第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

一、思維導圖

最小

經(jīng)驗回

歸方程

數(shù)值［轉(zhuǎn)化

相關(guān)性

變顯非線性回

成歸模型

科

數(shù)

據(jù)

X?公式

二、知識記誦

知識點一、變量間的相關(guān)關(guān)系

1.變量與變量間的兩種關(guān)系：

(1)函數(shù)關(guān)系：這是一種確定性的關(guān)系，即一個變量能被另一個變量按照某種對應法則唯一確定.例

如圓的面積.S與半徑r之間的關(guān)系s=n1為函數(shù)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系：這是一種非確定性關(guān)系.當一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定的隨機

性，這兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。例如人的身高不能確定體重，但一般來說“身高者，體重也重”，

我們說身高與體重這兩個變量具有相關(guān)關(guān)系.

2.相關(guān)關(guān)系的分類：

(1)在兩個變量中，一個變量是可控制變量，另一個變量是隨機變量，如施肥量與水稻產(chǎn)量；

(2)兩個變量均為隨機變量，如某學生的語文成績與化學成績.

3.散點圖：

將兩個變量的各對數(shù)據(jù)在直角坐標系中描點而得到的圖形叫做散點圖.它直觀地描述了兩個變量之間有

沒有相關(guān)關(guān)系.這是我們判斷的一種依據(jù).

4.回歸分析：

與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫

做回歸分析。

知識點二、線性回歸方程：

1.回歸直線

如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，

這條直線叫作回歸直線。

2.回歸直線方程.￡=以+&

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x”y),],……，(x”,y“)，其回歸直線?=b+S的截距

和斜率的最小二乘法估計公式分別為：

b=-.-------------,a=y-bx

力(X,「X)2

/=!

其中最表示數(shù)據(jù)X；(i=l,2,…，n)的均值，7表示數(shù)據(jù)%(i=l，2,…，n)的均值，石表示數(shù)據(jù)

XiV(i=l,2,…，n)的均值.

a、。的意義是：以。為基數(shù)，x每增加一個單位，y相應地平均變化辦個單位.

3.求回歸直線方程的一般步驟：

①作出散點圖

由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若存在線性相關(guān)關(guān)系，進行第二步。

②求回歸系數(shù)5、a

-1-1

計算X=-(X]+X,++x?),y=-(x+%++片)，

nn

±%%=玉*+*2%+=片+考++x；,

f=li=\

--

-〃xy

利用公式辦=與---------求出5,

22

xi-nx

Zi=l

再由4=y-bx求出2的值；

③寫出回歸直線方程；

④利用回歸直線方程y=ci+bx預報在X取某一個值時y的估計值。

知識點三、相關(guān)性檢驗

（1）相關(guān)系數(shù)r的定義

對于變量x與y隨機抽取到的n對數(shù)據(jù)（x，y）,，……，（xn,yn）,稱

Z（七一x）（y-y）￡Xa-nxy

“t"為x與y的樣本相關(guān)系數(shù)。

應（七-幻吃（X7尸-〃｛）（￡（片

Vz=1i=lVi=l/=1

（2）相關(guān)系數(shù)r的作用

樣本相關(guān)系數(shù)r用于衡量兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，描述線性相關(guān)關(guān)系的強弱:

①|(zhì)小1

|川越接近b表明兩個變量之間的線性相關(guān)程度越強；|川越接近0,表明兩個變量之間的線性相關(guān)

程度越弱。

②當r>0時，表明兩個變量正相關(guān)，即x增加，y隨之相應地增加，若x減少，y隨之相應地減少.

當r<0時，表明兩個變量負相關(guān)，即x增加，y隨之相應地減少；若x減少，y隨之相應地增加.

若r=0,則稱x與y不相關(guān)。

③當|川〉0.75,認為x與y之間具有很強的線性相關(guān)關(guān)系。

④當|八大于&15時，表明有95%的把握認為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這時求回歸直線方程有必

要也有意義，當|廠區(qū)6（）5時，尋找回歸直線方程就沒有意義。

（3）利用相關(guān)系數(shù)r檢驗的一般步驟：

法一：

①作統(tǒng)計假設：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。

②根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計算公式算出r的值。

③比較I川與0.75的大小關(guān)系，得出統(tǒng)計結(jié)論。如果|川>0.75,認為x與y之間具有很強的線性相關(guān)

關(guān)系。

法二：

①作統(tǒng)計假設：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。

②根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計算公式算出r的值。

③根據(jù)小概率0.05與n-2在相關(guān)性檢驗的臨界值表中查出r的一個臨界值而a<n未數(shù)據(jù)的對數(shù)）。

④比較IrI與行心，作統(tǒng)計推斷，如果I川>石心，表明有95%的把握認為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。

如果Ir飪&)5,我們沒有理由拒絕原來的假設，即不認為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。這時尋找回歸直

線方程是毫無意義的。

知識點四、線性回歸分析與非線性回歸分析

1.線性回歸分析

對于回歸分析問題，在解題時應首先利用散點圖或相關(guān)性檢驗判斷x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如

果線性相關(guān)，才能求解后面的問題.否則求線性回歸方程沒有實際意義，它不能反映變量x與y,之間的變

化規(guī)律.只有在x與y之間具有相關(guān)關(guān)系時，求線性回歸方程才有實際意義.

