關(guān)于因式分解概念與提公因式分析下列計算是整式乘法中的哪一種并求出結(jié)果:(口答)溫故知新(1)(2)(3)第2頁,共57頁，2024年2月25日，星期天乘法分配律：m（a+b+c）=ma+mb+mc每一項都必須含有相同因式m?，F(xiàn)逆用乘法分配律各項除以相同因式m后剩下的因式。1、m可以是數(shù)字、字母、多項式。2、逆用的條件與結(jié)論都不一樣。第3頁,共57頁，2024年2月25日，星期天定義

一般地，把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解，有時我們也把這一過程叫做分解因式。想一想：分解因式與整式乘法有何關(guān)系第4頁,共57頁，2024年2月25日，星期天注意：1.因式分解不是運算,是一種多項式的變形；因式分解與多項式乘法互為逆變形。2.因式分解必須在整式范圍內(nèi)進行，否則不屬于因式分解；3.利用整式的乘法可以驗證因式分解是否正確.第5頁,共57頁，2024年2月25日，星期天想一想:分解因式與整式乘法有何關(guān)系?分解因式與整式乘法是互逆過程幾個整式的積

m(a+b+c)一個多項式ma+mb+mc

整式乘法因式分解練習一.下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解?哪些不是?為什么？1）x2–y2+1=(x+y)(x-y)+12）6x2y3=3xy·2xy23）(不是）(不是）(不是）第6頁,共57頁，2024年2月25日，星期天（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）是不是是不是不是不是不是下列代數(shù)式從左到右的變形是因式分解嗎？第7頁,共57頁，2024年2月25日，星期天探索新知公因式的定義：

一個多項式各項都含有的相同因式,叫做這個多項式各項的公因式.第8頁,共57頁，2024年2月25日，星期天

多項式中各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。

怎樣確定多項式的公因式？公因式與多項式的各項有什么關(guān)系？公因式：第9頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、找出下列多項式中各項中含有的相同因式.探索新知第10頁,共57頁，2024年2月25日，星期天正確找出多項式各項公因式的關(guān)鍵是：1、定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)。2、定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母。3、定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項中最小的一個，即字母最低次冪

第11頁,共57頁，2024年2月25日，星期天說出下列各多項式的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx-8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b-2ab2+ab.m4k5y2ab最大公約數(shù)相同字母

最低指數(shù)一定系數(shù)

二定字母

三定指數(shù)第12頁,共57頁，2024年2月25日，星期天找一找:下列各多項式的公因式是什么？

（3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2-a3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9m2n-6mn

(6)-6x2y-8xy2

第13頁,共57頁，2024年2月25日，星期天7x2-21x8a3

b2–12ab3+abmb2+nb7x3y2–42x2y34a2b–2ab2+6abc說出下列各式的公因式：

7xabb7x2y22ab第14頁,共57頁，2024年2月25日，星期天

指出下列各多項式中各項的公因式

⑴ax+ay-a（）⑵5x2y3-10x2y（）⑶24abc-9a2b2

（）⑷m2n+mn2

（）⑸x(x-y)2-y(x-y)()獨立練習鞏固新知a5x2y3abmnx-y第15頁,共57頁，2024年2月25日，星期天

如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.概念引入：第16頁,共57頁，2024年2月25日，星期天因式分解：把公因式提出來，多項式ma+mb+mc就可以分解成兩個因式m和(a+b+c)的乘積。像這種因式分解的方法，叫做提取公因式法。解:公因式多項式中各項都含有的相同因式,稱之為公因式提公因式法第17頁,共57頁，2024年2月25日，星期天熱身運動1.填空:（口答）(1)(2)(3)(4)第18頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例1

把9x2–6xy+3xz分解因式.=3x·3x-3x·2y+3x·z解：=3x(3x-2y+z)9x2–6xy+3xz

方法步驟：①找出—公因式；②提出—公因式，（即用多項式中每一項除以公因式）第19頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例2:分解因式8a3b-12ab3c+ab解:原式=ab·8a2-ab·12b2c+ab·1

