.39.計(jì)算下列各題：

(1)(-3X2)3+3X23；(2)-24-(-2)4-4；(3)-24-(-

4)-2；

第三章整式加減易做易錯(cuò)題選

例1下列說(shuō)法正確的是()A.b的指數(shù)是0B.b沒(méi)有

系數(shù)C.—3是一次單項(xiàng)式D.—3是單項(xiàng)式

分析：正確答案應(yīng)選D。這道題主要是考查學(xué)生對(duì)單項(xiàng)式的

次數(shù)和系數(shù)的理解。選A或B的同學(xué)忽略了b的指數(shù)或系

數(shù)1都可以省略不寫(xiě)，選C的同學(xué)則沒(méi)有理解單項(xiàng)式的次數(shù)

是指字母的指數(shù)。

例2多項(xiàng)式267632234-+—xyxyxx的次數(shù)是()

A.15次

B.6次

C.5次

D.4次

分析：易錯(cuò)答A、B、D。這是由于沒(méi)有理解多項(xiàng)式的次數(shù)

的意義造成的。正確答案應(yīng)選CO

例3下列式子中正確的是（）A.527abab+=

B.770abba-二

C.45222xyxyxy-=-

D.3582

3

5

XXX十二

分析：易錯(cuò)答Co許多同學(xué)做題時(shí)由于馬虎，看見(jiàn)字母相同

就誤以為是同類(lèi)項(xiàng)，輕易地就上當(dāng)，學(xué)習(xí)中務(wù)必要引起重視。

正確答案選Bo

例4把多項(xiàng)式35242

3

xxx+--按x的降累排列后，它的第三項(xiàng)為（）A.—4

B.4x

C.-4x

D.-23

x

分析：易錯(cuò)答B(yǎng)和D。選B的同學(xué)是用加法交換律按x的

降基排列時(shí)沒(méi)有連同“符號(hào)”考慮在內(nèi)，選D的同學(xué)則完全

沒(méi)有理解降累排列的意義。正確答案應(yīng)選Co例5整式

--[0]abc去括號(hào)應(yīng)為（）

A.一+abc

B.-+-abc

C.-++abc

D.—-abc分析：易錯(cuò)答A、D、C。原因有：（1）沒(méi)有

正確理解去括號(hào)法則；（2）沒(méi)有正確運(yùn)用去括號(hào)的順序是從

里到外，從小括號(hào)到中括號(hào)。

例6當(dāng)女?。ǎr(shí)，多項(xiàng)式xkxyyxy22

331

3

8一+

一中不含xy項(xiàng)

A.0

B.

13

C.

19

D.

19

分析：這道題首先要對(duì)同類(lèi)項(xiàng)作出正確的判斷，然后進(jìn)行合

并。合并后不含xy項(xiàng)（即缺xy項(xiàng)）的意義是xy項(xiàng)的系數(shù)

為0,從而正確求解。正確答案應(yīng)選Co

例7若A與B都是二次多項(xiàng)式，則A-B：（1）一定是二

次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是

非零常數(shù)；（5）不可能是零。上述結(jié)論中，不正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