相關(guān)性檢驗的依據(jù)：主要利用檢驗統(tǒng)計量

__

_L1一一再藥4

V/=1i=l

(其中化簡式容易記也好用)求出檢驗統(tǒng)計量的樣本相關(guān)系數(shù)，再利用r的性質(zhì)確定x和y是否具有

線性相關(guān)關(guān)系，r具有的性質(zhì)為：|r|Wl且|r|越接近于1,線性相關(guān)程度越強；|r|越接近于0,線性相關(guān)

程度越弱.

2.線性回歸分析的一般步驟

(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量；

(2)判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系

①作散點圖

由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。

②求相關(guān)系數(shù)r

當|r|>0.75,認為x與y之間具有很強的線性相關(guān)關(guān)系。

(3)若兩變量存在線性相關(guān)關(guān)系，設所求的線性回歸方程為9=晟+&,求回歸系數(shù)B、a.

(4)寫出回歸直線方程；

(5)利用回歸直線方程y=a+bx預報在x取某一個值時y的估計值。

3.非線性回歸分析

(1)對于非線性回歸分析問題，如果給出了經(jīng)驗公式可直接利用換元，使新元與y具有線性相關(guān)關(guān)系，

進一步求出，，對新元的線性回歸方程，換回x即可得y對x的回歸曲線方程.

(2)非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，這時按以下步驟求回歸方程：

①畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，看是否是線性回歸分析問題，如果不是，把它與必修數(shù)學中學過的函數(shù)(塞

函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖像作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，采用適當?shù)淖兞恐?/p>

換，把非線性回歸分析問題化為線性回歸分析問題.

②作相關(guān)性檢驗，即判斷尋找線性回歸方程是否有意義.

③當尋找線性回歸方程有意義時，計算系數(shù)a,b,得到線性回歸方程.

④代回x得y對x的回歸曲線方程.

知識點五列聯(lián)表

1.列聯(lián)表

用表格列出的分類變量的頻數(shù)表，叫做列聯(lián)表。

2.2X2列聯(lián)表

對于兩個事件A,B,列出兩個事件在兩種狀態(tài)下的數(shù)據(jù)，如下表所示:

事件B事件》合計

事件Aaba+b

事件入Cdc+d

合計a+cb+da+b+c+d

這樣的表格稱為2義2列聯(lián)表。

知識點六卡方統(tǒng)計量公式

為了研究分類變量X與Y的關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到一張2X2列聯(lián)表，如下表所示

YiY2合計

Xiaba+b

x2cdc+d

合計a+cb+dn=a+b+c+d

統(tǒng)計中有一個有用的(讀做“卡方”)統(tǒng)計量，它的表達式是：

K?----機)--(〃=a+8+c+。為樣本容量)。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

知識點七獨立性檢驗

1.獨立性檢驗

通過2X2列聯(lián)表，再通過卡方統(tǒng)計量公式計算K2的值，利用隨機變量K?來確定在多大程度上可

以認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗。

2.變量獨立性的判斷

通過對K2統(tǒng)計量分布的研究，已經(jīng)得到兩個臨界值：3.841和6.635。當數(shù)據(jù)量較大時一，在統(tǒng)計中，用

以下結(jié)果對變量的獨立性進行判斷:

①如果K2W3.841時,認為事件A與B是無關(guān)的。

②如果K2>3.841時,有95%的把握說事件A與事件B有關(guān);

③如果K?>6.635時,有99%的把握說事件A與事件B有關(guān);

3.獨立性檢驗的基本步驟及簡單應用

獨立性檢驗的步驟：

要推斷“A與B是否有關(guān)”，可按下面步驟進行:

(1)提出統(tǒng)計假設H。：事件A與B無關(guān)(相互獨立)；

(2)抽取樣本(樣本容量不要太小，每個數(shù)據(jù)都要大于5)；

(3)列出2X2列聯(lián)表；

n(ad-be)2

(4)根據(jù)2X2列聯(lián)表，利用公式:計算出K2的值;

(a+c)3+d)(a+b)(c+d)

(5)統(tǒng)計推斷：當K?>3.841時,有95%的把握說事件A與B有關(guān);

當K?>6.635時，有99%的把握說事件A與B有關(guān);

當K?>10.828時，有99.9%的把握說事件A與B有關(guān);

當K?W3.841時，認為事件A與B是無關(guān)的.

三、能力培養(yǎng)

類型一回歸分析及相關(guān)檢驗

例1根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)

X345678

y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0

得到的回歸方程為y=6x+a,則()

A.a>0,h>0B.a>O,h<0C.a<0,h>0D.a<0,/?<0

解析：樣本點的散點圖如圖3-1.由散點圖可知，a>O,b<().