=ab(8a2-12b2c+1)判斷下列分解因式正確嗎2x2+3x3+x=x(2x+3x2)3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)X(2X+3X2+1)3a2c(1-2a)注意:提取公因式后：(1)另一個因式不能再含有公因式(2)另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致我做得對嗎？不要漏掉1如果多項式的某一項正好是公因式，要注意該項在提取了公因式后，應該用“1”頂替它原來的位置，切不可把“1”漏掉。第20頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例3.把-24x3–12x2+28x分解因式.當多項式第一項系數(shù)是負數(shù)，通常先提出“-”號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，注意括號內(nèi)各項都要變號。解：原式==提負號要變號(24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x)(6x2+3x-7)=第21頁,共57頁，2024年2月25日，星期天練習.將下列各式分解因式：(1)(2)(3)(4)第22頁,共57頁，2024年2月25日，星期天25x-53x3-3x2–9x8a2c+2bc-4a3b3+6a2b-2ab-2x2–12xy2+8xy3

練習把下列各式分解因式：a第23頁,共57頁，2024年2月25日，星期天提公因式法分解因式正確的找出多項式各項的公因式。注意：1多項式是幾項，提公因式后也剩幾項。2當多項式的某一項和公因式相同時提公因式后剩余的項是1。3、當多項式第一項系數(shù)是負數(shù)，通常先提出“-”號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，注意括號內(nèi)各項都要變號。第24頁,共57頁，2024年2月25日，星期天怎樣正確多項式各項的公因式？1、公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；

字母：2、字母取多項式各項中都含有的相同的字母；

指數(shù)：3、相同字母的指數(shù)取各項中最小的一個，即字母最低次冪；

注：

多項式各項的公因式可以是單項式，也可以是多項式。系數(shù)：第25頁,共57頁，2024年2月25日，星期天2.把下列各式分解因式：(1)(2)(3)牛刀小試第26頁,共57頁，2024年2月25日，星期天練習二:分解因式–a2+ab-ac-2x3+4x2+2x=?a(a?b+c)=?2x(x2?2x?1)第27頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例4：把2a(b+c)-5(b+c)分解因式

(b+c)(b+c)解：2a(b+c)－5(b+c)

=(b+c)(2a-5)

注意：公因式可以是數(shù)字，字母，也可以是單項式，還可以是多項式。第28頁,共57頁，2024年2月25日，星期天練習三、把下列各式分解因式：（1）x(a+b)+y(a+b)（2）3a(x-y)-(x-y)（3）6(p+q)2-12(p+q)解：（1）原式=(a+b)（x+y）（2）原式=(x-y)（3a-1）（3）原式=6(p+q)(p+q-2)第29頁,共57頁，2024年2月25日，星期天確定公因式要對數(shù)字因數(shù)和字母分別進行考慮:1.各項系數(shù)都是整數(shù)時,公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù);2.字母取各項相同的字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的第30頁,共57頁，2024年2月25日，星期天華山論劍4.把下列各式分解因式：(1)(2)(3)(4)第31頁,共57頁，2024年2月25日，星期天(1)ax+xy=()()(2)3mx-6my=()()(3)x2y+xy2=()()(4)15a2+10a=()()(5)12xyz－9x2y2=()()x

3m

xy5a3a+23xy4z-3xy將下列多項式因式分解:a+yx-2yx+y(6)2a(b+c)-3(b+c)=()()b+c2a-3第32頁,共57頁，2024年2月25日，星期天小結(jié):本節(jié)課我們學習了哪些知識?3、確定公因式的方法

（1）系數(shù)——取各項的最大公約數(shù)（2）字母——取各項相同字母（3）指數(shù)——取各項相同字母的最低次冪4、提公因式法分解因式的步驟（1）確定公因式（2）用公因式去除多項式的各項得另一因式（3）寫成這兩個因式的積的形式1、什么叫做公因式？2、什么叫提公因式法？第33頁,共57頁，2024年2月25日，星期天2、確定公因式的方法：小結(jié)3、提公因式法分解因式步驟(分兩步)：1、什么叫因式分解？(1)定系數(shù)(2)定字母(3)定指數(shù)第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.4、提公因式法分解因式應注意的問題：（1）公因式要提盡；（2）小心漏掉1;（3）提出負號時,要注意變號.