分析：易錯(cuò)答A、C、D。解這道題時(shí)，盡量從每一個(gè)結(jié)論

的反面入手。如果能夠舉出反例即可說(shuō)明原結(jié)論不成立，從

而得以正確的求解。例8在（）（）［（）］［（）］abcabcaa

-++-=+-的括號(hào)內(nèi)填入的代數(shù)式是

（）

A.cbcb一,

B.bcbc++,

C.bcbc+-,

D.cbcb-+,

分析：易錯(cuò)答Do添后一個(gè)括號(hào)里的代數(shù)式時(shí)，括號(hào)前添的

是“一”號(hào)，那么bc、-這兩項(xiàng)都要變號(hào)，正確的是Ao

例9求加上一35a等于22

aa+的多項(xiàng)式是多少？錯(cuò)解：2352

aaa++-

=+-2452aa

這道題解錯(cuò)的原因在哪里呢？分析：錯(cuò)誤的原因在第一步,

它沒(méi)有把減數(shù)（-35a）看成一個(gè)整體，而是拆開(kāi)來(lái)解。正

解：（）（）2352a,aaH---

=+++=++235245

22

aaaaa

答：這個(gè)多項(xiàng)式是2452

aa++

例10化簡(jiǎn)-++-323132222

（）（）abbabb錯(cuò)解:原式=-++-323132

2

2

2

abbabb=-112

b

分析：錯(cuò)誤的原因在第一步應(yīng)用乘法分配律時(shí)，22

b這一■項(xiàng)漏乘了一3o正解：原式二—363132

2

2

2

abbabb=-192

b鞏固練習(xí)

1.下列整式中，不是同類(lèi)項(xiàng)的是（）

A.313

2

2

xyyx和一

B.1與一2

C.mn2

與3102

2

?nm

D.

131

3

22abba與2.下列式子中，二次三項(xiàng)式是（）A

1

3222

2x

xyy++B.xx2

2-C.xxyy222-+

D.43+-xy

3.下列說(shuō)法正確的是（）A.35a-的項(xiàng)是35a和

B.

ac

aa

bb+++82322與是多項(xiàng)式C.32233xyxyz++是三次多項(xiàng)

式D.xxyx

818161

++禾口

都是整式4.一xx合并同類(lèi)項(xiàng)得（）

A.-2x

B.0

C.-22

x

D.-2

5.下列運(yùn)算正確的是（）A.322

2

2

aaa——

B.3212

2

aa-=

C.3322

aa-=

D.3222

aaa-=

6.()abc-+的相反數(shù)是()A.()abc+-

B.()abc--

C.()-+-abc

D.()abc++

7.一個(gè)多項(xiàng)式減去xy3

3

2-等于xy3

3

+,求這個(gè)多項(xiàng)式。

參考答案1.D2.C

3.B

4.A

5.A

6.C

7.23

3

xy-

初一數(shù)學(xué)因式分解易錯(cuò)題

例1.18x3y-21

xy3錯(cuò)解:原式=)36(2

12

2yx-

分析：提取公因式后，括號(hào)里能分解的要繼續(xù)分解。

正解：原式二

21

xy(36x2-y2)=2

1

xy(6x+y)(6x-y)

例2.3m2n(m-2n)[]

)2(62nmmn一錯(cuò)解:原式=3mn(m-2n)(m-2n)分析：

相同的公因式要寫(xiě)成嘉的形式。正解：原式=3mn(m-2n)

(m-2n)=3mn(m-2n)2

例3.2x+x+

41錯(cuò)解:原式二)14

1

21（41++xx

分析：系數(shù)為2的x提出公因數(shù)

41后，系數(shù)變?yōu)?,并非2

1

;同理，系數(shù)為1的x的系數(shù)應(yīng)變?yōu)?。

正解：原式二

）148（41

++xx=）112（41

+x

例4.4

12

++xx

錯(cuò)解:原式=）141

41（412++xx

=2

）12

l（41+x

分析：系數(shù)為1的x提出公因數(shù)

41后，系數(shù)變?yōu)?,并非4

lo正解：原式二

）144（41

2++xx=2

)12(4

1+x

例5.6x()2

yx-+3()3

xy-

錯(cuò)解：原式=3

()01]xxyxy22+-+-

分析：3()3

xy-表示三個(gè)()xy-相乘，故括號(hào)中2)(xy-與)(xy-

之間應(yīng)用乘號(hào)而非加號(hào)。正解：原式=6x()2

xy-+()2

xy-=3()2

xy-()[]xyx-+2

=3()

2

xy-()yx+

例6.()8422

~+xx錯(cuò)解:原式=()口2

42-+x

=02

2-x

分析：8并非4的平方，且完全平方公式中b的系數(shù)一定為

正數(shù)。正解：原式=()2

2+x—4(x+2)

