第18講相似三角形專題復(fù)習(xí)之一線三等角【知識(shí)點(diǎn)睛】常見基本類型：同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）異側(cè)型模型性質(zhì)應(yīng)用：一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到底邊的中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到底邊的中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值模型構(gòu)造：圖中已存在“一線三等角”，則直接應(yīng)用模型結(jié)論解題.圖中存在“一線兩等角”，補(bǔ)上“一等角”，構(gòu)造模型解題.圖中某直線上只存在1個(gè)角，補(bǔ)上“兩等角”，構(gòu)造模型解題.如果直線上只有1個(gè)角，要補(bǔ)成“一線三等角”時(shí)，該角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：構(gòu)造特殊角的等角時(shí)，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形?！耙痪€三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例求解長(zhǎng)度.構(gòu)造步驟：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特別地：當(dāng)tanα=1/2、1/3等特定值時(shí)，α也可以是特殊角；定線——通常以“水平線”或者“豎直線”為“一線三等角”中的“一線”；特殊角度時(shí)也可以是45°等傾斜直線；構(gòu)相似——通常以“特殊角”為“中間角”，過“中間角”的兩邊與“一線”的交點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)含特殊角的Rt△；例：如右圖，當(dāng)∠ABP=45°時(shí)，∵∠ABP在y軸上，∴在y軸上分別構(gòu)造兩個(gè)等腰直角三角形△AOE，△PHG，則在y軸上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴模型特例——K型圖（三垂定理）性質(zhì)：性質(zhì)：普通”K型圖”可得左右兩個(gè)△相似，即△1∽△2【當(dāng)AB=BC時(shí)，△1≌△2】中點(diǎn)型”K型圖”亦可得三個(gè)△兩兩相似，即當(dāng)BD=BE時(shí)，△1∽△2∽△3以上性質(zhì)反之亦成立，即也可用于證明中點(diǎn)或角相等或線垂直。應(yīng)用：當(dāng)一個(gè)直角放在一條直線上時(shí)，通常要構(gòu)造“K型圖”解題當(dāng)一個(gè)直角放在平面直角坐標(biāo)系中時(shí)，亦常構(gòu)造“K型圖”解題由“K型圖”得到的相似比，基本都可以轉(zhuǎn)化成“特定角”的正切值來計(jì)算“K型圖”常和“A字圖”或“8字圖”類的平行相似結(jié)合在一起求長(zhǎng)度“K型圖”常見構(gòu)造方法：過直角訂單分別作水平或豎直的直線，再過直角兩邊頂點(diǎn)分別作直線的垂線。如圖：【類題講練】1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，將點(diǎn)B折疊到CD邊上點(diǎn)E處，折痕為AF，連接AE，EF，若點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，則CF長(zhǎng)為（）A． B．1 C．2 D．32．如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)D的直線折疊∠A，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕交AC于點(diǎn)E，當(dāng)BF＝1，AE＝時(shí)，則AD的長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．3．如圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，ED⊥BD于點(diǎn)D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．點(diǎn)C為BD上一點(diǎn)，連接AC、CE．當(dāng)BC＝（）時(shí)，可使AC⊥CE．A．3 B．2或4 C． D．2或34．如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，∠A＝∠DBE＝∠C，則下列結(jié)論：①∠D＝∠CBE，②△ABD∽△CEB，③＝，其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．35．有五本形狀為長(zhǎng)方體的書放置在方形書架中，如圖所示，其中四本豎放，第五本斜放，點(diǎn)G正好在書架邊框上．每本書的厚度為5cm，高度為20cm，書架寬為40cm，則FI的長(zhǎng)．6．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中點(diǎn)，連接DE，DE的垂直平分線分別交AB、DE、CD于M、O、N，連接EN，過E作EF⊥EN交AB于F，則AF＝．7．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，則CD＝．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長(zhǎng)為4的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，△CDE與△ACE相似．9．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD邊BC上一點(diǎn)，沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處．設(shè)＝x（x＞1），（1）若點(diǎn)F恰為CD邊的中點(diǎn)，則x＝．（2）設(shè)＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，6），B（a，3）（a＞0），P為x軸上一點(diǎn)，∠PAB＝45°，∠PBA＝30°，則a的值為．11．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BE，使EF＝BE，連接BF交AD于點(diǎn)G，EF交AD于點(diǎn)H．以下結(jié)論正確的是．①△BCE∽△EDH；②∠BGE＝∠DGE；③點(diǎn)F到直線GE的距離最大值為；④點(diǎn)H到直線GE的距離最大值為．12．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過CB的中點(diǎn)D作DE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，則EB的長(zhǎng)為．13．如圖是一款上鋪的收納掛籃（如圖1），其側(cè)截面可看作直角梯形，現(xiàn)有一長(zhǎng)方體形狀的物體放置在該掛籃中，當(dāng)物體如圖2放置時(shí)，AB∥PQ．正方形DMEC為露出掛籃部分，此時(shí)S正方形DMEC＝400cm2，當(dāng)物體如圖3放置時(shí)，B'與Q重合，四邊形為D′FNC′露出掛籃部分，此時(shí)S四邊形D′C′NF＝200cm2，且D′F＝C′N＝MF，則D′到PQ的距離為．14．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)M在對(duì)角線BD上，過點(diǎn)A、B、M的圓與BC交于點(diǎn)E．（1）若AM＝4，EB＝EM＝3，求BM．（2）若AB＝6，BC＝8，①求AM：ME．②若BM＝7，求BE．15．【感知】如圖①，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．易證：△AED∽△BFE．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△AED∽△BFE．（2）若AB＝10，AD＝6，E為AB的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)．【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CE，過點(diǎn)E作∠CEF＝45°交BC于點(diǎn)F．當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為