記住喲！第34頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、確定公因式的方法：（1）公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)。

（2）字母取多項式各項中都含有的相同的字母。

（3）相同字母的指數(shù)取各項中最小的一個，即最低次冪。小結(jié)2、提公因式法分解因式：第一步，找出公因式；第二步，提公因式,即用多項式除以公因式.第35頁,共57頁，2024年2月25日，星期天再見第36頁,共57頁，2024年2月25日，星期天

因式分解

——概念及提公因式法2第37頁,共57頁，2024年2月25日，星期天教學過程：一、復習提問：1、把

化成

的形式，叫做把這個多項式因式分解。2、因式分解與

是互逆變形，分解的結(jié)果對不對可以用

運算檢驗

一個多項式

幾個整式的乘積整式乘法整式乘法第38頁,共57頁，2024年2月25日，星期天回顧與思考1多項式的分解因式的概念：把一個多項式化為幾個整式乘積的形式，叫做把這個多項式分解因式.2分解因式與整式乘法是互逆過程.3分解因式要注意以下幾點:

①分解的對象必須是多項式.

②

分解的結(jié)果一定是幾個整式的乘積的形式.

第39頁,共57頁，2024年2月25日，星期天ac+bc3x2+x30mb2+5nb3x+6a2b–2ab2+ab

7(a–3)–b(a–3)下列各多項式有沒有共同的因式？c

x5b3aba-3第40頁,共57頁，2024年2月25日，星期天提取公因式法1、中各項的公因式是__________。公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式。3xy2找公因式的方法：1：系數(shù)為

；2、字母是

；3、字母的次數(shù)

。各系數(shù)的最小公倍數(shù)相同字母相同字母的最低次數(shù)練習：①5x2－25x的公因式為

；②－2ab2＋4a2b3的公因式為

，③多項式x2－1與(x－1)2的公因式是

。5x-2ab2x-1第41頁,共57頁，2024年2月25日，星期天如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。提取公因式法練習：1、把多項式m2(a－2)+m(2－a)分解因式等于（）A．(a－2)(m2+m) B．(a－2)(m2－m)C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m+1)C2、把下列多項式分解因式(1)(2)(3)第42頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例1、把下列多項式因式分解：①25x2y3-15x2y2

②9a(a-b)2-15(b-a)3③8xmyn-1-12x3myn

④mn(m-n)-n(n-m)2⑤(b-a)2-2a+2b⑥a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)第43頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例2、把下列多項式因式分解：①6a3b2-3a2b3-18a2b3

②-4x2yz-12xy3z+4xyz③m(1-x)-n(x-1)+p(1-x)④-ab(a-b)2+a(b-a)2-a(a-b)2第44頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例3、把下列多項式因式分解：①m2-mn+mx-nx

②am+bm+an+bn+a+b③a2b2-a2-b2+1④10a2x+21xy2-14ax2-15ay2⑤2x2(-2x+9)-28x⑥m2-mn+5n-5m(用兩種方法)

第45頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、分解因式計算(-2)101+(-2)1002、利用簡便方法計算：4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.83、已知a+b=3,ab=2,

求代數(shù)式a2b+2a2

b2+ab2的值。4、把9am+1–21am+7am-1分解因式5、解方程.（x-4)2-(4-x)(8-x)=126、化簡：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+...+x(1+x)2015例4、分解因式的應用第46頁,共57頁，2024年2月25日，星期天(1)13.8×0.125+86.2×1/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.

解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125=0.125×(13.8+86.2)=0.125×100=12.5解:a2b+ab2=ab(a+b)=3

×

5=15因式分解應用第47頁,共57頁，2024年2月25日，星期天拓展運用：6.已知1＋x＋x2＋x3=0.求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2015的值.解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3)＋x5(1＋x＋x2＋x3)＋……＋x2012(1＋x＋x2＋x3)

＝

0第48頁,共57頁，2024年2月25日，星期天第49頁,共57頁，2024年2月25日，星期天6、分解因式：①4xmynb－6xm＋1yn＋2＋2xm＋2yn＋1②a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)③(5x－2y)2

＋(2x＋5y)2解：原式＝2xmyn(2b－3xy2＋x2y)解：原式＝(x＋y－z)(a＋b－c)解：原式＝25x2－20xy＋4y2＋4x2＋20xy＋25y2

＝29x2＋29y2

＝29(x2＋y2)第50頁,共57頁，2024年2月25日，星期天3.試說明:817－279－913能被45整除.解：∵原式＝(34)7－(33)9－(32)13

=328－327－326=326(32－3－1)=326