=(x+2)()[]42-+x=(x+2)(x-2)例7.()()2

2

3597nmnm一十

錯(cuò)解:原式=()0口2

3597nmnm一+

=02

122nm+

分析：題目中兩二次單項(xiàng)式的底數(shù)不同，不可直接加減。正

解：原式=()()[]()()[]nnnmnmnm35973597一+-++

=()()nmnm122612++=12(2m+n)(m+6n)

例8.14

-a

錯(cuò)解:原式=012

2

-a

=(a2+1)(a2-1)

分析：分解因式時(shí)應(yīng)注意是否化到最簡(jiǎn)。正解：原式=()

12

2

-a

=(a2+1)(a2—1)=(a2+1)(a+1)(a—1)

例9.()()142

-+-+yxyx

錯(cuò)解：原式二(x+y)(x+y—4)

分析：題目中兩單項(xiàng)式底數(shù)不同，不可直接加減。正解:

原式=0()442

++—+yxyX

=02

2-+yx

例10.181624+-Xx錯(cuò)解:原式二()2

214-x

分析：分解因式時(shí)應(yīng)注意是否化到最簡(jiǎn)。正解：原式=(

)

2

214-x=()()[]2

1212-+xx

=0()2

2

1212-+xx

因式分解錯(cuò)題

例1.81(a-b)2-16(a+b)2錯(cuò)解：81(a-b)2T6(a+b)

2=(a-b)2(81-16)=65(a-b)2

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方

差公式正解：81(a-b)2-16(a+b)2=[9(a-b)]2

[4(a+b)]2

=[9(a-b)+4(a+b)][9(a-b)-4(a+b)]=(9a-9b+4a+4b)

(9a-9b-4a-4b)=(13a-5b)(5a-13b)例2.x4-x2錯(cuò)

解：x4-x2

=(x2)2-x2

=(x2+x)(x2-x)

分析：括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解正解：x4-x2

=(x2)2-x2

=(x2+x)(x2-x)

=(x2+x)(x+1)(x-1)例3.a4-2a2b2+b4錯(cuò)解：a

4-2a2b2+b4

=(a2)2-2Xa2b2+(b2)2=(a2+b2)2

分析：仔細(xì)看清題目，不難發(fā)現(xiàn)這兒可以運(yùn)用完全平方公式，

括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解正解：a4-2a2b2+b4

=(a2)2-2Xa2b2+(b2)2=(a2+b2)2

=(a-b)2(a+b)2例4.(a2-a)2-(aT)2錯(cuò)解：

(a2_a)2-(a-l)2

=[(a2_a)+(a-l)][(a2_a)—(a-l)]=(a2~a+a~l)

(a2_a_a_l)=(a2-1)(a2_2a_l)

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方

差公式，去括號(hào)要變號(hào)，括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解正

解：(a2_a)2~(a-1)2

=[(a2_a)+(a-l)][(a2_a)-(a_l)]=(a2_a+a_l)

(a2_a_a_l)=(a2-1)(a2_2a+l)=(a+1)(a-l)3

例5.21

x2y3-2x2+3xy2

錯(cuò)解：21

x2y3-2x2+3xy2

=21xy(x2y3-x+2

3

y)

分析：多項(xiàng)式中系數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，通常把分?jǐn)?shù)提取出來(lái)，使括

號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的系數(shù)是整數(shù)，還要注意分?jǐn)?shù)的運(yùn)算

正解:21

x2y3-2x2+3xy2

二2

1

xy(x2y3-4x+6y)

例6.-15a2b3+6a2b2-3a2b錯(cuò)解：-15a2b3+6a2b2-3a

2b

=-(15a2b3-6a2b2+3a2b)

=-(3a2bX5b2-3a2bX2b+3a2bX1)

=-3a2b(5b2-2b)

分析：多項(xiàng)式首項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，如果提取的公

因式與多項(xiàng)式中的某項(xiàng)相同，那么提取后多項(xiàng)式中的這一項(xiàng)

剩下“1”，結(jié)果中的“1”不能漏些

正解：-15a2b3+6a2b2-3a2b

=-(15a2b3-6a2b2+3a2b)