4■

3-

2■

2345678.v

-2

-3

答案：B

規(guī)律總結(jié)：由散點圖不僅可以直觀地看出兩個變量是否相關(guān)，而且可以判斷兩個線性相關(guān)的變量是正

相關(guān)還是負相關(guān).當兩個變量正相關(guān)時，b>0；當兩個變量負相關(guān)時，匕<0.

例2假設某農(nóng)作物基本苗數(shù)x與有效穗數(shù)y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：

X15.025.830.036.644.4

y39.442.942.943.149.2

(1)以x為解釋變量，y為預報變童，畫出散點圖：

(2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)56.7預報有效穗數(shù)；

(3)計算各組殘差；

(4)求R2,并說明隨機誤差對有效穗數(shù)的影響占百分之幾？

解：(1)散點圖如圖3-2所示.

f有效幅數(shù)

50-?

45-

??*

40?

35.

301-----?-----1-----?-----?—*上

515253545城本苗數(shù)

(2)由圖看出，樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系

因此可以用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.

設線性回歸方程為y=法+。，由表中數(shù)據(jù)可得，b~0.29.“=34.66.

故y與x之間的回歸方程為y=0.29x+34.66.當x=56.7時，y=0.29x56.7+34.66=51.103.

估計有效穗數(shù)為51.103.

⑶各組數(shù)據(jù)的殘差分別為4=039,62g0.76,e3Q-0.46,e4*-2.170=1.66e:二0.39,

5

E(%-%)2

I8.4058

(4)X0.832

R?=1-號-------―_50.18

X(y-y)2

>=i

故解釋變量（農(nóng)作物基本苗數(shù)）對有效穗數(shù)的影響約占了83.2%

所以隨機誤差對有效穗數(shù)的影響約占1-83.2%=16.8%.

規(guī)律總結(jié):進行線性回歸分析的關(guān)鍵是先畫出樣本點的散點圖，確定出變量具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出

線性回歸方程.如果x,y的線性相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計意義，就可以用線性回歸方程作出預測和控制.預測是

指對于x的取值范圍內(nèi)的任一個％,y取相應值y0的估計；控制是指通過控制x的值把y的值控制在指定

范圍內(nèi).

類型二獨立性檢驗

例3某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量

是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)

件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的

日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分別加以統(tǒng)計,得

（D從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工

人的概率；

⑵規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2x2列聯(lián)表，并判斷能

否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”

分析：（1）利用列舉法列出基本事件，結(jié)合古典概型求解；（2）利用獨立性檢驗公式計算求解.

解：（1）由已知可得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名，所以樣本中日平均

生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60x0.005x10=3（人），記為人，人，A；25周歲以

下組工人有40x0.005x10=2（人），記為耳,名.

從中隨機抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，分別是

（4,4）,（4,4），（4,43）,（4，耳），（4，5）,（4，即,（4，&）,（4,4）,（怎當）,（旦也）

其中，至少有一名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，

分別是（4,4）,（4也）,（&,耳）,（&,鳥）,（人,男）,（4也），（練員）

故所求的概率P='7.

10

⑵由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有

60x（0.0200+0.0050）xl0=15（人），“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40x（0.0325+0.0050）x10=15

（人），據(jù)此可得2x2列聯(lián)表如下：

生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手總計

25周歲以上組154560

25周歲以下組152540

總計3070100

—，，，，、、，、，、.>n（ad-bc\-c，，,、，100x（15x25-15x45）'

所以代入公式K-=-——、％——-，得K-的觀測值為k=——--------------x1.79

（4+/?）（c+d）（a+c）（b+d）60x40x30x70

因為1.79<2.706,

所以不能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”

解后反思：解決獨立性檢驗問題的基本步驟：

（1）找出相關(guān)數(shù)據(jù)，作列聯(lián)表；

（2）求隨機變量片的觀測值；

（3）判斷可能性，注意與臨界值進行比較，得出事件有關(guān)的可信度.

例4為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗.將這200只家兔隨機地

分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B.

（1）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；

（2）下表1和表2分別表示注射藥物A和B后的試驗結(jié)果（皰疹面積單位：加/）.

表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表

皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)

頻數(shù)30402010

表2:注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表

皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)

頻數(shù)1025203015

①完成下面頻率分布直方圖（圖3-4和圖3-5）,并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小;

注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖

頻率

組距f

0.08----------?--------?--------?------r---------------r-----

0.07...........…二」…

??IIfI

0.06--------1-—--------j-—1—-?"—:—

0.05---------1-4-

0.04---------;--------—?-—；一一

0.03--------4一」…

0.02---------;--------—--?--；—

0.01...........

606570758085皰疹面積

注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖

頻率

組距]

0.08---------?-------?--------?--------I------v------r-----

It?III

0.07...........j--,.J...

0.06------------------:---------—-—?-—??—

0.05---------L—?—4—

0.04------------------j-—:-—:一—?-—?—

0.03---------——i——

0.02----------—?-------------—?>—

0.01..........…一：…

人,■,???

G7；)758085]疹面積

②完成下面2x2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“注射藥物A后的皰疹

面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.

表3：

皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計

注射藥物Aa=