動態(tài)微分方程模型

傳染病模型

(四個模型)傳染病模型專題知識專家講座第1頁問題提出

本世紀初，瘟疫常在世界上某地流行，伴隨人類文明不停進步，很多疾病，諸如天花、霍亂已經(jīng)得到有效控制．然而，即使在今天，一些貧窮發(fā)展中國家，仍出現(xiàn)傳染病流行現(xiàn)象,醫(yī)療衛(wèi)生部門官員與教授所關(guān)注問題是：（1）怎樣描述傳染病傳輸過程（2）怎樣分析受感染人數(shù)改變規(guī)律（3）怎樣預(yù)報傳染病高潮到來．傳染病模型專題知識專家講座第2頁問題分析

不一樣類型傳染病傳輸過程有不一樣特點。故不可能從醫(yī)學角度對各種傳染病傳輸過程一一進行分析，而是按普通傳輸機理建立模型．因為傳染病在傳輸過程包括原因較多，在分析問題過程中，不可能經(jīng)過一次假設(shè)建立完善數(shù)學模型．思緒是：先做出最簡單假設(shè)，對得出結(jié)果進行分析，針對結(jié)果中不合理之處，逐步修改假設(shè)，最終得出很好模型。傳染病模型專題知識專家講座第3頁模型一SI模型模型假設(shè)：（1）一人得病后，久治不愈，人在傳染期內(nèi)不會死亡。（2）單位時間內(nèi)每個病人傳染人數(shù)為常數(shù)k。為何假設(shè)不會死亡？（因為死亡后便不會再傳輸疾病，因而可認為此時已退出系統(tǒng)）傳染病模型專題知識專家講座第4頁模型建立：I（t）——表示t時刻病人數(shù)量，時間：天則：I（t+Δt）—I（t）＝k0I（t）Δt于是模型以下：模型解：傳染病模型專題知識專家講座第5頁舉個實例最初只有1個病人，1個病人一天可傳染1個人傳染病模型專題知識專家講座第6頁模型缺點問題：伴隨時間推移，病人數(shù)目將無限增加，這一點與實際情況不符．原因：當不考慮傳染病期間出生、死亡和遷移時，一個地域總?cè)藬?shù)可視為常數(shù)。所以

k0應(yīng)為時間t函數(shù)。在傳染病流行早期，

k0較大，伴隨病人增多，健康人數(shù)降低，被傳染機會也降低，于是k0將變小。模型修改關(guān)鍵：k0改變規(guī)律傳染病模型專題知識專家講座第7頁模型二(SI模型)設(shè)t時刻健康人數(shù)為S(t)．病人數(shù)為I(t)模型假設(shè)：（1）總?cè)藬?shù)為n不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，I(t)十S(t)＝n（2）一人得病后，久治不愈，且在傳染期內(nèi)不會死亡。（3）一個病人在單位時間內(nèi)傳染人數(shù)與當初健康人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為k（稱之為傳染系數(shù)）傳染病模型專題知識專家講座第8頁模型改進方程解：傳染病模型專題知識專家講座第9頁對模型作深入分析傳染病人數(shù)與時間t關(guān)系傳染病人數(shù)改變率與時間t關(guān)系

染病人數(shù)由開始到高峰并逐步到達穩(wěn)定

增加速度由低增至最高后降落下來傳染病模型專題知識專家講座第10頁疾病傳染高峰期此時計算高峰期得：意義：1、當傳染系數(shù)k或n增大時，t0隨之降低，表示傳染高峰伴隨傳染系數(shù)與總?cè)藬?shù)增加而更加快降臨，這與實際情況比較符合。2、令λ=kn，表示每個病人天天有效接觸平均人數(shù)，稱日接觸率。t0與λ成反比。λ表示該地域衛(wèi)生水平，λ越小衛(wèi)生水平越高。故改進衛(wèi)生水平可推遲傳染病高潮降臨。傳染病模型專題知識專家講座第11頁模型缺點缺點：當t→∞時，I(t)→n，這表示全部人最終都將成為病人，這一點與實際情況不符合原因：這是由假設(shè)〔1)所造成，沒有考慮病人可以治愈及病人病發(fā)身亡情況。思索題：考慮有病人病發(fā)身亡情況，再對模型進行修改。傳染病模型專題知識專家講座第12頁模型三(SIS模型)

有些傳染?。ㄈ缌〖?愈后免疫力很低，還有可能再次被傳染而成為病人。模型假設(shè)：（1）總?cè)藬?shù)為：s(t)+i(t)＝n（2）一個病人在單位時間內(nèi)傳染人數(shù)與當初健康人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為k（3）單位時間治愈人數(shù)與病人總數(shù)成正比，百分比系數(shù)為h(稱日治愈率)，病人治愈后成為仍可被感染健康者，稱1/h為傳染病平均傳染期(如病人數(shù)保持10人，天天治愈2人，h