=-(3a2bX5b2-3a2bX2b+3a2bX1)

=-3a2b(5b2-2b+l)

例7.m2(a-2)+m(2-a)

錯(cuò)解：m2(a-2)+m(2-a)

=m2(a-2)-m(a-2)

=(a-2)(m2-m)

分析：當(dāng)多項(xiàng)式中有相同的整體(多項(xiàng)式)時(shí)，不要把它拆

開(kāi)，提取公因式是把它整體提出來(lái)，有的還需要作適當(dāng)變形,

括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：m2(a-2)+m(2-a)

=m2(a-2)-m(a-2)

=(a-2)(m2-m)

=m(a-2)(m-1)

例8.a2-16

錯(cuò)解:a2-16

=(a+4)(a+4)

分析：要熟練的掌握平方差公式

正解:a2T6

=(a-4)(a+4)

例9.-4x2+9

錯(cuò)解：-4x2+9

=-(4x2+32)

分析：加括號(hào)要變符號(hào)

正解：-4x2+9

=-[(2x)2-32]

=-(2x+3)(2x-3)

=(3+2x)(3-2x)

例10.(m+n)2~4n2

錯(cuò)解:(m+n)2~4n2

=(m+n)2Xl-4Xn2

=(x+y)2(1-n)

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方

差公式

正解:(m+n)2-4n2

=(m+n)2-(2n2)

二](m+n)+2n][(m+n)-2n]

=[m+n+2n][m+n-2n]

=(m+3n)(m-n)

因式分解錯(cuò)題

例1.a2~6a+9

錯(cuò)解:a2-6a+9

=a2-2X3Xa+32

=(a+3)2

分析：完全平方公式括號(hào)里的符號(hào)根據(jù)2倍多項(xiàng)式的符號(hào)來(lái)

定正解：a2-6a+9

=a2-2X3Xa+32

=(a-3)2

例2.4m2+n2-4mn

錯(cuò)解：4m2+n2-4mn

二(2m+n)2

分析：要先將位置調(diào)換，才能再利用完全平方公式

正解：4m2+n2-4mn

=4m2-4mn+n2

=(2m)2-2X2mn+n2

=(2m-n)2

例3.(a+2b)2-10(a+2b)+25

錯(cuò)解:(a+2b)2-10(a+2b)+25

=(a+2b)2-10(a+2b)+52

=(a+2b+5)2

分析：要把a(bǔ)+2b看成一個(gè)整體，再運(yùn)用完全平方公式

正解：(a+2b)2-10(a+2b)+25

=(a+2b)2-2X5X(a+2b)+52

=(a+2b-5)2

例4.2x2-32

錯(cuò)解:2x2-32

=2(x2-16)

分析：要先提取2,在運(yùn)用平方差公式括號(hào)里能繼續(xù)分解的

要繼續(xù)分解

正解:2x2-32

=2(x-16)

=2(x2+4)(x2-4)

=2(x2+4)(x+2)(x-2)

例5.(x2-x)2-(x-1)2

錯(cuò)解:(x2-x)2-(x-1)2

=[(x21x)+(x-1)][(x2-x)-(x-1)]

=(x2-x+xT)(x2-x-x-l)

=(x2-l)(x2-2xT)

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方

差公式，去括號(hào)要變號(hào)，括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：(x2-x)2-(x-1)2

=[(x21x)+(x-1)][(x21x)-(xT)]

=(x2-x+xT)(x2-x-x-l)

=(x2-l)(x2-2x+l)

=(x+1)(x-1)3

例6.-2a2b2+ab3+a3b

錯(cuò)解：-2a2b2+ab3+a3b

=-ab(-2ab+b2+a2)

=-ab(a-b)2

分析：先提公因式才能再用完全平方公式

正解：-2a2b2+ab3+a3b

=-(2a2b2-ab3-a3b)

=-(abX2ab-abXb2-abXa2)

=-ab(2ab-b2-a2)

=ab(b2+a2-2ab)

=ab(a-b)2

例7.24a(a-b)2-18(a-b)3

錯(cuò)解:24a(a-b)2-18(a-b)3

=(a-b)2[24a-18(a-b)]

=(a-b)2(24a-18a+18b)

分析：把a(bǔ)-b看做一個(gè)整體再繼續(xù)分解

正解：24a(a-b)2T8a-b)

=6(a-b)2X4a-6(a-b)2X3(a-b)

=6(a-b)2[4a-3(a-b)]

二6(a-b)2(4a-3a+3b)

=6(a-b)2(a+3b)

例8.(x-1)(x-3)+1

錯(cuò)解:(x-1)(x-3)+1

=x2+4x+3+l

=x2+4x+4

=(x+2)2

分析：無(wú)法直接分解時(shí)，可先乘開(kāi)再分解

正解：(x-1)(x-3)+1

=x2-4x+3+l

=x2-4x+4

=(x-2)2

例9.2(a-b)3+8(b-a)

錯(cuò)解：2(a-b)3+8(b-a)

=2(b-a)3+8(b-a)

=2(b-a)[(b-a)2+4]

分析：要先找出公因式再進(jìn)行因式分解

正解：2(a~b)3+8(b-a)

=2(a-b)3-8(a-b)

=2(a-b)X(a-b)2-2(a-b)

=2(a-b)[(a-b)2-4]

=2(a-b)(a-b+2)(a_b-2)

例10.(x+y)2-4(x+y-1)

錯(cuò)解:(x+y)2-4(x+y-1)

=(x+y)2-(4x-4y+4)

=(x2+2xy+y2)-(4x-4y+4)

分析：無(wú)法直接分解時(shí)，要仔細(xì)觀察，找出特點(diǎn)，再進(jìn)行分

解正解:(x+y)2-4(x+y-1)

=(x+y)2-4(x+y)+4

=(x+y-2)2

因式分解錯(cuò)題

例1.-8m+2n13

錯(cuò)解：-8m+2n13

=-2mX4+(-2m)X(-m2)

=-2m(4-m2)

分析：這道題錯(cuò)在于沒(méi)有把它繼續(xù)分解完，很多同學(xué)都疏忽

大意了，在完成到這

一步時(shí)都認(rèn)為已經(jīng)做完，便不再仔細(xì)審題了

正解：-8m+2ni3

=-2mX4+(-2m)X(-m2)

=-2m(4-m2)

=-2m(2+m)(2-m)

例2.-x2y+4xy-5y

錯(cuò)解：-x2y+4xy-5y

=yX(-x2)+4xXy-5xXy

=y(-x2+4x-5)

分析：括號(hào)里的負(fù)號(hào)需要提到外面，這道題就因?yàn)橐婚_(kāi)始的

提取公因式混亂，才會(huì)有后面的y(-x2+4x-5)沒(méi)有提負(fù)號(hào)。

正解：-x2y+4xy-5y

=-yXx2+(-4x)X(-y)-(-5x)X(-y)

=-y(x2-4x+5)

例3.m2(a-3)+m(3-a)

錯(cuò)解：m2(a-3)+m(3-a)

=m2(a-3)-m(a-3)

=(m2-m)(a-3)

分析：括號(hào)里還能提取公因式的要全部提取出來(lái)

正解：m2(a-3)+m(3-a)

=m2(a-3)-m(a-3)

=(m2-m)(a-3)

=m(m-1)(a-3)

例4.5ax+5bx+3ay+3by

錯(cuò)解：=5(ax+bx)+3(ay+by)

分析：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，把5ax和5bx看成

整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解

出。

正解：5ax+5bx+3ay+3by

=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

例5.-xy3+x3y

錯(cuò)解：-xy3+x3y

=-xyXy2+(-xy)X(-x2)

=-xy(y21x2)

分析：括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：-xy3+x3y

二-xyXy2+(-xy)X(-x2)=-xy(y2-x2)

=-xy(x-y)(x+y)例6.(x+y)2~4Cx-y)2錯(cuò)解:

(x+y)2-4(x-y)2

=(x+y)2X1-4X(x-y)2=(x+y)2(1-4)=-3(x+y)

2

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方

差公式正解：(x+y)2~4(x-y)2

=(x+y)2-[2(x-y)2]

二](x+y)+2(x-y)][(x+y)-2(x-y)]

=[x+y+2x-2y][x+y-2x+2y]=(3x-y)(3y-x)例7.x2

(a-1)+4(1-a)錯(cuò)解：x2(aT)+4(l-a)=x2

(a-1)-4(a-1)=(a-1)(x2-4)

分析：括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解正解：x2(a-1)

+4(1-a)=x2(a-1)-4(aT)=(a-1)(x2-4)=

(a-1)(x-4)(x+4)例8.4(x+1)2-9錯(cuò)解:4(x+1)2-9

=4(x+1)2-8-1=4X(x+1)2-4X2-4X4

1=4[(x+1)2-2-4

1]=4(x2+2x-4

5)分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用

平方差公式正解：4(x+1)2-9=[2(x+1)]2-32

=[2(x+1)+3][2(x+1)-3]=[2x+2+3][2x+2-3]=(2x+5)

(2x-l)

例9.x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

錯(cuò)解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

=x(x2-y2)-x(x+y)2

=x(x2-y2-x2~2xy-y2)

=x(~2y2~2xy)

=-x(2y2+2xy)

分析：提取公因式錯(cuò)誤，要仔細(xì)看題，準(zhǔn)確找出公因式

正解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

=x(x+y)(x-y)-x(x+y)(x+y)

=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]

=~2xy(x+y)

例10.(x2-2)2-14(x2-2)2+49

錯(cuò)解：(x2-2)2-14(x2-2)2+49

=(x2-2)2-2X7(x2-2)2+72

=(x2+5)2

分析：仔細(xì)看清題目，不難發(fā)現(xiàn)這兒可以運(yùn)用完全平方公式

正解：(x2-2)2-14(x2-2)2+49

=(x2-2)2-2X7(x2-2)2+72

=(x2-9)2

=(x-3)2(x+3)2

第五章《一元一次方程》查漏補(bǔ)缺題

供題：寧波七中楊慧

一、解方程和方程的解的易錯(cuò)題

一元一次方程的解法：

重點(diǎn)：等式的性質(zhì)，同類(lèi)項(xiàng)的概念及正確合并同類(lèi)項(xiàng)，各種

情形的一元一次方程的解法；難點(diǎn)：準(zhǔn)確運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)

行方程同解變形(即進(jìn)行移項(xiàng)，去分母，去括號(hào)，系數(shù)化一

等步驟的符號(hào)問(wèn)題，遺漏問(wèn)題)；

學(xué)習(xí)要點(diǎn)評(píng)述：對(duì)初學(xué)的同學(xué)來(lái)講，解一元一次方程的方法

很容易掌握，但此處有點(diǎn)類(lèi)似于前面的有理數(shù)混合運(yùn)算，每

個(gè)題都感覺(jué)會(huì)做，但就是不能保證全對(duì)。從而在學(xué)習(xí)時(shí)一方

面要反復(fù)關(guān)注方程變形的法則依據(jù)，用法則指導(dǎo)變形步驟,

另一方面還需不斷關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)和追求計(jì)算過(guò)程的簡(jiǎn)捷。

易錯(cuò)范例分析：

例1.

(1)下列結(jié)論中正確的是()

A.在等式3a-6=3b+5的兩邊都除以3,可得等式a-2=b+5

B.在等式7x=5x+3的兩邊都減去x-3,可以得等式6x_3=4x+6

C.在等式-5=0.lx的兩邊都除以0.1,可以得等式x=0.5

D.如果-2=x,那么x=_2

(2)解方程20-3x=5,移項(xiàng)后正確的是O

A.-3x=5+20

B.20-5=3x

C.3x=5-20

D.-3x=-5-20

⑶解方程-x=-30,系數(shù)化為1正確的是()

A.-x=30

B.x=-30

C.x=30

D.