＝1/5，則每位病人平均生病時間為1/h

＝5天)。傳染病模型專題知識專家講座第13頁模型建立假設(shè)2、3得：將假設(shè)1代入，可得模型：傳染病模型專題知識專家講座第14頁模型解：傳染病模型專題知識專家講座第15頁閾值σ=nk/h意義

一個病人在平均傳染期內(nèi)傳染人數(shù)與當初健康人數(shù)成正比，治愈率為h傳染病模型專題知識專家講座第16頁模型意義（t,i(t)）圖（1）當σ≤1時，指傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)不超出當初健康人數(shù)。病人在總?cè)藬?shù)中所占百分比i(t)越來越小，最終趨于零。（2）當σ

＞l時，i(t)最終以1-1/σ為極限；（3）當σ增大時，i(∞)也增大，是因為伴隨傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)占當初健康人數(shù)百分比增加，當初病人數(shù)所占百分比也隨之上升傳染病模型專題知識專家講座第17頁模型四（SIR模型）

一些傳染病如麻疹等，治愈后都有很強免疫力，所以病愈人既非健康人，也非病人。模型假設(shè)：（1）人群分為健康者、病人、病愈免疫者三類，這三類人在總?cè)藬?shù)中所占百分比分別為s(t)，

i(t)，r(t)，則有s(t)+i(t)+r(t)＝n。（2）單位時間內(nèi)，一個病人傳染人數(shù)與當初健康者人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為k（3）在單位時間內(nèi)，病愈免疫人數(shù)與當初病人人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為μ傳染病模型專題知識專家講座第18頁模型建立從此方程無法求出i(t)與s(t)解析解。我們能夠從相軌線作定性分析傳染病模型專題知識專家講座第19頁相軌線相軌線（s，i）圖中箭頭表示了伴隨時間t增加s(t)和i(t)改變趨向傳染病模型專題知識專家講座第20頁相軌線分析結(jié)果1、不論初始條件s0、i0怎樣．病人終將消失。2、最終未被感染健康者百分比是s∞，圖中可看出是在(0，1/σ)內(nèi)單根。3、若s0>1/σ，則i(t)先增加，當s＝1/σ時，i(t)到達最大。4、若s0≤1/σ

，則i(t)單調(diào)減小至零傳染病模型專題知識專家講座第21頁閾值1/σ意義1、減小傳染期接觸數(shù)σ

，即提升閾值l/σ

，使得

s0≤1/σ(即σ≤1/s0)，傳染病就不會蔓延。2、衛(wèi)生、醫(yī)療水平：σ=λ/μ3、交換數(shù)意義：σs=λs?1/μ是傳染期內(nèi)一個病人傳染健康者平均人數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一個病人被σs個健康者交換。4、σ預(yù)計傳染病模型專題知識專家講座第22頁模型驗證——印度孟買一個例子

圖中，實際數(shù)據(jù)用圓點表示．能夠看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當不錯。傳染病模型專題知識專家講座第23頁SIR模型兩個應(yīng)用被傳染百分比預(yù)計群體免疫和預(yù)防傳染病模型專題知識專家講座第24頁被傳染百分比預(yù)計假定很小，靠近于1其中這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)百分比約為2倍，當該地域衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即不變時，這個百分比就不會改變。而當閾值提升時，減小，于是這個百分比就會降低。傳染病模型專題知識專家講座第25頁群體免疫和預(yù)防

依據(jù)對模型分析，當時，傳染病不會蔓延，因而阻止傳染病蔓延路徑有兩條

1．提升衛(wèi)生和醫(yī)療水平（使閾值變大）；

2．經(jīng)過預(yù)防接種使群體得到免疫（降低）只要經(jīng)過群體免疫使初始時刻移出者百分比（即免疫者百分比）滿足（＊）式，就能夠阻止傳染病蔓延．（＊）傳染病模型專題知識專家講座第26頁課后任務(wù)

請各位同學進行一些調(diào)查，依據(jù)模型算一算在廣州，非經(jīng)典肺炎暴發(fā)高潮大約是在何時，與實際情況相吻合嗎？依據(jù)模型請給出你提議。傳染病模型專題知識專家講座第27頁思索題1

設(shè)某城市共有n+1人，其中一人出于某種目編造了一個謠言。該城市含有初中以上文化程度人占總?cè)藬?shù)二分之一，這些人只有1/4相信這一謠言，而其它人約有1/3會相信。又設(shè)凡相信此謠言人每人在單位時間內(nèi)傳輸平均人數(shù)正比于當初還未聽說此謠言人數(shù)，而不相信此謠言人不傳輸謠言。試建立一個反應(yīng)謠言傳輸情況微分方程模型。傳染病模型專題知識專家講座第28頁思索題2

汽車停車距離可分為兩段：一段為發(fā)覺情況到開始制動這段時間里駛過距離DT，這段時間為反應(yīng)時間；另一段則為制動時間駛過距離DR，現(xiàn)考核某司機，考評結(jié)果以下：

行駛速度DTDR

36公里/小時3米4．5米

50公里/小時5米12．5米

70公里/小時7