(4)解方程，下列變形較簡(jiǎn)便的是()

A.方程兩邊都乘以20,得4(5x-120)=140

B.方程兩邊都除以，得

C.去括號(hào)，得x-24=7

D.方程整理，得

解析：

(1)正確選項(xiàng)Do方程同解變形的理論依據(jù)一為數(shù)的運(yùn)算法

則，運(yùn)算性質(zhì)；一為等式性質(zhì)(1)、

(2)、(3),通常都用后者，性質(zhì)中的關(guān)鍵詞是“兩邊都”和

“同一個(gè)”，即對(duì)等式變形必須兩邊

同時(shí)進(jìn)行加或減或乘或除以，不可漏掉一邊、一項(xiàng)，并且加

減乘或除以的數(shù)或式完全相同。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，原因是沒(méi)有將

“等號(hào)”右邊的每一項(xiàng)都除以3；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，原因是左邊

減去x-3時(shí)，應(yīng)寫(xiě)作“-(x-3)”而不“-x-3”，這里有一個(gè)

去括號(hào)的問(wèn)題；C亦錯(cuò)誤，原因是思維跳躍短路，一邊記著

是除以而到另一邊變?yōu)槌艘粤?，?duì)一般象這樣小數(shù)的除法可

以運(yùn)用有理數(shù)運(yùn)算法則變成乘以其倒數(shù)較為簡(jiǎn)捷，選項(xiàng)D正

確，這恰好是等式性質(zhì)③對(duì)稱性即a=bb=ao

(2)正確選項(xiàng)Bo解方程的“移項(xiàng)”步驟其實(shí)質(zhì)就是在“等

式的兩邊同加或減同一個(gè)數(shù)或式”性質(zhì)①，運(yùn)用該性質(zhì)且化

簡(jiǎn)后恰相當(dāng)于將等式一邊的一項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，簡(jiǎn)單概

括就成了“移項(xiàng)”步驟，此外最易錯(cuò)的就是“變號(hào)”的問(wèn)題，

如此題選項(xiàng)A、C、D均出錯(cuò)在此處。解決這類(lèi)易錯(cuò)點(diǎn)的辦法

是：或記牢移項(xiàng)過(guò)程中的符號(hào)法則，操作此步驟時(shí)就予以關(guān)

注；或明析其原理，移項(xiàng)就是兩邊同加或減該項(xiàng)的相反數(shù),

使該項(xiàng)原所在的這邊不再含該項(xiàng)----即代數(shù)和為Oo

(3)正確選項(xiàng)C。選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤的原因雖為計(jì)算出錯(cuò)，但細(xì)

究原因都是在變形時(shí)，法則等式性質(zhì)指導(dǎo)變形意識(shí)淡，造成

思維短路所致。

(4)等式性質(zhì)及方程同解變形的法則雖精煉，但也很宏觀，

具體到每一個(gè)題還需視題目的具體特點(diǎn)靈活運(yùn)用，解一道題

目我們不光追求解出，還應(yīng)有些簡(jiǎn)捷意識(shí)，如此處的選項(xiàng)A、

B、D所提供方法雖然都是可行方法，但與選項(xiàng)C相比，都顯

得繁。

例2.

(1)若式子3nxm+2y4和-mx5yn-1能夠合并成一項(xiàng)，試求

m+n的值。

⑵下列合并錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()

①5x6+8x6=13x12②3a+2b=5ab③8y2-3丫2=5④6anb2n-6a2n

bn=0

(A)l個(gè)⑻2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

解析：

(1)3nxm+2y4和-mx5yn-1能夠合并，則說(shuō)明它們是同類(lèi)項(xiàng),

即所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同。此題兩式均各

含三個(gè)字母n、x、y和m、x、y,若把m、n分別看成2個(gè)字

母，則此題顯然與概念題設(shè)不合，故應(yīng)該把m、n看作是可

由已知條件求出的常數(shù)，從而該歸并

為單項(xiàng)式的系數(shù)，再?gòu)耐?lèi)項(xiàng)的概念出發(fā)，有：

解得m=3,n=5從而m+n=8

評(píng)述：運(yùn)用概念定義解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，本

題就是準(zhǔn)確地理解了“同類(lèi)項(xiàng)”、“合并”的概念，認(rèn)真進(jìn)行

了邏輯判斷；確定了m、n為可確定值的系數(shù)。

(2)“合并”只能在同類(lèi)項(xiàng)之間進(jìn)行，且只對(duì)同類(lèi)項(xiàng)間的系

數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算化簡(jiǎn)，這里的實(shí)質(zhì)是逆用乘法對(duì)加法的分配

律，所以4個(gè)合并運(yùn)算，全部錯(cuò)誤，其中②、④就不是同類(lèi)

項(xiàng),不可合并,①、②分別應(yīng)為:5x6+8x6=13x68y2-3y2=5y2

例3.解下列方程

(l)8-9x=9-8x

(2)

(3)

(4)

解：

(l)8-9x=9-8x

-9x+8x=9-8

-x=l

x=l

易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：移項(xiàng)時(shí)忘了變號(hào)；

(2)

法一：

4(2x-l)-3(5x+l)=24

8x-4-15x-3=24

-7x=31

易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：兩邊同乘兼約分去括號(hào)，有同學(xué)跳步急趕忘了，

4(2xT)化為8xT,分配需逐項(xiàng)分配，

-3(5x+l)化為T(mén)5x+3忘了去括號(hào)變號(hào);

法二：(就用分?jǐn)?shù)算)

此處易錯(cuò)點(diǎn)是第一步拆分式時(shí)將，忽略此處有一個(gè)括號(hào)前面

是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)要變號(hào)的問(wèn)題，即；

(3)

6x-3(3-2x)=6-(x+2)

6x-9+6x=6-x-2

12x+x=4+9

13x=13

x=l易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：兩邊同乘，每項(xiàng)均乘到，去括號(hào)注意變號(hào)；

(4)

2(4x-l.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)

8x-3-25x+4=12-10x

-7x=ll

評(píng)述：此題首先需面對(duì)分母中的小數(shù)，有同學(xué)會(huì)忘了小數(shù)運(yùn)

算的細(xì)則，不能發(fā)現(xiàn)

,而是兩邊同乘以0.5X0.2進(jìn)行去分母變形，更有思維跳

躍的同學(xué)認(rèn)為0.5X0.2n，兩邊同乘以1,將方程變形為：

0.2(4x-l.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)

概述：無(wú)論什么樣的一元一次方程，其解題步驟概括無(wú)非就

是“移項(xiàng)，合并，未知數(shù)系數(shù)化1”這幾個(gè)步驟，從操作步

驟上來(lái)講很容易掌握，但由于進(jìn)行每個(gè)步驟時(shí)都有些需注意

的細(xì)節(jié)，許多都是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思維瑕點(diǎn)，需反復(fù)關(guān)注，

并落實(shí)理解記憶才能保證解方程問(wèn)題一一做的正確率。若仍

不夠自信，還可以用檢驗(yàn)步驟予以輔助，理解方程“解”的

概念。

例4.下列方程后面括號(hào)內(nèi)的數(shù)，都是該方程的解的是()

A.4x-l=9

B.

C.x2+2=3x(-1,2)

D.(x-2)(x+5)=0(2,-5)

分析：依據(jù)方程解的概念，解就是代入方程能使等式成立的

值，分別將括號(hào)內(nèi)的數(shù)代入方程兩邊，求方程兩邊代數(shù)式的

值，只有選項(xiàng)D中的方程式成立，故選D。

評(píng)述：依據(jù)方程解的概念，解完方程后，若能有將解代入方

程檢驗(yàn)的習(xí)慣將有助于促使發(fā)現(xiàn)易錯(cuò)點(diǎn)，提高解題的正確率。

例5.根據(jù)以下兩個(gè)方程解的情況討論關(guān)于x